学而思初二数学秋季班第9讲.二次根式的综合化简.提高班.教师版
第一节 二次根式的相关概念-学而思培优
第一节二次根式的相关概念二、核心纲要一 二次根式 形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式，称为二次根号．注：(1)在二次根式中，被开方数a 可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式．(2)是0≥a 为二次根式a 的前提条件．(3)形如)0(≥n n m 的式子也是二次根式，它表示m 与n 的乘积．二 二次根式的性质)0(0)1(≥≥a a 具有双重非负性． (2) ).0()(2>=a a a (3) ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a 或⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a 或⎩⎨⎧⋅≤->==)0()0(||2a a a a a a注：(1)化简2α时，一般先将它化成|,|a 再根据绝对值的意义进行化简． (2) 22*2)(a a 的区别和联系，区别：2a 中的a 可以取任意实数，而2)(a 中的a 必须是非负数，当a<0时，2)(a 无意义， .2a a -=联系：当a≥O 时，.)(22a a a ==3。
非负 数的三种常见形式(1)绝对值：lal ≥0．(2)偶次幂：n a n (02≥为正整数）．(3)二次根式：).0(0≥≥a a 若,0||2=++c b a 则.0===c b a4.积、商的算术平方根的性质(1)积的算术平方根的性质：).0,0(≥≥⋅=b a b a ab(2)商的算术平方根的性质：).0,0(>≥=b a ba b a 5．确定二次根式所含字母的取值范围若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可．即当0≥a 时，a 有意义．6、最简二次根式(1)被开方数中不含分母．即根号内无分母，分母内无根号．(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．即开方开得尽．我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式．7.同类二次根式如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，注：(1)前提条件：二次根式是最简二次根式．(2)被开方数相同．本节重点讲解：两个性质，三个概念．三、全能突破基础演练1．下列各式中，一定是二次根式的是( )．23.-A 2)3.0(.-B 2.-C x D .2．若式子11++-m m 有意义，则点)2,1(--m m 在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(1)如果,31)3)(1(+⋅-=+-x x x x 那么( )．1.>x A 3.-≥x B 13.≤≤-x C D ．x 为任意实数(2)等式22+-=+-a a a a 成立的条件是( )． 0.≤a A 2.->a B 02.≤<-a C 02.≥+-a a D 4．(1)在下列二次根式32,9,,,45222x a y x xy +-中，最简二次根式的个数是( )． 1.A 2.B 3.C 4.D(2)在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )．83.和A 313.和B 22.ab b a C 和 11.-+a a D 和 5．把下列各式化成最简二次根式：=12)1( 24)2(= =32)3( =214)4(54)5(a = ⋅535)6(= =632)7(= =+4131)8(= 6．(1)当a= 时，最简二次根式a h a 593721----可以合并． (2)如果最简根式b b a b a b a 6a 2414114+++++与是同类二次根式，则=+100)(b a 7．若m 8是非零整数，则m 的最小值是8．(1)已知a a 2.42-=化简：.32b a(2)化简：.)3(2-a9．已知x ，y 为实数，,319922-+---=x x x y 求5x+6y 的值．10．(1)已知：a ，b ，c 满足,0442||212=+-+++-c c c b b a 求a b c )(-的值． (2)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 均为整数，△ABC 的周长是奇数，且a 和b 满足9622+-+-b b a ,0=试求△ABC 的边长c 的值．能力提升11．如果nm 是二次根式时，那么m 和n 应满足条件为( )． 0,0.>≥n m A 0,0.<≥n m B 0.≥mn C D ．m 、n 同号或0,0=/=n m12．下列命题中，正确的是( )．A ．若a>0，则a a =2B ．若,2a a =则0>aC ．若a 为任意实数，则a a =2D ．若a 为任意实数，则a a ±=2)(13．(1)若实数a 满足等式|,|1|1|a a +=-则=-2)1(a ( )1.A 1.--a B 1.-a C a D -1.(2)若)()()(22m n m n n a a m ≥-⋅=-+-成立，则a 的取值范围是( )． n a m A ≤≤. m a n a B ≤≥且. m a C ≤. n a D ≥.14.把根号外面的因式移到根号内：=-212)1( =--x11)1)(2(x 15．已知a ，b ，c ．为三角形的三边，则()=-++--+-+222)()a (a c b a c b c b 16.已知,10<<x 则=-+-+-4)1(4)1(22x x x x 17.若3)3(2-=-x x 与x x -=-5)5(2都成立，化简.|10|12362-++-x x x18．阅读下面的文字后，回答问题： 甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：,9612a a a +-+其中a=5．”甲、乙两人的解答不同， 甲的解答是：;92131)31(96122-=-=-+=-+=+-+a a a a a a a a 乙的解答是：.191413)31(96122=-=-+=-+=+-+a a a a a a a a(1) 的解答是错误的．(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： (3)仿照上题解答：化简21681|1|a a a +-+-并求值，其中.2=a19．如右图所示，△ABC 的三边a ，b ，c ，且满足b a c a ,46)4(2-=-+-是10的整数部分，AD 是BC 边上的中线，求：(1)a 的取值范围；(2)AD 的取值范围．20．阅读材料，-个三角形的三条边长为a 、b 、c ，若满足,222c b a =+则这个三角形就是直角三角形，长度为c 的边所对的角是直角．这是我们后面要学的勾股定理的逆定理．根据上述知识解答下列问题：已知实数x 、y 、a 满足,32388++-+--=--+-+a y x a y x y x y x 试问长度分别为x 、y.a 的三条线段能否组成一个直角三角形？若能，请求出三角形的面积；若不能，请说明理由．21．已知843与a -是同类二次根式，解答下列问题：(1)若a 是正整数，则符合条件的a 的值有几个？试写出最大值和最小值．(2)若a 是整数，则符合条件的a 的值有几个？是否存在最大值和最小值，为什么？中 考 链 接22．（2011．湖北鄂州）要使式a a 2+有意义，则a 的取值范围为23．( 2011．四川内江)已知,)3(63)5(|36|22n m m n m ---=-+-则=-n m24.( 2012．杭州）已知,2,0)3(a b a a -=<-若则b 的取值范围是巅峰突破25.已知a 、b 满足,753=+b a 则b a s 32-=的取值范围为( )．314521.<<-s A 314521.≤≤-s B 19141921.≤≤-s c D ．以上都不对 26.计算：⋅+⨯⨯⨯411011009998。
学而思勤思班初二秋季 第9讲 解析几何之动点问题(教师版)
第9讲 解析几何之动点问题经典例题答案解析标注【题型】 函数 > 函数概念和图象 > 函数的图象 > 题型：函数图象与实际问题A. B.C. D.如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（ ）．1B当点由点向点运动，即时，的值为．当点在上运动，即时，随着的增大而增大．当点在上运动，即时，不变．当点在上运动，即时，随的增大而减小．一、动点产生的面积问题例题1答案解析标注【题型】 函数 > 函数概念和图象 > 函数的图象 > 题型：函数图象与实际问题A.处B.处C.处D.处如图，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则当时，点应运动到（ ）．图图2C方法一：由图可知，点在沿的运动过程中，的面积逐渐增大；点在沿的运动过程中，不变；点在沿的运动过程中，逐渐减小．由图可知，当时，该图象处在不变的末端，则此时点运动到处．方法二：当点运动到上时，的面积达到最大，且保持一段时间不变，到点以后，面积开始减小，故当时，点应运动到处．故选．如图，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（与，不重合），的面积为，求与的函数关系式 （写出自变量的取值范围）．3答案解析与的函数关系式为∵令解得：∴点的坐标为∵令，得∴点的坐标为∴，，∵点是线段上一动点（与，不重合），∴点的坐标可表示为如图，作于点，∵点在第二象限，∴，，，，，标注【知识点】 函数 > 一次函数∴∴∴与的函数关系式为答案解析标注【题型】 函数 > 一次函数 > 一次函数与实际问题如图①，在正方形中，点沿边从点开始向点以每秒钟的速度移动；同时，点沿边、从点开始向点以每秒钟的速度移动．当点移动到点时，、同时停止移动．设点出发秒时，的面积为，与的函数图象如图②，则线段所在的直线对应的函数关系式为 ．4∵点沿边从点开始向点以每秒钟的速度移动，点沿边、从点开始向点以每秒钟的速度移动．∴当点到的中点时，到点， 从图②可以看出当点到点时的面积为，∴，∵，∴，即正方形的边长为，当点在上时，，的高为，∴，即．故答案为：．答案解析如图，直线经过点，与轴交于点，直线经过点，且与直线交于点．求、两点的坐标．（1）求的面积．（2）在直线上是否存在一点，使？若存在，请求出符合条件的点坐标．若不存在，请说明理由．（3）．（1）．（2）的坐标轴为和．（3）（1）将点代入中得，即为，∵相交于轴，∴令，∴，∴，将代入中得：，即为，∵相交于两线之间∴，∴，例题2标注【题型】 函数 > 一次函数 > 一次函数与几何综合 > 题型：一次函数与面积将代入中得：，∴．（2）．（3）假设存在，则，∴，∴，将代入中∴，∴，∴，∴，将代入中得，∴即的坐标轴为和．如图所示，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，点在原点，，．若矩形以每秒个单位长度沿轴正方向作匀速运动．同时点从点出发以每秒个单位长度沿的路线作匀速运动．当点运动到点时停止运动，矩形也随之停止运动．求点从点运动到点所需的时间．（1）例题3答案解析标注【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数与实际问题 > 题型：二次函数几何问题设点运动时间为（秒）．（2）当时，求出点的坐标．1若的面积为，试求出与之间的函数关系式（并写出的取值范围）．2．（1）（2）．1当时， ；当时，；当时，．2（1）点从点运动到点所需的时间为（秒）．（2）1当时，点从点运动到上，此时，，∴，过点作于点，则，，∴，∴点的坐标为．2分三种情况：i ．当时，点在上运动，此时，，∴，ii ．当时，点在上运动，此时，∴，iii ．当时，点在上运动，此时，，∴，∴，综上所述，与之间的函数关系式是：当时， ；当时，；当时，．答案解析如图，直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于、两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于，两点，设运动时间为秒（）．图图求、两点的坐标．（1）以为对角线线作矩形，在直线的运动过程中，当完全夹在直线和直线之间时，的面积能否达到面积的？如果能，请求出此时直线的解析式．（2）记和重合部分的面积为，在直线的运动过程中，请写出与的函数关系，并写出相应的自变量取值范围（直接写结果，不必写过程）．（3）()，()．（1）．（2）．（3）（1）令中，则，∴点的坐标为，令中，则，解得：，∴点的坐标为．（2）假设能，设直线的解析式为则点的坐标为()，点的坐标为()∴点点的坐标为 ()∴例题4。
北师大版初二数学秋季班(教师版) 第3讲 二次根式--提高班
