长沙理工大学往届高等数学试题及答案
长沙理工大学高等数学 练习册 第五章 定积分答案
习题5.1略习题5.2—5.3（A ）一 计算下列定积分1．⎰203cos sin πxdx x解：原式2342011cos cos cos 44xd x x ππ=-=-=⎰2．⎰-a dx x a x 0222解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2π=t原式⎰⋅⋅=2022cos cos sin πtdt a t a t a()⎰⎰-==2420244c o s 182s i n 4ππdt t a tdt a 42044164sin 41828a t a a πππ=-=3．⎰+31221xxdx解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为4π，3π原式θθθθππd tg ⎰=3422sec sec()⎰-=342s i n s i n ππθθd3322-=4．⎰--1145xxdx解：令u x =-45，则24145u x -=，udu dx 21-= 当1-=x ，1时，1,3=u 原式()61581132=-=⎰du u 5．⎰+411x dx解：令t x =，tdt dx 2=当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=⎰⎰⎰2121211212t dt dt t tdt ()[]32ln 221ln 22121+=+-=t t6．⎰--14311x dx解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43=x 时0,21=u 原式2ln 21111212210021-=-+-=--=⎰⎰du u u du u u7．⎰+21ln 1e xx dx解：原式()⎰⎰++=+=2211ln 1ln 11ln ln 11e e x d xx d x232ln 1221-=+=e x8．⎰-++02222x x dx解：原式()()⎰--+=++=0222111x arctg x dx()24411πππ=+=--=a r c t g a r c t g9．dx x ⎰+π2cos 1解：原式⎰⎰==ππ2cos 2cos 2dx x dx x()⎰⎰-+=πππ220c o s 2c o s 2dx x xdx22s i n s i n 2220=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππx x 10．dx x x ⎰-ππsin 4解：∵x x sin 4为奇函数∴⎰-=ππ0sin 4xdx x11．dx x ⎰-224cos 4ππ解：原式()⎰⎰=⋅=222204cos 22cos 24ππdx x xdx()()⎰⎰++=+=2022022cos 2cos 2122cos 12ππdx x x dx x()⎰⎰+++=220204cos 12cos 22πππdx x xdx x⎰+++=202044cos 4122sin 2ππππx xd x πππ234sin 412320=+=x12．⎰-++55242312sin dx x x xx 解：∵12sin 2423++x x xx 为奇函数 ∴012sin 552423=++⎰-dx x x xx13．⎰342sin ππdx x x解：原式⎰-=34ππxdctgx⎰+-=3434ππππc t g x d xx c t g x 34s i nln 9341πππx +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 22ln 23ln 9341-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 23ln 219341+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 14．⎰41ln dx xx解：原式⎰=41ln 2x xd⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰4141ln ln 2x d x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰4112ln 42dx x x⎰--=412122ln 8dx x42ln 8-= 15．⎰10xarctgxdx解：原式⎰=10221arctgxdx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰1022102121dx x x arctgx x ⎰⎰++-=10210121218x dx dx π101021218a r c t g xx +-=π214-=π16．⎰202cos πxdx e x解：原式⎰=202sin πx d e x⎰⋅-=2022022s i n s i nππdx e x x e x x⎰+=202c o s2ππx d e e x ⎰⋅-+=2022022c o s 2c o s 2πππdx e x x e e x x⎰--=202c o s 42ππx d x e e x故()251cos 202-=⎰ππe xdx e x 17．()dx x x ⎰π2sin 解：原式()⎰⎰-==ππ2222cos 1sin dx xx dx x x ⎰⎰-=ππ02022c o s2121x d x x dx x ⎰-=ππ0232s i n 4161x d x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--=⎰πππ002322s i n 2s i n 416x d x x x x⎰-=ππ032c o s 416x xd 462c o s 2c o s 4163003πππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰x d x x x 18．()dx x e⎰1ln sin解：原式()()⎰⋅-=eedx xx x x x 111ln cos ln sin()⎰-=edx x e 1ln cos 1sin()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=⎰e e dx x x x x x e 111ln sin ln cos 1sin()⎰-+-=edx x e e 1ln sin 11cos 1sin故()()11cos 1sin 2ln sin 1+-=⎰edx x e19．