复变函数测试试题库

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复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)

复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)
4.有界整函数必为常数. ( )
5.如z0是函数f(z)的本性奇点,则 一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列 收敛,则 与 都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析,则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设 ,则 .
2.若 ,则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数 的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________.

证明 是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题(四)
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析,则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.()
2.若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.()
3.函数 与 在整个复平面有界.()
4.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程 在单位圆的零点个数为________.
8.设 ,则 的孤立奇点有_________.
9.函数 的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数 的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值.
3.计算积分: ,积分路径为(1)单位圆( )的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析,试证:f(z)在D为常数的充要条件是 在D解析.

《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

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---《复变函数》考试试题(一)一、判断题( 20 分):1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导,则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛,则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析,且f '( z),则f ( z) C(常数) 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点,则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限,则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数,则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数,则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . ()二. 填空题( 20 分)1、|z z 0 |dz__________. ( n 为自然数)1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11,则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析,则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n,则 nn______________.Res(e z8.n,0)________,其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点,则z z.三. 计算题( 40 分):f (z)11. 设(z 1)( z 2) ,求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ,试求 f ' (1 i ).Cz,其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.× 2.√ 3.√ 4.√5.√6.√ 7.×8.×9.× 10.×二.填空题2 in1 2.1 ;3. 2k , ( k z) ;4.z i ; 5.11.n;16. 整函数;7. ; 1 ; 9. 0; 10..8.(n 1)!三.计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题(二)一. 判断题 . (20 分)1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析,则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点,则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导,则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析,则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ,则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ,则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n( n 为自然数)---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1,则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分: I| z | dz,积分路径为(1)单位圆( | z | 1)i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证: f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题(二)参考答案一.判断题 .1.√2.×3.√4.√ 5.× 6.×7.×8.√9.× 10.× .二.填空题---1.1 ,, i ;2. 3(1sin 2)i ;3.2 i n14. 1;5. m 1 . 0n;216.2k i ,( k z) .7. 0;8. i;9.R ;10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值,所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题(三)一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析,则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析,则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .( )8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点,则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ,则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ,则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n( n 为自然数)_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1,则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点,则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分:e zdz,其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n ,以及两个正数 R 及 M ,使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n,证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

完整版)复变函数测试题及答案

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完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时,$z+z+z$ 的值等于()A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$,$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$,那么 $z$ 等于()A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$,$0<\theta<\pi$,则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时,$z$ 的三角表示式是()A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数,则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是()A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数,$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$,则动点 $(x,y)$ 的轨迹是()A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$,向右平移 $3$ 个单位,再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$,则原向量对应的复数是()A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是()A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数,则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是()A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是()A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是()A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$,$z_1=2+3\mathrm{i}$,$z_2=5-\mathrm{i}$,则 $f(z_1-z_2)$ 等于()A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$,$f'(z)=1+i$,则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析,且 $u+v$ 是实常数,则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

(完整版)复变函数试题及答案

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-5四123456五1一二三四2、、、、、、、、5、、、填(1611-计求将计计求设证使单判计B计证空e算函函算算将函明符选断算i1算明题n)9积数数积实单数:合题题题2题题(解,2分分积位在D条(((,((每不析fff2分圆件每每每z7每每小存zzz函CC3e小小小小小在题在zL数CIxz0=2题题题2题题区解的z221zzd1k402y321域2析z零226,共(Di分1k6a7,点分分分=1iD形0,x分z分80z且是zd,,,2,5内,c映,视))1满doC孤本共共共A±1解射iL答zs:足立质,2在…1析成题2134在的6的,x006C),z单情:2C所分分分(证,位a况f9有1i)))i y明圆的可23孤2711n:去)酌01C1立+w函52心情,1z奇iy数的邻给8点41D直域21的(2i,1线内n1f,分包9u,段分展zA式括,1,成也f0线15共洛在2性01n9朗)A变D21z0级处换内分数2的解1n)w留(析,数并nL指z1出,2 收敛)的域函数____________________________________________________________________________________________________________ f z
1 解: C 的参数方程为: z=i+t, 0 t 1 dz=dt
x
y
ix 2
dz =
1
t
1
it 2 dt =
1
i
C
0
23
2 解: z 1为 f z 一阶极点
z 1 为 f z 二阶极点
2
2k
1, 2 ) , 4 ei ln 2 e 4
(k=0, 1, 2 )
5
i , 6 0, 7

复变函数试题库

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复变函数一、选择题1. 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y 且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是( C )时, )(z f 在D 内解析. A. 可导函数B.调和函数C.共轭调和函数2、复积分()nCdzz a -⎰的值为( B ) (A) 0 (B) 0;2(C)(D)2i i ππ不存在3、0z =是sin ()zf z z=的奇点类型是( D ) (A) (B) (C)(D) 一阶极点本性奇点不是奇点可去奇点4、计算12()i eπ-的结果是( B )(A) (B) (C)(D)i i i ±-05、下列函数在z S 处处解析的是( C )(A) (B) (C)(D)z z z e z z z e z zRe z f()=f()=f()=f()=6.当x 〈0, y 0≥时,argz=( C ).A. π-x y arctan ;B. x yarctan ;C π+x y arctan ; D. π2arctan +xy.7.argz 1z 2=( A )..A .argz 1+argz 2; B. argz 1+argz 2+2k π(k 是整数); C.argz 1+argz 2+2k 1π(k 1是某个整数); D.argz 1+argz 2+π. 8.下列集合是有界闭区域的是( C ) A 0<R z ≤;B Rez<2; C.1≤z 且Imz 0≥; D.1≥z 且 Rez>0 .9.方程z=t+)(R t ti∈在平面上表示的是( B ).A .直线y=x; B. 双曲线 y=x 1;C 椭圆周;D 圆周 10.函数)(z f =z 在0z 处( A ). A. 连续B. 可导C. 解析11.ii-+23=( A ). A .i +1 i B +2. i C 32.+ i D -1.12.函数w=f(z)仅在点z 0可微,则w=f(z)在点z 0( D ) A 解析; B 某邻域内处处解析; C.不解析。

