第二十一章 二次根式3
第二十一章 二次根式
第二十一章 二次根式知识点归纳1．定义：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
2．二次根式a 有意的条件：3．性质：（1）双重非负性：即a ≥0且a ≥0（2）⎩⎨⎧<-≥==0,0,2a a a a a a（3）2)(a =a (a ≥0)4．同类二次根：被开方数相同的二次根式最简同类二次根式：⎩⎨⎧尽的因数或因式被开方数不含开方开得或分母不含根号被开方数不含分母）（5．把根号外面的因数或因式移到根号内：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=--=≥≥=0,00,0222b a b a b a b a b a b a b a 6．二次根式的大小比较：先把根号外的因数或因式全部移到根号内，再进行大小比较。
7．分母有理化： （1）()01>=∙=a a aa a a a（2）()()()0,0,01≠-≥≥-+=+-+=-b a b a ba ba ba ba ba b a（3）()()()0,0,01≠-≥≥--=-+-=+b a b a ba ba ba ba b a ba8．运算法则：（1）加减法则：将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（2）乘除法则：()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=≥≥=∙0,00,0b a b ab a b a ab b a （3）混合运算法则。
复习题1．已知a, b, c 满足04122212=+-+++-c c c b b a ，求)(c b a +-的值。
2．已知y=32552--+-x x ，求2xy 的值。
3．已知a （a －3）≤0，若b=2－a ，求b 的取值范围。
4．已知点P （x,y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的哪个像限？ 5．若()a a 21122-=-，求a 的取值范围。
6．已知实数a, b, c 满足32388++-+--=--+-+c b a c b a b a b a 请问：长度分别为a, b, c 的三条线段能否构成一个三角形？若能，求出该三角形的面积。
21.4第二十一章《二次根式》小结与复习(陈沃根)
∴原式＝
(3)若化简|1－x|－
x2－8x＋16 的结果为2x－5，则x的取
值范围是________． 1≤x≤4 解析：∵|1－x|－ x2－8x＋16 ＝(x－1)－(4－x)＝2x－5， ∴|1－x|＝x－1≥0，x≥1， 且 x2－8x＋16 ＝4－x≥0，x≤4. ∴1≤x≤4.
知能迁移2
2012 10＋3)]
ห้องสมุดไป่ตู้
[2分] [4分]
＝[( 10 )2－32]2012 ＝(10－9)2010＝1
题型四
二次根式运算中的技巧
【例4】 (1)已知x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ，求：x2＋xy＋y2的值； (2)已知x＋ 1 ＝－3，求x－ 1 的值． x x 解：(1)∵x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ， ∴x＋y＝(2－ 3 )＋(2＋ 3 )＝4， xy＝(2－ 3 )×(2＋ 3 )＝1， ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15.
1 1 (2)∵ ( x－ )2 ＝( x＋ )2 －4＝(－3)2－4＝5， x x ∴x－ 1 ＝± 5 . x
(2)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2
5)－(3－2 5 )＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
|6－3m|＋(n－5)2＋|n|· m－3＝3m－6， ∴m－3＝0且n－5＝0，
∴m＝3，n＝5，m－n＝3－5＝－2.
思想方法 感悟提高
方法技巧
1.二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，才能有效地合 并同类二次根式；二次根式乘除，不必化简为最简二次根式，
第二十一章 二次根式全章讲学稿
21．1 二次根式（1）一、学习目标:1.a≥0）的意义解答具体题目．2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数二、学习重难点：1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用a≥0）”解决具体问题．三、学习过程（一）、复习引入1．2549的平方根是，算术平方根是；13的算术平方根是。
2．正方形的面积是10，其边长是；3．已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是多少？（二）、探索新知1．二次根式定义；都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式，形如叫做二次根式，称为二次根号．例11xx>0）-1x y+x≥0，y•≥0）．2．练习：1．下列式子中，一定是二次根式的是（）A．BCD．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）ABCD．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 BC．15D．以上皆不对4.（1）形如的式子叫做二次根式；（2）面积为a的正方形的边长为________；（3）负数________平方根．例2．当x在实数范围内有意义？例3．当x11x+在实数范围内有意义？例4(1)已知y=，求xy的值；(2)=0，求a2010+b2010的值．拓展提高1x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数2．3．当x是多少时，x+x2在实数范围内有意义？4．已知a、b=b+4，求a、b的值．21．1 二次根式（2）一、学习目标:1．a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简． 2a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导2=a （a ≥0）；反之:a =2（a ≥0）， 最后运用结论严谨解题． 二、学习重难点；1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用． 2．难点、关键：用分a ≥0）是一个非负数；•2=a （a ≥0）． 三、学习过程 （一）、复习引入1．什么叫二次根式？ 2．当a ≥0a <0（二）、探究新知 议一议：a ≥0）是一个什么数呢？你能解决吗？ ⑴=0，求x y = ． ⑵ 已知：232510a c c -+=，求,,a b c 的值？做一做： 根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______；2=_______；2=______；2=_______；2=_______． 