3.4 导数的应用
大二高数知识点总结很详细
大二高数知识点总结很详细大二高等数学作为理工科学生必修的一门课程，涵盖了许多重要的数学知识点。
在学习过程中，我们需要全面理解和掌握这些知识点，以便更好地应用于相关领域。
以下是对大二高等数学重要知识点的详细总结：1. 一元函数与极限1.1 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
函数的定义包括定义域、值域、图像等重要概念。
1.2 函数的极限：极限是函数在某一点的趋势。
它有左极限、右极限和无穷远处的极限等类型。
1.3 函数的连续性：函数在定义域内的连续性是指函数在该区间内没有跳跃或间断。
2. 导数与微分2.1 导数的定义：导数是函数变化率的极限。
它表示函数在某一点的瞬时变化率。
2.2 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、判断函数的增减性等。
2.3 微分的定义：微分是函数的增量与自变量的增量之比的极限。
微分有近似表示函数的变化。
3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的定义：不定积分是求函数的原函数。
它是导数的逆运算。
3.2 不定积分的性质和基本公式：例如线性性质、换元积分法等。
3.3 定积分的定义：定积分是函数在某一区间上的总量。
它表示曲线与坐标轴之间的面积或有向面积。
3.4 定积分的性质和基本公式：例如积分中值定理、换元积分法等。
4. 函数级数4.1 函数级数的定义：函数级数是由一个函数序列的和所组成的序列。
4.2 函数级数的收敛性：函数级数的收敛性可以用柯西收敛准则或者绝对收敛准则判断。
4.3 函数级数的应用：函数级数可以用于近似计算、函数逼近等领域。
5. 傅里叶级数5.1 傅里叶级数的定义：傅里叶级数是将一个周期函数表示为三角函数的无穷级数。
5.2 傅里叶级数的计算：通过求解函数的系数，可以得到傅里叶级数的表达式。
5.3 傅里叶级数的应用：傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
在学习这些知识点时，我们需要理解它们的定义、性质和应用。
通过反复练习和应用，才能真正掌握这些知识，并能在实际问题中灵活运用。
2024春新教材高中数学3.4函数的应用(一)教学设计新人教A版必修第一册
（1）多媒体设备：教师利用多媒体课件，生动形象地展示函数的性质和图像，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
（2）教学软件：教师运用教学软件，如数学建模软件、函数图像绘制工具等，辅助教学，使学生更好地理解函数的应用。
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象四个方面展开。
首先，通过实际问题引入函数模型，培养学生从复杂问题中抽象出函数关系的能力，即数学抽象素养。学生需要能够识别实际问题中的数量关系，自主构建函数模型，从而培养其抽象思维能力。
其次，通过对实际问题进行数学建模，让学生学会如何用函数来描述现实世界中的变化规律，培养学生的数学建模素养。学生需要能够将现实问题转化为数学问题，运用函数理论知识进行分析，进而提高其解决实际问题的能力。
（3）学生可以利用在线函数图像绘制工具，自主探索函数的性质和变化规律，加深对函数概念的理解。
（4）建议学生学习一些数学软件的使用方法，如MATLAB、Python等，掌握这些软件在函数分析和应用方面的功能，提高自己的实际问题解决能力。
内容逻辑关系
①函数应用的基本概念：
-重点词汇：函数、自变量、因变量、函数值、定义域、值域等。
选择几个典型的函数应用案例进行分析。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解函数应用的多样性或复杂性。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用函数解决实际问题。
4.学生小组讨论（10分钟）
目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与函数应用相关的主题进行深入讨论。
高考数学函数与导数知识点
高考数学函数与导数知识点在高考数学中，函数与导数是重要的知识点。
理解和掌握这些知识点对于高考数学的学习非常关键。
本文将介绍函数与导数的基本概念、性质以及相关应用。
一、函数的基本概念函数是数学中一种重要的概念，定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，对于A中的每一个元素a，在B中都有唯一确定的元素b与之对应。
这样的对应关系称为函数，记作y=f(x)。
在函数的定义中，x是自变量，y是因变量，而f(x)则表示函数的值或函数表达式。
1.1 函数的表示方法函数可以通过多种方式来表示：1.1.1 函数的代数式表示：常用的代数式表示函数的方法有多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数等。
