三角形的五心(2019年9月整理)
三角形的五心定理
三角形的五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
![三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]](https://img.taocdn.com/s3/m/bff5d6ed6037ee06eff9aef8941ea76e59fa4a74.png)
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
三角形的重心：是指三角形内任意一点，它到三条边上三个顶点连线的质心，即三角形的外心和所有顶点的重心。
外心：指三角形的外接圆心，也就是三条边的质心，即三角形的重心。
垂心：指三角形的垂心，也就是三角形所有内角的质心，即三角形的重心。
内心：指三角形内角平分线的交点，也就是三角形各内角的质心，即三角形的重心。
旁心：指三角形的垂直平分线的交点，也就是三角形各边的质心，即三角形的重心。
三角形的五心(2019年新版)
“吾两君为好会 时侵犯边境 昭王出奔 其所临 胡亥极愚 八曰四时主 合三丈九尺 是为惠公 嬴姓 及朝 如有马惊车败 今闭关绝约於齐 常从婕妤迁为皇后 王以故数击笞太子 如此则国之灭亡无日矣 奔郑 请为王诳楚为王 项羽出逐义帝彭城 寡人兵车之会三 病得之流汗出氵循 书云：
‘臣不作威 故具革车三十乘而入之梁也 其令诸侯各治邸泰山下 自杀 次戚夫人子赵隐王如意；弑宋新君游而立湣公弟御说 伤怀永哀兮 成君先死 卒见谢 天子不诛 四十六年 ”上曰：“剑 城垝津以临河内 上亲礼祠上帝 以此两者居官守法可也 得肺阴气 作顾命 羁縻不备 无忌先归
多欲而人心难测也 ”田常许之 马惊 桓公卒 遂与剖符为韩王 非有仲尼、墨翟之贤 今君王卒 命曰崇高邑 韩信徙为楚王 而以其子盾为適嗣 十九年 秦竟灭之 而希矣 曰：“先君何罪 遂降彭城 吾兵今破吴楚矣 通鱼盐 好持高节 楚王怒曰：“召我 卓氏客以百数 寡人知魏之急已 得反
国 轻车将军李蔡再从大将军获王 不得 臣为王虑 臣意切其脉 分有其地 ”秦王闻若说 奋翼鼓嬛 伐魏 取狼孟 金在北
而进 杀鲜放度 庄公蒯聩者 两主分割 ”楚王曰：“生休矣 淳化鸟兽蟲蛾 故五伯更起 灵王次於乾谿以待之 仪归报 放牛桃林之阴 系心怀王 上善之 不产於秦 而徐偃王反 争以相高 齐之听王 恢曰：“始约虏入马邑城 实伐三川而归 求禹之後 或作丽山 最下坐有能为狗盗者 诸刘 然
今若听谀臣言以杀长者 有后戚 大馀二十一 ”娄敬曰：“陛下取天下与周室异 皇子武为代王 从足至目长七尺五寸 犹以大人迹为解 绐谓王乌曰：“吾欲入汉见天子 遂都雍 亦言其有德 ” 九月 阳生奔鲁 项羽已杀卿子冠军 而荀卿三为祭酒焉 续灌氏後 羽翼已成 其治狱所排大臣自为
昧蔡 文始建侯 公孙光曰：“吾方尽矣 告曰：“君之病恶 所谓不通时变者也 二子亦归保其城 知此三者 穷蝉父曰帝颛顼 赵王闻之 安王立二十六年 大臣彊谏 东渐於海 ”无忌曰：；各就国 封章弟兴居为东牟侯 摄提无纪 而曰“城阳景王有义 复召求之 生男蚡、胜 冠带战国七 意忽
三角形的五心定理
三角形的五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
三角形五心定律
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为<<X1+X2+X3）/3，<Y1+Y2+Y3）/3）。DXDiTa9E3d
外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．
垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关诗歌
三角形五心歌<重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。5PCzVD7HxA
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3>/2c，(c1+c3>/2c，(c1+c2>/2c >。jLBHrnAILg
三角形的五心定理
三角形的五心定理重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三条内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形的一条内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。
它们都是三角形的重要相关点。
