高中数学函数基本性质专项讲义及练习

专题 函数基本性质

考点精要

会运用函数图像理解和研究函数的性质．

热点分析

主要考查函数的性质及运用

知识梳理

1．函数的单调性：

设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ∆=->，则当21()()0y f x f x ∆=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ∆=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数．

如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间）

函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小．

利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则

[]()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函

数符合的关系．

此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧．

2．函数的奇偶性：

设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x D

-∈，且-=-，则这个函数叫做奇函数．设函数y=g（x）的定义域为D，如果对()()

f x f x

D内的任意一个x，都有x D

-∈，且g（－x）=g（x），则这个函数叫做偶函数．如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．

在奇函数与偶函数的定义中，都要求x D

-∈，这就是说，一个函数不

∈,x D

论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．

此外，由奇函数定义可知，若奇函数f（x）在原点处有定义，则一定有f（0）=0，此时函数f（x）的图像一定通过原点．

研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要．如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像．

由函数奇偶性定义，可以推出如下法则：

在公共定义域上：

两个奇函数的和函数是奇函数，差函数也是奇函数；

两个偶函数的和函数与差函数都是偶函数；

两个奇函数的积或商是偶函数；

两个偶函数的积或商是偶函数；

一个奇函数与一个偶函数的积或者商都是奇函数．

3．单调性与奇偶性之间的关系：

奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；

偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； 例题精讲

例 1.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有

1()f x >2()f x

的是( ) A ．()f x =

1

x

B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+

例2 ．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：

命题甲：(2)f x +是偶函数；

命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②

Ｂ．①③

Ｃ．②

Ｄ．③

例3,.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）＝lg 11x

+，那么当x ∈（－

1，0）时， f （x ） 的表达式是_____。

练习：设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，

3)(x x f =，求：当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。

例4已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛的实数x 的取值范围

是

（ ）

A .()1,1-

B .()1,0

C .()()1,00,1Y -

D .()()+∞-∞-,11,Y

例5（1）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1

()3

f 的x 取

值范围是 ( )

（A ）（13，23） B.［13，23） C.（12，23） D.［12，2

3

）

例6 . 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1

是减函数，则函数()x f

（ ）

A .在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数

B .在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数

C .在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数

D .在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数 例7设()11x

f x x

+=

-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===L 则()2009=

f x

( )

A ．1x

-

B ．x

C ．

1

1

x x -+ D ．

11x

x

+-