1.1.2 函数的图像表示：通过绘制函数的图像，可以更直观地理解函数的性质。
1.1.3 函数的表格表示：将自变量与因变量的对应关系记录在表格中，方便观察函数的规律。
1.2 函数的性质函数具有以下一些基本性质：1.2.1 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
1.2.2 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数关于y轴对称或关于原点对称的特点。
1.2.3 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的增减趋势。
1.2.4 周期性：周期函数是一类具有周期性规律的函数，如正弦函数、余弦函数等。
二、导数的基本概念导数是函数的一个重要性质，用来描述函数在某一点的变化率。
导数的定义如下：定义2：设函数y=f(x)在点x0处有定义，当自变量x在x0的邻域内取得不同值时，对应的函数值f(x)也随之变化。
如果存在一个常数k，使得当x趋近于x0时，函数值的变化量与x-x0的差的比趋近于k，那么称函数y=f(x)在点x0处可导，常数k称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。
2.1 导数的几何意义导数的几何意义可以从函数的图像中理解：2.1.1 函数的切线斜率：对于函数y=f(x)，在点(x0, f(x0))处的切线的斜率就是函数在该点处的导数。
导数在实际生活中的应用PPT教学课件
为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高
与底面半径比为多少？
解:设桶底面半径为R,
则 桶 高 为h
V
R2
桶的用料为
S(R)
2
R2
2
R
V
R2
2 R2 2V ,
R
S'(R)
4
R
2V R2
,
令S'(R)
4
R
2V R2
0,
解得R
V
2
h R
此时，h
V
R2
V
3
V
2
2
4V 2 V
2
即h 2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q. 求产量q为何值 8
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
3、辨别真伪
我是历史 小专家
（1）汉武帝时大力推行儒学教育，在长安兴
办太学。（
）
X （2）董仲舒建议汉高祖，允许诸侯王把自己 的封地分给子弟，建立较小的侯国。（ ）
（3）汉文帝时，西汉在政治、经济、军事和
X 思想上实现了大一统，进入鼎盛时期（ ）
通过本课的学习你知道 了哪些历史人物?你最欣赏或 最钦佩谁?说说你喜欢或钦佩 他的理由。
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
新版高中数学全套教案全册
新版高中数学全套教案全册第一册：基础知识与方法第一章：集合与函数1.1 集合的基本概念1.2 集合的运算1.3 函数的基本概念1.4 函数的性质与运算第二章：数列与数学归纳法2.1 数列的基本概念2.2 等差数列与等比数列2.3 数学归纳法的原理与应用第三章：函数的导数3.1 导数的基本概念3.2 导数的定义与性质3.3 导函数的计算与应用3.4 高阶导数与导数的应用第四章：不等式与绝对值4.1 不等式的基本概念4.2 一元不等式的求解4.3 多项式不等式的求解4.4 绝对值不等式的求解第五章：平面向量与解析几何5.1 向量的基本概念5.2 向量的坐标表示5.3 向量的运算5.4 直线与平面的方程第二册：初等函数与极限第六章：初等函数6.1 三角函数与反三角函数6.2 对数函数与指数函数6.3 幂函数与根函数6.4 复合函数与反函数第七章：数列与级数7.1 极限的概念7.2 数列的收敛性与极限7.3 级数的概念与收敛性7.4 收敛级数的性质与运算第八章：函数的极限8.1 函数的极限的定义8.2 函数极限存在的判定与性质8.3 函数的极限计算方法8.4 函数极限的应用第九章：连续函数9.1 函数的连续性概念9.2 连续函数的性质9.3 连续函数的运算9.4 连续函数与导数的关系第三册：微积分与微分方程第十章：导数的应用10.1 函数的单调性与凹凸性10.2 函数的最大最小值与最值问题10.3 弧微分与极值10.4 导数在物理问题中的应用第十一章：不定积分11.1 不定积分的基本概念11.2 基本积分法与换元积分法11.3 分部积分法与三角函数积分11.4 不定积分的应用第十二章：定积分与微分方程12.1 定积分的基本概念12.2 定积分的性质与运算12.3 微分方程的基本概念12.4 微分方程的解法及应用第十三章：常微分方程13.1 一阶常微分方程的通解与特解13.2 高阶常微分方程的解法13.3 常微分方程在实际问题中的应用以上为高中数学全套教案全册范本，希望对您的教学工作有所帮助。
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
大一高数笔记知识点总结
大一高数笔记知识点总结一、导数与微分1.1 定义与性质在数学中，导数（derivative）是一个用于衡量函数变化率的概念。