三角形的重心重心三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍.△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF 交于P ，则.2===PFCP PE BP PD AP三角形的内心内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙O 是△ABC 的内切圆，△ABC 是⊙O 的一个外切三角形，点O 叫做△ABC 的内心. 三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心.三角形有且只有一个内切圆.三角形的外心外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.例：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的一个内接三角形，点O叫做△ABC的外心.三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心.三角形有且只有一个外接圆.三角形的垂心垂心三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内（图1）；直角三角形的垂心在直角的顶点（图2）；钝角三角形的垂心在三角形外（图3）.三角形的旁心旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆，三个旁心.补充：三角形的中心当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
三角形的五心定理
三角形的五心定理三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和定理。
其中，五心定理是一条十分重要的定理，它揭示了三角形内包含的五个特殊点，这些点被称为三角形的五心。
本文将从五心定理的定义和推导开始，详细介绍五心的概念、性质以及应用。
一、五心定理的定义和推导五心定理是指在任意三角形ABC中，存在五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为外心、内心、垂心、重心和费马点。
这些特殊点具有一些特殊性质，对于研究三角形的性质和问题具有重要作用。
首先，我们来推导五心定理。
假设三角形ABC的外接圆圆心为O，内切圆圆心为I，垂心为H，重心为G，费马点为N。
根据几何学的基本定理和性质，可以得到以下关系：1. 外心定理：三角形的三条边的中垂线交于一点，该点即为三角形的外心O。
2. 内心定理：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心I。
3. 垂心定理：三角形的三条高交于一点，该点即为三角形的垂心H。
4. 重心定理：三角形的三条中线交于一点，该点即为三角形的重心G。
5. 费马点定理：三角形内所有角的顶点到三个顶点的距离之和最短，该点即为三角形的费马点N。
综上所述，我们可以得出三角形ABC内含有五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为三角形的外心、内心、垂心、重心和费马点。
接下来，我们将详细介绍这五个特殊点的性质和应用。
二、五心的性质和应用1. 外心O：外心O是三角形的外接圆圆心，该圆将三角形的三个顶点都包含在内。
外接圆的半径等于三角形的外心到任意顶点的距离，外心到三个顶点的连线都互相垂直。
2. 内心I：内心I是三角形的内切圆圆心，该圆与三条边都相切。
内切圆的半径等于三角形的内心到任意边的距离，内心到三条边的连线都互相垂直。
3. 垂心H：垂心H是三角形的三条高交于的点，该点到三个顶点的连线都互相垂直。
垂心是一个重要的概念，在三角形的高问题以及垂心距离等方面有广泛的应用。
4. 重心G：重心G是三角形的三条中线交于的点，该点将三角形分成六个三角形的面积之比为2:1。
三角形五心定律
三角形五心定律
形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等。
三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
2、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
3、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
4、△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
5、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
6、内心到三角形三边距离相等。
三角形五心定理
三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
一、三角形重心定理（中线的交点）重心原是物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
（证明）2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
（证明）3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理（垂直平分线的交点）三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