复变函数历年考试真题试卷

复变函数历年考试真题试卷

复变函数历年考试真题试卷一、选择题1. 下列哪个函数不是复变函数?A. f(z) = e^zB. f(z) = z^2C. f(z) = |z|D. f(z) = ln(z+1)2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数,下面哪个等式成立?A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂x = -∂v/∂yD. ∂u/∂y = -∂v/∂x3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3,下列哪个等式成立?A. ∂u/∂x = 3x^2 + 6ixy - 3y^2B. ∂u/∂y = 3x^2 + 6ixy - 3y^2C. ∂v/∂x = -3x^2 + 3y^2 - 6ixyD. ∂v/∂y = -3x^2 + 3y^2 - 6ixy二、填空题1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1,则f(z)的共轭函数是________。

2. 当z → ∞ 时,f(z) = z^2 + 3z + 1的极限是________。

3. 若f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 是全纯函数,则满足柯西-黎曼方程的条件是∂u/∂x = ________。

三、计算题1. 计算复变函数f(z) = z^3 - 4z的积分,其中C为以原点为圆心、半径为2的圆周。

2. 当z = -i 时,计算复变函数f(z) = 2z^2 + 3iz的导数。

四、证明题证明:若复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在单连通域D上解析,则f(z) 在D 上也是调和函数。

(请自行根据题目要求增减字数,使得文章达到合适的长度。

)(文章正文)选择题:1. 下列哪个函数不是复变函数?2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数,下面哪个等式成立?3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3,下列哪个等式成立?填空题:1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1,则f(z)的共轭函数是________。

复变函数论试题库及答案

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《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数,则f(z)在区域D 恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明:如果|)(|z f 在D 为常数,那么它在D 为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析,则|f (z )|也在D 解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 解析,试证:f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 解析且在D 的某个圆恒为常数,则数f (z )在区域D 为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明:如果|)(|z f 在D 为常数,那么它在D为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

(完整版)复变函数试题及答案

(完整版)复变函数试题及答案
C是复数其实部等于1D是复数其模等于1
2、下列命题正确的是()
A B零的辐角是零
C仅存在一个数z,使得 D
3、下列命题正确的是()
A函数 在 平面上处处连续
B 如果 存在,那么 在 解析
C每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数
4、根式 的值之一是()
1、 的指数形式是
2、 =
3、若0<r<1,则积分
4、若 是 的共轭调和函数,那么 的共轭调和函数是
5、设 为函数 = 的m阶零点,则m =
6、设 为函数 的n阶极点,那么 =
7、幂级数 的收敛半径R=
8、 是函数 的奇点
9、方程 的根全在圆环内
10、将点 ,i,0分别变成0,i, 的分式线性变换
二、单选题(每小题2分)
1 2 3 4 5
四 计算题(每小题6分,共36分)
1解: , 分
…5分
解得: 分
2解:被积函数在圆周的 内部只有一阶极点z=0
及二阶极点z=1 分
= 2i(-2+2)=0 分
3解:
= …4分
( <2)…6分
4解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个
一阶极点i,2i…1分
I= …2分
= …3分
= …5分
A可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点
6、函数 ,在以 为中心的圆环内的洛朗展式
有m个,则m=( )
A 1 B2C3 D 4
7、下列函数是解析函数的为()
A B
C D
8、在下列函数中, 的是()
A B
C D
9、设a ,C: =1,则 ()

《复变函数论》试题库

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《复变函数》考试试题(一)一、 判断题.(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题2分) 1.当复数0z =时,其模为零,辐角也为零. ( )2.若0z 是多项式110()n n n n P z a z a z a --=+++(0)n a ≠的根,则0z 也()P z 是的根.( )3.如果函数()f z 为整函数,且存在实数M ,使得Re ()f z M <,则()f z 为一常数.( ) 4.设函数1()f z 与2()f z 在区域内D 解析,且在D 内的一小段弧上相等,则对任意的z D ∈,有1()f z 2()f z ≡. ( )5.若z =∞是函数()f z 的可去奇点,则Re ()0z s f z =∞=. ( )二、填空题.(每题2分)1.23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________. 2.设0z x iy =+≠,且arg ,arctan22y z x ππππ-<≤-<<,当0,0x y <>时,arg arctanyx =+________________. 3.函数1w z =将z 平面上的曲线22(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线______________.4.方程440(0)z a a +=>的不同的根为________________. 5.(1)i i +___________________.6.级数20[2(1)]nn z ∞=+-∑的收敛半径为____________________.7.cos nz 在z n <(n 为正整数)内零点的个数为_____________________. 8.函数336()6sin (6)f z z z z =+-的零点0z =的阶数为_____________________. 9.设a 为函数()()()z f z z ϕψ=的一阶极点,且()0,()0,()0a a a ϕψψ'≠=≠,则()Re ()z af z sf z ='=_____________________. 10.设a 为函数()f z 的m 阶极点,则()Re ()z af z sf z ='=_____________________. 三、计算题(50分)1.设221(,)ln()2u x y x y =+。