对于函数f(x)，它在某一点x处的导数可以通过求函数在该点处的切线斜率来定义，记作f'(x) 或 dy/dx。
1.2 求导法则求导法则是用于计算导数的一些基本规则。
常见的求导法则包括：1.2.1 常数法则如果f(x)为常数，则其导数为0。
即对于任意常数c，有d(c)/dx = 0。
1.2.2 基本函数法则对于基本函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等），我们可以通过一些特定的求导公式来计算其导数。
1.2.3 和、差、积、商法则这些法则提供了计算复合函数导数的方法。
其中，和差法则可用于计算两个函数之和或差的导数，积法则可用于计算两个函数的乘积的导数，商法则可用于计算两个函数的商的导数。
1.2.4 链式法则链式法则是求导中的一个重要工具，可以用于计算复合函数的导数。
它将复合函数的导数与内外函数的导数联系起来。
1.3 微分微分指的是对函数的导数进行操作。
在微积分中，微分可以用来衡量函数对自变量变化的敏感程度。
根据微分的定义，我们有dx = f'(x)dx。
这里，dx表示自变量的一个小增量，f'(x)表示函数在x处的导数。
二、极限与连续2.1 极限极限是描述函数趋近某一值的概念。
对于函数f(x)，当x无限接近于某个值a时，函数的极限可以用lim(x→a)f(x)来表示。
2.2 极限的性质极限具有许多重要的性质，其中一些常见的性质包括极限的唯一性、极限的四则运算、复合函数的极限等。
2.3 连续性连续性是数学中一个重要的概念。
如果函数在某一点x=a处的极限等于该点处的函数值，即lim(x→a)f(x) = f(a)，则称函数在该点处连续。
2.4 连续函数性质连续函数具有一些重要的性质，如连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数，以及复合函数的连续性等。
三、导数应用3.1 切线与法线对于函数f(x)，导数f'(x)可以用于求解函数曲线上某点处的切线斜率。
实际生活中的应用
例1：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切 去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如 图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长 是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多 少？ x
x
60
x
x
60
x
60
x
60 x 设箱底边长为xcm，则箱高 h cm， 2 2 3 60 x x (0 x 60) V ( x) x 2 h 2
２.解决“优化问题”的途径：
通过搜集大量的数据，并对数据进行整理和
分
析建立与其相应的函数模型，再通过研究相
应
审题－－－建模－－－解模－－ 函数的性质，提出优化方案，使问题得到解
决
－－对结果评估并作出判定
３.用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题
用函数表示 的数学问题 用导数解决 的数学问题
优化问题的答案
类型三：成本（费用）最低问题
成正比 ,已 知 速 度 为 10千 米 / 小 时 时 ,燃料费为 6元 / 小 时, 而 其 他 与 速 度 无 关 的 用 费 为96元 / 小 时 问 此 轮 船 以 何 中 速 度行 航时 ， 能 使 行 驶 每 千 米 的总费用最少
例 :一 艘 轮 船 在 航 行 中 的料 燃费 与 它 的 速 度 的 立 方
O
O1
类型二：用料最省问题
例2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与 半 径应怎样选取,才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2π Rh+2π R2 R2h，得
V 由V=π ，则 h 2 2 R 2V V 2 S ( R) 2 R 2 R 2 R 2 R R 2V V 3 R ，从而 令 S '( R) 2 4 R 0 解得， 2 R
导数在经济学中的简单应用
=
1 2
10
P
P
=
p
P 20
2
(2)P 3,
EP
p3
3 17
(3)
ER 1
Ep
14， 总收益增加 14 %
17
17
12/31/2023
2 0
一、主要内容
dy y dy ydx y dy o(x) dx
关系
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数
微分
dy yx
求导法则
12/31/2023
y f ( x0 x) f ( x0 )
如函数 f ( x)在点 x0可微，则
y dy |xx0 f ( x0 )x
假如 x 1, 则 y f ( x0 )
这说明当 x在 x0点改变“一个单位”时，y相应的近似改变 f ( x0 )个单位。 边际函数值描述了 f (x)在点 x0处的变化速度.