44的非负数，因2=4．所以反之（三）、学以致用 例1 计算： ⑴2 ⑵（2⑶2 ⑷）2例2 计算：（1）2（x ≥0）； （2） 2 （3）2 ；例3 在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4(3) 2x 2-3⑷23x -+（四）、巩固练习：1.（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12.数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．A ．a >0B ．a ≥0C ．a <0 D ．a =03. ⑴（2=________． （2x 是一个_______数． 4．计算（1）2 （2）-2（3）（122 （4）（ 2(5)5．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 ⑶ 3x 2-521．1 二次根式（3）一、学习目标：1.a（a≥0）并利用它进行计算和化简；2.a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．二、学习重难点：1a（a≥0）．2．难点：探究结论．三、学习过程（一）、复习引入1．形如叫做二次根式；2a≥0）是一个；3．2＝．那么，我们猜想当a≥0a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．（二）、探究新知根据算术平方根的意义填空：=___=___=___=___；=___．因此，（三）、学以致用例1 化简（1（2（3（4例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1）a，则a可以是什么数？（2）a，则a可以是什么数？（3a，则a可以是什么数？因此例3当x>2（四）、巩固练习：1.）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2.当a≥0）．ABCD．3. ⑴；（2）则正整数m的最小值是________．4.先化简再求值：当a=9时，求a甲的解答为：原式=a=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．（五）、拓展提高1. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2. 与的异同点21．2 二次根式的乘除（1）一、学习目标：1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），2.a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．二、学习重难点；1.a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．2.a≥0，b≥0）．3.a<0,b<0），三、学习过程（一）、复习引入：1．计算并观察：（1=______；（2．（3．由此可得……（二）、探索新知一般地，对二次根式的乘法规定为：＝反过来:=（三）、学以致用例1．计算：（1（2（3（4例2 化简：（1（2（3（4例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2（四）、巩固练习：1.计算⑵2. 化简:⑵⑶3.化简）．ABC．D．4=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-15.下列各等式成立的是（）．A．B．C．D．6.自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．7.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？21．2 二次根式的乘除（2）一、学习目标：1.a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算；2.理解分母有理化的概念，并运用它把二次根式化简．二、学习过程（一）、复习引入：1．二次根式的乘法规定及逆向等式；2．填空（1；（2=________；（3；（4=________．（二）、探索新知知识点一：二次根式的除法一般地，对二次根式的除法规定a≥0，b>0），a≥0，b>0）（三）、学以致用例1．计算：（1= （2= （3= （4例2．化简：（1（2（3= （4=例3 计算（1（2（3(4)【注意】分母有理化：某些二次根式的除法运算中，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。
章复习 第21章 二次根式
章复习第21章二次根式一、二次根式1、二次根式的概念一般地，把形如______的式子叫做二次根式，“______”叫做二次根号，______叫做被开方数.注：被开方数a可以是数，也可以是代数式（整式、分式），但a必须____________.2、二次根式的意义与性质⑴意义：二次根式实际上就是指非负数a的____________．a≥是一个______数；②____________；③____________．(0)注：①2(0)=≥可逆用平方根定义得出；②注意0a aa<时，a-．二、二次根式的乘除1、二次根式的乘法规定：__________________即：____________________________________．注：①此规定可推广到多个二次根式的情况；②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用；③公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是______数，因为负数____________.2、二次根式的除法规定：__________________即：______________________________.注：①一般地，两个二次根式相除，如果被开方数不能恰好整除时，应将分母有理化.分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0)=≥；②商的算术平方根的性质的限制条a a件“(00)，”与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为零，a b≥>所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立.3、最简二次根式满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含______；②被开方数中不含____________的因数或因式.注：①判断最简二次根式，应紧紧抓住最简二次根式的定义；②如果被开方数是多项式时，应先因式分解，再来判断；③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2，即每个因式的指数都为1．三、二次根式的化简化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．