算法合集之《浅谈信息学竞赛中的“0”和“1”》

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通过简单的数学变形，我们可以得到这样的数学公式：
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x i − yi + x j − y j
⎧ ( x i − y i ) + (x j − y j ), ⎪ (x − y ) − (x − y ), ⎪ i j j = max ⎨ i − ( x − y ) + ( x − y , i i j j) ⎪ ⎪ ⎩ − ( x i − y i ) − (x j − y j ) ⎧ xi − yi + x j − y j , ⎪ x −y −x +y , ⎪ i i j j = max ⎨ ⎪− x i + yi + x j − y j , ⎪ ⎩ − xi + yi − x j + y j
证明：
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X-（x and –x）这一步实际上等价于将 x 的二进制的最后 一个 1 减去。而 x 的二进制里最多有 log(n)个 1，所以查询效率 是 log(n)。 至于修改，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况 下为修改第一个元素，最多有 log(n) 的祖先。所以修改效率是 log(n)。 证明完毕。
x1 − y1 + x2 − y 2 + x 3 − y 3 + x 4 − y 4 + x 5 − y 5 ）最大。
分析：
� 第一步 显然，暴力枚举的 O(N 2 )的算法会超时，那么怎么办呢 ？ 通过读题，我们发现维数远远小于点数，这个信息有用吗？ 我们不妨先分析一下这个问题的退化版本。 我们先来 看看给 定的 是 N 个一维点 ，那么 算法 很明显， 只需扫描一边，记录下最大值、最小值即可得出答案。但是，我 们还没有看到这道题目的本质。 我们来分析一下如果是 N 个二维的点，那么我们可以怎么 用 较快的方法求出 max x i − y i + x j − y j 的解呢？
这样做是否正确呢？ 证明：
假设 ： 插 入 ( x1 , y1 ), ( x 2 + 1, y1 ), (x1 , y 2 + 1), ( x2 + 1, y 2 + 1) 四个 值 ， 查 询
(a, b ) 。不妨分类讨论：
如上图所示。 当 (a, b ) 属于第 1、2、3、4 或 7 这五个区域时，计算 Suma, b 不受插 入的影响； 当 (a, b ) 属于第 5 个区域时， Suma, b 会受到 ( x1 , y1 ) 的影响， Suma, b 相比以前会增加 1，这个更改是正确的。 当 (a, b )属于第 6 个区域时， Suma,b 会受到 ( x1 , y1 ), ( x 2 + 1, y1 ) 的 影响 ，
总结：
在数据结构中的运用二进制思想，创造出了一种新的数据结 构——树状数组。其思想核心在于运用了十进制数与二进制数之 间的联系，通过数的二进制形式来决定储存信息，把复杂的问题 简单化 ,方法简单巧妙。 树状数组的优势在于代码长度短，不易出错，思想巧妙，算 法复杂度低，维护简单，易推广到二维甚至三维等等。 对于数据结构要求操作不复杂的题目，是上佳的选择。
( x1 , y1 ), ( x 2 + 1, y1 ), (x1 , y 2 + 1), ( x2 + 1, y 2 + 1) 每次插入的时候往这四个格子中
加 1。
查询 ( x, y ) 的时候输出 Sumx , y =
i= x , j = y
i =0 , j =0
∑d
i, j
即可。
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� 第三步 应用二进制思想，把状态进行状态压缩，将每一个格子想 象 成一个 9 位的二进制数，使第 1 位…第 9 位，分别表示数字 1…9 是否能放，每个数位上用 0 或 1 来表示，0 表示这个数字可以放 ， 1 表示这个数字不能放。这样就把每个格子表示成 0~511 中的一 个数，这样每次搜索的时候，就直接枚举一个数字，通过位运算 计算出这行、列以及 3*3 的块中是否可放即可， 通过这样的状态压缩，不用其它的剪枝就可以解决这道题 目 了。 当然再加上按可能放的数的个数进行排序，按可能的个数 从 小到大进行搜索之类的优化可以很完美的解决这道题目！！！
2^k：X and –X
插入或删除操作就可以写成
While x<=max do Begin C[x]:=c[x]+delta; X:=x+(x and –x); End;
查询操作就可以写成
While x>0 do Begin Sum:=sum+c[x]; X:=x-(x and –x); End;
这样，插入、删除和查询的最坏时间复杂度为 O(logN)，丝 毫不逊色与其它数据结构。
更改是正确的。 当 (a, b ) 属 于 第 9 个 区 域 时 ，
Suma , b
会 受 到
( x1 , y1 ), ( x 2 + 1, y1 ), (x1 , y 2 + 1), ( x2 + 1, y 2 + 1) 的影响，Suma,b 相比以前会增加 4，