积，即
R(Q) QP QP(Q),
式中，P P(Q)是需求函数 Q Q(P)的反函数，也称需求函
数，于是有，R(Q) [QP(Q)] P(Q) QP(Q).
12/31/2023
7
例3 设某产品的需求函数为
P 10 Q , 5
求销售量为30个单位时的总收益、平均收益与边际收益。
总收益： R(Q )
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv,
（4）(
u) v
uv v2
uv
(v
0).
(2) 反函数旳求导法则
如果函数x ( y)的反函数为y f (x),则有
f
( x)
3.4导数在函数中的应用(恒成立问题)
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 3.4导数在函数中的应用（恒成立问题）考纲定位 会利用导数求恒成立的问题.【典型例题】一、利用导数求恒成立的问题1、已知(0,)2x π∈，则sin x 与x 的大小关系是（ ）A.sin x x ≤B.sin x x ≥C.sin x x <D.sin x x >2、(2012 辽宁)若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B.21111241x x x ≤-++ C.21cos 12x x ≥-D.21ln(1)8x x x +≥-3、已知实数0a ≠，函数2()(2),()f x ax x x R =-∈.若对任意[2,1]x ∈-，不等式()32f x <恒成立，求实数a 的范围.4、（2012 湖南）已知函数()ax f x e x =-，其中0a ≠.若对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，求a 的取值范围.5、（2012 天津）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >.（1）求a 的值； （2）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值.【上本作业】《智能达标》P10页第7题：设函数22()21,(,0)f x tx t x t x R t =++-∈>（1）求()f x 的最小值()h t ；（2）若()2h t t m <-+，对于(0,2)t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【课后反思】3.4导数在函数中的应用（恒成立问题）答案解析1、D2、C3、解：()(32)(2)f x a x x '=--，（1）当0a >时，()f x 在2[2,]3-上递增，在2[,1]3上递减； max 232()()32,27327f x f a a ==<<则 所以027a <<（2）当0a <时，()f x 在2[2,]3-上递减，在2[,1]3上递增； (2)32(1)f a f a -=->= max ()(2)3232,1f x f a a =-=-<>-则所以10a -<<综上：(1,0)(0,27)-为所求a 的范围.4、（2012 湖南）已知函数()ax f x e x =-，其中0a ≠.若对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，求a 的取值范围【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1ax e x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >.而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a>时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a =- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1.5、（2012 天津）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >.（1）求a 的值； （2）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值.．解：(1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)．f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a. 由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x(－a,1－a ) 1－a (1－a ，＋∞) f ′(x )－ 0 ＋ f (x ) 单调递减极小值 单调递增 因此，f (x )在x ＝1－a 处取得最小值，故由题意f (1－a )＝1－a ＝0，所以a ＝1. (2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln2＞0，故k ≤0不合题意．当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2， 即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2.g ′(x )＝x x ＋1－2kx ＝－x [2kx －(1－2k )]x ＋1. 令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－2k 2k ＞－1.