四、二次根式的加减1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注：①几个根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号前面的“系数”无关；②判断几个二次根式是否是同类二次根式，应先化成最简二次根式，再进行判断．2、二次根式的加减二次根式的加减，就是合并同类二次根式，二次根式加减运算的一般步骤：①将每一个二次根式化为最简二次根式；②找出其中的同类二次根式，合并同类二次根式．注：合并同类二次根式的方法是，把根号外面的因式相加，根指数和被开方数不变，其理论依据是逆用乘法对加法的分配律． 如：.3473)412(34132=-=- 五、重难专攻 综合方法专攻1 二次根式的化简在二次根式的运算中，二次根式的化简是必不可少的步骤．化二次根式为最简二次根式的方法：(1)如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用00)a b =≥>，把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．(2)如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽的因数或因式开出来．专攻2 二次根式的运算技巧(1)巧移因式，避繁就简【例1】计算：⋅-+)3418)(4823( 解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯)4818)(4818(-+=304818-=-=(2)巧换元，干净利索【例2】计算：n n n n n n n n n (424242422222-++--++--+-++>2)． 【解】设42,4222--+=-++=n n y n n x ，则原式=(3)巧用因式分解，手到擒来【例3】化简：622633++++【解】原式=⋅==++++2623)312(2)213(3另外，还有配方、整体代入、拆项等方法，进行二次根式运算时，要灵活应用这些方法，以达到事半功倍的目的．六、中考能力提升重要例题分类解析题例1 二次根式【例1】【解】3．【点拨】考查二次根式运算，同时考查平方与开方的互逆关系．【例2】 （上海中考）计算：【例3】 （广东中考）化简：【分析【分析【解题蜘2二次根式的乘除.171-.3)3(2=J .177777777-=-=- =-777 =2)3(题刨±∝=R 、3的加R【例4】 （重庆中考）计算^／8=∞-/2A ．6B ．厢C ．2D ．厄【解】D ．简再计算，【分析】.33312,3212-=-∴=【解】一万．【点拨中考最新动析置击1化简探讨题【例1】 （镇江中考）若为( )．A ．o 万B ．口 ~-b-b a C -.b a D --.P 、1．（襄樊中考）与怕是A.~/8B.√27C. 2√S212.-A2.±B2.C4.DrH r*.(3Λ 中考．2009）下面计算正确的是( )．3333.=+A3327.=÷B532.=⋅C 24.±=D的取值范围是( )．3.-≥x A 3.->x B 3.-≤x C 3.-<x D )%(5Lhs Φ=⋅ 下列计算正确的是( )．A ．√822=- 14931227.=-=-B1)52)(52(=+-⋅C 23226.=-D、-填空6．（上海中考）函数≡⨯-=R hR x y 、27．（芜湖中考）式子≡-=≡+hhL N TKRL r a 128．（曲靖中考）9．（湘西10．（温州【分析ab b a b a ab ∴><∴><,0,0,0,012 .b a -=【解】C ．【点拨】渎探究题【例观察下列各式：=+=+=+513,413412,312311.,514请你将发现自然数n(n≥1)的等式【分析】比较等式的左边及右边， ⋅++=++21)1(21n n n n 【解】⋅++=++21)1(21n n n n 【点拨】11.（内江中考）化简：.45sin 2321+- 12.（江西中考）已知：以0凡是整数， 数n 为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 且、-F 放j 宋ji 毯z .(/13阳+-=++-=++-=+3431,32321,21211 ,20022001200220011,,4.+-=+.20032002200320021+-=+ +++++++++200220011431321211( ⋅+⨯+)20031()200320021题14．（内江中考）实数上的位置如图kk ,110-=-+-22)2()1(P P110-ru k ML L *、)(15*≡≡-Φ-⋅⋅先化n JN x J x x x ∏≡⋅-=Φ±---~22/,.,,2007,91:)96 学做题时把“,,2007-=x 错抄成了“≡=HTk x 1,,,2007的计算结果也是正确的，。
二次根式知识点总结大全
第二十一章二次根式【知识要点1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就能够用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也能够将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．a（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-． 例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式例. 在实数范围内分解因式。
第二十一章“二次根式”简介
第二十一章“二次根式”简介第二十一章“二次根式”简介二次根式是数学中的一个重要概念，它是指形如√a（a≥0）的式子，其中“√”称为二次根号。
二次根式是一种表达数量关系的方式，它可以用来表示长度、面积、体积等几何量和代数式的平方根、算术平方根等。
一、二次根式的定义二次根式是一种特殊的代数式，它由一个被开方数（也称为“被开方数”）和一个根号（也称为“二次根号”）组成。
被开方数可以是任何非负数，可以是实数，也可以是代数式。
根号是一个表示数量关系的符号，它表示对被开方数求平方根。
例如，√4、√9、√a、√(ab)等都是二次根式，其中4、9、a、ab等被开方数可以是任何非负数或代数式。
二、二次根式的性质1.非负性：任何一个非负数的平方根都是非负的，即√a≥0（a≥0）。
2.唯一性：当a>0时，√a是唯一的正数平方根；当a=0时，√0也是唯一的平方根，但它是0而不是正数。
3.无限性：当a<0时，√a没有实数平方根，但是可以表示为复数形式。
4.互逆性：对于任何实数a，都有两个平方根，它们互为相反数，即√a和-√a。
5.性质的变化：当二次根式的被开方数或指数发生变化时，其性质也会发生变化。
例如，当√a^2=|a|时，需要考虑a的符号；当√(a^2)=|a|时，需要考虑a的符号和绝对值。
三、二次根式的运算1.加减法：同类二次根式可以合并或相减。
例如，√2+√2=2√2，√2-√2=0。
2.乘除法：同类二次根式可以相乘或相除。
例如，√2×√2=2，√2÷√2=1。
3.开方运算：对一个非负数进行开方运算时，可以得到它的平方根。
例如，（√2）²=2，（√a）²=a（a≥0）。
4.与实数的运算：二次根式可以与实数进行加、减、乘、除等运算。