答案是 Suma, b mod 2，结果不受影响，这个更改是正确的。 证明完毕。 通过证明我们发现以上的方法是正确的。
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树状数组就是二进制思想的经典应用。 树状数 组 中的 每 一个 元 素的 编 号变 成 了二 进 制编 码 ，如 ：
11 = (1011) 2 ，再通过这些二进制编码末尾的 0 的个数来决定存储什么
信息，假设节点编号为 x，那么这个节点存储数据的区间为 2 k（其 中 k 为 x 二进制末尾 0 的个数）个元素。因为这个区间最后一个 元素必然为 A[ x ] ,这个区间存储的数据为 A[ n − 2 k + 1] + ... + A[ n] 。 算出 2^k 可以直接运用位运算：
例题三：Requirements
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给定 N(1 <= N <= 100000)个五维的点 A( x1, x2, x3, x4 , x5 ) ，求两个 点 X ( x1 , x2 , x3 , x 4 , x5 ) 和 Y ( y1 , y 2 , y3 , y 4 , y 5 ) ，使得他们的哈密顿距离（即
“0” 和“ 1” 浅谈信息学竞赛中的 浅谈信息学竞赛中的“
二进制思想在信息学竞赛中的应用 —— ——二进制思想在信息学竞赛中的应用
河北省石家庄二中 武森
前言
在德国图灵根著名的郭塔王宫图书馆（ Schlossbiliothke zu Gotha）保存着一份弥足珍贵的手稿，其标题为： “1 与 0，一切 数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非 都来自上帝。 ” 众所周知，二进制是计算技术中广泛采用的一种数制 ,现代的 电子计算机技术全部采用的是二进制，因为它只使用 0、1 两个数 字符号，非常简单方便，易于用电子方式实现。计算机内部处理 的信息，都是采用二进制数来表示的。二进制（ Binary）数用 0 和 1 两个数字及其组合来表示任何数。进位规则是 “逢 2 进 1”， 数字 1 在不同的位上代表不同的值，按从右至左的次序，这个值 以二倍递增。除了数值外，英文字母、符号、汉字、声音、图象 等数据在计算机内部也采用二进制数的形式来编码。目前最常用 的是使用国际标准代码 ASCII 码（美国标准信息交换码）。二进 制思想在信息学竞赛中也有广泛的应用。本文通过几个例子，总结 了二进制思想在信息学竞赛中的应用。
第二章：二进制思想在解题思路中的应用
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例题二：Sudoku 数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。在这八十一格中给 出一定的已知数字，利用逻辑和推理，在其他的空格上填入 1-9 的数 字。使 1-9 每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。
分析： � 第一步 这是一道 经典 的数 独题 目， 通过 给定的 数字 进行 分析 和排 除，算出其他格子的数字。 一种比较容易想到的做法,按照顺序枚 举格子中的数，进行搜索，直到搜完为止。 但是数独中的数字排列千变万化，那么究竟有多少种终盘 的 数字组合呢？ 6,670,903,752,021,072,936,960 （约有 6.67×10 的 21 次方）种组合，单凭这样简单的搜索是不可能页
我们需要非常有效的剪枝来提高搜索效率。 把每一个空格子可能放的数字记录到表格中，把可能性唯一 的数字进行填充，然后按可能放的数的个数进行排序，按可能的 个数从小到大进行搜索，每次搜索到一个格子的时候，随机选择 的一个可以放得数字填到空格中，并继续进行搜索，但是在实现 起来相当困难， 每次填一个数字后，该格子所在的行、列以及 3*3 的格子，可以填的数字个数都得修改，修改完了还需要排序，并且写 完之后，结果发现还是 TLE!!!
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Suma , b 相比以前会增加 2，答案是 Suma , b mod 2，结果不受影响，这个
更改是正确的。 当 (a, b )属于第 8 个区域时， Suma, b 会受到 ( x1 , y1 ), ( x1 , y 2 + 1) 的 影响 ，
Suma, b 相比以前会增加 2，答案是 Suma, b mod 2，结果不受影响，这个
� 第三步 那么二维的可以解决，三维的呢？N 维的呢？ 根据上面的方法，我们不难想到，如果是三维的话，应该在长方 体的周围加入 8 个点，N 维的情况，应该在 N 维图形周围加入 2 n 个点 来处理这些情况。统计 Sumi , i ..., i 即可。
1 2
n
� 第四步 这道题的方法我们已经很明确了，要用到数据结构来解决，但是 用线段树等数据结构的话，如果推广到二维或者三维，可能写起来就 相当复杂，并且出错的概率相当大，那么有没有一个写起来既简单快 捷又易推广的数据结构呢？树状数组！ ！ ！