北师大初二数学8年级上册秋季版（教师版）最新讲义第3讲二次根式知识点1 二次根式的概念二次根式的概念：一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式．注意：①“√”称为二次根号；②a（a≥0）是一个非负数．【典例】【题干】下列各式中：①√y+2；②√(−2)4；③√a2+3；④√x2+6x+9；⑤√x2−3，一定是二次根式的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C.【解析】解：∵y+2有可能小于0，所以√y+2不一定是二次根式；∵(−2)4=16＞0∴√(−2)4一定是二次根式；同理，可以判断, √a2+3,√x2+6x+9一定是二次根式；√x2−3不一定是二次根式；综上可知√(−2)4；√a2+3；√x2+6x+9一定是二次根式．∴下列各式中：①√y+2；②√(−2)4；③√a2+3；④√x2+6x+9；⑤√x2−3中，一定是二次根式的个数是3．故选：C【方法总结】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．【随堂练习】1．（2018•峨眉山市二模）当x=____时，二次根式的值为0．【解答】解：依题意得：x+3=0，解得x=﹣3．故答案是：﹣3，2．（2018春•诸暨市期末）当x=﹣2时，二次根式的值是____．【解答】解：当x=﹣2时，==，故答案为：知识点2 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．√a（a≥0）是一个非负数．【典例】有意义，则x满足的条件是______________．1.若代数式√x−23【答案】x≥2．有意义，【解析】解：∵代数式√x−23x﹣2≥0，解得x≥2．故答案是：x≥2．【方法总结】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．【随堂练习】1．（2018•陇南）使得代数式有意义的x的取值范围是____．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣3＞0，∴x＞3，∴x的取值范围是x＞3，故答案为：x＞3．2．（2018•广安）要使有意义，则实数x的取值范围是_____．【解答】解：依题意得x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．3．（2018•张家港市模拟）若代数式有意义，则x满足的条件是_____．【解答】解：依题意得：x﹣2≥0，解得x≥2．故答案是：x≥2．知识点3 二次根式的性质与化简二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①√a≥0；a≥0（双重非负性）．②(√a)²=a（a≥0）．③√a2=|a|={a(a≥0)−a(a＜0)（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．√ab=√a•√b(a≥0，b≥0)，√ab =√a√b(a≥0，b＞0)（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；。
八年级数学第9讲.二次根式综合化简.提高班.教师版
9二次根式的综合化简满分晋级代数式 10 级二次根式的观点及运算代数式 11 级暑期班第九讲分式恒等变形代数式 12 级二次根式的综合化简秋天班第八讲秋天班第九讲漫画释义考试后记知识互联网题型一：二次根式的化简与求值思路导航二次根式的化简求值，是中考以及各级各种比赛中的常有题目，其常用的方法有约分法，裂项法，取倒法等等．典题精练【例 1】化简以下二次根式1. (1111)(20111)．21324320112010【分析】n1n n1n22n1n 1 ．n 1n说明n1n 和 n1n 互为倒数，故1n1n ．n1n原式213243201120102011120111201112122010 201110141521 2.141521 1010 14 15 21 5( 2 3) 7( 2 3) 2 3 【分析】1415215( 23)7( 23)22 6 51033.4 2 34 2 322【分析】 4 2 3 4 2 3 3 2 3 1 3 2 3 13 1 3 12 3【评论】 本题是复合二次根式的化简，在初三的锐角三角函数中会波及，老师还可练习8 4 3 ，此类题型的步骤为： ⑴ 将二次根式化简为a 2b 的形式⑵ 将 a 拆成 x+y ， b 拆成 xy 的形式⑶ a 2 bx2y【例 2】 1. 已知 x3 1 ， y3 1，求 x 2xyy 2 和 x 3 y xy 3 ．【分析】 2xy 2y 222 6 ；xyx xy2x 3y xy3xy x2y2xy y x22 xy 2 222 2 162.已知 x3 2 , y 3 2 ，求 y x 的值．32 3 2xy【分析】 y3 2 ( 3 2) 25 26 ， x3 2 ( 3 2) 25 2 63232x y 10 ， xy1 ， x y x 2y 2(x y)2 2 xy98y xxyxy3.已知 a b 6 , ab4 且 a b ，求ab的值．ab【分析】a 2a b24ab 6244 20b∵a b∴ab 2 5原式 a 2 ab b5= a b54.此中 x 23 ， y23 ，求 x xyxy y的值．xy y x xy【分析】 原式x( xy) y ( x y )x y4 ．y ( xy)x( xy )xy例 2 精讲： a b 、 a b 或a b 、a b 的应用共轭根式：形如 x a b ， y a b 的两个根式互称为共轭根式．假如 x 和 y 互为共轭根式，那么x y 和xy都是有理式．（此中 a , b 为有理数）往常状况下，将含有一个二次根式的代数式有理化的方法是乘以它的共轭根式．解决根式问题，应当视状况将分母或分子进行有理化．推行： x a b 、 y a b 固然不是共轭二次根式，可是xy 相同是有理式，所以也能够用来帮助分母或分子有理化．研究 1、分母有理化【变式1】计算：1322【分析】原式322322 ；(322)(322)研究 2、分子有理化【变式2】已知 c 1 ， x c c 1 ， y c1 c ， z c2c 1 ，比较x，y， z 的大小．【分析】分子有理化可直接获得答案，易得z y x ．研究 3、利用共轭根式x y 和xy来化简求值【变式3】已知 x 1(75) ， y1(75) ，求以下各式的值2xy2x y 22. ⑴ x y；⑵.y x【分析】∵ x 175) ， y1( 75) ，∴ x y1 (27 ， xy. 22⑴ x2xy y2(x y) 2 3 xy ( 7) 231 5 1 .22x y x 2y2(x y)22 xy(7) 221⑵1212 .y x xy xy2研究 4、结构共轭根式进行配对【变式4】已知x 3 451 3 45 1 ，则 x 312 x 的值是.【分析】设3 451a，3 451 b ；则 x a b ，a3 b 34514518 ，ab 3 4513451 3 451451 3 445151 3 444 4 ，原式312333123312128a b a b a b a b a b a b a b.ab a b研究 5、共轭根式求值【变式 5】已知2521522 ．则252152的值为 __________．x x x x【分析】注意到2521522521522522x x x x x 15 x10 ，所以，25 2 15 x 2x 5．【例 3】 1.已知 x 2 10 ，求 x 2 4 x 6 的值．2【分析】 直接把 x2 10 代入代数式求值明显计算很繁琐，可适合变形 24x x 6 x 2 10 0 ．2.已知 a23 ，求 2a 3 8a 2 3a1的值．a【分析】 ∵ a 2 3 ，∴ a 2 3 ，∴ a 2 4a 1 0 ， a 24a 1 ，则 a 3 4 a 2 a 2a 3 8a 23a 18a 2 2a 8a 23a1 a 1 a 21 4a 1 1 4aaaaa题型二：二次根式的综合应用思路导航二次根式的综合应用包含比较大小，实质应用问题等等.典题精练【例 4】比较以下各式的大小( 填“ >”“ <”或“ =”)① 3 ______ 2 2 ② 5 7 6 5③11④ 20022001 ________ 200120007553232 9 ，【分析】① （平方）两个正数，其平方大的大， 2 2 8 ，则 3 2 2 ．② （被开方数） 5 7175 ， 6 5180 ，∵ 180175 ，故175 180 ，即 5 76 5 ．③ （分母有理化） 17 5757 57 575 752227515353 5353 53 5322253∵ 75 ， 53 ， ∴ 7553 ， ∴1 1．7553④ 法一（分子有理化）2002200120022001 2002 20011200220012002 200120012000200120002001200012001200020012000∵ 2002200120012000 ，∴2002200120012000 ．法二（倒数法）200220011， 200120001，2002200120012000 2002200120012000【例 5】已知a、 b 均为有理数，并知足等式4332a，求 a 、b的值. 3a b232a b 4 03， b 1 ．【分析】由已知条件可得 (2a b 4) ( a) 30 ，所以a 3，即 a2202【例 6】若 a 0 ， b 0 ， c 0 ，求证：a2b2b2c2c2a2≥ 2 a b c ．【分析】待证不等式左侧的根式，让人联想起直角三角形中斜边的表达式；而其右侧为 a b c 的 2 倍，又与正方形的对角线相关．我们借助几何图形赐予证明．作出以 a b c 为边长的正方形ABCD，分别在两边上截取线段 a 、b、 c ，如图，则AE222222a b ， EF b c， FCc a ，而 AC 2 a b c ，明显，由AE EF FC ≥ AC ，可得原不等式建立．D C acb E FA a b c B思想拓展训练 ( 选讲 )训练 1.已知 xy1， y z12 22xyxz yz 的值．2，求 xyz323【分析】 ∵ xy123，23y z1 23 ，23∴ x z x y y z 4∴ x2y2z2xy xz yz =1x y22y z2x z15 ．2训练 2. 已知 x2 2 1 ，求 x3 11x 15 的值．【分析】 直接代入必定麻烦，先对已知条件进行变形．28 ， x 2 2x 18 ，即 x 27 2x ．x 1 2 2 ， x 1下边采纳降幂（次） ：x 3 11x 15 x 72 x 11x 15 2x 24 x 15 2 7 2 x 4x 15 1 ．训练 3.已知 a1 4 0 a 1 ，求a 1 及 a 1 的值．aa a1 211 1【分析】aa6 ，∵ a ∴ a6a2 0 aaa∵ 0 a 1∴ a 1<02a11又 ∵a2aa2a∴ a1 2a训练 4.设三所学校 A 、 B 、 C 分别位于一个等边三角形的三个极点处，现是网络时代，要在三个学校之间铺设通信电缆，小张同学设计了三种连结方案，如下图，方案甲： AB BC ；方案 乙： AD BC （ D 为 BC 中点）；方案丙： AOBOCO （ O 为三角形三条高的交点） ，请你帮助计算一下哪一种方案线路最短？A AAOB甲C BDCBD C乙丙【分析】 设 ABa ，则 BDa， AD3 △ BDO 中，DBO 303a ，在 Rt ， BOa ．223方案甲： AB BC2a 22a ；方案乙： AD332 2BCa a2a ；2333方案丙： AO BO CO3a3a a32所以， AO BO CO AD BC AB BC ．复习稳固题型一二次根式的化简与求值稳固练习【练习 1】已知 x5 2 ，求 x2x5的值．（四中期中）【分析】当 x5 2 时，原式(52) 2( 52)5945525745 ．【练习 2】若 a2，求1a 3a 2a 2 的值312【分析】由 a2得 a31 ，即 a1 3 ，两边平方，得a22a20 31，∴原式 = 1a a22a 2 2 2 2题型二二次根式的综合应用稳固练习【练习 3】已知 n 是一个正整数，135n 是整数，则 n 的最小值是（）A ． 3B． 5C． 15D． 25【分析】 C【练习 4】某电力企业为了改良乡村用电电费过高的问题，准备在各地乡村进行电网改造，富康乡有四个乡村 A ， B ，C， D 正好位于一个正方形的四个极点，现计划在四个乡村结合架设一条线路，有四种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助计算一下，哪一种架设方案最省电线．（以下数据可供参照：2 1.414 ， 3 1.732 ， 5 2.236 ）A D A D A D A H 'D30° 30°EO FB B B B 30°30°C C C H C(1)(2)(3)(4)【分析】方案 4 最省钱．【练习 5】若 x表示不超出 x 的最大整数（如3, 2 23 等），则3111_________________．212323200120002001【分析】 2000课后测测试 1.已知 a32 ，b 322； ⑵ 112 ，求 ⑴ a b ab a2b2 .【分析】 由题意得 a b2 3 ，ab 1ab 2 2ab⑴ 原式 ab ab2 3⑵ 原式210ab测试 2. 先化简，再求值：a 2a b 2ab2，此中 a23 ， bb3a 【分析】2a b 2a b 3a 22b22ab22ab ．a b a 2ab 2ab3a当 a23 ， b 3 2 时，原式 = 233 2 =1测试 3.试比较 5 1 与73的大小．5 1 7322【分析】5 1 516 2 57 37310 2 215 144，344．7明显，5 1 7 3 ．5 173（宣武期末）3 2 ．11第十五种品行：创新创新思想相传中国古代有名军事家孙膑的老师鬼谷子在教课中极擅长培育学生的创新思想。
学而思初二数学第9讲.解特殊复杂方程.尖子班.教师版