⎰--243cos cos ππdx x x解：原式()⎰--=242cos 1cos ππdx x x()⎰⎰+-=-2004s i n c o s s i n c o s ππx d xx dx x x ()()2230423c o s 32c o s 32ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-x x 32344-=20．⎰+4sin 1sin πdx xx解：原式()⎰--=42sin 1sin 1sin πdx xx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4022c o s s i n πdx x tg x x ()⎰⎰---=402421s e c c o s c o s ππdx x xx d ()242c o s 14040-+=--=πππx t g x x 21．dx xxx ⎰+π02cos 1sin解：令t x -=2π，则原式⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2222cos 12sin 2πππππdt t t t ⎰-+-+-=2222s i n 1c o s s i n 1c o s2πππdt t t t t t ()4s i n s i n 1c o s 220202πππππ==+=⎰t a r c t g dt t t 22．⎰-+2111lndx xxx 解：原式⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=2102211ln x d x x ()()()⎰--+--⋅+-⋅--+=210222102111111211ln 2dx x x x x x x x x x ⎰-+=210221l n 3l n 81dx x x ⎰⎰-++=210221013ln 81x dxdx21011ln 21213ln 81+-++=x x3ln 8321-=(B)一 解答1．求由0cos 0=+⎰⎰xyt tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。
理工大学高等数学第二学期期末试卷及答案
系部 专业班级 学号 姓名 密封线 答题留空不够时，可写到纸的背面 注意保持装订完整，试卷折开无效 装订线
4、已知两直线的方程是 则过且平行于
的平面方程是
三、 计算题 （每小题 7 分，共 14 分）
1、设 ，求．
解
， 4 分
7 分
2、设，求
. 解: 因为
，所以
6分
． 7分
理工大学考试试卷
(2011-2012 学年度第 二 学期)
课 程 名 称：高等数学（一） B 卷
命 题：高等数学教研室
题号 一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
一、 单项选择题 （每小题3分，共12分） 1．设有连续的一阶偏导数，则（
）． （A ）； （B ）
； （C ）
； （D ）
2、，是圆
在第一象限从点到点
的
一段，则 ( ) ．
（A ）
, （B ）, （C ）
, （D ）
3、下列无穷积分收敛的是（D ）. （A ）
(B)
(C)
(D)
4、二阶微分方程的通解是（ A ）.
（A ）； （B ）； （C ）
； （D ）
二、 填空题 （每小题3分，共 12分） 1、改变二次积分的积分次序
．
2、设, 则.
3、 ．
11
∑+∑∑-⎰⎰⎰⎰
2x y dxdydz Ω+-⎰⎰⎰
⎰⎰（注意z 的积分限应该为。
长沙理工大学大一高数期末考精彩试题(精)
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x=处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 20)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x Ax ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x'+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
长沙理工大学高等数学期末考试试卷及答案
一、单项选择题（共20分，5个小题，每小题4分）1.已知1=a，2=b ，且两个向量的夹角为4π，则=+b a （）。
A.1B.21+ C.2D.5答案：D 。
考点：向量的运算。
解答：()()b a b a b a+⋅+=+ba b b a a ⋅+⋅+⋅=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅++=∧b a b a b a,cos 2225222221=⋅⋅++=。
注释：了解向量的各种运算和性质，掌握两向量的点积和叉积运算。
此题利用了2a a a=⋅。
2.函数xy z =在点()0,0处满足（）。
A.连续但偏导数不存在B.连续且偏导数存在C.偏导数存在但不连续D.可微答案：B 。
考点：多元函数在一点连续、可导、可微的定义。
解答：令()xyy x f z ==,（1）连续()()0,00lim,lim 0000f xy y x f y x y x ===→→→→则()xy y x f z ==,在()0,0处连续。
（2）可导()()()000lim 0,00,lim0,000=∆-=∆-∆=→∆→∆x x f x f f x x x 类似()00,0=y f ，则()xy y x f z ==,在()0,0处可导。
（3）可微()()y x f y x f z ∆∆=-∆∆=∆0,0,()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆22220,00,0y x o y x o y f x f y x 因为()()2202200limlimy x xy y x yx y x y x +=∆+∆∆∆→→→∆→∆，当()y x ,沿kx y =趋向()0,0时，该极限不存在，则()()⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆≠∆∆22y x o y x ，即()()0,0,f y x f z -∆∆=∆()()()()⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆≠220,00,0y x o y f x f y x ，故()xy y x f z ==,在()0,0处不可微，偏导数不连续（偏导连续则可微的逆否命题）。
长沙理工大学往届高等数学试题及答案.