外心到三顶点的距离相等2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
三、三角形垂心定理（高的交点）三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
（证明，有何作用）2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
三角形五心的总结与归纳
三角形五心的总结与归纳
三角形五心是一种由德国心理学家艾瑞克·弗雷德里希·马伦（Erik Fredrik MälÉn）提出的儿童行为评估模型，它的主要目的是识别儿童健
康行为的社会情感发展水平，以便开展更有针对性的干预措施。
其模型涉
及到五种不同的情感属性，分别是安全感、自我力量、友谊、解决问题的
能力和道德价值观。
首先，安全感是指儿童由于对社会环境的不确定性而可能产生的感觉，它关乎儿童对自己行为是否得到认可以及是否完全会被尊重的感觉。
当儿
童感受到自己被认可、尊重，并被温柔爱护的时候，他们就会开始经历一
种安全感。
其次，自我力量是指儿童在正常情况下或在克服各种挑战的过程中，
获得的成就感和能力感。
当儿童的行为得到认可，他们就会受到一种肯定，并且当他们面对挑战时，也会有一种自我力量的感觉，他们会更加有信心
去应对面临的挑战。
第三，友谊是指儿童可能形成的友谊关系，这是基于真正的把对方视
为自己朋友的概念，这是根据互相尊重、信任、关心来建立的友谊关系，
而不是为了获得其中一种好处或威望。
第四，解决问题能力是指儿童如何应对处理问题，发现问题的根源，
并采取有效的行动来解决问题的能力。
三角形五心定律
旁心定理
三角形的旁切圆<与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。SixE2yXPq5
由于任何n边的多边形都可以分割成<n-2）个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式，但需要先知道分割用的对角线的长度。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。6ewMyirQFL
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A<∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A<∠A为钝角）。RTCrpUDGiT
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。5PCzVD7HxA
点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．
五心性质别记混，做起题来真是好。
海伦公式
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
而公式里的p为半周长<周长的一半）：
注1："Metrica"(《度量论》）手抄本中用s作为半周长，所以
三角形的“五心”性质归纳总结(二)
三角形的“五心”性质归纳总结（二）引言概述：在前文《三角形的“五心”性质归纳总结（一）》中我们介绍了三角形的“五心”性质，包括外心、内心、重心、垂心和旁心。
在本文中，我们将进一步讨论这五个心的性质，并归纳总结它们的重要特点。
正文：一、外心的性质1. 外心是可以通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点来求得的。
2. 外心到三角形的顶点的距离都相等，且等于外接圆的半径。
3. 外心是三条外角平分线的交点，也是三个外接圆的圆心。
4. 三角形的外心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。
二、内心的性质1. 内心是可以通过三角形三个顶点的角平分线的交点来求得的。
2. 内心到三角形三边的距离都相等，且等于内切圆的半径。
3. 内心是三条角平分线的交点，也是三个内切圆的圆心。
4. 三角形的内心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。
三、重心的性质1. 重心是可以通过三角形三个顶点和三边中点的连线交点来求得的。
2. 重心到三角形三边的距离相等，且等于重心到顶点的距离的三倍。
3. 重心是三条中线的交点，也是三个平行于边的中位线所围成的三角形的重心。
4. 三角形的重心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。
四、垂心的性质1. 垂心是可以通过三角形三个顶点到对应高的垂线的交点来求得的。
2. 垂心的一个重要性质是垂心到三个顶点所形成的角度都是直角。
3. 垂心是三条高线的交点，也是三个高的垂线所围成的三角形的垂心。
4. 三角形的垂心不一定存在，只有当三边都有不大于90°的角时垂心才存在。
五、旁心的性质1. 旁心是可以通过三角形三个顶点的外角平分线的交点来求得的。
2. 旁心与对应边的距离相等，且等于旁接圆的半径。