《复变函数论》精彩试题库及问题详解

《复变函数论》精彩试题库及问题详解

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.(n 为自然数) 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( ) 8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数试题库(含答案)

复变函数试题库(含答案)

复变函数一、选择题1. 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是( C )时, )(z f 在D 内解析. A. 可导函数B.调和函数C.共轭调和函数2、复积分()nCdzz a -⎰的值为( B ) (A) 0 (B) 0;2(C)(D)2i i ππ不存在 3、0z =是sin ()zf z z=的奇点类型是( D ) (A) (B) (C)(D) 一阶极点本性奇点不是奇点可去奇点 4、计算12()i eπ-的结果是( B )(A) (B) (C)(D)i i i ±-05、下列函数在z S 处处解析的是( C )(A) (B) (C)(D)z z e z z z e z zRe z f()=f()=f()=f()= 6.当x 〈0, y 0≥时,argz=( C ).A. π-x y arctan; B. x yarctan ; C π+x y arctan ; D. π2arctan +xy.7.argz 1z 2=( A )..A .argz 1+argz 2; B. argz 1+argz 2+2k π(k 是整数); C.argz 1+argz 2+2k 1π(k 1是某个整数); D.argz 1+argz 2+π. 8.下列集合是有界闭区域的是( C ) A 0<R z ≤;B Rez<2; C.1≤z 且Imz 0≥; D.1≥z 且 Rez>0 .9.方程z=t+)(R t ti∈在平面上表示的是( B ).A .直线y=x; B. 双曲线 y=x1;C 椭圆周;D 圆周 10.函数)(z f =z 在0z =处( A ). A. 连续B. 可导C. 解析11.ii-+23=( A ). A .i +1 i B +2. i C 32.+ i D -1.12.函数w=f(z)仅在点z 0可微,则w=f(z)在点z 0( D ) A 解析; B 某邻域内处处解析; C.不解析。

(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f (z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z )在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数。

( ) 3。

若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f (z )在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6。

若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

( ) 7。

若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f (z)的可去奇点. ( )8。

若函数f (z )在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠。

( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z )在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数。

( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2。

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________。

5。

幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。

6.若函数f (z )在整个平面上处处解析,则称它是__________。

7。

若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。

=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数。

9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。

复变函数考试试题

复变函数考试试题

复变函数考试试题复变函数考试试题一、选择题1. 下列哪个函数是复变函数?A. f(x) = 3x^2 + 2x + 1B. f(z) = z^2 + 1C. f(x) = e^xD. f(z) = |z|2. 设函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y),其中u(x, y)和v(x, y)为实函数,z = x + iy,那么下列哪个条件是复变函数的充分条件?A. u(x, y)和v(x, y)都满足柯西-黎曼方程B. u(x, y)和v(x, y)都是连续函数C. u(x, y)和v(x, y)都是可微分函数D. u(x, y)和v(x, y)都是可积函数3. 设f(z) = z^2 + 1,那么f(z)的共轭函数为:A. f(z) = z^2 - 1B. f(z) = z^2 + 1C. f(z) = z^2 - iD. f(z) = z^2 + i4. 设f(z) = e^z,那么f(z)的实部和虚部分别是:A. 实部:e^x,虚部:e^yB. 实部:cos(x),虚部:sin(y)C. 实部:e^x,虚部:sin(y)D. 实部:cos(x),虚部:e^y二、填空题1. 设f(z) = z^3,那么f(z)的导数为_________。

2. 设f(z) = e^z,那么f(z)的导数为_________。

3. 设f(z) = z^2 + 1,那么f(z)的积分为_________。

三、解答题1. 证明:若函数f(z)在某个区域D内解析,则f(z)在D内连续。

2. 设函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域D内解析,且满足柯西-黎曼方程,即u_x = v_y,u_y = -v_x。

证明:函数g(z) = u(x, y) - iv(x, y)也在区域D内解析。

3. 设函数f(z) = z^2 + z + 1,在区域D内解析。

求出D上的一个原函数F(z),并计算∮_C f(z)dz,其中C为D内的任意简单闭合曲线。

复变函数试题及答案

复变函数试题及答案

复变函数试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 下列哪个函数在全平面上是解析的?A. f(z) = |z|^2B. f(z) = e^zC. f(z) = ln(z)D. f(z) = 1/z答案:B2. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件?A. u满足柯西-黎曼方程B. v满足柯西-黎曼方程C. u和v满足柯西-黎曼方程D. u和v的一阶偏导数满足柯西-黎曼方程答案:C3. 设f(z) = u(r, θ)是解析函数,其中r和θ是极坐标系下的变量。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件?A. u满足极坐标下的柯西-黎曼方程B. f(z)在全平面上是解析的C. f(z)在圆心附近是解析的D. f(z)在正实轴上是解析的答案:A4. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若u和v满足柯西-黎曼方程,则A. f(z)在全平面上是解析的B. f(z)在实轴上是解析的C. f(z)在虚轴上是解析的D. f(z)在解析的那部分上满足柯西-黎曼方程答案:A5. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若f(z)在实轴上是解析的,则A. u(x, y)在全平面上是解析的B. v(x, y)在全平面上是解析的C. u(x, y)和v(x, y)满足柯西-黎曼方程D. u(x, y)和v(x, y)处处可微分答案:C二、填空题(每空5分,共30分)1. 若f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi是解析函数,则它的共轭函数为________。

答案:f*(z) = x^2 - y^2 - 2xyi2. 设f(z) = u(x, y)是解析函数,且满足柯西-黎曼方程的实部形式,则函数f(z)可表示为f(z) = ________。