长沙理工大学高等数学试题及答案一、单项选择题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多项选择或未选均无分。
1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，那么[]ϕ=f (x)〔 〕 2．()002lim 1cos t t xx e e dt x -→+-=-⎰〔 〕A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，那么必有〔 〕4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，那么f(x)在点x=1处〔 〕A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，那么f(x)=〔 〕二、填空题〔本大题共10小题，每空3分，共30分〕请在每题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，那么函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.某产品产量为g 时，总本钱是2g C(g)=9+800，那么生产100件产品时的边际本钱100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =那么dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题〔一〕〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy. 17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
长沙理工大学2017学年期末《高等数学》考试卷三及答案-(A3版)
弟1页/（共4页） 弟2页/（共4页）长沙理工大学2017学年期末《高等数学》考试（考试时间90分钟，满分100分）一．解答下列各题(6分*10): 1．求极限)1ln(lim 1xx e x ++→.2.设⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y tt x ，求22d d x y.4.判定级数()()0!12≥-∑∞=λλλn nn n n e 的敛散性. 5.求反常积分()⎰-10d 1arcsin xx x x.6.求⎰x x x d arctan .7.⎰-π3d sin sin xx x .8.将⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间.9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x xx y 的解.10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点()()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值.四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间?五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞=-02n nxe x 在[),0+∞上一致收敛.（2）求幂级数()∑∞=-----122121212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数.六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()⎰''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=baf a b b a f a b dx x f ξ32412第3页/共4页 第4页/共4页参考答案一、1.()()()1111000ln 1lim ln 1lim 2lim 51611x x xx x x xe e x e e x +++→→→⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭'''+=== ⎪⎝⎭+2.()()2256dy a dx ⎫''=+= 3.()()()()2223333313, 6222241dy t d y dt t dx t dx dx t -''==+==--4.()()()lim 3,5.1nn n e e n e λρλλλ→∞⎛⎫'''==≤> ⎪+⎝⎭时，收敛，时，发散65.原式()(()()21100lim 2lim arcsin 564εεεεπ++--→→'''===⎰6.()()2211arctan arctan 3arctan 6222x x xx xdx xd x C ++''==-+⎰⎰7.原式=()()()0242cos )463x dx xdx x dx πππ'''=+-=⎰⎰8.()()02n f x a '∴=为奇函数，()()2201221sin sin cos sin 4222n n n b f x n dx x n dx n n πππππππππππ-⎛⎫'===-+ ⎪⎝⎭⎰⎰()()()()()()11211112sin 21sin 2,,,,62222221n n n n f x n x nx x nn πππππππ--∞∞==--⎡⎫⎛⎫⎛⎤'=-+∈--⋃-⋃⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦-∑∑9.分离变量得，()23,4dy dx y x x '=-积分得)6y '=10.