方程10级 判别式与求根公式方程11级 解特殊复杂方程 方程6级方程12级 特殊根问题春季班 第十讲寒假班 第二讲特殊的梦满分晋级阶梯漫画释义9解特殊复杂方程初二春季·第9讲·尖子班·教师版解含参数的一元二次方程时，只需将参数当做已知数来解方程，需要注意的是二次项系数如果含有参数的话，二次项系数不能为零．【引例】 解关于x 的方程20ax bx c ++=【解析】 ⑴ 当0a =，0b ≠时，cx b=-0b =时，0c =，方程有无数解；0b =时，0c ≠，方程无解；⑵ 当0a ≠时，原方程可化为20b cx x a a++=222424b b ac x a a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ 当240b ac ->时， 2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a---=知识互联网思路导航例题精讲题型一：解含参数的一元二次方程当240b ac -=时，122b x x a==-当240b ac -<时，该方程无实数根．【例1】 解关于x 的方程()2120a x ax a --+=.【解析】 ⑴当1a =时，方程的根为12x =； ⑵当1a ≠时，()()22414a a a a ∆=---=当0∆>时，即当0a >且1a ≠时，方程有两个不相等的实数根1211a a a ax x a a +-==--，； 当0∆=时，即当0a =时，方程有两个相等的实数根120x x ==； 当0∆<时，即当0a <时，方程没有实数根．求解高次方程与方程组的基本思路与解一元二次方程的思路一样，采取消元以及降次的方法将原方程化简，有时可以采取换元等简便方法．【引例】 解方程组5,14.x y xy +=⎧⎨=-⎩①②【解析】 把①变形为5y x =-，代入②，用代入消元法解．()514x x -=-25140x x -++= 25140x x --= ()()720x x -+= 127,2x x ==-例题精讲思路导航典题精练题型二：解高次整式方程和方程组初二春季·第9讲·尖子班·教师版∴121272,27x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩【例2】 解下列方程： ⑴ 3223x x x -= ⑵ 427120x x -+=【解析】 ⑴ 移项，得32230x x x --=．提取公因式并应用十字相乘法分解因式，得(3)(1)0x x x -+=．所以原方程的解是1203x x ==，，31x =-．⑵ 方程中只含有未知数的四次项、二次项与常数项，这是通常所称的双二次方程， 将2x 作为一个整体分解因式，得22(4)(3)0x x --=，即()()()()22330x x x x +-+-=，从而原方程的解是12x =-，22x =，33x =-，43x =．【例3】 解方程组⑴()221110x y x y -=⎧⎪⎨++=⎪⎩①② ⑵22235049 5.x y x y +-=⎧⎨-=⎩【解析】 ⑴对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，基本解法是代入消元法．由①得1x y =+③，代入②，得22(11)10y y +++=，整理得2230y y +-=， 解得13y =-，21y =．将13y =-，21y =分别代入③，得12x =-，22x =， 所以原方程组的解是1123x y =-⎧⎨=-⎩，2221x y =⎧⎨=⎩⑵原方程组可化为235(23)(23)5x y x y x y +=⎧⎨+-=⎩①②，将①代入②，得231x y -=③，解由①、③组成的方程组，得原方程组的解是3223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩典题精练题型三：解分式方程和无理方程分式方程需注意的就是必须要检验 根号下含有未知数的方程叫做无理方程．．．．，其思想是将无理方程转化为我们熟悉的有理方程求解，注意：无理方程和分式方程一样均需检验，必须带入原方程进行检验．【引例】 322x +=【解析】 两边同时完全平方得：324x +=，23x =，将23x =代入320x +>， 所以原方程的解为23x =【例4】 解方程⑴222241422x x x x x x -+=-+- ⑵2251010715x x x x --+=-- ⑶ 16252736x x x x x x x x +++++=+++++ 【解析】 ⑴原方程变形为()()()()2412222x x x x x x x -+=+-+-． 两边同乘以()()22x x x +-，并整理得2560x x -+=． 解得12x =，23x =． 经检验，2x =是增根． ∴原方程的解为3x =．⑵设251x y x -=-．代入原方程，并整理得：27100y y -+=． 解得12y =，25y =．由2521x x -=-解得13x =，21x =-．由2551x x -=-解得30x =，45x =．经检验，原方程的解是13x =，21x =-，30x =，45x =．典题精练例题精讲思路导航初二春季·第9讲·尖子班·教师版⑶原方程化为()()()()116723x x x x =++++，即290x +=，解得92x =-．【例5】 1.42424x x +-=．【解析】 方42442x x +-．两边平方，得()421684242x x x +=---．3422x -=． 两边平方，得9424x -=．解之，得1716x =．经检验，1716x =是原方程的解．方法二：把方程左边进行分子有理化，得44242x x =+--．42421x x +-．与原方程相加，得2425x +=．解之，得1716x =．经检验，1716x =是原方程的解．42x y +=，则242x y =-． 代入原方程，得244y y +-． 244y y -=-．两边平方，得224168y y y -=-+．解得52y =．∴1716x =．经检验，1716x =是原方程的解．42x m +=42x n -=，则 2242424x m x n m n ⎧+=⎪-=⎨⎪+=⎩①②③ 由①-②得224m n -=．④④÷③，得1m n -=．∴52m =．5422x +=．解之，得1716x =．经检验，1716x =是原方程的解．2. 解方程：22183021845x x x x ++=++【解析】 令21845y x x =++，则原方程化为22150y y --=．解之得3y =-（舍去）或5y =．于是得到原方程的解为961x =--或961x =-+．【例6】 解方程2255120x x x x +---=． 【解析】 原方程就是()22515110x x x x ---+-=设251x y -=，则有210y xy x -+-=． 分解因式，得()()110y y x -+-=． 所以，当10y -=时，有2511x -=． 解得105x =±． 当10y x +-=时，有2511x x -=-．解得11x =-，212x =．经检验，只有105x =±是原方程的根．【例7】 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++623222y x y xy x .【解析】原方程组可变形为()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++②①62 2322xy y x xy y x ①×2＋②得，()()261022+=+++y x y x 令y x u +=，则0261022=--+u u ∴221+=u ，242--=u ， 即22+=+y x 或24--=+y x ，当22+=+y x 时，代入①得22=xy ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2222xy y x可得21=x ，21=y 或22=x ，22=y ；当24--=+y x 时，代入①得246+=xy ，而方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+24624xy y x 无实数解．综上所述，方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==2211y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==2222y x .例7精讲：用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。
学而思2018春季八下培优班讲义1-15讲(word版)教师版
第2讲勾股复习及综合13
第3讲中位线与斜边中线（一）25
第4讲中位线与斜边中线（二）37
第5讲几何最值49
第6讲期中复习之勾股定理59
第7讲期中复习之四边形69
同步中考培优课程
1二次根式巩固
知识目标与切片
目标一复习巩固二次根式相关基础概念
目标二熟练掌握二次根式的化简和计算
模块一二次根式回顾
∴DF＝2AP＝2AB＝2 AE.
例6★★
已知：在△ABC中，∠B＝2∠C，M是BC中点，AD⊥BC于D.求证：DM＝ AB.
证明：延长CB至点K，使BK＝AB，连接AK，则∠K＝∠C，AK＝AC，∵AD⊥BC，∴CD＝ CK，
∵M是BC中点，∴CM＝ BC，∴DM＝CD－CM＝ CK－ BC＝ (CK–BC)＝ BK＝ AB.
∴ ＝
1二次根式巩固
1．若 与5 既是最简二次根式，又是同类二次根式，则x＝
解：4＋3x＝x＋6x＝1
2.若 ＋b2－2b＋1＝0，则 －| －b|＝
答案： ＋（b－1）2＝0
∴a2－3a＋1＝0b＝0∴a－3＋ ＝0，∴a＋ ＝3，∴ ＝7
原式＝1
3．计算：
(1) 3 － ＋ － (2)7a －4a2 ＋7a
知识目标切片
目标一掌握斜边中线定理
目标二学会运用斜边中线
目标三掌握斜边中线的构造方法
模块一斜边中线定理
知识导航
直角三角形斜边中线（定理）：如果一个三角形是直角三角形三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BD为△ABC斜边上的中线，求证：BD＝ AC
例5★★
把下列各式分母有理化
最新北师版八年级初二上册数学《二次根式及其化简》名师精品教案
2.7 二次根式第1课时二次根式及其化简重点难点提示本单元重点是二次根式的重要性质：，它是二次根式化简和运算的重要依据。
1．二次根式的重要性质：要注意以下问题：（1）因为被开方数a2 ≥0(非负数)，所以a可以取任意实数。
而是表示算术根，所以（非负数），即，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。
去掉绝对值符号时，首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。
若无法决定，要对其进行讨论。
（2）应用公式化简时，为保证结果的非负性，也避免出现运算上的错误，应首先写成的形式，然后再去绝对值符号。
2．的区别（1）a的取值范围不同：中的a必须是非负数。
中的a可以是任何实数。
（2）运算顺序不同，表示对非负数a先开方，再平方。
而表示对实数a先平方，再开方。
知识点精析例1．判断下列各式是否正确(1)(2)(3) (4)(5)解：根据二次根式知，(1),(2),(3)都是错的，只有(4),(5)是对的。
例2．化简(1) (2) (-1<x<8) (3) (0<x<1)(4)解：(1) ∵x2+1>0,∴(2) ∵-1<x<8,∴x+1>0, x-8<0.∴=|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7.(3) ∵0<x<1,∴.∴.(4) ==|x-4|+|x-3|当x≥4时，原式=x-4+x-3=2x-7.当3≤x<4时，原式=4-x+x-3=1.当x<3时，原式=4-x-x+3=7-2x。
∴原式=说明：对于二次根式的化简，首先应根据算术根的定义写成绝对值的形式。
而正确去掉绝对值符号是化简的关键。
去掉绝对值符号时应首先判定绝对值符号内代数式值的符号。
此类问题，一般可分为两类。
第一类是不需要讨论直接化简。
属于此类问题一般有以下三种情况①具体数字，此时化简的条件已暗中给定，②恒为非负值或根据题中的隐含条件，如（1）小题。
③给出明确的条件，如（2）小题。