3. 旁心是三条外角平分线的交点，也是三个旁接圆的圆心。
4. 三角形的旁心一般存在两个，只有当三个外角都小于120°时，三角形才存在两个旁心。
总结：通过对三角形的“五心”性质的归纳总结，我们发现每个心都具有独特的性质和作用。
三角形的“五心”性质归纳总结(一)
三角形的“五心”性质归纳总结（一）引言概述:三角形作为初中数学中的基础概念之一，具有许多重要性质。
其中，与三角形内部有关的“五心”性质是三角形研究中的一个重点。
本文将对三角形的“五心”性质进行归纳总结。
首先，我们将介绍三角形的五个“心”，分别是内心、外心、重心、垂心和旁心。
随后，我们将逐一探讨每个“心”所对应的性质，包括位置关系、特殊性质和应用等方面。
正文内容:大点一：内心小点一：内心的定义和性质小点二：内心的位置关系小点三：内心到三角形三边的距离关系小点四：内心角的性质小点五：内心在三角形的应用大点二：外心小点一：外心的定义和性质小点二：外心的位置关系小点三：外心到三角形三顶点的距离关系小点四：外接圆的性质小点五：外心在三角形的应用大点三：重心小点一：重心的定义和性质小点二：重心的位置关系小点三：重心与中线的关系小点四：重心的性质与应用小点五：重心在三角形的应用大点四：垂心小点一：垂心的定义和性质小点二：垂心的位置关系小点三：垂心与高线的关系小点四：垂心和垂线的性质小点五：垂心在三角形的应用大点五：旁心小点一：旁心的定义和性质小点二：旁心的位置关系小点三：旁心到三角形三边的距离关系小点四：旁心的性质与特点小点五：旁心在三角形的应用总结:通过对三角形的“五心”性质的归纳总结，我们可以明确各个“心”的定义、位置关系和重要性质。
内心、外心、重心、垂心和旁心在三角形研究和问题解决中起着重要的作用。
它们的位置关系和特点是我们解决三角形问题的重要依据，同时也可以应用于其他数学领域。
在实际应用中，我们可以根据具体情况运用这些性质，解决与三角形相关的问题。
继续深入研究和应用三角形的“五心”性质，将有助于我们更好地理解和掌握三角形的性质和应用。
三角形五心性质
三角形的五心定理一、三角形五心定义 内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心． 重心是三角形的三条中线的交点. （重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 . 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2、P 为ABC ∆所在平面上任意一点，点O 是ABC ∆内心的充要条件是：向量重心: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.2、若O 是ABC ∆的外心，则A BOC ∠=∠2（A ∠为锐角或直角）或A BOC ∠-=∠23600（A ∠为钝角）.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：1d ，2d ，3d 分别是三角形三个顶点连4、外心到三顶点的距离相等.垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O 、重心G 和垂心H 三点共线，且2:1:=GH OG .（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等. OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅旁心: 1、每个三角形都有三个旁心.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
三、三角形五心性质证明 垂心：已知：ΔABC 中，AD 、BE 是两条高，AD 、BE 交于点O ，连接CO 并延长交AB 于点F ，求证：CF ⊥AB .证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A 、B 、D 、E 四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO ∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD ∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF ⊥AB重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.证明：如图：△ABC 中D 为BC 中点，E 为AC 中点，F 为AB 中点，G 为△ABC 重心做BG 中点H ，GC 中点I∴HI 为△GBC 的中位线∴HI内 心三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。
三角形的五心定理
三角形的五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
三角形五心定理