()()1222211212112 2262y y V x dy or V xf x dx ππππππ'=⋅+-⋅===⎰⎰二、()()()()()4ln 4232ln 3ln 1243f x x x ⎡⎤''=-+=++-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()()1143ln 3126nn nn x n ∞-=⎛⎫⎪⎝⎭'=+--∑()4121,3x -<-≤收敛区间为()511844x '<≤三、由()2sin 01y x x =≤≤得：[]()222cos 0,sin 0,1y x x y x ''=≥∴=在上单调增.2所求面积()()()12222120sin sin sin sin 3a aS S S a x dx x a dx '=+=-+-⎰⎰()()()1222021sin sin sin 013aaa a x dx x dx a '=--+≤≤⎰⎰()()()211221cos 5,0,0722ds ds dsa a a a a da da da ''=-<<>>时，时，()11.22s a a a ∴==在处取得极小值，据题意，时，s的值最小四、设物体在时刻t 的温度为()T t ，由冷却定律及题设条件得，()()()3040100dTk T dtT ⎧=--⎪'⎨⎪=⎩，解之得：()306kt T Ce -'=+，代入得，70C =，即3070kt T e -=+，再由()1570,T =得()17ln 7154k '=，即1570ln730ln 4T T =-又40T =得()52t ≈分五、1.()()22,2nxnxnxn n f x x e f x xenx e---'==-，令0,n f '=得2x n =()()22224,0,4nx nx nx n n f x e nxe n x e f n ---⎛⎫'''''=-+< ⎪⎝⎭2x n =为()n f x 在[)0,+∞上的唯一极大值，()()22246n n f x f e n n -⎛⎫'∴≤= ⎪⎝⎭2.()()()121lim122224n n n u x x x u x +→∞'=<=±-时收敛，时发散，收敛域为（，）令()()()()12221112132n n n n n S x x -∞--=--'=∑，弟5页/（共4页） 弟6页/（共4页）()()()()2111222100112111522n xxn n n n n n n x s t dt t dt -∞∞----==-⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰()()()()()222202228278444xx x x S t dt S x x x x '-⎛⎫''∴=== ⎪++⎝⎭+⎰，故六、方法1：()()()()22023a bb a bba b aaf x dx f a t f b t +-+'=+=++-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()()()220b a b at f a t f b t f a t f b t dt--=++--++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰()()()22022b aa b t f b a f a t f b t -+⎛⎫''=--+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()()22012b a t f a t f b t dt -''''+++-⎡⎤⎣⎦⎰()()()2201,0,222b aa b b a f b a f a f b t dt ηηη-+-⎛⎫⎡⎤''''=-+++-∈⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰()()()[]()31,,6224a b f b a f b a a b ξξηη+⎛⎫'''=-+-∈+- ⎪⎝⎭方法2：根据taylor 公式()()()2122222!2a b a b a b a b f x f f x f x η++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()214222bb aa ab a b f x dx b a f f x dx η++⎛⎫⎛⎫'''=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()[],f x a b M m''在上连续，不妨设最值分别为和，从而()222222b b a a a b a b a b m x dx f x dx M x dx η+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-≤-≤- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ ()()()()223132212bb aa ab a b f x dx f x dx f b a ηξ++⎛⎫⎛⎫''''''∴-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 故()()()()()316224baa b f x dx b a f b a f ξ+⎛⎫'''=-+- ⎪⎝⎭⎰方法3：设()f x 的原函数为()F x ，则()()()()()(),b baaF x f x f x dx F x dx F b F a ''===-⎰⎰对于函数()F x ，有Taylorg 公式()()22112222223!2a b a b a b a b a b a b F b F F b F b F b ξ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''=+-+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()31122222262a b a b b a a b b a b a F f f f ξ++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2321122222262a b a b a b a b a b a b F a F f f f ξ++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是，()()()()()()3121262b aa b b a F b F a f x dx b a f f f ξξ+-⎛⎫⎛⎫''''-==-++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎰又()f x ''连续，故必有[],a b ξ∈，使得()()()122f f f ξξξ''''''+=。
长沙理工大学近年高数上期末考题(1)