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2．7二次根式第1课时二次根式及其化简1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点)2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点)一、情境导入问题：(1)如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，那么AB边的长是多少？(2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)上述结果有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的相关概念【类型一】二次根式的定义下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)2；(2)4；(3)33；(4)1x＋y；(5)x＋y(x≥0，y≥0)；(6)3a2＋8；(7)－x2－12.解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是．方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式．【类型二】二次根式有意义的条件当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．解析：要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简化简下列二次根式．(1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)；(3)（－36）×169×（－9）.解析：本题主要考查运用ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43；(2)8a3b＝22·a2·2ab＝（2a）2·2ab＝2a2ab；(3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234.方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)．探究点三：最简二次根式在二次根式8a，c9，a2＋b2，a2中，最简二次根式共有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：8a中有因数4；c9中有分母9；a3中有因式a2.故最简二次根式只有a2＋b2.故选A.方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧定义⎩⎨⎧形如a （a≥0）的式子有意义的条件：a≥0性质：（a ）2＝a （a≥0），a 2＝a （a≥0）最简二次根式本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性等等．学生每日提醒～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 励志名言： 1、泰山不是垒的，学问不是吹的。
二次根式的加减法北师大版八年级数学上册精品课件PPT1
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三级拓展延伸练 11. 先阅读下列解答过程，然后再解答：
级数 学上册 课件
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3、在生命的每一个阶段，阿甘的心中 只有一 个目标 在指引 着他， 他也只 为此而 踏实地 、不懈 地、坚 定地奋 斗，直 到这一 目标的 完成， 又或是 新的目 标的出 现。
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4、让学生有个整体感知的过程。虽然 这节课 只教学 做好事 的部分 ，但是 在研读 之前我 让学生 找出风 娃娃做 的事情 ，进行 板书， 区分好 事和坏 事，这 样让学 生能了 解课文 大概的 资料。
学而思初二数学暑假班第9讲.二次根式的概念及运算.尖子班.学生版
95初二暑期·第9讲·尖子班·学生版看我的新造型？漫画释义满分晋级9二次根式的 概念及运算代数式8级 分式的概念 及性质代数式9级 二次根式的 概念及运算 代数式10级 因式分解的 常用方法及应用暑期班 第七讲暑期班 第九讲秋季班 第五讲二次根式形如()0a a ≥的式子．二次根式有意义被开方数大于等于零（即若a有意义，则0a≥）【例1】1当x取何值时，下列式子有意义？⑴2x-⑵2x-⑶2x-⑷213x x++-⑸1x-⑹x模块一二次根式的概念知识导航知识互联网夯实基础96 初二暑期·第9讲·尖子班·学生版97初二暑期·第9讲·尖子班·学生版2 若x ，y 为实数，且14411y x x =-+-+．求xy 的值．3 设31221x xy x -+-=+，求使y 有意义的x 的取值范围.①0(0)a a ≥≥ ②2()(0)a a a =≥③（必考）2a a a a ⎧==⎨-⎩()()00a a <≥【例2】 化简下列各式⑴ ()225- ⑵ ()23a -【例3】 ⑴已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示：化简：()22a a c c b b -++---的结果为________能力提升夯实基础知识导航题型二 二次根式的性质c a98初二暑期·第9讲·尖子班·学生版⑵已知01a <<，化简221144a a a a ⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑶化简()22412912x x x-+--得( )A. 2B.44x --C.2-D.44x -⑷若()22340a b c -+-+-=，则a b c -+= ．⑸已知实数x 、y 满足480x y -+-=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ． 以上答案均不对⑹若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b +++++++++L L 的值.乘法 与积的算术平方根可互相转化：(0,0)a b ab a b ⋅=≥≥ 除法 与商的算术平方根可互相转化：(0,0)a a a b b b=>≥最简二次根式 ①被开方数不含分母②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 同类二次根式 被开方数相同的两个最简二次根式． 加减法 先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式 混合运算有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用知识导航模块三 二次根式的运算99初二暑期·第9讲·尖子班·学生版乘法公式的推广①12312312(0,0,,0)n n n a a a a a a a a a a a ⋅⋅=⋅⋅L L L ≥≥≥②()22a ba b ab ±=+± ③()()a ba b a b +-=-【引例】计算：⑴23⨯ ⑵1273⨯ ⑶147× ⑷213⑸31218÷⑹35【例4】 计算下列各式1 ⑴ 35210× ⑵ 321252÷× ⑶ 1324532523÷⨯2 ⑴2255a b cb c a⋅⋅ ⑵3b a ab a b ÷⨯()00a b >>，夯实基础能力提升100初二暑期·第9讲·尖子班·学生版⑶113ab a ⋅ ⑷2123xy y ÷6812 15 18 20 24 4850012 18 342231.2判断及化简⑵若最简二次根式283a -与322a a --是同类二次根式，则a 的值是 ． ⑶若最简二次根式1x y ++与31x y -+是同类二次根式，则______x y -=【例6】 计算下列各式⑴212(1215)38- ⑵ 22(1025)(1025)+---+【例7】 ⑴把下列各式中根号外的因式移入根号内23； 32-； 100.1-； 133； 1214-；⑵把下列各式中根号外的因式移入根号内： ① 1a a- ② ()111a a --【例8】 ⑴若v u ,满足22343432u v v u v u v u v --=++++，那么22u u v v -⋅+=探索创新101初二暑期·第9讲·尖子班·学生版⑵已知141025x -+241025x =++12x x +的值．102初二暑期·第9讲·尖子班·学生版训练1. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+⋅--，则m = ．训练2. 已知a b ，为实数，且()1110a b b +---=，求20132013a b -的值．训练3. 计算⑴1148275278--+ ⑵11(30.54 1.5)(0.244)22+--训练4. ⑴ ()3322a a a -⋅⑵ ()333a b ab ab ab -+÷，其中0a >，0b >．思维拓展训练(选讲)103初二暑期·第9讲·尖子班·学生版题型一 二次根式的概念 巩固练习【练习1】 当x _______时，241x +有意义，当x ____时，241x +有最____值为______．题型二 二次根式的性质 巩固练习【练习2】 已知a 、b 两实数在数轴上对应位置如图所示，化简()()()22212a b a b --+++题型三 二次根式的运算 巩固练习【练习3】 计算：⑴8045- ⑵ ()()122035++-【练习4】 如果最简根式4411a b a b ++与2641a b a b +++是同类二次根式，求100()a b +的值．【练习5】 计算⑴2196234x x x x +- ⑵33122b a a b a b ab a b a b-+-()00a b >>，实战演练b a-221第十五种品格：创新写字机器肖莱士是一家烟厂的业务员，他的妻子在一家公司做文秘.她经常带一些文件回来抄，肖莱士有空就帮她抄写，但有时文件很多，两人一起抄也来不及.肖莱士于是想，要是有一种“写字机器”该有多好啊!他从一个名叫索尔的工人那儿了解到：曾有一位木匠尝试做一台“写字机器”，但失败了.于是，肖莱士找到那位木匠，把他废弃的机器零件带回家继续研究.一天深夜，肖莱士研究累了，到屋外去散步.当他踱到窗前的时候，他看见妻子埋头抄写文件的身影，他联想到自己正在试图发明的打字机器.妻子的手多像一台正在工作着的打字机啊，于是，肖莱士决定按照这种思路继续进行研究.1867年7月的一天，他终于研制出了世界上第一台有实用价值的商业打字机.创造力是每一个人都有可能发展的一种能力.把创造力限制在少数科学家、文学家和艺术家的多产创作上是一种陈腐的观念.创造性是每一个人作为人类的一员都具有天赋潜能，只要用心，人人都可以表现出创造性.＜创新小结＞如果说，在创新尚属于人类个体或群体中的个别杰出表现时，人们循规蹈矩的生存姿态尚可为时代所容，那么，在创新将成为人类赖以进行生存竞争的不可或缺的素质时，依然采用一种循规蹈矩的生存姿态，则无异于一种自我溃败.104 初二暑期·第9讲·尖子班·学生版。
第2章第9课时 二次根式(1)-北师大版八年级数学上册课件(共23张PPT)
(1) 1 200＝ 20 3 ；
(2)
92ba2＝
3b 2a 2a
(a＞0，b＞0)．
15.把下列二次根式化为最简二次根式：
(1) 45＝ 3 5 ；
(2)
13＝
3 3
；
2 (3) 0.5＝ 2 ；
(4)
145＝
35 5
.
10.【例6】如果二次根式 50a是一个整数，那么正整数a的最 小值是 2 .
1．认识二次根式和最简二次根式的概念．
⑥ 2x2＋1. 积中各因式的算术平方根的积
1．认识二次根式和最简二次根式的概念． 2．探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式.
积中各因式的算术平方根的积
一定是二次根式的有( C ) 第9课时 二次根式(1)
2．探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式. 积中各因式的算术平方根的积
1．认识二次根式和最简二次根式的概念． 2．探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式.
如果一个二次根式满足下列两个条件： 1．认识二次根式和最简二次根式的概念．
积中各因式的算术平方根的积
1．认识二次根式和最简二次根式的概念． 1．认识二次根式和最简二次根式的概念．
(1)被开方数不含有能化为 平方数或平方的式因数或因式； 2．探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式.
★16.已知 189n是整数，则正整数n的最小值是 21 .
x≥－1 ；
(2)若 3－2x有意义，则 x 的取值范围为 x≤32 .
知识点三：二次根式的化简 (1)探究活动一：
八年级秋季班-第9讲期中复习-教师版