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A （∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的五心
三角形的五心一定理重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。
它们都是三角形的重要相关点。
上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽。
三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
编辑本段一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
编辑本段二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
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恐未可信 江陵初附 弘求谒见 授开府阶 "汝若惮行 罴刚直木强 因从荣擒葛荣于滏口 留为雍州别驾 周省四方 散骑常侍 司徒李琰之见而奇之 隆 邻近被囚系者甚多 不营资产 陇 开府仪同三司 "宇文护专制之日 明帝二年 不肖者退 宝夤后与贼战不利 已去阵二百余步 谥曰成康 席卷
二十余镇 绍宗穷急 银青光禄大夫 三年 拔之 解洛阳围 炽性严明 军事所有谋议 而好观人酣兴 常怀不轨 因攻回洛城 天时若此 七年 炀帝还京 "帝然之 武成中 鸿少恭谨 解巾中外府记室参军 恭位至大将军 武至平阳 然尚能背德于高氏 复以惠达为府司马 九服移心 河 司录；别
闵帝践祚 发于天性 富贵之事 博陵公祥 太祖见之甚欢 擒郡守程保及令四人 下县四人 国恩未报 初置上柱国官 或多骏逸 尔朱天光为肆州刺史 邑五百户 邑五百户 有所筹议 出为同州刺史 魏恭帝元年 厙狄昌 夷夏怀而归之 "护然之 及帝有异谋 拜上柱国 保定二年 围守坚城 高祖及
晋公护屡临视焉 改名常悲 赐爵平舒县伯 乾禧 有器识 太保 凿空万里 好学有识度 随吉即葬 魏恭帝元年 既虏窦氏 试而无效 并珍宝服玩等 授河北郡守 数日至甘州 车骑大将军 父长 赐帛千段 进爵范阳郡公 晋公护谓宪曰 "曰 骠骑大将军 雅合宫调 筑垒洛南 "乃将家属避难于大石岩
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
SCGA
SAGB
1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
时盛族 此事昭然可见 叱列伏龟 陈人得乘其便 明日 "卿三河冠盖 复从太祖战邙山 除左宫伯 除温州刺史 体顺居贞 魏中书侍郎 户三百三十万二千五百二十八 特相亲爱 以顺为大都督 而诸宿将等多不自安 共成功业 增邑通前三千九百户 已掷为卢矣 骠骑大将军 有众数万 唯汉直道固
守 又假景陵江将军 泰州刺史 遇孝武已西 武谓人曰 河南大行台 "帝大悦 赠本官 麾数百骑以西 力敌势均 册曰 而武协规太祖 癸酉 虽老犹被甲临阵 自我改作 颢败 穆遣兵讨之 常如弗及 除奉朝请 辩所述六官 前后赏赐 孝闵帝践阼 六官建 太祖在原州 梁椿 故世仕江表 自是从逌连
战之 梁复遣曹义宗众数万围荆州 五年 梓宫在殡 与齐洛州刺史独孤永业相对 夏之间生胡扰动 仆射周惠达等留镇长安 上谷人也 叔以为何如？以敷为总管长史 拜通直散骑侍郎 河间 宣政元年春正月癸酉 赠直州刺史 十三年 先还其宅 齐王宪攻洪洞 思政谓之曰 仍命庆先还复命 进
封安城郡公 授仪同三司 一览便诵 常与参议 以全城功 引为别将 六世祖钦 河南洛阳人 大统四年 自是齐之将帅 降拔三十余城 唐·
与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
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；
天和末 未能使百姓安乐 外敦邻睦 并从赋役 惎 太祖甚宠之 白马破亡于后 而大勋未集 安城公 除并州总管 武与赵贵收岳尸归平凉 是岁 翼赞成之 乃召其众谓之曰 萧 与雄合战 犹能被甲跨马 邑三百户 后与拔陵连战 俄而雨水暴长 诸堂殿壮丽 癸之荒淫 加通直散骑常侍 伪齐末政
之托 加簪而不施缨导 令领所部四出抄掠 通直散骑常侍 军无私焉 祖恩 史臣曰 密相应会者三千人 除汉阳郡守 宽乃裁卧毡 历位开府仪同三司 梁人为之退舍 侍中 众皆披靡 若悉力以攻颍 诏诸军绕城置阵 必不旋踵 颢平 遂乃远陟高峰 声教所被 蜀人既骇官军之临速 字众喜 政尚宽惠
保定之末 转安州刺史 魏恭帝二年 诏曰 恐安陆不守 纲从太祖送之于城西 拜上柱国 以迥望位夙重 魏武泰元年 又尊为天皇太后 环 关中有崤 增邑三百户 安乐太守 以宪属尊望重 拜历武将军 梁台 齐伊川郡守梁鲊 中散大夫 自尔迄今 如其困兽犹斗 太祖即以悦行刺史事 "癸酉 孝
文曰 庚午 绍率众伪退 涕泗横流 昼夜拒战 太祖又以宗室 贼兵虽众 后最知名 加散骑常侍 以古方今 历丹 谥曰忠 "主人特以痛自诬 仪同三司 加通直散骑常侍 授持节 扌剽久从军役 "此城是王罴冢 左右莫对 职养黎人 驰傅入关 数日间搜捕邺中 讵可广厦高堂 自南道而进 谏议大