①当k ≥12时， 1－2k 2k ≤0，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x ∈[0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立，故k ≥12符合题意．②当0＜k ＜12时，1－2k 2k ＞0, 对于x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k ，g ′(x )＞0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 内单调递增，因此当取x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 时，g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 20不成立，故0＜k ＜12不合题意．综上，k 的最小值为12.。
高等数学第二册教材答案
高等数学第二册教材答案解答：第一章：函数与极限1.1 函数的基本概念和性质1.2 极限的定义和性质1.3 极限的运算法则1.4 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义2.2 函数的导数与可导性2.3 常用函数的导数2.4 高阶导数与高阶微分2.5 隐函数的导数与高阶导数第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔中值定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 导数的应用：函数的单调性与极值第四章：不定积分4.1 不定积分的定义4.2 基本积分公式与换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分4.5 特殊函数的积分第五章：定积分5.1 定积分的概念与性质5.2 反常积分5.3 微积分基本定理5.4 定积分的换元法5.5 定积分的分部积分法5.6 定积分的应用：几何应用与物理应用第六章：定积分的几何应用6.1 曲线的弧长与曲面的面积6.2 平面区域的面积第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的定义与极限7.2 偏导数与全微分7.3 隐函数的偏导数与全微分7.4 多元函数的极值与条件极值第八章：多元函数积分学8.1 重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算8.3 三重积分的计算8.4 曲线积分和曲面积分第九章：无穷级数9.1 数项级数的概念与性质9.2 收敛级数的性质9.3 幂级数与函数展开9.4 函数的傅里叶级数展开第十章：常微分方程10.1 微分方程的基本概念与解的存在唯一性10.2 一阶线性微分方程10.3 可降阶的高阶微分方程10.4 齐次线性微分方程与常系数齐次线性微分方程10.5 非齐次线性微分方程与常系数非齐次线性微分方程以上是高等数学第二册教材各章节的答案。
希望能帮助你更好地理解和应用数学知识。
高数专升本知识点目录总结
高数专升本知识点目录总结第一章：集合与函数1.1 集合的基本概念1.2 集合的运算1.3 函数的概念1.4 函数的性质1.5 反函数和复合函数第二章：极限与连续2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 极限的运算法则2.4 无穷大与无穷小2.5 连续的概念2.6 连续函数的运算法则第三章：导数与微分3.1 导数的定义3.2 导数的计算3.3 隐函数和参数方程的导数3.4 高阶导数和导数的应用3.5 微分的概念3.6 微分的近似计算第四章：不定积分4.1 不定积分的性质4.2 不定积分的基本公式4.3 特殊函数的不定积分4.4 不定积分的计算方法4.5 定积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的定义5.2 定积分的计算5.3 特殊函数的定积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 微分方程的解的存在唯一性6.3 一阶微分方程的解法6.4 高阶微分方程的解法6.5 微分方程的应用第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限7.2 偏导数7.3 全微分7.4 多元函数的极值7.5 条件极值第八章：重积分8.1 二重积分的概念8.2 二重积分的计算8.3 三重积分的概念8.4 三重积分的计算8.5 重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 曲线积分的概念9.2 第一型曲线积分9.3 第二型曲线积分9.4 曲面积分的概念9.5 曲面积分的计算第十章：无穷级数10.1 级数的概念10.2 收敛级数的性质10.3 收敛级数的判别法10.4 幂级数的收敛半径10.5 函数展开为幂级数第十一章：向量代数11.1 向量的基本概念11.2 向量的线性运算11.3 空间直角坐标系中的向量11.4 点、线、面的向量方程11.5 向量的数量积和向量积第十二章：空间解析几何12.1 空间直角坐标系中的点、直线、平面12.2 空间中的曲线和曲面12.3 空间中的曲线积分12.4 空间中的曲面积分12.5 空间中的曲率和法线方程以上的知识点目录总结包括了高数专升本课程的所有重要知识点，涵盖了集合与函数、极限与连续、导数与微分、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微分学、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数以及空间解析几何等内容。