长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………………一、填空题：（本题总分16分，每小题4分）1．已知11xf x x =-()()，为使f x ()在0x =点连续，则应补充定义0f =() ．2．已知225lim 232n a n bn n →∞++=-，则a = ，b = ．3．设f x ()的一个原函数是cos x ，则f x '=() ．4．已知220d sin d d x t t x =⎰ ．二、选择题：（本题总分16分，每小题4分） 1．设f x ()在0x x =处可导，则000limx f x x f x x∆→-∆-=∆()()( )A ．0f x '-()B ．0f x '-()C ．0f x '()D ．02f x '()2．下列函数在1, e []上满足拉格朗日定理条件的是( )A ．ln ln xB ．1ln x C ．ln xD ．ln 2x -() 3．根据估值定理，积分201d 103cos x x+⎰π的值在区间( )内A ．7, 13[]B ．0, 2[]πC ．11, 137⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22, 137⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ 4．函数3226187f x x x x =--+()的极大值是( )A ．10B ．11C ．17D ．9三、计算题：（本题总分64分，每小题8分） 1．求极限120lim 1xx x →+().2．若隐函数y y x =()由方程22ln arctanyx y x+=()确定，求y x '(). 3．设曲线C 的参数方程是()2e ee e t tt tx y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，求曲线C 上对应于ln2t =的点的切线方程.4．求x . 5．求0x ⎰.6．求330+e e d lim2xx t x t tx-→∞⎰. 7．求2 cos d x x x ⎰.8．已知曲线22y x x =-与2g x ax =()围成的图形面积等于323，求常数a . 四、证明题：（本题总分4分，每小题4分）设f x ()在a b [,]上连续，在a b (,)可导，且0f x '≤()，记d xaf t tF x x a=-⎰()()，证明：在a b (,)内有0F x '≤().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分20分，每小题4分）1．极限201sinlimsin x x x x→的值为( ) A ．1 B ．∞ C ．不存在 D ．02．若函数e , 0sin 2, 0ax x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩()在0x =处可导，则a ，b 的值为( )A ．21a b ==,B ．12a b ==,C ．21a b =-=,D ．21a b ==-,3．设函数221xf x x =+()，则f x ()在( ) A ．-∞+∞(,)上单调增加 B ．-∞+∞(,)上单调减少 C ．11-(,)上单调增加，其余区间单调减少 D ．11-(,)上单调减少，其余区间单调增加4．设f x ()连续，则22d d d x tf x t t x -=⎰() ( ) A ．212f x () B ．2xf x () C ．22xf x ()D ．22xf x -() 5．设线性无关的函数123, y y y ,都是二阶非齐次线性方程y p x y q x y f x '''++=()()()的解，12C C ,是任意常数，则该非齐次方程的通解可以是( )A ．11223C y C y y ++B ．1122123C y C y C C y +-+() C ．11221231C y C y C C y +---()D ．11221231C y C y C C y ++--()二、填空题：（本题总分20分，每小题4分） 1．已知函数211f x x =+()，则0f '''=() ． 2．微分方程230y y y '''++=的通解为 ． 3．20ln cos limx xx →= ．4．22sin d 1cos x x x x-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ππ ．5．21ln d 1xx x +∞=+⎰()． 三、解答题：（本题总分60分，每小题10分）1．求函数ln 1sin f x x a x bx x =+++()()，3g x kx =()，若f x ()与g x ()在0x →时是等价无穷小，求a ，b ，k .2．设2arctan 2e 5tx t y ty =⎧⎨-+=⎩确定了函数y y x =()，求y x '(). 3．计算1x ⎰，其中1ln 1d x t f x t t +=⎰()(). 4．证明：21arctan ln 12x x x ≥+().5．过曲线0y x =≥()上点A 做切线，使该切线与曲线及x 轴围成的平面图形D 的面积等于34. (1) 求A 点的坐标；(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 6．设0e d xx f x x t f t t =--⎰()()()，其中f x ()是连续函数，求f x ().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分16分，每小题4分）1．设函数 22f x x x =-<<(),，则1f x -()的值域为( )A ．[0,2)B ．[0,3)C ．[0,2]D ．[0,3] 2．当0x →时，要1cos x -与等价，则a 应等于( )A ．14B ．4C ．12D ．23．设f x ()在0x 点可导，则000limx f x x f x x∆→-∆-=∆()()( )A ．0f x '-()B ．0f x '-()C ．0f x '()D ．02f x '()4．设f x ()在[1,1]-上连续，在(1,1)-内可导，且00f x M f '≤=(),() ，则必有( ) A ．f x M ≥() B ．f x M >() C ．f x M ≤()D ．f x M <()二、填空题：（本题总分20分，每小题4分）1．设x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩(),()()，则1d d t y x == ．2．设y f x y =+()，其中f 具有一阶导数，且其一阶导数不等于1，则d d yx= ． 3．设ln y f x =()且f x ''()存在，则22d d yx= ．