例如，（2+√3）+（4-√3）=6，（2+√3）×（4-√3）=5+2√3。
5.与复数的运算：二次根式也可以与复数进行运算。
第二十一章二次根式教案及作业设计
第二■—章二次根式教材内容1.本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.2.本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)理解石(aNO)是一个非负数，(石)2=a(aNO),=a(aNO).(3)掌握石•\[b=-fab(aNO,bNO),\[ab=y/a,4b；Ja[a,*、[a Ja,、、——(aNO,b>0),.—=—；=(aNO,b>0).4b\b\b(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，•并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维，•得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.3.情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点1.二次根式石(aNO)的内涵.4a(aNO)是一个非负数；(4a)2=a(a^0)；J/=a (aNO)•及其运用.2.二次根式乘除法的规定及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.教学难点1.对西(aNO)是一个非负数的理解；对等式(E)2=a (aNO)及妒=a(aNO)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.教学关键1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点.2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神.单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21.1二次根式3课时21.2二次根式的乘法3课时21.3二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时21.1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用石（a>0）的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键1.重点：形如、似（aNO）的式子叫做二次根式的概念；2.难点与关键：利用“石（aNO）”解决具体问题.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：3问题1：已知反比例函数y=一,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是•问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB边的长是问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=.老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y,所以x-3.因为点在第一象限，所以x=如,所以所求点的坐标（右，也）.问题2：由勾股定理得AB=JI^问题3：由方差的概念得$=二、探索新知很明显后、面、R,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如石（aNO）•的式子叫做二次根式，“丁”称为二次根号.（学生活动）议一议：1.-1有算术平方根吗？2.0的算术平方根是多少？3.当a<0,有意义吗？老师点评：（略）例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：后裁、G（x>0）、a/04/2>-皿、—-—、Jx+y（xNO,y・NO）.x+y'分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“、厂”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：、/^、Vx（x>0）、而、-、万、Jx+y（xNO,yNO）；不是二次根式的有：也、->扼、」一.x x+y例2.当x是多少时，J3x-1在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-lN0,•J3x-1才能有意义.解：由3x-l》0,得：xN—3当x^-时，J3x-1在实数范围内有意义.3三、巩固练习教材P练习1、2、3.四、应用拓展例3.当x是多少时，V2x+3+—在实数范围内有意义？X+1分析：要使a/2x+3+—在实数范围内有意义，必须同时满足j2x+3中的NO和x+11〜心----中的x+1/O.X+12x+3>0解：依题意，得工+1/03由①得：X^--2由②得：xN-13_____]当xN-—且x尹-1时，j2x+3+----在实数范围内有意义.2x+1例4（1）已知y=j2-x+Jx-2+5,求三的值.（答案:2）y⑵若后I+序日=0,求/。
第二十一章二次根式课件复习
三、二次根式的加减
二次根式的加减法的一般步骤： 最简二次 首先将每个二次根式化为_______根式, 其次找出其中_________ 同类二次根式 同类二次根式 最后合并_________
课后反思及感悟
1.你知道使二次根式有意义的条件吗? 被开方数是非负数,而分母不为0 ________________________
被开方数的取值范围 2.利用二次根式的性质解题需要注意什么? ____________________
3.二次根式的加减运算过程中应注意什么? 不是同类二次根式不能合并 ____________________
第二十一章 二次根式
复习目标： 1.理解二次根式的概念,了解被开方数必 须是非负数 的理由； 2.理解二次根式加减乘除运算法则，会用它们进行 有关实数的简单四则运算； 3.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字 母的取值问题； 4.能灵活应用二次根式的性质,通过二次根式的计算 提高逻辑思维能力与运算能力。
一、二次根式的概念及性质 • ①形如说 a a ≥0 ）的式子叫做二次根式。 （ • ②当a ≥0时， • ③
二、二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则 a × ②二次根式的除法法则
பைடு நூலகம்a b
b =____ (a≥0,b≥0) ab
ab =____ (a≥0, b＞0)
③我们规定在二次根式运算中，最后结果要符合如下两个特点： 分母 （1）被开方数不含_____； （2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
2012年中考数学一轮复习精品讲义 二次根式
二、规律方法专题 专题 4 配方法 【专题解读】 把被开方数配方，进而应用 a =|a |化简. 例 11 化简 5 2 6 .