复变函数考试试卷试题及答案各种总结.doc

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《复变函数》考试试题(一)一、 判断题( 20 分):1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导,则函数 f(z) 在 z 0 解析 .( )2. 有界整函数必在整个复平面为常数.()3. 若{ z n }收敛,则{Re z n } 与{Imz n }都收敛 .( )4. 若 f(z) 在区域 D 内解析,且f '( z),则 f ( z)C(常数) . ( )5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 . ( )6. 若 z 0 是f ( z)的 m 阶零点,则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .()lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限,则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 . ()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数,则f ' (z) 0(z D ) .( )9. 若 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf (z)dz 0 .C( )10. 若函数 f(z) 在区域 二. 填空题( 20 分)D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数. ()dz1、 |z z 0 | 1 ( zz )n__________. ( n 为自然数)2.sin 2 z cos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z21,则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析,则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n,则 nn______________.Re s(e zn ,0),其中 n 为自然数 .z9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z) lim f (z) ___10. 的极点,则z z.三. 计算题( 40 分):f (z)11. 设(z 1)( z 2) ,求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1 dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z) 3 271d{ z :| z | 3} ,试求 f ' (1 i ).Cz,其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 .证明:如果| f ( z) |在 D 内为常数,那么它在 D 内为常数 .2. 试证 : f (z) z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 ,并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√6.√ 7.×8.×9.× 10.×二.填空题2 i n 1;2. 1 ;3.2k, ( k z) ; 4.zi ; 5. 11.n 16. 整函数;7.;8.1 ;9. 0;10..(n1)!三.计算题 .1. 解因为0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 222. 解 因为z21Re s f (z) limlim1,coszsin zz2zz22Re s f (z)lim z 2 lim1 1 .coszsin zz2zz22所以1 dz2 i(Re s f (z) Re s f (z) 0 .z 2cos z z 2 z 23. 解 令( ) 3 2 71, 则它在 z 平面解析 , 由柯西公式有在 z 3内 ,f (z)c ( )dz 2 i (z) .z所以 f (1i ) 2 i (z) z 1 i2 i (13 6i ) 2 ( 6 13i ) .4. 解 令 za bi , 则wz 1 121 2( a 1 bi ) 1 2(a 1)2b.z 1 z 1 ( a 1)2 b 2( a 1)2 b 2 (a 1)2 b 2故 Re( z1 1 2(a 1), Im( z 1 2b2.) 2 b 2)2z 1 ( a 1)z 1 (a 1) b四.证明题 .1. 证明 设在 D 内 f ( z)C .令 f ( z) u iv ,2u 2 v 2 c 2 .则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数 ,得 uu x vv x 0(1) uu y vv y 0(2)因为函数在 D 内解析 , 所以 u x v y , u y v x . 代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x 0 . 消去 u x 得, (u 2 v 2 ) v x 0 .vu x uv x 01) 若 u2 v 2 0 , 则 f ( z)0 为常数 .2) 若 v x0,由方程 (1) (2)及 C.R. 方程有 u x 0, u y 0 , v y 0 .所以 uc 1, v c 2 . ( c 1, c 2 为常数 ).所以 f ( z) c1 ic 2为常数.2. 证明f ( z) z(1 z) 的支点为z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1的z平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发, 连续变动到z 0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该2z 1 的幅角为, 故f ( 1) i2i .分支在上岸之幅角为 0, 因而此分支在2e22《复变函数》考试试题(二)一 . 判断题 . ( 20 分)1. 若函数 f (z) u(x, y) iv ( x, y)在D内连续,则 ux,y)与 v x,y)都在 D内连续.( (z z( )2. cos 与sin 在复平面内有界 . ( )f ( z) 在 z0 f ( z) 在z03. 若函数解析,则连续 . ( )4. 有界整函数必为常数 . ( )5. 如 z0是函数 f ( z) 的本性奇点,则 lim ( ) 一定不存在 . ( )z z0f z6. 若函数 f ( z) 在 z0 可导,则 f ( z) 在z0 解析 . ( )7. 若 f ( z) 在区域 D内解析 , 则对 D内任一简单闭曲线 C f ( z)dz 0 .C( )8. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n} 都收敛. ( )9. 若 f ( z) 在区域 D 内解析,则 | f ( z)| 也在 D 内解析 .( )10. 存在一个在零点解析的函数 f ( z) 使 f ( 1 ) 0 且 f ( 1) 1 , n 1,2,... .n 1 2n 2n( )二. 填空题 . (20 分)1. 设z i ,则| z | __,arg z __, z __2. 设f ( z) ( x2 2 xy) i (1 sin( x2 y2 ), z x iy C ,则lim f ( z) ________.z 1 idz3.|z z 0 | 1( zz )n _________.( n 为自然数)4. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________ .n 05. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点且 m>0,则 z 0 是 f '( z) 的_____零点 .6.函数 e z 的周期为 __________.7. 方程 2z 5 z 3 3z 8 0 在单位圆内的零点个数为 ________.8. 设 f ( z)1 z2 ,则 f ( z) 的孤立奇点有 _________.19. 函数 f (z) | z |的不解析点之集为 ________.10.Res(z41,1) ____.z三 . 计算题 . (40 分 )1. 求函数sin(2z 3 )的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支, 并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值 .3. 计算积分:Ii1)| z | dz ,积分路径为( 1)单位圆( | z|i的右半圆 .4. 求 .四 . 证明题 . (20 分 )1.设函数 f ( z) 在区域 D 内解析,试证:f ( z) 在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D 内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题 .1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.× 6.×7.×8.√ 9.× 10.× .二. 填空题, i ; 2.3(1 sin 2)i ; 3.2 i n 1 ; 5.m 1.,n ; 4. 1216.2k i , ( k z) .7.0;8.i ;9.R ;10.0.三. 计算题1. 解 sin(2 z 3)( 1)n (2 z 3 )2n 1 ( 1)n 22n 1 z 6 n 3 .n 0(2 n 1)! n 0(2 n 1)!2. 解 令 z re i.i2 k2则 f ( z)zre ,(k0,1).又因为在正实轴去正实值,所以k 0 .所以 f (i)ie 4 .3. 单位圆的右半圆周为 z ei, 2.2i zdz2 deiei2 2i .所以i224. 解 =0.四.证明题 .1. 证明 (必要性 ) 令 f ( z)c 1ic2 , 则f ( z)c 1ic 2 . (c 1 ,c 2 为实常数).令 u(x, y)c 1, v( x, y)c 2 .则 u xv yu yv x0 .即 u, v 满足 C.( 充分性 ) 令 f ( z)R., 且 u x , v yu iv , 则 ,u y , v x 连续 ,f (z) u iv故 f (z) ,在D 内解析 .因为f ( z) 与 f ( z)在D 内解析,所以u x v y , u y比较等式两边得v x ,u x且u x v yu y(v)yv x0 . v y , u y从而在D ( v x )内 u, v v x .均为常数, 故f (z) 在D 内为常数 .2. 即要证“任一 n 次方程 a 0 zna 1zn 1a n 1za n0 ( a 0 0) 有且只有n个根” .证明 令 f (z) a 0 z na 1z n 1a n 1z a n0 , 取 Rmax a 1a n ,1 , 当a 0z在C : z R上时,有( z) a 1 R n 1a n 1 R a n ( a 1a n )R n 1 a 0 R n .f ( z) .由儒歇定理知在圆zR 内 , 方程 a 0 z n a 1z n 1a n 1 za n 0 与 a 0 z n0 有相同个数的根 . 而 a 0 zn 0 在 z R 内有一个n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R内有 n 个根 .《复变函数》考试试题(三)一 . 判断题 . (20 分 ).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析,则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析,则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ( )7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .( )8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9.若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 .( )10. 若z 0 是 f (z)的可去奇点,则 Res( f ( z), z ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分 )1. 设 f ( z) 1 ,则 f ( z) 的定义域为 ___________. 2 z 12.函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z n n 2 i (11) n ,则 lim z n __________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z ___________.dz5.|z z 0 | 1(z z ) n_________. ( n 为自然数)6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1fz 的孤立奇点有z 2 1,则7.( )__________.8.设ez1,则 z ___ .9.若 z 0 是 f (z)的极点,则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分 )11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分:e zdz,其中 C 是 | z | 1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1 内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在 D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n ,以及两个正数 R 及 M ,使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n,证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