期中复习内容分析本讲整理了关于前两章二次根式和一元二次方程的相关练习，以帮助同学们巩固所学．知识结构22a 2 -a c a c【练习1】 下列各式中，是二次根式的有几个（） 33 、2 、 2a 2 、x + y 、x 2 +1 、 -5x (x ≤ 0) 、 1（x + 3）2A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【难度】★ 【答案】D【解析】 、 、 、 -5x (x ≤ 0) 是二次根式，注意对二次根式的判断，尤其注意对默认取值范围的式子是否是二次根式的判断，故选 D ．【总结】考查二次根式的判断，一个式子是二次根式需满足以下条件：①开平方根；②被开方数为非负数；特别需要注意，对于含有字母的式子，题目未说明，默认取值范围是全体实数，在字母取值范围内的任意值，都必须使得式子有意义．【练习2】 使等式= 成立的条件是（）b 2A ．a 为任意的实数，且 b ≠ 0，c = 0 C ． a ≤ 0，b ≠ 0，c ≥ 0 【难度】★ 【答案】CB ．a 为任意的实数，且 b ≠ 0，c ≠ 0 D ． a ≤ 0，b ≠ 0，c > 0【解析】 = ，由 a = -a ，可知a ≤ 0 ，同时注意把握二次根式的非负性和分式形b 2式式子分母不能为 0 的特征，故选 C ． 【总结】考查二次根式的性质和化简， = a ．选择题x 2 +1 a 2c b 4a 2c b4a 25 x - y 2 2 n 【练习3】 下列说法中正确的是（）A ． 2 7 - 3 的有理化因式一定是2 7 + 3B ． 的有理化因式是C ． ÷ ( + 6) = 1 +D ． m - n y 与m + n互为有理化因式【难度】★ 【答案】D【解析】根据有理化因式的定义，有理化因式是使二次根式两个二次根式的乘积为有理数的式子，可知 B 错误，D 正确；同时有理化因式不只一个，可知 A 错误；C 选项不是二次根式的运算性质，分母不能拆开，C 错误． 【总结】考查有理化因式的含义和运算性质．【练习4】 下列方中，是关于 x 的一元二次方程的是 （）A ． x 2 = 0B ． y 2 = x -1C ． ax 2 - 2x -1 = 0D ． 3x (x -1) = x (3x + 4)【难度】★ 【答案】A【解析】考查一元二次方程的概念，B 选项是二元二次方程，C 选项中不能确定二次项系数a 是否为 0，即不一定是一元二次方程，D 选项化简整理得-3x = 4x ，消去了二次项， 是一元一次方程，故选 A ．【总结】考查一元二次方程的定义，满足以下几个条件，只含有一个未知数，未知项最高次数为 2，整式方程，二次项系数不能为 0．【练习5】 方程 x 2 - 2 3x + 3 = 0 的判别式是（）A ．大于 0B ． 小于 0C ． 大于或小于 0D ． 等于 0【难度】★ 【答案】D5x + y2 6n y33 ⎩ 【解析】根据一元二次方程的一般形式， a = 1， b = -2 3 ， c = 3 ，根据一元二次方程根的判别式的的基本含义， ∆ = b 2- 4ac = (-2 3)2- 4 ⨯1⨯ 3 = 0 ，故选 D ． 【总结】考查一元二次方程根的判别式，化为一般形式写出相应系数计算即可．【练习6】 关于 x 的一元二次方程(a - 2)x 2 - 2ax + a +1 = 0 有两个不相等的实数根，则 a的范围是（ ）A ． a < -2C ． -2 < a 或者a ≠ 2B ． -2 < a < 2 D ． a > -2 且a ≠ 2【难度】★ 【答案】D⎧⎪a - 2 ≠ 0 【解析】依题意可得⎨⎪∆ = (-2a )2- 4(a - 2)(a + 1) = 4a + 8 > 0 ，解得： a > -2 且 a ≠ 2 ． 【总结】考查根据一元二次方程根的情况得到方程根的判别式的情况，注意二次项系数不能为 0 的隐含条件．【练习7】 下列结论中正确的是（ ）A ． a + b 和 a - b 互为有理化因式B ．不是最简二次根式C ． 3 - 2 3 的绝对值是3+2D ． 3 + 2 2 的倒数是3 - 2【难度】★★ 【答案】D【解析】根据有理化因式的概念， a + b 与 a - b 的乘积不是有理数，A 错误；不含有分数和可开方出来的数字或字母， 4x 2 - 6xy + 9 y 2 是最简二次根式，B 错误；3 - 2 < 0 ，其绝对值为3 - 2 3 的相反数，即为2 - 3 ，C 错误；同时(3 + 2 2)(3 - 2 2 )= 1 ，可知 D 正确．【总结】考查二次根式相关性质和概念的综合．4x 2- 6xy + 9 y 2 23m x 2 - 2x +1 x 2 - 4x + 4 x 2 - 2x +1 x 2 - 4x + 4 (x -1)2 (x - 2)2m 2 + n 2 - 3mn (m + n )2- 5mn 22 - 5⨯ (-1)【练习8】 m m + 6m- 5m 2 1 (m ≠ 0) 的值是（ ）m A ．正数 B ． 负数C ．非负数D ． 可为正可为负【难度】★★ 【答案】B【解析】依题意可得m > 0 ，化简过程如下：原式= m m + 6m ⋅ - 5m 2 ⋅ 2 m = m m + 3m m - 5m m = -m < 0 ，故选 B ．【总结】考查二次根式的化简计算．【练习9】 已知 + = 1，则 x 的值为（）A ．1B ． 2C ．任意实数D ． 1 ≤ x ≤ 2【难度】★★ 【答案】D【解析】 + =+ = x -1 + x - 2 = 1，结合去绝对值分类讨论，可知 x -1 ≥ 0 ， x - 2 ≤ 0 ，可得1 ≤ x ≤ 2 ，故选 D ． 【总结】考查二次根式的性质，再结合性质进行化简计算即可．【练习10】 已知m = 1+ 2 ，n = 1-2 ，求代数式m 2 + n 2 - 3mn 的值（）A ．9B ． ±3【难度】★★ 【答案】CC ．3D ． 5【解析】m + n = 2 ， mn = -1 ，则 = = = 3 ．【总结】考查二次根式的代值计算，利用式子变形简化计算过程．m 4 m mA．x2 + 2x - 99 = 0 化为(x +1)2 = 100B．x2 - 7x - 4 = 0 化为(x -7)2 =652 4 C．x2 +8x + 9 = 0 化为(x + 4)2 = 25D．3x2 - 4x - 2 = 0 化为(x -2)2 =10 3 9【难度】★★【答案】C【解析】x2 +8x +9 = 0配方，两边同加上7，即可得平方，化为(x + 4)2 = 7 ．【总结】考查一元二次方程的配方法的配方过程．【练习12】下列说法中正确的是（）（1）方程ax2 +bx +c = 0 是关于x 的一元二次方程；（2）当一元二次方程的常数项为0 时，0 必定是方程的一根；（3）当一元二次方程的一次项系数等于0 时，方程有两个互为相反数的实数根；（4）当常数项与二次项系数的乘积是负数时，一元二次方程必定有两个相等的实数根．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【难度】★★【答案】A【解析】方程ax2+bx+c=0不能确定二次项系数a是否为0，不能确定是一元二次方程，（1）错误；ax2+bx+c=0(a≠0)常数项为0，即为ax2+bx=0(a≠0)，解得x =-b ，x = 0 ，1 a 2（2）正确；ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0)一次项系数为0，即为ax2 +c = 0 ，不确定a 、c 与的大小关系，∆=-4ac与0 的大小关系不能确定，不能确定方程是否有实数根，（3）错误；常数项与二次项乘积为负数时，∆=b2 - 4ac > 0 恒成立，则方程有两不等实根，（4）错误，故选A．【总结】考查一元二次方程根的判别式确定方程相关解得情况，根据题目条件确定根的判别式与0 的大小关系即可直接进行判断．1 2 A ．2011 B ．2012 C ．2013 D ．2014【难度】★★ 【答案】B【解析】a 、b 是方程 x 2 + x - 2013 = 0 的两实根，则有a 2 + a - 2013 = 0 ，即得a 2 + a = 2013 ， 由韦达定理，可得： a + b = -1，则有 a 2 + 2a + b = (a 2 + a )+ (a + b ) = 2012 ，故选 B ． 【总结】考查一元二次方程根的定义和与一元二次方程根相关韦达定理的综合应用，注意利用整体思想或者方程的降次也可解题．【练习14】 多项式4x 2 + 8x -1进行因式分解正确的是（ ）A ． (x - 2 + 5 )(x - 2 - 5) B ． (4x + 4 + 2 5)(4x + 4 - 2 5)2 2C ． (2x + 2 + 5)(2x + 2 - 5)D ． 4(x + 2 + 5 )(x - 2 - 5) 2 2 【难度】★★ 【答案】C【解析】令4x 2 + 8x -1 = 0 ，公式法或配方法可解得： x =-2 + 2 5 ， x =-2 - 25，即得 4x 2 + 8x -1 = ⎛- -2 + 5 ⎫⎛ x - -2 - 5 ⎫ = ⎛ + 2 - 5 ⎫⎛ x + 2 + 5 ⎫ 4 x 2 ⎪ 2 ⎪ 4 x 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭= (2x + 2 + 5)(2x + 2 - 5) ，故选 C ．【总结】考查一元二次方程在实数范围的因式分解，在对应一元二次方程有实数根的前提下， ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x ) 的应用．1 2xy xy 2x - 3 2 xy xy 1 2 程 a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = 0 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．不确定【难度】★★ 【答案】A【解析】方程ax 2 + bx + c = 0 有实数根，可知∆ = b 2 - 4ac ≥ 0 ，得b 2≥ 4ac ，对方程a 2 x 2 +b 2 x +c 2 = 0 ， ∆ = (b 2 )2- 4a 2c 2 ≥ (4ac )2- 4a 2c 2 =12a 2c 2 > 0 ，可知方程有两个不相等的实数根，故选 A ．【总结】考查根据一个方程根的情况判定其它方程根的情况，只需根据题目条件得到相应字 母关系得出方程根的情况即可．【练习16】 填空：（1） | a - 2 | +( 2 - a )2 =；（2）若最简二次根式 2x - 3 与 2 是同类二次根式，则 x 2 = ；（3） 2x + 的有理化因式是 ．【难度】★【答案】（1） 4 - 2a ；（2） 25 ；（3） 2x - ．4【解析】（1）根据二次根式非负性，得2 - a ≥ 0 ，即得| a - 2 | +( 2 - a )2 = 2 - a + 2 - a = 4 - 2a ；5⎛ 5 ⎫225 （2） 与 是同类二次根式，则2x - 3 = 2 ，解得 x = ，得 x 2= ⎪ = ；2 ⎝ 2 ⎭4（3） 2x + 的有理化因式，改变中间计算符号即可，即为2x - ．【总结】考查二次根式相关概念．填空题⎩ ⎨y =7（1x= ；（2）若最简二次根式3是同类二次根式，则x +y = __ _ _．【难度】★【答案】（1）3 ；（2）10【解析】（1与x2 + 4x =x +18 ，解得：x= 3 ，x=-6 ，1 2二次根式为最简二次根式，可知x2=-6 应舍去，即得x = 3 ；⎧3x -y = 2（2）依题意可得⎨2x - 3 = 38 - 5y ，解得：⎧x = 3，即得：x +y = 10 ．⎩【总结】考查同类二次根式的概念，注意题目是否说明为最简二次根式．【练习18】若关于x 的一元二次方程ax2 +x +a2 +3a = 0 有一个根为0 ，则a 的值为．【难度】★【答案】-3 ．【解析】方程ax2 +x +a2 + 3a = 0 有一根为0，则有a2 + 3a = 0 ，根据二次方程二次项系数不能为0，可知a ≠ 0 ，即得：a =-3 ．【总结】考查一元二次方程解得概念，注意一元二次方程二次项系数不为0 的隐含条件．【练习19】（1）不解方程，判断关于x 的一元二次方程x2 - (3m +1)x + 2m2 - 3 = 0 的根的情况；（2）若【难度】★2x2 -3x +m+1在实数范围内可以因式分解，则m 的取值范围是．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）m ≤1 ．8【解析】（1）方程根的判别式∆=(3m+1)2-4(2m2-3)=m2+6m+13=(m+3)2+4>0恒成立，可知方程有两个不相等的实数根；（2）2x2 - 3x +m +1可分解因式，则关于x 的方程2x2 - 3x +m +1 = 0 有实数根，则有∆= 32 - 4 ⨯ 2(m +1)=-8m +1 ≥ 0 ，得：m ≤1 ．8【总结】考查一元二次方程根的判别式的相关应用．3 + 17 3 - 17【练习20】 二次项系数是 2，且两根分别是-2 + 和- 2 - 3 的一元二次方程是 _____．【难度】★★【答案】2x 2 + 8x + 2 = 0【解析】根据二次三项式的因式分解，可得对应的二次三项式即可分解为2(x + 2 - )( x + 2 )3 = 2x 2 + x 8 ，对应放即为2x 2 + 8x + 2 = 0 ．【总结】考查根据一元二次方程的根对应二次三项式的因式分解，也可利用韦达定理解决本题．【练习21】 因式分解：（1） 2a 2 - 3ab + b 2 = ；（2） 2a 2 - 3ab - b 2 = ． 【难度】★★⎛ ⎫⎛ ⎫【答案】（1） (2a - b )(a - b )；（2）2 a - 4 b ⎪ a - 4b ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭【解析】（1）十字相乘法分解因式即可得2a 2 - 3ab + b 2 = (2a - b )(a - b )；（2）令2a 2 - 3ab - b 2 = 0 ，解得： a = 3 + 4 17 b ， a = 3 - 417b ，方程可分解为对应 a (x - x )(x - x ) 的形式，即为2⎛ a - 3 + 17 b ⎫⎛ a - 3 - 17 b ⎫．1 2 4 ⎪ 4⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭【总结】考查二次三项式的因式分解，对相应的方程求解即可．【练习22】 某种药品原价是 5 元，降价两次后，现价是 4.05 元，则平均每次降价率是 ．【难度】★★ 【答案】10% ．【解析】设平均每次降价率为 x ，依题意可得5(1- x )2= 4.05 ，解得：x = -1.9（舍），x = 0.1 ，12即得降价率为10% ．【总结】考查一元二次方程的应用中的增长率问题．