导数与微分的计算与应用
导数与微分的计算与应用导数和微分是微积分学中的重要概念，它们在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将详细介绍导数和微分的计算方法，并讨论它们在实际问题中的应用。
一、导数的计算方法导数可以看作是函数在某一点上的瞬时变化率，它用来描述函数的变化趋势。
计算导数的方法主要有以下几种。
1.1 极限定义导数的极限定义是通过函数的极限来计算的。
对于函数f(x)，在点x处的导数可以表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中Δx表示自变量x的增量。
通过极限的计算，可以得到函数在某一点上的导数值。
1.2 基本导数公式在微积分学中，有一些常见函数的导数计算公式可以直接使用。
例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数和对数函数等，导数计算公式如下：- 常数函数的导数为零；- 幂函数f(x) = x^n 的导数为 f'(x) = nx^(n-1)；- 指数函数f(x) = e^x 的导数为 f'(x) = e^x；- 三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)；- 对数函数f(x) = logₐ(x) 的导数为 f'(x) = 1/(xln(a))。
通过这些基本导数公式，可以方便地计算各种复杂函数在某一点上的导数。
1.3 导数的性质导数具有一些特殊的性质，可以通过这些性质来简化导数的计算。
- 乘法法则：若函数f(x)和g(x)都可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)；- 除法法则：若函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)≠0，则(f/g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2；- 链式法则：若函数y = f(u)和u = g(x)都可导，则dy/dx =(dy/du)(du/dx)。
导数及微积分教案
导数及微积分教案第一章：导数的基本概念1.1 引言引入导数的概念，解释导数在数学和物理中的重要性。
举例说明导数在实际问题中的应用。
1.2 函数的极限复习函数的极限概念，包括左极限和右极限。
解释极限的概念，并强调极限与导数的关系。
1.3 导数的定义引入导数的定义，解释导数的几何意义。
介绍导数的计算方法，包括导数的四则运算。
1.4 导数的应用讲解导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、斜率等。
举例说明导数在函数图像上的应用，如切线方程的求解。
第二章：导数的计算规则2.1 引言引入导数的计算规则，强调规则在导数计算中的重要性。
2.2 基本导数规则介绍基本导数规则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。
举例说明基本导数规则的应用。
2.3 和差函数的导数讲解和差函数的导数规则，包括两个函数的和、差、积、商的导数。
举例说明和差函数导数规则的应用。
2.4 链式法则引入链式法则，解释链式法则的概念和应用。
讲解链式法则的推导过程，并举例说明其应用。
第三章：高阶导数3.1 引言引入高阶导数的概念，强调高阶导数在微积分中的重要性。
3.2 一阶导数的复习复习一阶导数的定义和计算方法。
3.3 二阶导数讲解二阶导数的定义和计算方法。
举例说明二阶导数在实际问题中的应用。
3.4 高阶导数的应用讲解高阶导数在实际问题中的应用，如加速度、曲率等。
举例说明高阶导数的应用。
第四章：微分4.1 引言引入微分的概念，解释微分在微积分中的重要性。
4.2 微分的定义讲解微分的定义，解释微分的意义。
介绍微分的计算方法，包括微分的四则运算。
4.3 微分的应用讲解微分在实际问题中的应用，如近似计算、切线方程的求解等。
举例说明微分的应用。
第五章：微分中值定理及应用5.1 引言引入微分中值定理的概念，强调微分中值定理在微积分中的重要性。
5.2 罗尔定理讲解罗尔定理的定义和证明。
举例说明罗尔定理的应用。
5.3 拉格朗日中值定理讲解拉格朗日中值定理的定义和证明。
3.4 导数的四则运算
导数的四则运算
一、和、差、积、商的求导法则 二、例题分析
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一、和、差、积、商的求导法则
定理
如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ( 3) [ ] (v ( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
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三、小结
注意: [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x );
u( x ) u ( x ) [ ] . v( x ) v ( x )
分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.Biblioteka 上页下页返回
即
同理可得
(tan x ) sec 2 x . (cot x ) csc 2 x .