2
解： 5 2 6 3 2 2 3 2 ( 3)2 ( 2) 2 2 3 2 ( 3 2)2 | 3 2 | 3 2.
A. 8 2 2 C. (2+ 5)(2- 5) 1
27 12 9 4 1 3 6 2 D. 3 2 2 B.
分析 根据具体选项，应先进行化简，再计算. A 选项中， 8 2 2 2 2
2，
B 选若可化为
3 32 3 3 ， C 选项逆用平方差公式可求得 而 D 选项 （ 2 5 ）（2- 5 ）= 4- 5= - 1， 3 3 6 2 2 3 2 -1 .故选 A. 2
x 2 ( 3 5 3 5 ) 2，
2 ∴x =（ 3 5 ） （ 3 5 ）+2 3 5 × 3 5 =10
x＞0， x 10，即原式 10.
专题 6 代入法 【专题解读】 通过代入求代数式的值. 例 14 已知 a 2b 2400, ab 2 5760, 求 a 2 b 2 的值 .
解：由a 2b 2400, ab 2 5760，两式相除得b 2.4a， a 2b 2400, 2.4a3 2400, a3 1000, a 10, b 2.4 10 24, a 2 b 2 102 242 676 26.
专题 7 约分法 【专题解读】 通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.
b 15， a b＞0, a b＜0.
用心
爱心
专心
5
b a b a (a b) 2 (a b) 2 2 2 a b a b ab ab ab ba ab ab ab ab ab ba ab ab ab 2 ab . b
华师版九年级数学上册第二十一章教学课件 二次根式
知1－讲
●含有二次根号“ ”；
●被开方数是正数或0.
特别地：形如b a(a ≥ 0)的式子也是二次根式， 它表示b与 a 的乘积，当b是带分数时，要写 成假分数的形式.
感悟新知
例 1 给出下列式子：
知1－练
① (－2)2；②3 7；③ 9；④ x＋y；⑤ a2＋1； ⑥ －2a2－1, 其中一定是二次根式的是 __________.(只填序号)
感悟新知
知1－练
解：(1)由二次根式 a 中的被开方数的非负性“a≥0”， x－3 0,
得3－x 0,∴x=3. ∵y= x－3＋ 3－x +2，∴y=2. ∴xy=32=9.
答案：9
感悟新知
(2)[中考·泰州]实数a，b满足 a＋1 +4a2+4ab+b2=0， 知1－练
则ba的值为( )A. 2
关键.
3. 计算 a2一般有两步：
(1)去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式；
(2)去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简.
感悟新知
例 5 在实数范围内分解因式：
(1)x2－5；
(2)x4－4x2+4.
解题秘方：逆用( a ) 2=a 分解因式.
警示误区： 逆用二次根式的性质时，必须先确定
第21章 二次根式
21.1 二次根式
学习目标
1 课时讲解 二次根式的定义
二次根式的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
1. 二次根式的定义 一般地，我们把形如 a (a ≥ 0)的式子 叫做二次根式；“ ”叫做二次根号.