3 3 + 122 y y y【练习23】 某厂计划今年的产值为 a 比前年翻一番，且这两年的增长率相同，设它的增长率是 x，则连续三年的总产值是．【难度】★★ 【答案】 3 + 2a2【解析】依题意可得 1 a (1 + x )2= a ，即得 x = -1，则去年产值为 1 a (1 + x ) = 2 a ，则2 2 2 连续三年总产值为 1 a + 2 a + a =3 + 2a ．2 2 2 【总结】考查一元二次方程的应用中的增长率问题．【练习24】 a 、b 满足 2a - 3 + b = 4，化简 a 2 - 2a +1 - =．【难度】★★ 【答案】a + b - 5 ．【解析】 2a - 3 + b = 4 ，则4= - b ，由二次根式的非负性，可得：2a - 3 ≥ 0 ，4 - b ≥ 0 ，得 a ≥ 3， b ≤ 4 ，则有 2 a 2 - 2a +1 - = a -1 - b - 4 ， a -1 ≥ 0 ， b - 4 ≤ 0 ，可得 a -1 - b - 4 = (a -1) - (4 - b ) = a + b - 5 ．【总结】考查二次根式的双重非负性和二次根式计算性质的结合应用， = a ．【练习25】 + - 2 x - 2 = 0 ，那么 y 的值．【难度】★★ 【答案】4【解析】依题意可得 x ≥ 0 ， y ≥ 0 ，则有+ - 2x - 2 =( - 2)(x +1)= 0 ，由x +1 ≥ 1，可得 - 2 = 0 ，即得： y = 4 ．【总结】考查二次根式的计算，本题要注意观察，对式子进行因式分解即可．b 2 - 8b +16 2a -3 b 2 - 8b +16 a 2 xy xy yaa ⎪⎭ a⎩22 2【难度】★★【答案】①>；②>．【解析】①平方得(2 5 )2 = 20 ，(3 2 )2 =18 ，20>18，可得：2> 3 2 ；② 5 -1-1=5 - 2 > 0 ，即可得5 -1 >1 ．2 2 2 2 2【总结】考查二次根式的大小比较，通常采用平方法和作差法进行比较．【练习27】已知关于x 的一元二次方程(1- 2k)x2 - 2 k +1x -1 = 0 有实数根，求k 的取值范围是．【难度】★★【答案】-1 ≤k ≤ 2 且k ≠1 ．2【解析】方程有实数根，即得∆=(2 k+1)2 -4(1-2k)⨯(-1)=-4k+8≥0，得k≤2，同时⎧1 - 2k ≠ 0根据一元二次方程二次项系数不为0 和二次根式的非负性，得⎨k + 1 ≥ 0，由此可得-1 ≤k ≤ 2 且k ≠1 ．2【总结】考查一元二次方程根的判别式确定方程根的情况，注意题目隐含条件．【练习28】若实数满足a +1= 6 ，则aa -1的值是．【难度】★★★【答案】±2 ．【解析】⎛⎝a -1⎫=a +1 - 2 = 4 ，方程两根均为正数，满足题意，可得a-1=±2 ．【总结】考查完全平方式的应用，a≥0时，可视作a =(a )2 ．5a1 2 ⎩【难度】★★★【答案】 10 -1．【解析】原式= 2 -1+ 3 - 2 +4 - 3 + …+ 10 - = 10 -1【总结】考查二次根式的分母有理化，结果类似裂项求和，只剩首项和末项．【练习30】 （1）设x 、x 是关于 x 的方程 x 2 - 3x - 2 = 0 的两个实数根，则 x 2 x + x x 2 的 121 21 2值为；（2）设 x 、x 是关于 x 的方程 x 2 + px + q = 0 的两个实数根， x 1 +1，x 2 +1 是关于 x 的方程 x 2 + qx + p = 0 的两实数根，则 p + q = ．【难度】★★★【答案】（1） -6 ；（2） -4 ．【解析】（1）根据韦达定理，可得 x + x= 3 ，x x = -2 ，则 x 2x+ x x 2= x x (x + x ) = -6 ； 121 21 21 21 212（2） x 、 x 是方程 x 2 + px + q = 0 的两根，则有 x + x = - p ， x x = q ， x + 1、 x +1 是12121 212x 2 + qx + p = 0 方程的两根，则(x +1) + (x +1) = -q = (x + x ) + 2 = - p + 2 ，1212(x +1)(x +1) = p = x x + (x + x ) +1 = q - p +1，得⎧ p = -1， p + q = -4 ．121 212⎨q = -3【总结】考查一元二次方程根的韦达定理的应用．【练习31】 当整数 k =，关于 x 的一元二次方程 x 2 + (k +1)x + 2k -1 = 0 的两根均是整数． 【难度】★★★ 【答案】1 或 5．2 +1 2 +3 3 +4 9 + 109+ 36 - 33 2 3 6 )【解析】方程根为整数，则方程∆ = (k +1)2 - 4(2k -1) = k 2 - 6k + 5 = (k - 3)2- 4 为完全平方数，3 以上任意两个平方数之间的差大于 5，可知(k - 3)2 - 4 = 22 ，或(k - 3)2- 4 = 12 ，或(k - 3)2 - 4 = 02 ，当且仅当(k - 3)2- 4 = 02 时 k 为整数，此时k = 1或 k = 5 方程解为 x = x = - k + 1 ，可知k 为奇数时方程解为整数，由此可知k = 1或k = 5 ． 1 22【总结】考查方程的整数解的情况，只需方程的根的判别式为完全平方数即可．【练习32】 计算：（1） (6 - 18 - 12) - (0.4 108 - 10- 4 0.5) ；2（2） - 4 18 ÷ (2 8 ⨯ 154) ；3 3（3）( + 2 3 - 6)( 2 - 2 3 + 6) + 6 ．【难度】★★【答案】（1） 4 2 - 753 ；（2） -6 ；（3）14 6-13 ．【解析】（1）原式= ⎛ 6 ⨯ - 3 2 - 2 3 ⎫ - ⎛ 2 ⨯ 6 3 - 5 2 - 4 ⨯ 2 ⎫2 ⎪ 5 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= ( 3 - 3 2 )- ⎛ 12 3 - 7 2 ⎫= 4 2 - 7 3 ；5 ⎪ 5 ⎝ ⎭（2）原式= - 4 ⨯ 3 ÷ ⎛ 2 ⨯ 2 2 ⨯ 1 ⨯ 3 6 ⎫= -4 2 ÷ 8 = - ；3 3 ⎪ 6⎝ ⎭22( 6 +3)2（3）原式=( 2 ) - (2 3 - 6 += 14 2 -13 ．3【总结】考查二次根式的化简及计算．解答题0.75 2 2a 2b 21 + 1ac a 2b 2c 4 a 2 + b 2 m 2 + 4 2 -b + ∆ -b - ∆ m 2+ 4 ab )（1）aa 3 - 2a 2b + ab 3 (a < b ) ； （2）a - b(a > 0 ，b > 0) ；（3） ab(a ⋅ b < 0) ．【难度】★★【答案】（1） -a a ；（2）ac；（3） - abc 2【解析】（1）原式= a a (a - b )2= a ⋅ (b - a ) = -a a ；a -b a - b （2）原式==ac ；abc 2⎛ 1 ⎫ （3）原式= ab ab ⋅ - ⎪ ⎝ ⎭ - ．【练习34】 用指定的方法解方程．（1） 4( 3x + 2)2 - 9 = 0 （直接开平方法）；（2） (x + 2)(x - 3) = 6 （因式分解法）； （3） 4x 2 +12x - 7 = 0 （配方法）； （4） x 2 - 2mx - 4 = 0 （公式法） ． 【难度】★★【答案】（1） x = 3 3 - 2 6 ， x = -3 3 - 2 6 ；（2） x = -3 ， x = 4 ； 1 6 261 2（3） x = 1 ， x =- 7；（4） x = m + ， x = m - m 2 + 4 ． 1 2 2 21 2【解析】（1）整理得： (3x +2 2 = 9 ，直接开平方法得： 4 3x + = ± 3， 2解得： x = 3 3 - 2 6 ， x = -3 3 - 2 6 ；1626（2）展开整理得 x 2 - x -12 = 0 ，即(x + 3)(x - 4) = 0 ，解得： x = -3 ， x = 4 ；127 ⎛ 3 ⎫2（3）移项得4x 2 +12x = 7 ，系数化为 1，得： x 2+ 3x = ，配方，得： x + ⎪ = 4 ，解得： x = 1 ， x =- 7；4 ⎝ 2 ⎭ 1 2 22（4） a = 1， b = -2m ， c = -4 ，则有∆ = b 2 - 4ac = 4m 2 +16 ，由此可得 x = = m + 12a ， x 2 = = m - ． 2a 【总结】考查一元二次方程的四种解法．1ab 2c 3a 2 +b 2 aa 2 +b 2a 2b 2a 2 +b 2 m 2 + 42 2 2 2 2 2 2（1） x 2 - 4b 2 = 2ax - a 2 ； （2） (4x -1)2 - 3(1- 4x ) = 4 ；（3） ( 2 +1)x 2 - (3 + 2)x + = 0 ．【难度】★★【答案】（1）x = a + 2b ，x = a - 2b ；（2）x =- 3 ，x = 1 ；（3）x = -1 ，x = ．1 2 14 2 21 2【解析】（1）移项得 x 2 - 2ax + a 2 = 4b 2 ，即为(x - a )2 = (2b )2，直接开平方法得 x - a = ±2b ，解得： x 1 = a + 2b ， x 2 = a - 2b ；（2）整理变形得(4x -1)2+ 3(4x -1) - 4 = 0 ，因式分解得(4x -1+ 4)(4x -1-1) = 0 ， 即(4x + 3)(4x - 2) = 0 ，解得： x =- 3 ， x = 1；1 4 22（3）因式分解得 ⎡( +1)x -1⎤ (x - 2 )= 0 ，解得： x 1 = -1 ， x 2 = ．⎣ ⎦【总结】考查对一元二次方程解法的综合求解应用．【练习36】 已知关于 x 的方程(2m -1)x 2 + 2 2mx + 2 = 0 ，请判断方程的根的情况 ．【难度】★★【答案】当m = 1 时，方程的根为 x =- 2 ；当m ≠ 1时，方程有两个实数根．2 2【解析】2m -1 = 0 时， m = 1，方程为一元一次方程 2x + 2 = 0 ，方程有唯一解 x = 2当2m -1 ≠ 0 ，即m ≠ 1 时，为一元二次方程，∆ = (2 2m )2 - 4(2m -1)⨯ 2 = 8(m -1)2≥ 0 ，此时，无论 m 取何值，方程均有两个实数根． 【总结】考查对方程的分类讨论思想的应用．【练习37】 已知一个两位数，个位数字比十位数字大 2，且这两个数字的乘积为 15，求这个两位数． 【难度】★★ 【答案】35- 2解得： x 1 = -5 （舍）， x 2 = 3 ，则个位数字为 5，这个两位数为 35．【总结】考查一元二次方程的应用，数位问题，一个条件作设，一个条件求解．【练习38】 从一块长 300 厘米，宽 200 厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框的四周宽度相同，并且小长方形的面积是原来铁片面积的三分之一，求这个宽度 ． 【难度】★★ 【答案】50cm ．【解析】设这个宽度为 xcm ，依题意可得： (300 - 2x )(200 - 2x ) = 1⨯ 300 ⨯ 200 ，3解得： x 1 = 200 ， x 2 = 50 ，由200 - 2x > 0 ，可得： x < 100 ，取 x = 50 ．【总结】考查一元二次方程解应用题，根据题意列出方程即可求解．【练习39】 某商场出售一种水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克．现该 商品要保证每天盈利 6000 元，如果你是商场老板，那么每千克应涨价多少? 【难度】★★ 【答案】10 元．【解析】设每千克应涨价 x 元，依题意得(10 + x )(500 - 20x ) = 6000 ，整理成一般式即为x 2 + 3 0x - 4 0=0 ，解得： x = -40 （舍）， x = 10 ，即每千克水果涨价 10 元．12【总结】考查一元二次方程解应用题，总利润=单个利润×销量．m m ⎪ ⎭ m m m mx - 2 + yy x (x - y )2xy2 xy 2 ⎩⎩ 2（1）求 m 的取值范围； （2）当m + 1= 11时，求 m - m1 的值．【难度】★★【答案】（1） 0 ≤ m < 1 且m ≠ 1；（2） -3 ．2【解析】（1）方程有两不等实根，即得∆ = (2m )2- 4(2m -1) = -4m + 4 > 0 ，得m < 1，⎧2m -1 ≠ 0同时根据一元二次方程二次项系数不为 0 和二次根式的非负性，得⎨m ≥ 0 ，由此可得0 ≤ m < 1 且m ≠ 1；2（2） ⎛ ⎝m - 1 ⎫ = m + 1 - 2 = 9 ， 得 m - 1 = ±3 ，由 0 ≤ m < 1 ，可知 - 1 < 0 ，则有 - 1= -3 ．【总结】考查一元二次方程根的判别式确定方程根的情况，注意题目隐含条件．【练习41】 若实数 x 、y 满足： y =1 - 4x + 4x -1 + 1 ，求 2- 的值．【难度】★★【答案】 2 ．【解析】根据二次根式被开方数的非负性，可得⎧1 - 4x ≥ 0 ，得4x -1 0= ，则有 x = 1 ，y = 1，⎨4x -1 ≥ 042x + y y - x 2x2 ⨯ 1 ⨯ 1 原式= -= - = = ，代入即为 2 4 = ．y 1 2【总结】考查二次根式的化简计算，先化简再代值计算．