4．当0a >时，反常积分0e d ax x +∞-=⎰ ．5．微分方程2yy x'=的通解为 ． 三、计算题：（本题总分30分，每小题6分）1．求极限11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2．求函数2ln x y x=的单调区间.3．求不定积分1d 1x x x -⎰().4．求定积分0a x x ⎰，其中0a >. 5．求一阶线性微分方程d 1cos d y y x x x +=满足条件21x y π==的特解. 四、解答题：（本题总分20分，每小题10分）1．已知一平面图形由曲线0, 1, x x y ===x 轴围成，求(1) 此平面图形的面积；(2) 此平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转所成的旋转体的体积. 2．求微分方程e x y y ''+=的通解. 五、应用题：（本题9分）已知制作一个背包的成本为40元，如果一个背包的售出价为x 元，售出的背包数由8040an b x x =-+--()给出，其中a , b 为正常数，问什么样的售出价格能带来最大利润？六、证明题：（本题5分）设f x ()在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0f x '≤()，记d xaf t t F x x a=-⎰()()，证明：在a b (,)内有0F x '≤().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分16分，每小题4分）1．极限lim 3x x →∞+的值为( )A ．2B ．2-C ．2±D ．不存在2．下列函数f x ()在12-[,]上满足罗尔中值定理条件的是( )A．f x =() B ．2f x x x =() C ．arccos f x x =() D ．cot 2xf x π=()3．下列函数中，哪一个不是sin 2x 的原函数 ( )A ．2sin xB ．2cos x -C ．cos2x -D ．225sin 4cos x x + 4．设f x ()在a b [,]上连续，则d d d ba x f x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰() ( ) A ．d b af x x ⎰() B ．bf b af a -()() C ．[]d ba x fb f a f x x-+⎰()()()D ．d baf x x xf x +⎰()()二、填空题：（本题总分16分，每小题4分） 1．函数1arcsin 3x f x -=()的定义域为 ． 2．201cos 3limx xx→-= ． 3．设x a y x π=+，则y '= ． 4．若0a <，= ．三、计算题：（本题总分50分，每小题10分）1．计算极限sin cos 30e e lim x x xx x→-. 2．设参数方程(ln sin x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，求22d d y x .3．计算不定积分12ln d 1xx x x+-⎰，其中1x <. 4．计算定积分291x -⎰.5．求函数2ln xy x=的单调区间与极值.四、应用题：（本题10分）在曲线21y x =+上求一点M ，使它到点050M (,)的距离最小. 五、证明题：（本题8分）设f x ()在(,)a b 内连续，可导且f x '()单调递增，0x a b ∈(,)，记00000 f x f x x x x x x f x x xϕ-⎧≠⎪-=⎨⎪'=⎩()(),()(),，证明：()x ϕ在(,)a b 内也单调递增.长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、填空题：（本题总分20分，每小题4分） 1．如果0x →时，1cos x -与2sin 2xa 是等价无穷小，则a = ． 2．函数22132x f x x x -=-+()的可去间断点为 ．3．函数e x y x -=的拐点为 ．4．已知y =d x y = ．5．微分方程8150y y y '''++=的通解为 ． 二、求下列极限：（本题总分12分，每小题6分）1．1x →； 2．011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪+⎝⎭().三、求下列导数：（本题总分12分，每小题6分）1．设e sin x y x -=，求y ''； 2．已知tan y x y =+()，求y '. 四、求下列积分：（本题总分18分，每小题6分）1．x ； 2．2e d 1e xx x x +⎰()； 3．0222d 22x x x x -+++⎰. 五、解答题：（本题总分30分，每小题10分）1．当a 为何值时，1sin sin 33y a x x =+在3x π=处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值.2．求抛物线22y x =与其在点112⎛⎫⎪⎝⎭,处的法线所围成的图形的面积.3．求微分方程2ln xy y x x '+=满足条件119y =-()的解.六、证明题：（本题8分）设f x ()在[0, ]a 上连续，证明：0aaf x dx f a x dx =-⎰⎰()().。
长沙理工大学往高等数学试题及答案 (2)
长沙理工大学高等数学试题及答案一、单项选择题（本大题共5小题,每小题２分,共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设f(x)=lnx ,且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ) ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2.()002lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-⎰（ )A ．0B ．1C ．－1D.∞ ３.设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导,则必有（ ).lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=,则f(x)在点x=1处（ )A 。
不连续B 。