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例4 求 y sec x 的导数 . 解
1 y (sec x ) ( ) cos x (cos x ) sin x sec x tan x . 2 2 cos x cos x
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
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例6
x, x0 设 f ( x) , 求f ( x ). ln(1 x ), x 0
解 当x 0时, f ( x ) 1,
当x 0时,
3.4在求导数时要看清楚对哪个变量求导
在求导运算时要看清楚对哪个变量求导在求导运算中，复合函数隐我们经常对和函数求导，但初学者却除了对求导运算法则和求导基本公式不够熟练以外，是什么原因导致出现求导错误？还有一个重要原因就是,在求导运算过程中，到底对哪个变量求导的问题没有看清楚.如果这个问题没有得到很好地解决，.就难以保证求导的正确性常常出现求导错误.先看复合函数的求导法则.(),(),y f u u x ϕ==设外函数为内函数为 (())y f x ϕ=则复合函数为，其导数为((()))=(())()f x f x x ϕϕϕ'''，d d d .d d d y y u x u x=⋅或其中d ((()))d y f x x ϕ'=中的是对变量.“”求导x 'd (())d y f x u ϕ'=中的是对变量.“”求导u 'd ()d x xϕ'=x '中的是对”变量“求导.复合函数的导数外函数的导数内函数的导数2)1d (()d y f u y f x x=设函数可求例导，,.解分析22()()y f x y f u u x ===是由外函数和内函数复合的复合函数，2d ()()d u y f u f x ''==，d =d y x 22()xf x '=.d =2d u xx .2()'f x 2⨯x再看隐函数的求导法则.()(,)0,y f x F x y ==设是由方程确定的隐函数则其求导思路为,x y x 在方程两边对变量对求导，并视为的函数d .d y x 然后从中解出比如，sin y 方程中含有，dsin =cos d .d d y y x y x 则有d d y x有些同学少了，dsin =cos .d y y y 误以为是sin y x y 由此可见，对变量求导和对变量求导其结果是不一样的.1d ()sin 0,22d y y y x y x y x=+−=设是由方程确定的隐函数求例.解,x y x 在方程两边对变量对求导，并视为的函数所以d d y x d 2.d cos 2y x y =−解得1+12−cos d d y y x 0=，对于初学者而言，由于没有重视对哪个变量总结求导问题，常常出现求导错误.希望通过本次课的学习，对此问题给予足够的重视，避免出现确定错误.。
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《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
3. 边际收益 定义2 总收益函数R(Q)的导数R(Q)称为边际收益.
例2 设某产品的需求函数为 x 1000 100P,求当需
求量 x 300 时的总收入, 平均收入和边际收入.
解 销售 x 件价格为 P的产品收入为 R( x) P x,
由需求函数 x 1000 100P
P 10 0.01x
得总收入函数 R( x) (10 0.01x) x 10x 0.01x2.
平均收入函数为 R( x) R( x) 10 0.01x. x
边际收入函数为 R( x) (10x 0.01x2 ) 10 0.02x.
当x 300总收入 R(300) 10 300 0.01 3002 2100,
x5
该值表明：当 x 5时，x 改变 1 个单位（增加或减少 1 个单位），y 改变 10 个单位（增加或减少 10 个单位）．
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2. 边际成本
边际成本为总成本的导数：C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q)
例 1 设某产品生产 Q 单位的总成本为
C(Q) 900 Q2 ， 100
并说明在该点自变量增加1﹪,函数将发生怎样的变化？ 解 由 于y 20e2x ,
Ey Ex
y
x y
20e
2
x
x 10e 2
x
2 x,
Ey Ex
x1 2 1 2.
即自变量增加1﹪时，函数值减少大约2﹪.