第二十一章二次根式 辅导讲义
求：（1） ；（2） ；（3）你会算 吗？
6．当x= 时，求 + 的值．（结果用最简二次根式表示）
教师评定：
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差○没做作业
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
教师签字：
家长签字：___________
4．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（ ）2，5=（ ）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
（ -1）2=（ ）2-2·1· +12=2-2 +1=3-2
反之，3-2 =2-2 +1=（ -1）2
例2．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2） × =4× × =4 × =4 =8
例3．已知 ，且x为偶数，求（1+x） 的值．
例4．观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
= = -1，
= = - ，
同理可得： = - ，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
A．13 B． C．10 D．5
4．（ -3 +2 ）× 的值是（）．
A． -3 B．3 - C．2 - D． -
5．计算（ + ）（ - ）的值是（）．
A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题
1．在 、 、 、 、 、3 、-2 中，与 是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5 -3 -7 +9 的最后结果是________．
第二十一章 二次根式(章节复习)
第二十一章 二次根式（章节复习）教学目标1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 3．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解a （a ≥0）是一个非负数，（a ）2=a （a ≥0），2a =a （a ≥0）．（3）掌握a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b ；a b=a b（a ≥0，b>0），a b=a b（a ≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．二次根式的计算与化简。
要求1、熟记8，12，18，20，24，28，32，40，48，50，54，60，72，98，108，128等二次根式的化简结果。
2、熟记形如1212－和＋，2323－与＋之间的倒数关系，看到形如231＋，要能够第一时间反应出来其结果是23－；3、遇到()()22b a b a +-或形式的二次根式，要十分清楚如何判断被开方出来的是a －b 还是b －a ，a ＋b 还是－a －b ；4、要十分熟悉二次根式加减乘除的运算规则及分母有理化的方法，如21＝22，()2232323＋＝－＋等。
一、 典型习题1、在下列各式12+a ，3-x ，4，()21-x ，231⎪⎭⎫⎝⎛-中，是二次根式的有（ ）2、已知－1≤a ≤1，下列各式21-a ，a11-，21a-，aa +-11中是二次根式的是（ ）3、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 。
4、式子()21--a 有意义，则a 的取值范围是 。
5、若032=-+-b a ，则=-b a 2。
6、若()211y x x x +=---，则x －y 的值为 。
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导语：数学是研究数量结构、变化、以及空间模型等概念的
科学.它是物理、化学等学科的基础，而且与我们的生活息
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第二十一章二次根式§21.1二次根式（一）一、1.C2.Ｄ3.D
二、１.，92.，3.4.１三、１.50m２.（１）（２）＞-1（３）
（４）§21.1二次根式（二）一、1.C2.Ｂ3.D4.D二、１.，
２.１３.；三、１.或-3２.（１）；（２）５；（３）；（４）；
（５）；（６）；3.原式=§21.2二次根式的乘除（一）一、1．C2.
Ｄ3.B二、１.＜２.（为整数）３.１２s4.三、１.（１）（２）
（3）（４）–108２.1０cm23、cm§21.2二次根式的乘除（二）
一、1.C2.C3.D二、１.＞3２.３.（1）;(2);4.6三、
１.(1)(2)(3)5２.（１）（２）（３）３.,因此是倍.§21.2
二次根式的乘除（三）一、1.D2.A3.B二、１．２.,,３.14.
第1页共2页
三、１.（１）（２）102.3.(,0)(0,)；§21.3二次根式的加
减（一）一、1.C2.A3.C二、１.（答案不，如：、）２.＜＜
３.1三、１.（１）（２）（３）2（４）２.§21.3二次根式
的加减(二)一、1.A2.A3.B4.A二、１.1２.,３.三、１.（１）
（２）（3）4（4）2２.因为＞45所以王师傅的钢材不够用.