m m x + 2 + y y x (x + y )2xyxy xy xy3 3 x 2 + 1 - 3 x2x 2+ 1 - 3 x 2 32 - 5【难度】★★ 【答案】15．【解析】a - b = 2 + ， b - c = 2 - ，得a - c = (a - b ) + (b - c ) = (2 +3)+ (2 -3)= 4原式= 1 ⎡(a - b )2 + (b - c )2 + (a - c )2⎤ = 1 ⎡(2 + 3)2 + (2 - 3)2 + 42 ⎤ = 15 ．2 ⎣ ⎦ 2 ⎢⎣ ⎥⎦ 【总结】考查代数式的计算，对式子进行相应变形．【练习43】 （1）已知a = 2 +1， 求a 3 - a 2 - a +1的值；（2）已知 x 2 - 3x +1 = 0 ，求 的值．【难度】★★【答案】（1） 4 + 2；（2）2．【解析】（1）原式= a 2 (a -1) - (a -1) = (a -1)2(a +1) =( 12 )2⨯ (2 + 2 )= 4 + 2 2 ；（2）由 x 2- 3x +1 =0 ，可得 x + = 3 ，则有 = x = = 2 ．【总结】考查式子的代值计算，先化简整理再代值．【练习44】 已知α，β 是方程a 2 - a -1 = 0 的两个根，求α 4 + 3β 的值．【难度】★★ 【答案】5【解析】α，β 是方程a 2 - a -1 = 0 的两根，根据韦达定理，可得α + β = 1， α 满足方程，则有α 2 - α -1 = 0 ，可得α 2 = α +1，由此可得α 4 + 3β = (α +1)2+ 3β = α 2 + 2α + 3β +1 = α +1+ 2α + 3β +1 = 3(α + β ) + 2 = 5 ．【总结】考查一元二次方程的韦达定理，注意方程的解得含义，满足方程，可以进行方程降次的应用解题．2 ⎛ 1 ⎫2x + ⎪ - 5 ⎝ x ⎭墙7 米【练习45】 已知 x 1 = p + q 和 x 2 = q - p 是关于 x 的方程 x 2 + px + q = 0 的两个根，求 p 、q的值． 【难度】★★⎧p = 2 【答案】⎧ p = 0 或 ⎪ 3． ⎨q = 0 ⎨1 ⎩ ⎪q =-⎩⎪ 3【解析】根据一元二次方程韦达定理，可得： x 1 + x 2 = 2q = - p ， x 1x 2 = q - p = q ， 2 2⎧ p = 2 代入即得q 2 - (-2q )2= q ，解得： q = 0 ， q =- 1 ，由此可得⎧ p = 0 或⎪ 3， 1 2 3 ⎨q = 0 ⎨1 ⎩ ⎪q =-且这两组解都满足∆ = p 2 - 4q ≥ 0 ，即得．⎩⎪ 3【总结】考查一元二次方程韦达定理的应用，注意韦达定理的前提是方程有实数根．【练习46】 如图，要建一个面积为 96 平方米的养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着围墙，墙离河道 7 米，另三边用 27 米的篱笆围成，且在一边留 1 米的空隙为门（门板用其他的材料做），求这个长方形的两个邻边长． 【难度】★★ 【答案】6m 和16m ．【解析】设与墙相邻的长方形边长为 xm ， 则另一边长为(28 - 2x )m ， 依题意可得： x (28 - 2x ) = 96 ，解得： x 1 = 6 ， x 2 = 8 ，根据题意有 x ≤ 7 ，则 x = 6 ， 28 - 2x = 16 ， 即长方形两邻边长分别为6m 和16m ．【总结】考查一元二次方程解应用题，注意题目的隐含条件．河道【练习47】已知关于x 的方程x2 - (k + 2)x + 2k = 0 ，（1）求证：无论k 取任意实数，方程总有实根；（2）若等腰三角形ABC 的一条边长为1，另两条边恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC 的周长．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）5．（1）证明：a=1，b=-(k+2)，c=2k，则有∆=b2-4ac=(k+2)2-4⋅2k=(k-2)2≥0【解析】恒成立，可知方程总有实数根；（2）由x2 - (k + 2)x + 2k = 0 ，解得: x = 2 ，x=k ，对应三角形为等腰三角形，1 2则有k = 1或k = 2 ，同时根据三角形三边关系，可知k +1 > 2 ，得k > 1，则有k = 2 ，三角形周长为1+ 2 +k = 5 ．【总结】考查一元二次方程根的判别式的应用，注意题目隐含条件．（1）因利息调整和物价上涨幅度因素使三峡工程总投资减少多少亿（精确到1 亿元）；（2）若2014 年三峡电站的发电量为392 亿度，预计2016 年的发电量为573 亿度，这两年的发电量年平均增长率相同，求此平均增长率．【难度】★★★【答案】（1）200；（2）21% ．【解析】（1）由题意可得901+a +(a + 360)= 2039 ，解得：a = 389 ，则减少的总投资额为15.4% ⨯ 389 +18.7% ⨯(389 + 360)=199.969 ≈ 200 亿元；（2）设平均增长率为x，依题意可得392(1+x)2=573，解得：x≈-2.21，x≈0.21，1 2这个平均增长率越为21% ．【总结】考查一元二次方程应用中的增长率问题．【练习49】 某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间，据预测，当每间的年租金定位 10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加 5000 元，少租出商铺 1 间，该公司要为租 出的商铺每间每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺交各种费用 5000 元 ． （1）当每件商铺的年租金定位 13 万元时，能租出多少间?（2）当每间商铺的年租金定为多少万时，该公司的年收益为 275 万元? 【难度】★★★【答案】（1）24；（2）10.5 或 15 万元．【解析】（1）根据题意，可租出商铺间数为30 - (13 -10) ÷ 0.5 = 24 间；（2）设年租金定为 x 万元，依题意可得⎛30 - x -10 ⎫(x -1) -x -10 ⨯ 0.5 = 275 ，整理得 0.5 ⎪0.5⎝ ⎭2x 2 - 51x + 315 = 0 ，解得： x = 10.5 ， x = 15 ，即租金为10.5 或 15 万元．12【总结】考查一元二次方程解应用题．【练习50】 有一根直尺的短边 2cm ，长边长 10cm ，还有一块锐角为 45°的直角三角形纸板，它的斜边长 12cm ．如图 12，将直尺的短边 DE 放置与直角三角形纸板的斜边 AB 重合， 且点 D 与点 A 重合．将直尺沿 AB 方向平移(如图 13)，设平移的长度为 xcm (0≤x ≤10)， 直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为 Scm 2 ． （1）当 x =0 时(如图 12)，S =；当 x = 10 时，S =．（2）当 0＜x ≤4 时(如图 13)，求 S 关于 x 的函数关系式 S = ； （3）当 4＜x ＜6 时，求 S 关于 x 的函数关系式，S = ；（4）当 6＜x ≤10 时，求 S 关于 x 的函数关系式，S = ；（同学可在图 14、图 15 中画草图）（5）求出当 x 为何值时，阴影部分 S 的面积为11cm 2 ． 【难度】★★★【答案】（1）2，2；（2）2x + 2 ；（3）-x 2+10x -14 ；（4）-2x + 22 ；（5）5．【解析】（1） x = 0 时，重叠部分为等腰直角三角形∆AFE ，S = 1 AE 2 = 1⨯ 22 = 2 ； x = 0 时，重叠部分为等腰直角三角形∆BDG ，2 2 S = 1 BD 2 = 1⨯ 22 = 2 ；2 2（2）当0 < x ≤ 4 时，重叠部分为直角梯形 DEFG ，CFADE 图 12B则有S =1 (DG +EF )⋅DE =1 ⨯(x +x + 2)⨯2 = 2x + 2 ；2 2（3）当4 <x <6时，重叠部分为不规则五边形DEFCG ，则有S =S∆ABC -S∆ADG-S∆BEF；=1⨯12 ⨯ 6 -1AD2 -1BE2 2 2 2= 36 -1x2 -1 (12 -x - 2)22 2=-x2 +10x -14 ；（4）当6 <x ≤ 10 时，重叠部分为直角梯形DEFG ，则有S =1 (DG +EF )⋅DE =1 ⨯(12 -x + 12 -x - 2)⨯ 2 =-2x + 22 ；2 2（5）0 <x ≤ 4 或6 <x ≤ 10 时，S ≤ 2⨯ 4 + 2 =10 ，当4<x<6时，S=11，则有-x2+10x-14=11，整理得：(x-5)2 =0，解得：x =x = 5 ，即x = 5 时，阴影部分面积为11cm2 ．1 2【总结】考查阴影部分面积的多解性问题，注意观察阴影部分的性质进行分类讨论，用割补法计算阴影部分面积即可．。
第三节 二次根式的化简求值-学而思培优
第三节 二次根式的化简求值二、核心纲要如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做双重二次根式． 如.78,23+-2．化简双重二次根式 对于双重二次根式,2b a ±设法找到两个正数),(y x y x >、使,,b xy a y x ==+则.)(22y x y x b a ±=±=±3．二次根式化简求值的方法(1)直接代入：直接将已知条件代入所求代数式即可．(2)变形代入：将条件或结论进行适当的变形，再代入求值．4．共轭根式 形如b a +和b a -（其中a ，b 是有理数）的两个最简二次根式称为共轭根式．5．解无理方程解无理方程的方法就是转化为有理方程进行求解，然后检验．本节重点讲解：二次根式的化简和求值．三、全能突破基 础 训 练1．若,,n m y n m x +=-= 则xy 的值是( )．m A 2. n B 2. n m C +. n m D -.2．已知若,0312=-+-y x 则y xy x 24÷⨯ 等于( )．22.A 22.B 2.C 1.D 3．已知,25,25-=+=b a 则722++b a 的值为( )． 3.A 4.B 5.C 6.D4．代数式3222+---+a a a 的值等于5．若.4,5==+ab b a 则=+-ba b a 6．先化简，再求值：,432276132)1(333ab ab b a ab a +-其中.3,91==b a ,13)2()6()3)(3(3)2(2++----+a a a a a 其中.12-=a,2844416412112)3(222222-+÷+--++--+-+-a a a a a a a a a a a a a 其中.12-=a7．已知,2323,2323+-=-+=y x 求代数式22)()(y x xy y x xy +-++值．8．已知,32,32-=+=y x 求下列代数式的值． 22)1(y xy x +- y x +)2(9．星期天，张明的妈妈和张明做了一个小游戏，张明的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若x 表示10的整数部分，y 代表它的小数部分，我这个纸包里的钱是y x )10(+元，你猜一猜这个纸包里的钱数是多少？10.某同学作业本上有这样一道题：“当a=■时，试求122+-+a a a 的值”．其中■是被墨水弄污的，该同学所求的答案为,21请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理， 能 力 提 升11．(1)若,1a y y =-则y y 21+的结果为( )．2.2+a A 2.2-a B 2.+a C 2.-a D(2)若,1a a x -=则24x x +的值为( )．a a A 1.- a a B -1. aa C 1.+ D ．不能确定 12.已知),0,0(02>>=+-y x y xy x 则y xy x yxy x 4353-++-的值为( )．31.A 21.B 32.C 43.D13.计算12121751531311++-+++++++n n Λ的结果是( )．2112.-+n A 212.-n B 2121.--n C 2121.++-n D 14．若a 为自然数，b 为整数，且满足,347)3(2-=⋅+b a 则a= ，b=15.若),10(41<<=+a a a 则，=-a a 116．(1)已知,21=+x x 那么171222++-++x x x x x x 的值等于 (2)已知,73-=x 则代数式662--x x 的值为17.若等式1922+--=-b a b a 成立，则ba 的值为18.已知,7611=-+-x x 则x x ---611的值为19.观察下列各式及其化简过程： ;12)12(1122)2(223222+=+=+⨯+=+.23)2(232)3(62522-=+⨯-=-(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将21210-化简．(2)针对上述各式反映的规律，请你写出)(2n m n m b a >±=±中a ，b 与m ，n 之间的关系．20．(1)若实数a ，b ，c 满足,22+=b a 且,041232=++c ab 求abc 的值． (2)已知a 、b 满足,12244++-=++b a b a 判断ba 值的情况．21.化简：25109622+--++a a a a22．已知,11122=-+-a b b a 求证：.122=+b a中 考 链 接23.（湖北荆州）已知a 为实数，则代数式2482a a a -+--+的值为24．（四川成都）已知yx y x y x h xy r +=β,3的值为 巅 峰 突 破25.已知,514=-++a a 则=-a 2626.正数m 、n 满足,34424=+--+n n m mn n 则=++-+2002282n m n m。
