浅谈基尔霍夫定律

浅谈基尔霍夫定律

摘要：基尔霍夫定律（Kirchhoff laws）阐明集总参数电路中流入和流出结点的各电流间以及沿回路的各段电压间的约束关系的定律，是 1845 年由德国物理学家 G·R·基尔霍夫提出。原始基尔霍夫定律给出了三个必备条件：两组方程的线形函数形式；确定方程组中每项正负号的法则；两组方程的独立方程个数。现在的基尔霍夫定律与原始的基尔霍夫定律并不完全相同，在某种程度上，它破坏了原始基尔霍夫定律所包含的三点的内容的统一，也破坏了原始基尔霍夫定律自己单独可以唯一确定支路电流分布的功能，并且可以通过积分形式的两组独立方程组独立完整和统一的证明原始基尔霍夫定律没有证明的第一点和第二点内容。基尔霍夫定律反映的是电路中各支路电流之间的约束关系或各部分电压之间的约束的关系，与电路中连接的是什么元件（元件小性质）无关分析复杂电路分析复杂电路可见在电路理论中基尔霍夫定律占有重要地位，可以说它是分析求解电路的万能钥匙，本文阐述如何正确利用基尔霍夫定律对电路进行分析计算。

关键词：基本信息、发现背景、几个基本概念、基尔霍夫定律、应用

一、基本信息

基尔霍夫定律Kirchhoff laws是电路中电压和电流所遵循的基本规律，是分析和计算较为复杂电路的基础，1845年由德国物理学家G.R.基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824～1887）提出。它既可以用于直流电路的分析，也可以用于交流电路的分析，还可以用于含有电子元件的非线性电路的分析。运用基尔霍夫定律进行电路分析时，仅与电路的连接方式有关，而与构成该电路的元器件具有什么样的性质无关。基尔霍夫定律包括电流定律（KCL)和电压定律(KVL)，前者应用于电路中的节点而后者应用于电路中的回路。

二、发现背景

基尔霍夫定律是求解复杂电路的电学基本定律。从19世纪40年代，由于电气技术发展的十分迅速，电路变得愈来愈复杂。某些电路呈现出网络形状，并且网络中还存在一些由3条或3条以上支路形成的交点(节点)。这种复杂电路不是串、并联电路的公式所能解决的，刚从德国哥尼斯堡大学毕业，年仅21岁的基尔霍夫在他的第1篇论文中提出了适用于这种网络状电路计算的两个定律，即著名的基尔霍夫定律。该定律能够迅速地求解任何复杂电路，从而成功地解决了这个阻碍电气技术发展的难题。基尔霍夫定律建立在电荷守恒定律、欧姆定律及电压环路定理的基础之上，在稳恒电流条件下严格成立。当基尔霍夫第一、第二方程组联合使用时，可正

确迅速地计算出电路中各支路的电流值。由于似稳电流(低频交流电)具有的电磁波长远大于电路的尺度，所以它在电路中每一瞬间的电流与电压均能在足够好的程度上满足基尔霍夫定律。因此，基尔霍夫定律的应用范围亦可扩展到交流电路之中。

三、在基尔霍夫定律中的几个概念：

1、支路：一个二端元件视为一条支路，其电流和电压分别称为支路电流和支路电压。下图所示电路共有6条支路

2、结点：电路元件的连接点称为结点。

图示电路中，a、b、c点是结点，d点和e点间由理想导线相连，应视为一个结点。该

电路共有4个结点。

3、回路：由支路组成的闭合路径称为回路

4、网孔：将电路画在平面上内部不含有支路的回路，称为网孔。

图示电路中的{1,2}、{2,3,4}和{4,5,6}回路都是网孔

四、基尔霍夫定律：

1、基尔霍夫第一定律（KCL）

第一定律又称基尔霍夫电流定律，简记为KCL，是电流的连续性在集总参数电路上的体现，其物理背景是电荷守恒公理。基尔霍夫电流定律是确定电路中任意节点处各支路电流之间关系的定律，因此又称为节点电流定律，它的内容为：在任一瞬时，流向某一结点的电流之和恒等于由该结点流出的电流之和，即：

在直流的情况下，则有：

通常把上两式称为节点电流方程，或称为KCL方程。它的另一种表示为：

在列写节点电流方程时，各电流变量前的正、负号取决于各电流的参考方向对该节点的关系（是“流入”还是“流出”）；而各电流值的正、负则反映了该电流的实际方

向与参考方向的关系（是相同还是相反）。

通常规定，对参考方向背离（流出）节点的电流取正号，而对参考方向指向（流入）节点的电流取负号。

KCL的应用

图KCL的应用所示为某电路中的节点，连接在节点的支路共有五条，在所选定的参考方向下有：

KCL定律不仅适用于电路中的节点，还可以推广应用于电路中的任一假设的封闭面。即在任一瞬间，通过电路中任一假设封闭面的电流代数和为零。

2、基尔霍夫第二定律（KVL）

第二定律又称基尔霍夫电压定律，简记为KVL，是电场为位场时电位的单值性在集总参数电路上的体现，其物理背景是能量守恒公理。基尔霍夫电压定律是确定电路中任意回路内各电压之间关系的定律，因此又称为回路电压定律，它的内容为：在任一瞬间，沿电路中的任一回路绕行一周，在该回路上电动势之和恒等于各电阻上的电压降之和，即：

在直流的情况下，则有：

通常把上两式称为回路电压方程，简称为KVL方程。

KVL定律是描述电路中组成任一回路上各支路（或各元件）电压之间的约束关系，沿选定的回路方向绕行所经过的电路电位的升高之和等于电路电位的下降之和。回路的“绕行方向”是任意选定的，一般以虚线表示。在列写回路电压方程时通常规定，

对于电压或电流的参考方向与回路“绕行方向”相同时，取正号，参考方向与回路“绕行方向”相反时取负号。

KVL的应用

图KVL的应用所示为某电路中的一个回路ABCDA，各支路的电压在所选择的参考方向下为u1、u2、u3、u4，因此，在选定的回路“绕行方向”下有：u1+u2=u3+u4。

KVL定律不仅适用于电路中的具体回路，还可以推广应用于电路中的任一假想的回路。即在任一瞬间，沿回路绕行方向，电路中假想的回路中各段电压的代数和为零。

KVL的推广

图KVL的推广所示为某电路中的一部分，路径a、f 、c 、b 并未构成回路，选定图中所示的回路“绕行方向”，对假象的回路afcba列写KVL方

程有：u

4+u

ab

=u

5

，则：u

ab

=u

5

-u

4

。

由此可见：电路中a、b两点的电压u

ab

，等于以a为原点、以b为终点，沿任一路径绕行方向上各段电压的代数和。其中，a、b可以是某一元件或一条支路的两端，也可以是电路中的任意两点。

3、基尔霍夫定律基本内容的论述

基尔霍夫电流定律是电荷守恒法则运用于集总电路的结果。电荷守恒的意思是：电荷既不能创生也不能消灭。对于集总电路中的任一节点，在某一时刻，流进该节点的电流代数和为Σi (t)，即：dq／dt=Zi k(t)(其中q为节点处的电荷)。而节点只是理想导体的汇合点，不可能积累电荷，电荷既不能创生，也不能消灭，因而节点处的dq／dt必须为零，即得：Σi (t)=0(式中i (t)为流出或流人节点的第K条支路的电流，K为节点处的支路数)。KCL定律指出：任一瞬间，流入