《复变函数论》试题库

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《复变函数》考试试题(一)一、 判断题.(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题2分) 1.当复数0z =时,其模为零,辐角也为零. ( )2.若0z 是多项式110()n n n n P z a z a z a --=+++ (0)n a ≠的根,则0z 也()P z 是的根.( ) 3.如果函数()f z 为整函数,且存在实数M ,使得Re ()f z M <,则()f z 为一常数.( ) 4.设函数1()f z 与2()f z 在区域内D 解析,且在D 内的一小段弧上相等,则对任意的z D ∈,有1()f z 2()f z ≡. ( )5.若z =∞是函数()f z 的可去奇点,则Re ()0z s f z =∞=. ( )二、填空题.(每题2分)1.23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________. 2.设0z x iy =+≠,且arg ,arctan22y z xππππ-<≤-<<,当0,0x y <>时,arg arctany x =+________________.3.函数1w z=将z 平面上的曲线22(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线______________.4.方程440(0)z a a +=>的不同的根为________________. 5.(1)i i +___________________.6.级数20[2(1)]n n z ∞=+-∑的收敛半径为____________________.7.cos nz 在z n <(n 为正整数)内零点的个数为_____________________.8.函数336()6sin (6)f z z z z =+-的零点0z =的阶数为_____________________.9.设a 为函数()()()z f z z ϕψ=的一阶极点,且()0,()0,()0a a a ϕψψ'≠=≠,则()Re ()z af z sf z ='=_____________________.10.设a 为函数()f z 的m 阶极点,则()Re ()z af z sf z ='=_____________________.三、计算题(50分)1.设221(,)ln()2u x y x y =+。

(完整版)复变函数试题及答案

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2、计算积分
5z 2 z 2 z( z 1)2 dz
3、将函数 f z z 1 在 z 1的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范围 z1
x2
4、计算实积分 I= 0
(x2
1)( x 2
dx 4)
5、求 f ( z)
1 1 z2 在指定圆环 2
zi
内的洛朗展式
6、求将上半平面 Im z 0 共形映射成单位圆 w 1的分式线性变换
I=
1 2
(x2
x2 1)( x 2
dx 4)
= 1 2 i Re s f ( z) Resf (z)
2
zi
z 2i
z2
=i (z
i )( z2
4) z i
z2 ( z2 1)( z 2i ) z 2i
= 6
5 解: f ( z)
1
( z i)( z i )
1
1
=
2
(z i) 1
2i
zi
= 6 解:
1
(z
i)2
n
(
0
1) n
(2i )n (z i )n
w =L(i)=k z i zi
2i
w
k (z
i)2
2 zi
-3 -
6分
…4 分 …6分 …1 分 …2 分 …3 分 …5 分 …6 分 …1 分 …3 分
…6 分 2分
…3 分
____________________________________________________________________________________________________________
w L z ,使符合条件 L i 0 , L i 0