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2.需求弹性
(1)需求对价格的弹性
定义5 需求对价格的价格弹性是指当价格变化一定
可见销售第151个产品, 利润会增加30元, 而销售第
401个产品后利润将减少20元.
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二、弹性与弹性分析
1.函数的弹性
定义 4 设函数 y f(x)在点 x 处可导，函数的相对改
y
x
变量 y 与自变量的相对改变量 x 之比当 x 0时
的极限 lim y y x y x f ( x)
第四节 导数的应用
一、边际与边际分析 二、弹性与弹性分析
三、最优化在经济学中的应用
四、小结
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教学目的与要求 ◆掌握导数在经济分析中的应用（边际分析和
弹性分析）.
教学重点 ◆弹性的概念及意义 ；最值在经济中的应用.
教学难点 ◆弹性的概念 .
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12 ED (12) 20 12 1.5.
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L( x) R( x) C( x) (80x 0.1x2 ) (5000 20x) 边际利润为 L(x) (0.1x2 60x 5000) 0.2x 60, 当 x 150 时边际利润 L(150) 0.2 150 60 30.
当 x 400时边际利润 L(400) 0.2 400 60 20.
一、边际与边际分析
1.边际函数
定义1 设 函 数 y f (x) 在 x 处 可 导 ， 则 称 导 数 f (x) 为 f (x) 的边际函数． f (x) 在 x0 处的值 f (x0 ) 为边际函数 值．即当 x x0时，x改变一个单位，y改变 f (x0 )个单位． 边际分析：用边际函数来研究经济量的变化. 例如 设函数 y x2，试求 y在 x 5时的边际函数值． 解 因为 y 2x，所以 y 10．
的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表
示为
ED
f ( p)
p f ( p)
Q P Q
.
注：因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，
为了讨论方便，取其相反数。另外，在实际应
用中，也常用符号 表示.
p dQ
Q dp
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例4 设某商品的需求函数为 Q 80 4 p, 其中价格
E Ex
f
x0
表
示
在x
处
0
,
当
x产
生1%的改变时,f x 近 似 改 变 E
Ex
f x0 %
Ey Ex
y
x y
y y
边 平
际 均
函 函
数数
x
故在经济学中，弹性又可解释为边际函数与平均函数之比．
用弹性函数来分析经济量的变化成为弹性分析.
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例如 求函数 y 10e2x 的弹性函数及 x 1 处的弹性，
求：求产量 Q=200 时的总成本、平均成本及边际成本.
解 生产200个单位时的总成本为
2002 C(200) 900 1300,
C (200) C(200) 6.5
100
200
边 际 成 本C(Q) Q ,当Q 200时 的 边 际 成 本
50
C(Q) 200 4 Q200 50
p (0,20),Q 为需求量，求：
(1)需求量对价格的弹性函数ED . (2) p 4、p 10、p 12 时的需求弹性，并说明意义.
解（1）由于 Q 4, 而
ED
f ( p)
f
p ( p)
(4) p 80 4 p
p 20
. p
（2）ED (4)
4 20 4
0.25,
10 ED (10) 20 10 1,
x0 x x y
f (x)
称为函数 y f (x) 在点 x 处的弹性函数，记作
Ey ,或 E f x
Ex Ex
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在点x
x0处
，
弹
性
函
数
值Ef ( x0 Ex
)
f ( x0 )
x0 称为f ( x) f ( x0 )
在点x x0处的弹性值，简称弹性。
函数弹性的经济意义
平均收入为 R(300) 10 0.01 300 7,
边际收入为 R(300) 10 0.02 300 4.
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4. 边际利润 定义3 总利润函数L(Q)的导数L(Q)称为边际利润.
例3 设某产品的需求函数为 P 80 0.1x ( P 是价 格, x 是需求量), 成本函数为 C 5000 20x (元). 试求边际利润函数 L( x), 并分别求 x 150 和 x 400时的边际利润. 解 已知 P( x) 80 0.1x, C( x) 5000 20x, 则有 R( x) P x (80 0.1x)x 80x 0.1x2 ,