22。
第二十一章二次根式
例 3.计算 （1） (144) (169) （2） 169 196
1 2 =__________； 49a 4 =__________ 4
2 xy 8 y
，
25 2 24 2 ________．
2 2
2
x 2 y =________。
） 3．当 x 为实数时，下列式子中一定有意义的是 A、 x
2
（
4 9 6； 4 9 6； 5 4 5 4 1；
52 42 1；
C．3 个 D．4 个 B、 x 1
2
C、 x 1
2
D、
1 x2
4、判断下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴
2
5 是二次根式， 那么 x 应适合的条件 3 x
A、 x ≥3
2
1 2 4． （ 4x
2
x 9 ）2
4、若 a a ，则（
分析： （1）因为 x≥0，所以 x+1>0； A、 a 是整数 B、 a 是正实数 （2）a2≥0； C、 a 是负数 D、 a 是负实数或零 （3）a2+2a+1=（a+1）≥0； 使代数式 8 a a 有意义的 a 的范围是 （ （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 5、 所以上面的 4 题都可以运用（ a ）2=a（a≥0）的 A、 a 0 重要结论解题． 一步领先 步步领先 一份耕耘 B、 a 0 C、 a 0 D、不存在
8 49
（7） 2
1 3 6 3
（8） 1
3 1 2 3 ( 10 ) 5 2
人教版数学九年级上册第二十一章二次根式复习小结导学教案
人教版九年级上册数学教案第二^一章二次根式一、教材分析本章是在第13章的基础上，进一步研究二次根式的概念和运算。
在本章中, 学生将学习二次根式的概念、性质、运算法则和化简的方法，通过对二次根式的概念和性质的学习，学生将对实数的概念有更深刻的认识，通过对二次根式的加、减、乘、除运算的学习，学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解。
学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简与运算的依据，重点是二次根式的化简和运算，难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性。
本章内容分为三节，第一节主要学习二次根式的概念和性质，本节既是第10章相关内容的发展，同时又是后面两节内容的基础，因此本节起承上启下的作用；第二节是二次根式的乘除运算，主要研究二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简；第三节是二次根式的加减，主要研究二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。
在第21.1节“二次根式”中，教科书首先给出四个实际问题，要求学生利用已学的平方根和算术平方根的知写出这四个问题的答案，并分析所得答案的表达式的共同特点引出二次根式的概念。
在二次根式的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教科书结合例题对此进行了较详细的分析。
接下去，教科书依次探讨了关于二次根式的结论：T"是一个非负数、-二二-匚、■「」•：；© M::。
对于“- -1是非负数”，教科书是利用算术平方根的概念得到的；对于• 1 =''''，教科书则采用由特殊到一般的方法归纳得出的。
在研究这个结论时，教科书首先设置“探究”栏目，要求学生利用算术平方根的概念进行几个具体的计算，并对运算过程和运算结果进行进一步的分析，最后归纳给出这条结论；对于结论’：匕亠二“—，教科书同样采用了让学生通过具体计算，分析运算过程和运算结果，最后归纳得出一般结论的方法进行研究。
第一节的内容是学习后两节内容的直接基础。
第二十一章 “二次根式”简介
第二十一章“二次根式”简介1. 什么是二次根式在数学中，二次根式是指形如√a的表达式。
其中，a是一个非负实数。
二次根式也可以写成幂的形式，即a的1/2次方。
对于任意实数a和b，若a≥0，则有√a * √b = √(a * b)。
二次根式在代数中有广泛的应用，尤其在解方程、求根和平方根等问题中起着重要的作用。
2. 二次根式的性质二次根式有许多独特的性质，下面介绍其中的一些重要性质。
•二次根式的值域对于任意非负实数a，二次根式√a的值域是[0, +∞)。
这是因为如果a为非负实数，那么√a的值必然大于等于0。
•二次根式的化简当二次根式的内部包含有完全平方数时，可以通过化简来简化表达式。
例如，√16可以化简为4，因为4是16的一个平方根。
•二次根式的运算二次根式可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，√a + √b可以化简为√(a + b)。
•二次根式的公式二次根式有一些特殊的公式，如平方差公式(√a + √b)(√a - √b) = a - b。
•二次根式的应用二次根式在几何中也有广泛的应用，如计算三角形的边长、面积和体积等。
3. 二次根式的求解求解二次根式的过程通常包括以下几个步骤：1.判断二次根式的值域，即确定a的取值范围；2.根据题目中给出的条件，列写方程；3.对方程进行变形和化简，将二次根式的形式转化为一次根式或其他形式；4.解方程，求出a的值；5.将a的值代入原方程，求出二次根式的值。
4. 二次根式的扩展除了普通的二次根式，还有一些涉及到复数的扩展形式。
•虚数单位i 虚数单位i定义为i^2 = -1。
虚数单位i可以用来表示负数的平方根，例如√-1 = i。
•复数复数是由实数和虚数单位i构成的数。
复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数。
复数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
•共轭复数共轭复数是指具有相同实部但虚部互为相反数的两个复数。
例如，a + bi和a - bi就是一对共轭复数。
九年级数学二次根式3
1．下列式子中，不是二次根式的是( D )
A. 4
B. 16
C.