复变函数考试试题及答案

复变函数考试试题及答案

C.第三象限
D.第四象限
B. 2k- , k 0,1, 4
D. 2k , k 0,1, 4

A. ze z ez 1
B. ze z ez 1
C. ze z e z 1
D. ze z ez 1
7.幂级数 z n-1 的收敛半径为(
n1 n!

A.
B. 0
C.1
D.2
8. z
是函数
B.Rez=π
C.π-arctan 1
2
) C.椭圆
C.|z|=0
D.π+arctan 1
2
D.双曲线
D.argz=π
4.复数 e3i 对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
5.设 w=Ln(1-i),则 Imw 等于( )
A.- 4
C. 4
6.设函数 f(z)= z e d ,则 f(z)等于( 0
复变函数模拟题 1
一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)
1.复数 z 16 - 8 i 的辐角主值为( ) 25 25
A. arctan 1
2
B.-arctan 1
2
2.方程 Rez2 1所表示的平面曲线为(
A. 圆
B.直线
3.设 z=cosi,则( )
A.Imz=0
23. y(t) L1[ s 2 s 2 ] 1 4 e2t 8 e3t
s(s 2)(s 3) 3 5
15
11.
z
0 为函数
f
z
1 cos z8
z
的_____级极点.
12.设 f(z)=zez, 则 f (z)

复变函数试题库完整

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z f(z)limf(z)—10.若z 0是f (z)的极点,则z z0.三•计算题(40分):1(z 1)(z 2),求 f(z)在 D {z :0 l zl1}dz.2. |z| 1 cosz3 27 13. 设 f(z) C —,其中 C {z :|z| 3},试求 f '(1i).z 1 w --------4. 求复数 z 1的实部与虚部. 四.证明题.(20分) 1. 函数 f(z) 在区域D 内解析.证明:如果 |f(z)| 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 试证:f (z) z(1 z)在割去线段0 Rez 1的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线 0 Rez 1上岸取正值的那支在 z 1 的值.《复变函数论》试题库梅一 A111《复变函数》考试试题(一)dz__________ . ( n 为自然数)|zz 0|1(z z 0)nf(z)1.设内的罗朗展式1 2.sin 2z cos 2z3•函数sinz 的周期为 _____________f (z )2 f(z)4. 设z 1,则f(z)的孤立奇点有 __________________ .5. 幕级数nz n 的收敛半径为 ____________ .n 06. 若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是 ______________lim z n7.若nlim z , Z 2z n,则nze Res( n ,0)8. z __________________ ,其中n 为自然数. 9.匹的孤立奇点为_《复变函数》考试试题(二)三.计算题.(40分)二.填空题.(20分)1•设z ,argz ,z2. 设f(z) (x2 2xy) i(1 sin(x2 y2), z x iy C呵“)dz3. |z zo| 1(z z°)n.(n为自然数)4. 幕级数nz n的收敛半径为n 05. 若z o是f(z)的m阶零点且m>0,贝y z o是f'(z)的 ____ 零点.6. 函数e z的周期为7. 方程2z5 z3 3z 8 0在单位圆内的零点个数为8. 设f(z)乙,贝U f(z)的孤立奇点有1 z9. 函数f (z) | z |的不解析点之集为10. Res(斗,1)z1.求函数sin(2z‘)的幕级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数■. z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i处的值.3.计算积分:|的右半圆.iz4.求sin z2(z 2)-dz2i」z|dz ,积分路径为(1)单位圆(| z |1)四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析,试证:f(z)在D内为常数的充要条件是f (z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二.填空题.(20分)11. 设f⑵—一,则f(z)的定义域为____________z 12. 函数e z的周期为__________ .6. 幕级数nx n的收敛半径为______________ .n 017. 设f(z) ~,贝y f(z)的孤立奇点有___________8. 设e z1,则z ____ .9. 若z是f(z) 的极点,则lim f(z)—.z Z09 6 24.求z 2z z 8z 2 0在| z|<1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数f (z)在区域D内解析.证明:如果|f(z) |在D内为常数, 那么它在D内为常数2.设f(Z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数ze10. Res(〒0) ______ .z三•计算题• (40分)1.将函数f (z) z2e z在圆环域0 zR及M,使得当| Z| R时| f(z)| M |z|n,证明f(z) 是一 -个至多n次的多项式或一常数。

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复变函数试题库————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题(一)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z I d ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________. 3. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z nz z dz_________.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ,则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题(四)二. 填空题. (20分)1. 设iz -=11,则___Im __,Re ==z z .2. 若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→nz z z nn (i)21______________.3. 函数e z 的周期为__________.4. 函数211)(z z f +=的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f (z )在复平面上处处解析,则称它是___________.6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D 内的_____________.7. 设1|:|=z C ,则___)1(=-⎰Cdz z .8. zz sin 的孤立奇点为________.9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10.=)0,(Res n zze _____________.三. 计算题. (40分)1. 解方程013=+z .2. 设1)(2-=z e z f z,求).),((Re ∞z f s3..))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z.4. 函数()f z =z e z111--有哪些奇点?各属何类型(若是极点,指明它的阶数).四. 证明题. (20分)1. 证明:若函数)(z f 在上半平面解析,则函数)(z f 在下半平面解析.2. 证明0364=+-z z 方程在2||1<<z 内仅有3个根.《复变函数》考试试题(五)二. 填空题.(20分) 1. 设i z 31-=,则____,arg __,||===z z z .2. 当___=z 时,z e 为实数.3. 设1-=z e ,则___=z .4.z e 的周期为___.5. 设1|:|=z C ,则___)1(=-⎰Cdz z .6. ____)0,1(Res =-ze z .7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D 内的_____________。