连续但左、右导数不存在 Ｃ.连续但不可导 D. 可导5.设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共1０小题,每空3分,共３0分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
6.设函数ｆ（x ）在区间[0,１]上有定义,则函数f(x+14)+f （x —14)的定义域是__＿_______. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9。
已知某产品产量为ｇ时,总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC １0。
函数3()2f x x x =+在区间[0,１]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________。
11。
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长沙理工大学高等数学试题及答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=
x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x
2．()002lim 1cos t
t x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）
.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1
x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）
A.不连续
B.连续但左、右导数不存在
C.连续但不可导
D. 可导
5．设C +⎰2
-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）
2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=
8．arctan lim _________x x x
→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2
g C(g)=9+800
，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.
11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.
12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.
13.
设2ln 2,6
a a π==⎰则___________.
14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xe
dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求dy. 17.求极限0ln cot lim ln x x x
+→
18.求不定积分
.
19.计算定积分I=0
.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．要做一个容积为v 的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r 和高h 分别为多少时，所用材料最省？
22.计算定积分20
sin x xdx π
⎰ 23.将二次积分⎰⎰ππ=0
x 2dy y y sin dx I 化为先对x 积分的二次积分并计算其值。
五、应用题（本题9分） 24.已知曲线2y x =，求
（1）曲线上当x=1时的切线方程；
（2）求曲线2
y x =与此切线及x 轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x 轴旋转而成的旋转体的体积x V .
六、证明题（本题5分）
25．证明：当x>0时，ln(1x x
参考答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．答案：B
2．答案：A
3．答案：A
4．答案：C
5．答案：D
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
6．答案：13,44
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
7．答案：1a q - 8．答案：0
9．答案：14
10
11．答案：（1，2）
12．答案：3
12
x Cx -+ 13．答案：ln 2a =
14．答案：21cos sin 2x xdx dy y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
15．答案：()2114
e --
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16. 答案：()1ln 1x x dx x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
17．答案：-1
18
C 19. 答案：24a π
20. 答案：2
'
'x
y z z 22x Z Z 2e 2e xy z x x -==--，
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21
．答案：0020V r h r π=
==22．答案：2
4
π
23. 答案：1
五、应用题（本题9分）
24. 答案：（1）y=2x-1（2）
1
12
，
30
π
（2）
所求面积()
1
3
12
2
1121
(1
24312
y
S dy y y
⎡⎤
+
==+-=
⎢⎥
⎣⎦
⎰
所求体积()
12
22
11
1
325630
x
V x dx
πππ
ππ
=-⋅⋅⋅=-=
⎰
六、证明题（本题5分）25．证明：
()ln(1
'()ln(
ln(
ln(
1
'()ln(0
f x x x
f x x
x
x
x
x
f x x
=+
∴=++
=+
=
>
∴+>
∴=+>
故当0
x>时()
f x单调递增，则()(0),
f x f
>即
ln(1
x x>
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