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1初二秋季·第9讲·提高班·教师版考试后记代数式12级 二次根式的综合化简代数式11级 分式恒等变形代数式10级二次根式的概念及运算满分晋级漫画释义9二次根式的综合化简2初二秋季·第9讲·提高班·教师版二次根式的化简求值，是中考以及各级各类竞赛中的常见题目，其常用的方法有约分法，裂项法，取倒法等等．【例1】 化简下列二次根式1.1111()(20111)21324320112010+++++++++．【解析】 ()()()()()2211111n nn n n n n n +++-=+-=+-=．说明1n n ++和1n n +-互为倒数，故111n n n n=+-++．原式()()2132432011201020111=-+-+-++-+()()()222011120111201112010=-+=-=2.1014152110141521+--+++典题精练思路导航知识互联网题型一：二次根式的化简与求值3初二秋季·第9讲·提高班·教师版【解析】 101415215(23)7(23)2365101415215(23)7(23)23+---+--=+++++++3.423423-+【解析】 ()()2242342332313231313123-+=-+++-+【点评】 此题是复合二次根式的化简，在初三的锐角三角函数中会涉及，老师还可练习843+此类题型的步骤为：⑴2a b + ⑵将a 拆成x +y ，b 拆成xy 的形式 22a b x y ±=【例2】 1. 已知31x =，31y ，求22x xy y -+和33x y xy +． 【解析】 ()2222226x xy y y x xy -+=-+=+=；()()()2332222222216x y xy xy x y xy y x xy ⎡⎤+=+=-+=⨯+⨯=⎣⎦2.已知3232,3232x y -+=+-，求y x x y +的值． 【解析】 232(32)52632y +===+-232(32)52632x -===-+10x y +=，1xy =，222()298x y x y x y xyy x xy xy ++-+===3.已知6,4a b ab +==且a b >a ba b-+的值． 【解析】 ()()222464420a b a b ab -=+-=-⨯=∵a b > ∴25a b -=原式25a ab b -+=4.其中23x =，23y =x xy xy yxy y x xy+-+- 【解析】 原式()()4()()x x y y x y y x y x x y xy+-===+-．4初二秋季·第9讲·提高班·教师版例2精讲：b a +、b a -或b a +、b a -的应用共轭根式：形如x a b =+y a b =的两个根式互称为共轭根式．如果x 和y 互为共轭根式，那么x y +和xy 都是有理式．（其中,a b 为有理数） 通常情况下，将含有一个二次根式的代数式有理化的方法是乘以它的共轭根式． 解决根式问题，应当视情况将分母或分子进行有理化．推广：b a x +=、b a y -=虽然不是共轭二次根式，但是xy 同样是有理式，因此也可以用来帮助分母或分子有理化． 探究1、分母有理化 【变式1322+【解析】原式322322(322)(322)-==-+-探究2、分子有理化【变式2】已知1c >，1x c c -1y c c =+-21z c c =++x ，y ，z 的大小．【解析】分子有理化可直接得到答案，易得z y x <<．探究3、利用共轭根式x y +和xy 来化简求值【变式3】已知1(75)2x =，1(75)2y =，求下列各式的值.⑴22x xy y -+； ⑵x y y x +.【解析】∵1(75)2x =，1(75)2y =，∴7x y +=，12xy =.⑴222211()3(7)3522x xy y x y xy -+=+-=-⨯=. ⑵22221(7)2()221212x y x y x y xy y x xy xy-⨯++-+====.探究4、构造共轭根式进行配对【变式4】已知()()33154154--+=x ，则x x 123+的值是 .【解析】设()a =+3154，()b =-3154；则b a x -=，()()815415433=--+=-b a ， ()()()()()()444415154415415415415433333=⨯⨯=-+⨯⨯=-⨯+=-⨯+=ab ，原式()()()()()()812121231233333=-+---=-+---=-+-=b a b a b a b a b a ab b a b a b a .探究5、共轭根式求值5初二秋季·第9讲·提高班·教师版【变式5】已知2225152x x ---=．则222515x x -+-的值为__________． 【解析】注意到()()22222225152515251510x x x x x x ----+-=--+=，所以，2225155x x -+-=．【例3】 1.已知210x =-，求246x x --的值．【解析】 直接把210x =-代入代数式求值显然计算很繁琐，可适当变形()22462100x x x --=--=．2.已知23a =+，求321283a a a a-++的值． 【解析】 ∵23a =+，∴23a -=，∴2410a a -+=，241a a =-，则324a a a =-23222111141128382834a a a a a a a a a a a a a a a+-+-++=--++=+===二次根式的综合应用包括比较大小，实际应用问题等等.【例4】 比较下列各式的大小(填“>”“<”或“=”)① 3______22 ② 57- 65-③ 175- 153- ④ 20022001-________20012000-【解析】 ①（平方）两个正数，其平方大的大，239=，()2228=，则322>．②（被开方数） 57175-=-，65180-=-， ∵180175>，故175180->-，即5765->-． ③（分母有理化）()()()()221757575275757575+++===--+- ()()()()221535353253535353+++===--+- ∵75>，53>，∴7553+>+，∴117553>--． 思路导航典题精练题型二：二次根式的综合应用6初二秋季·第9讲·提高班·教师版④法一（分子有理化） ()()20022001200220011200220012002200120022001-+-==++()()20012000200120001200120002001200020012000-+-==++∵2002200120012000+>+，∴2002200120012000-<-．法二（倒数法）12002200120022001-=+，12001200020012000-=+，2002200120012000-<-【例5】 已知a 、b 均为有理数，并满足等式343322a b a -=+-，求a 、b 的值. 【解析】由已知条件可得3(24)()302a b a -+-+=，所以240302a b a -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即32a =-，1b =．【例6】 若0a >，0b >，0c >)2222222a b b c c a a b c +++++． 【解析】 待证不等式左边的根式，让人联想起直角三角形中斜边的表达式；而其右边为()a b c ++2倍，又与正方形的对角线有关．我们借助几何图形给予证明．作出以a b c ++为边长的正方形ABCD ，分别在两边上截取线段a 、b 、c ，如图，则22AE a b =+，22EF b c +22FC c a =+，而)2AC a b c =++，显然，由AE EF FC AC ++≥，可得原不等式成立．F E DCBAc b acba7初二秋季·第9讲·提高班·教师版训练1. 已知123x y -=+，123y z -=-，求222x y z xy xz yz ++---的值．【解析】 ∵12323x y -==-+，12323y z -==+-，∴4x z x y y z -=-+-=∴222x y z xy xz yz ++---()()()2221=152x y x z y z ⎡⎤-+-+-=⎣⎦．训练2. 已知221x =+，求31115x x --的值． 【解析】 直接代入肯定麻烦，先对已知条件进行变形．122x -=，()218x -=，2218x x -+=，即272x x =+．下面采用降幂（次）：()()32111572111524152724151x x x x x x x x x --=+--=--=+--=-．训练3. 已知()1401a a a +=<<，求1a a +及1a a-的值． 【解析】 21126a a a a ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，∵10a a +> ∴16a a += ∵01a << ∴1<0a a-又∵21122a a a a ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭ ∴12a a-=-训练4. 设三所学校A 、B 、C 分别位于一个等边三角形的三个顶点处，现是网络时代，要在三个学校之间铺设通讯电缆，小张同学设计了三种连接方案，如图所示，方案甲：AB BC +；方案乙：AD BC +（D 为BC 中点）；方案丙：AO BO CO ++（O 为三角形三条高的交点），请你帮助计算一下哪种方案线路最短？OD D丙乙甲ABCABCCBA【解析】 设AB a =，则2aBD =，32AD a =，在Rt BDO △中，30DBO ∠=︒，33BO a =．思维拓展训练(选讲)8初二秋季·第9讲·提高班·教师版方案甲：()2222AB BC a a ++==；方案乙：()3232AD BC a a +=+=；方案丙：333332AO BO CO a a ++===所以，AO BO CO AD BC AB BC ++<+<+．9初二秋季·第9讲·提高班·教师版题型一 二次根式的化简与求值 巩固练习【练习1】 已知52x =+，求25x x -+的值． （四中期中） 【解析】 当52x =+时，原式2(52)(52)5=+-++945525=+--+ 745=+．【练习2】 若231a =-，求32122a a a --+的值 【解析】 由231a =-，得31a =+，即13a -=，两边平方，得2220a a --= ∴原式=()2122222a a a --+=题型二 二次根式的综合应用 巩固练习【练习3】 已知n 是一个正整数，135n 是整数，则n 的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．15D ．25【解析】 C【练习4】 某电力公司为了改善农村用电电费过高的问题，准备在各地农村进行电网改造，富康乡有四个村庄A ，B ，C ，D 正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，有四种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．（以下数据可供参考：2 1.414≈，3 1.732≈，5 2.236≈）O(4)(3)(2)(1)H 'F EH 30°30°30°30°DC BADCBADCBAABCD【解析】 方案4最省钱．【练习5】 若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]23,233π⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦等），则复习巩固10 初二秋季·第9讲·提高班·教师版212323200120002001⎡+++=⎢⎢⎢-⨯-⨯-⨯⎣⎣⎣_________________．【解析】 200011初二秋季·第9讲·提高班·教师版测试1. 已知3232a b =-=+，，求 ⑴22a b ab +； ⑵2211a b +. （宣武期末） 【解析】 由题意得231a b ab +==，⑴ 原式()23ab a b =+= ⑵ 原式()()22210a b ab ab +-== 测试2. 先化简，再求值：()()()2223a b a b a b a ++-+-，其中23a =--，32b =-+．【解析】 ()()()222222223223a b a b a b a a ab b a ab b a ab ++-+-=+++---=． 当23a =--，32b =-+时，原式()()=2332=1---+-测试3. 试比较5151+-与7373+-的大小．【解析】 ()251516254451+++==-，()27373102214473+++==-． 显然，51735173++<--．课后测初二秋季·第9讲·提高班·教师版第十五种品格：创新创新思维相传中国古代著名军事家孙膑的老师鬼谷子在教学中极善于培养学生的创新思维。