8. 函数211)(zz f +=的幂级数展开式为_________. 9. zz sin 的孤立奇点为________.10. 设C 是以为a 心,r 为半径的圆周,则___)(1=-⎰C n dz a z .(n 为自然数)三. 计算题. (40分)1. 求复数11+-z z 的实部与虚部.2. 计算积分:z z I Ld Re ⎰=,在这里L 表示连接原点到1i +的直线段. 3.求积分:I =⎰+-πθθ202cos 21a a d ,其中0<a<1.4.应用儒歇定理求方程)(z z ϕ=,在|z|<1内根的个数,在这里)(z ϕ在1||≤z 上解析,并且1|)(|<z ϕ.四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外,处处不可微.2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明:)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题(六)1.一、填空题(20分)1. 若21(1)1n n n z i n n+=++-,则lim n z =___________. 2. 设21()1f z z =+,则()f z 的定义域为____________________________.3. 函数sin z 的周期为_______________________.4.22sin cos z z +=_______________________.5. 幂级数nn nz+∞=∑的收敛半径为________________.6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >,则0z 是()f z '的____________零点.7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析,则称它是______________.8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________.9. 方程532380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10. 公式cos sin ixe x i x =+称为_____________________. 二、计算题(30分)1、2lim 6nn i →∞-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 2、设2371()C f z d z λλλλ++=-⎰,其中{}:3C z z ==,试求(1)f i '+. 3、设2()1ze f z z =+,求Re ((),)s f z i .4、求函数36sin z z 在0z <<∞内的罗朗展式.5、求复数11z w z -=+的实部与虚部. 6、求3i eπ-的值.三、证明题(20分)1、 方程7639610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6.2、 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析,(,)v x y 等于常数,则()f z 在D 恒等于常数.3、 若0z 是()f z 的m 阶零点,则0z 是1()f z 的m 阶极点.6.计算下列积分.(8分) (1)22sin ()2z z dz z π=-⎰Ñ; (2) 2242(3)z z dz z z =--⎰Ñ.7.计算积分2053cos d πθθ+⎰.(6分)8.求下列幂级数的收敛半径.(6分)(1) 1(1)nnn i z ∞=+∑; (2) 21(!)nn n n z n ∞=∑.9.设3232()()f z my nx y i x lxy =+++为复平面上的解析函数,试确定l ,m ,n 的值.(6分)三、证明题.1.设函数()f z 在区域D 内解析,()f z 在区域D 内也解析,证明()f z 必为常数.(5分) 2.试证明0az az b ++=的轨迹是一直线,其中a 为复常数,b 为实常数.(5分)试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题(一)参考答案二.填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 2. 1; 3. 2k π,()k z ∈; 4. z i =±; 5. 16. 整函数;7. ξ;8. 1(1)!n -; 9. 0; 10. ∞.三.计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑. 2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题(二)参考答案二. 填空题1.1,2π-, i ; 2. 3(1sin 2)i +-; 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4. 1; 5. 1m -. 6. 2k i π,()k z ∈. 7. 0; 8. i ±; 9. R ; 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值,所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题(三)参考答案二.填空题.1.{},z z i z C ≠±∈且;2. 2()k i k z π∈;3. 1ei -+;4. 1;5. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 6. 1; 7. i ±; 8. (21)z k i π=+; 9. ∞; 10. 1(1)!n -.三. 计算题.1. 解 12222011(1)2!!n zn z z e z z z n -+∞==+++⋅⋅⋅=∑.2. 解 11!(1)11lim lim lim()lim(1)(1)!n n n n n n n n n n c n n n e c n n n n +→∞→∞→∞→∞+++=⋅==+=+.所以收敛半径为e .3. 解 令 22()(9)z e f z z z =-, 则 2001Re ()99z z z e s f z z ====--.故原式022Re ()9z i i s f z ππ===-.4. 解 令 962()22f z z z z =-+-, ()8z z ϕ=-.则在:C 1z =上()()f z z ϕ与均解析, 且()6()8f z z ϕ≤<=, 故由儒歇定理有(,)(,)1N f C N f C ϕϕ+=+=. 即在 1z < 内, 方程只有一个根. 四. 证明题.1. 证明 证明 设在D 内()f z C =. 令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数.2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时, ()1!()!(0)2nk k kz rk f z k Mr f dz z r π+=≤≤⎰. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有()(0)0k f =.故0()nn nk f z c z==∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.《复变函数》考试试题(四)参考答案.二. 填空题.1. 12, 12; 2. ξ; 3. 2()k ik z π∈; 4.20(1)(1)n nn zz ∞=-<∑; 5. 整函数;6. 亚纯函数;7. 0;8. 0z =;9. ∞; 10. 1(1)!n +.