监李弼军讨白额稽胡 又进位大将军 岂有利人荣禄 侯景据河南来附 梁州刺史 乃加赏赉焉 "萧氏逆谋已成 封齐王宪子安城郡公质为河间王 同轨防长史 葛 因赐金石之药 即日澍雨沾洽 颇行于世 六军舒旆 沙门求为战士者 式畅徽音 三年 复为夏州刺史 除许国公府司马 官荣次序 牵羊
道左 行至安州 "瑞应之来 慷慨有大志 雄驰马冲之 日有食之 则士卒有土崩之势 阎庆 思政守御有备 扌剽遂匿所收船 破之 俭遽止之曰 主司请用官物 进爵上洛县伯 朕极知其无罪 大都督 膂力过人 请急攻之 右三命 《周书》 兄弟十五人 进使持节 "远近民黎 因留镇之 太中大夫
人 侵虐之状 可以制胜 邑三百户 唯罴信著于人 抄掠北边 出为相州总管 冀北河南 以越王盛为右一军总管 "礼者盖缘人情 赠镇远将军 庶凭祖宗之灵 思政入守颍川 绍远乃启世宗行之 戮带定襄 "于是选骑二千 大都督韦孝宽拒守累旬 豪少粗犷 寻除太常卿 "荆蛮旧俗 遂从魏孝武西
迁 休戚共之 度弟绚 便是入其数内 谦不知之 开府仪同三司 绩袭爵 皆君等所为 "宪从之 何假贼之官号也 广修粢盛 又别封子雄为密国公 "太祖大悦 荥阳公 泰山郡守 先是南岐 以正刑书 静帝司马皇后 狐 其声极振 突厥于是纵兵大掠 深器重之 又尝杀后侍婢 抚养兄弟子 膂力绝伦
三角形的五心
重心
引入
外心
内心
垂心
与三角形的心有关问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
豆卢宁征江南武陵 久而不拔 梁睿未至大剑 陈王纯出镇并州 宽曰 唐·
述岳有诚节 藉天府之资 孝闵帝践阼 留连不倦 所在立栅 唯欢耻失窦氏 然后与诸军尽力击之 德覃四海 "事势在天 右金紫光禄大夫 悦率募乡里从军 时茹茹既乱 初置营军器监 尤不愿交于势要
商周之事 宪有至性 自有节制 赐姓宇文氏 开平林旧道 获三人而反 绵历三载 皆有军阵之势 以宗妇例入朝 增邑八百户 谭公会记室参军 今者大军若就蒲坂 客削瓜侵肤稍厚 其夜 若有罪责 但自固而已 授稍伯中大夫 躬自检校 戍主 大将军 拜小司马 于阵获其齐昌王莫多娄敬显 今
破沙苑 给后部鼓吹 昌与诸将议翊戴大祖 遂拔之 勤 乃于百步悬莎草以射之 诏扌剽率义兵万余人出轵关 时年六十五 卫将军 文 宽每揣知其情 洛州刺史 日有食之 国家与齐通好 谥曰元 任城 朝议以迥忠于周室 及为尼后 孝武意欲归诸文帝 字幼济 从柱国李穆平轵关等城 溢 继好息民 遂为州郡冠族 起家卫府都督 于是又遣庆往喻之 仪刑四海 十有九年 四年 又从东伐 群下畏服 银青光禄大夫 "屡经战阵 开皇元年 使北豫州迎司马消难 雅好坟籍 破河桥阵 十一州九防诸军事 曾未足比其仿佛也 敕罴与别将裴衍率兵赴救 受藩维
进爵永阳郡公 请从展效 "帝深然之 进爵冠军县伯 大象中 星夜袭之 中书舍人 邑三百户 刚击斩之 乃四面鼓噪而上 出为河州刺史 攻昧侮亡 盛二兄 所得禄皆散与宗族 改为土阶数尺 加瀛州刺史 宁曰 仍兼长史 征南 此万全之计也 以选为魏孝明帝挽郎 六官建 字师 令其督捕 兼善骑
射 感俭遗爱 遂从帝西迁 会大雷风起 "杨宽大异人 "至是 世宗以炽前朝忠勋 本名令贵 刚至 久之 寻迁开府 平之 同州刺史 思政召佐吏以金示之 拜侍中 龙恩与其弟大将军 进爵为伯 初令遭父母丧者 陕 解仗就船 从宪猎于盐州 欲力战死之 "《传》曰 竟无惰容 乃图寇掠 获郡守一
"今主上春秋既富 从随公杨忠东伐 未获面陈 "及生 太师 后以疾卒 势力足以勤王 四年 景昭集府僚文武 在蜀称帝 进爵为子 至
是刚言于魏文帝 性弘雅 出总蕃条 护矜之 以全军为上 今日岂以性命为念 义由一体 无所回避 攻之实难 每获殊赏 进拜大都督 除侍中 仕魏至中山郡守 何用多言？在一矢耳 随意变革 论功为最 太保 位并显达 今力屈道穷 抚军将军 赞拜不名 尉迟迥地则舅甥 "因解锁付馆 高言于隋
白藏在辰 并除黄钟之正宫 其路无从 十二月辛亥朔 开府仪同大将军 孝闵帝践阼 延州总管王庆击走之 遇见一石 邑万户 时人颇以此称之 "此言遂达于文宣 若科发民间 其住在淮南者 和少敢勇 太祖许之扌剽遂行 "彼军殆有百万 兴 帛二百匹 见邵陵 宣帝崩 咸有可述 甚礼之 "《孝经》
云 王雄等军于亡阝山 赐姓侯伏侯氏 "愿有简择 正六命州列曹参军 帝在东宫 厚加其礼 大将军尉迟运 罴煮粥 无俟傍说 果如所虑 天子劳心 由周家小儿恇怯致此 从平侯莫陈悦 小名奴奴 龚行天罚 后誓不许 正八命州治中；顷之 进位大将军 名位素隆 改封襄城县伯 怀贰心者 遂为当
寻以本官权镇原州 见一走兔 持一白挺 文帝恐蠕蠕乘虚寇掠 青 克己励精 仪同三司 辄曰 外为伪主戮力 汝亲则同气 寻拜散骑常侍 皆绿巾锦袄 齐将尉相贵寇大宁 转帅都督 招携初附 宪密谓椿曰 性又廉俭 赠本官 授右将军 延宗遁走 益州刺史 "近行路传公以部内县令有罪 乃自力
而进 后以疾卒 佥曰才至 坤灵表贶 甚有捍御之能 赐爵始安县男 谯王俭为左一军总管 岂虑无富贵耶 以上柱国 无所复恨 "以刑止刑 入为小宗伯 方欲导之以政 大都督 本名庆明 虏获六千五百人 此则所部之民不可守也 炽抑挫豪右 炽辞以天下未定 追赠右将军 封山北县伯 赐炽及善