1 D.x
2．下列式子无意义的是( D )
A. －22
B．－ 2
C. |－2|
D. －4
≥2 3．当 x________ 时， 2x－4有意义． 4．计算： 2 －4 ； －22＝________ － 16＝________ ；
二次根式的性质(难点) 例 2：计算：
(1)
32 ＝____________； 2 5)2＝____________；
(2)(－3
(3) (4)
52 ＝____________； 6 72 ＝____________. 2
(2)45 5 (3)6 7 (4)4
二次根式的概念(重点)
例 1：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
1 1 4 2， 3 ， ， x(x>0)， 0， 2 ，－ 2， ， x＋y (x≥0， x x＋y
3
y≥0)．
思路导引： 二次根式应满足两个条件：①有二次根号 “ ”；②被开方数是“正数或 0”．
自主解答：二次根式有： 2、 x(x>0)、 0、－ 2、 x＋y(x≥0， 1 1 y≥0)；不是二次根式的有： 3 3 、 、 4 2 、 . x x＋y
第二十一章
二次根式
21．1
二次根式
1．二次根式的概念
a (a≥0) 一般地，我们把形如______________ 的式子叫做二次根式．
2．二次根式的性质 非负 数. (1) a (a≥0)是一个________ a (2)( a)2＝________(a≥0)． a (3) a2＝________( a≥0)．
初三上册数学公式
九年级数学（上）知识点第二十一章:二次根式一．知识框架:二．知识概念:二次根式：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a＞0时，√a表示a的算数平方根,其中√0=0对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；2. 了解最简二次根式的概念；3. 理解并掌握下列结论：1）是非负数；（2）；（3）；4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
第二十二章:一元二次根式一．知识框架:二.知识概念:一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q ＜0,方程无实根．介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。
这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。
进而举例说明如何解形如的方程。
然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。
最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。
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第二十一章 二次根式
测试5 二次根式的加减(二)
学习要求
会进行二次根式的混合运算，能够运用乘法公式简化运算．
课堂学习检测
一、填空题
1．当a =______时，最简二次根式12-a 与73--a 可以合并． 2．若27+=
a ，27-=
b ，那么a ＋b =______，ab =______．
3．合并二次根式：(1)=-+)18(50________；(2)=+-ax x
a
x
45________． 二、选择题
4．下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( )． A ．ab 与2ab
B mn 与
n
m 11+ C ．22n m +与22n m - D ．
239
8b a 与4329
b a
5．下列计算正确的是( )． A ．b a b a b a -=-+2))(2( B ．1239)33(2=+=+
C ．32)23(6+=
+÷
D ．
641426412)232(2-=+-=- 6．)32)(23(+-等于( )． A ．7 B ．223366-+- C ．1
D ．22336-+
三、计算题(能简算的要简算) 7．⋅-12
1
).2218( 8．).4818)(122(+-
9．).3
2841)(236215(-- 10．).32
18)(8321(
-+
11．.6)1242764810(÷+- 12．.)18212(2
-
综合、运用、诊断
一、填空题
13．(1)规定运算：(a *b )=｜a －b ｜，其中a ，b 为实数，则=+7)3*7(_______．
(2)设5=a ，且b 是a 的小数部分，则=-b
a a ________．
二、选择题
14．b a -与a b -的关系是( )． A ．互为倒数 B ．互为相反数 C ．相等
D ．乘积是有理式
15．下列计算正确的是( )．
A ．b a b a +=+2)(
B ．ab b a =+
C ．b a b a +=+22
D ．a a
a =⋅
1
三、解答题 16．⋅+⋅-2
2
1221 17．⋅--
+
⨯2
818)2
12(2
18．.)21()21(20092008-+ 19．.)()(22b a b a --+
四、解答题
20．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2；(2)x 3y ＋xy 3的值．
21．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值．
拓广、探究、思考
22．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式
互为有理化因式．如：a 与a ，63+与63-互为有理化因式． 试写下列各式的有理化因式： (1)25与______；
(2)y x 2-与______；
(3)mn 与______； (4)32+与______； (5)223+与______；
(6)3223-与______．
23．已知,732.13,414.12≈≈求)23(6-÷．(精确到0.01)
答案与提示
第二十一章 二次根式
测试5
1．6． 2．.3,72 3．(1);22 (2) .3ax - 4．D ． 5．D ． 6．B ． 7．
⋅66
8．.1862-- 9．.33
14218-
10．⋅41
7 11．.215 12．.62484-
13．(1)3；(2).55-- 14．B ． 15．D ． 16．⋅-
4
1
17．2． 18．.21- 19．ab 4(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)． 20．(1)9； (2)10． 21．4．
22．(1)2； (2)y x 2-； (3)mn ； (4)32-； (5)223-； (6)3223+(答
案)不唯一． 23．约7.70．。