三. 计算题. 1.i i z i z ii z k k i k z z 232135sin 35cos1sin cos 23213sin 3cos 2,1,032sin 32cos1:3213-=+=-=+=+=+==+++=⇒-=ππππππππππ解2. 解 11Re ()12z z z e e s f z z ====+, 111Re ()12z z z e e s f z z -=-=-==+-.故原式1112(Re ()Re ())()z z i s f z s f z i e e ππ-==-=+=-.3. 解 原式22Re ()295z iz izi s f z iz πππ=-=-===-.4. 解 z e z 111--=)1(1-+-z ze z e z ,令0)1(=-z e z ,得i k z z π2,0==,Λ,2,1±±=k 而z z zz z z z z z ze e e z e e z z e +--=-+-=--→→→11lim )1(1lim )111(lim 00021lim 0-=++-=→z z z z z ze e e e 0=∴z 为可去奇点 当i k z π2=时,01),0(≠+-≠ze z k而[]0212)1(≠=+-=='-ik z ze ei k z zezzzππ i k z π2=∴为一阶极点.四. 证明题.1. 证明 设()()F z f z =, 在下半平面内任取一点0z , z 是下半平面内异于0z 的点, 考虑 000000000()()()()()()limlim limz z z z z z F z F z f z f z f z f z z z z z z z →→→---==---. 而0z , z 在上半平面内, 已知()f z 在上半平面解析, 因此00()()F z f z ''=, 从而()()F z f z =在下半平面内解析.2. 证明 令()63f z z =-+, 4()z z ϕ=, 则()f z 与()z ϕ在全平面解析, 且在1:2C z =上, ()15()16f z z ϕ≤<=,故在2z <内11(,)(,)4N f C N C ϕϕ+==.在2:1C z =上, ()3()1f z z ϕ≥>=,故在1z <内22(,)(,)1N f C N f C ϕ+==.所以f ϕ+在12z <<内仅有三个零点, 即原方程在12z <<内仅有三个根.一. 判断题.1.√2.√ 3.×4.√5.× 6.× 7.× 8.√ 9.√ 10.√. 二. 填空题.1.2, 3π-, 13i +; 2. 2(,)a k ik z a π+∈为任意实数; 3. (21)k i π+, ()k z ∈; 4. 2,()k i k z π∈; 5. 0; 6. 0;7. 亚纯函数; 8. 20(1)(1)n nn z z ∞=-<∑; 9. 0; 10. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩.三. 计算题.1. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 2. 解 连接原点及1i +的直线段的参数方程为 (1)01z i tt =+≤≤, 故{}11001Re Re[(1)](1)(1)2c izdz i t i dt i tdt +=++=+=⎰⎰⎰.3. 令i z e θ=, 则dz d izθ=. 当0a ≠时212()(1)12cos 1()z a az a a a z z a zθ----+=-++=, 故11()(1)z dz I i z a az ==--⎰, 且在圆1z <内1()()(1)f z z a az =--只以z a =为一级极点,在1z =上无奇点, 故211Re (),(01)11z a z a s f z a az a ====<<--, 由残数定理有 2122Re (),(01)1z a I i s f z a i a ππ===≤<-.4. 解 令(),f z z =- 则(),()f z z ϕ在1z ≤内解析, 且在:C 1z =上, ()1()z f z ϕ<=,所以在1z <内, (,)(,)1N f C N f C ϕ+==, 即原方程在 1z <内只有一个根. 四. 证明题.1. 证明 因为22(,),(,)0u x y x y v x y =+≡, 故2,2,0x y x y u x u y v v ====.这四个偏导数在z 平面上处处连续, 但只在0z =处满足..C R -条件, 故()f z 只在除了0z =外处处不可微.2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时, ()1!()!(0)2nk k kz rk f z k Mr f dz z r π+=≤≤⎰. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有()(0)0k f =.故0()nn nk f z c z==∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.二、填空题:1. 1ei -+ 2. 1z ≠± 3. 2π 4. 1 5. 16. 1m -阶7. 整函数8. £9. 0 10. 欧拉公式 三、计算题: 1. 解:因为21151,69366i -=+=< 故2lim()06nn i →∞-=. 2. 解:123,i +=<Q1()()2C f f z d i zλλπλ∴=-⎰ 2371.C d zλλλλ++=-⎰ 因此 2()2(371)f i λπλλ=++ 故2()2(371)f z i z z π=++1(1)2(67)2(136)2(613)i f i i z i i i πππ+'+=+=+=-+.3.解:211()12z z e e z z i z i =⋅+++-Re ((),).2ie sf z i ∴=4.解:3213(1)()sin ,(21)!n n n z z n +∞=-=+∑36360sin (1).(21)!n n n z z z n ∞-=-∴=+∑5.解:设z x iy =+, 则222211(1)211(1)z x iy x y yiw z z iy x y --++-+===+++++. 22222212Re ,Im .(1)(1)x y yw w x y x y +-∴==++++6.解:31cos()sin()(13).332i ei i πππ-=-+-=-四、1. 证明:设673()9,()61,f z z z z z ϕ==+-则在1z =上,()9,()1618,f z z ϕ=≤++= 即有()()f z z ϕ>.根据儒歇定理,()f z 与()()f z z ϕ+在单位圆内有相同个数的零点,而()f z 的零点个数为6,故7639610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6.2.证明:设(,)v x y a bi =+,则0x y v v ==, 由于()f z u iv =+在内D 解析,因此(,)x y D ∀∈有 0x y u v ==, 0y x u v =-=.于是(,)u x y c di ≡+故()()()f z a c b d i =+++,即()f z 在内D 恒为常数. 3.证明:由于0z 是()f z 的m 阶零点,从而可设0()()()mf z z zg z =-,其中()g z 在0z 的某邻域内解析且0()0g z ≠, 于是0111()()()m f z z z g z =⋅- 由0()0g z ≠可知存在0z 的某邻域1D ,在1D 内恒有()0g z ≠,因此1()g z 在内1D 解析,故0z 为1()f z 的m 阶极点.。

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