二次函数解析式的几种求法

二次函数解析式的几种求法

初三《数学》“函数及其图象”的难点是二次函数，其重点是求函数的解析式。近几年全国各省市初中毕业会考、中考等，大都有求函数解析式这类题目出现。为使学生更好地掌握这部分知识，就如何求二次函数解析式的问题，谈谈下面几种方法。

一、 已知三点求二次函数的解析式

当已知二次函数的图象经过三已知点时，通常把这三点的坐标 代入一般式c bx ax y ++=2中，可得以a 、b 、c 为未知数的三元方程组，解此方程组求得a 、b 、c 的值再代入一般式可得所求函数解析式。 例1、已知二次函数的图象经过点A )2

3,2(-、B )6,7(、C )30,5(-，求这个二次函数的解析式。

解：设这个二次函数的解析式为c ba ax y ++=2，则由题意得：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++-=++3052567492324c b a c b a c b a 解这个方程组，得21=a ，3-=b ，25=c . 故所求的二次函数的解析式为2

53212+-=x x y .

二、已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式

当已知顶点坐标、对称轴、或极值时，可设其解析式为n m x a y +-=2)(（即顶点式）较为简便。

例2、已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与y 轴的交点的 纵坐标为13，求这个二次函数的解析式。

解：设这个二次函数的解析式为5)2(2+-=x a y .

∵它与y 轴的交点为（0，13），

∴135)20(2=+-a ，

∴2=a

故 所求的解析式为5)2(22+-=x y .

即 13822+-=x x y

例3、已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为1=x 且最小值为－2，求这个函数的解析式。

解：由题设知抛物线的顶点为（1，－2），因此，设所求二次函

数为2)1(2--=x a y 。

∵抛物线过点（－1,2）

∴22)11(2=---a

∴1=a

故 所求的解析式为2)1(2--=x y ，即122--=x x y 。

三、已知图象与x 轴两交点坐标求解析式

当已知二次函数图象与x 轴的两交点坐标时，可设其解析式为))((21x x x x a y --=（即交点式）较为简便。

例4、已知二次函数的图象与x 轴交于)0,1(-A 、)0,3(B 两点，与y 轴交点的纵坐标为2，求此二次函数的解析式。

解：∵二次函数的图象与x 轴交于)0,1(-A 、)0,3(B 两点，

故 设其解析式为)3)(1(-+=x x a y ，

又 点（0,2）在图象上，

∴2)30)(10(=-+a ∴32-=a ∴所求解析式为)3)(1(32-+-=x x y ，即234322+--=x x y .

四、已知图象与x 轴两交点间的距离求解析式

当已知二次函数与x 轴两交点间的距离时，常用一般式c bx ax y ++=2和关系式：a

x x ∆=-21（其中ac b 42-=∆）求解。 例5、已知二次函数的图象x 轴两交点间的距离为6，且经过点（－2，2）和（4，－4），求这个二次函数的解析式。

解：设所求解析式为c bx ax y ++=2，由题设得

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=--=++=+-6444162

242a ac b c b a c b a 解这个方程，得41-=a ，2

1

-=b ，2=c . 所求的解析式为221412+--=x x y . 设二次函数的图象与x 轴两交点为)0,(1x 和)0,(2x ，不防设1x ＜2x ，由数轴上两点间的距离的意义知12x x d -=，则d x x +=12。因此由“两点式”可设所求解析式为[])()(11d x x x x a y +--=来求解。

五、由二次函数的图象平移变换求解析式

由已知图象的平移变换求解析式时，通常是将已知图象的解析式写成“顶点式”即n m x a y +-=2)(的形式，若图象右（左）移动几个单位，m 的值就减（加）几个单位，若图象向上（下）移动几个单位，n 的值就加（减）几个单位。

例6、将二次函数5822-+-=x x y 的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求所得二次函数的解析式。

解：3)2(258222+--=-+-=x x x y ，

将图象向左平移3个单位，得3)32(22++--=x y ，

即3)1(22++-=x y .

再将图象向下平移2个单位，得23)1(22-++-=x y ，

故 所求的解析式为1)1(22++-=x y .

六、二次函数的图象绕顶点旋转0180或沿x 轴翻折变换求解析式 这类问题，必须把已知二次函数的解析式化成“顶点式”。当的图象绕顶点旋转0180时，旋转前后顶点坐标不变，而开口方向相反，故二次顶系数互为相反数；当图象沿x 轴翻折时，翻折前后顶点关于x 轴对称，开口方向相反。

例7、把函数1422+-=x x y 的图象绕顶点旋转1800，求所得抛物线的解析式。

解：∵1)1(214222--=+-=x x x y ,

∴抛物线绕顶点旋转0180后所得二次函数解析式为1)1(22---=x y ，

故 所求解析式为3422-+-=x x y .

例8、把二次函数522+-=x x y 的图象沿x 轴翻折，求所得抛物线的解析式。

解：∵4)1(5222+-=+-=x x x y ，

∴抛物线沿x 轴翻折后所得解析式为4)1(2---=x y ，

故 所求解析式为522-+-=x x y .