理论力学第八章点的合成运动
理论力学_点的合成运动_点的加速度合成定理_
8-4 点的加速度合成定理三种加速度(相对于三种运动,瞬时量)绝对加速度动点相对静系运动的加速度相对加速度动点相对动系运动的加速度牵连加速度牵连点的加速度8-4点的加速度合成定理a a r a e a动点--M 点定系--OXYZ动系--O ˊXˊYˊZˊ牵连点—动系O ˊXˊYˊZˊ上M 点M O r r r ''=+r x i y j z k '''''''=++为常矢量，，其中考虑到考虑到则M a O dr v r x i y j z k x i y j z k dt '''''''''''''==++++++eO O edv dv a a dt dt ''===r rr dv dv a dt dt==点的加速度合成定理—当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
2222222222o M a d r d r d x d y d z a i j k dt dt dt dt dt '''''''==+++a e r a a a =+上式中每一个矢量都有大小和方向两个要素，因此上式总共包含有12个要素，其中若仅有两个要素是未知的，则此矢量式可解。
由于加速度包括沿轨迹切线方向的切向加速度和沿主法线方向的法向加速度两个分量，所以在最一般的情况下练习1凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所示。
设凸轮半v a径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为和。
求杆AB在图示位置时的加速度。
解：取动点和动系动点：顶杆AB上的A点动系：固结凸轮上的参考系绝对运动：铅垂方向直线运动相对运动：半圆周运动牵连运动：水平直线平移8该瞬时杆AB 的速度方向向上练习1—速度分析绝对速度：大小未知，方向沿杆AB 向上牵连速度：，方向水平向右相对速度：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线根据速度合成定理ϕϕsin sin e r vv v ==a v e v r v e v v =练习1—加速度分析绝对加速度：大小未知，方向沿直线AB 牵连加速度：，沿水平方向相对加速度法向分量：，沿着，指向半圆板圆心相对加速度切向分量：大小未知，垂直于，假设指向右下a a e a e a a OA OA O。
理论力学点的速度合成定理
理论力学点的速度合成定理建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。
MM ' 绝对 绝对 M 1M ' 相对 M 1M ' 相对MM ' MM 1M 1M 't → t + t AB →A'B'M → M'成M →M →M∆t ，∆t →0 的 ，limM M '=limM M +limM M ∆t →0∆t →0∆t →0∆t∆t∆tv a =v e +v r即在任 瞬 动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
v a —动点的绝对速度v r —动点的相对速度 v e —动点的牵连速度，是动系 点(牵连点)的速度动系 ，动系 点速度 相等; 动系 动 ，v e 是 瞬 动系 与动点相 合点的速度。
r M =r O '+r 'rr '=x 'i '+y 'j '+z 'k '(r M'r M =r M 'v r= d r '=d x 'i '+d y 'j '+d t d t d t v v r i ' j ' k 'e v =d r M '=d rO '+x 'd i '+y 'd j '+z d t d t d t d t a =v e +v r=d r O '+x 'd i '+y 'd j '+z 'd k '+d x 'i '+d y 'j '+d z 'k 'd t d t d t d t d t d t d t =d r M d tv v eM' x' y' z'v a点的速度合成定理是瞬 矢量 ，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他 个。
理论力学 第八章
x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
理论力学--运动学总结
速度瞬心位置的确定总结
瞬时平动
几点注意 1、基点法是速度分析的基本方法；
2、速度投影法 应用起来简单，但必须知道待求速度 点的方位，致命的弱点—是不能求图形的角速度 2、当平面几何简单时，分析速度可采用瞬心法； 瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动 的角速度； 4、确定速度瞬心的速度是该点的绝对运动速度； 5、具体分析时三种方法灵活运用；
（1）刚体的基本运动 平动
v A vB
aA aB
各点的轨迹相同；
可简化为一个点的运动。
定轴转动
v R
a R
an R 2
轮系的传动比：
1 n1 R1 Z 2 i12 2 n2 R2 Z1
各处不打滑时： 接触点有相同的线速度和相同的切向加速度。
（2）刚体的平面运动 1. 定义 任一点到某固定平面的距离保持不变。
B点的加速度分析
D
C
a a 2 a a 2 ae 2 ar 2
n
aa 2 ae 2
O1
30°
ar 2
B
aa 2cos60 aa2cos30 ae 2
n
aa 2
1
30° O2
n
A
a a2 O2 B 2
n 2 aa2 O2 B2
ae2 657mm/ s
2
三、刚体的运动
va=v
vCA
动点：滑块C 动系：固结于AE
u=vA
vr
vC' A
ωAE
分析三种运动
牵连运动：刚体的平面运动
牵连转动
va ( vA vCA ) vr
va cos vCA v A sin
理论力学第八章点的合成运动
3
实例三
描述一个长杆在平面内同时作直线运动和回转运动的合成运动，讨论合成运动对 杆心运动特性的影响。
合成运动中的矢量操作
在合成运动中，我们经常需要进行矢量的加法、减法和乘法等操作。这些操作可以帮助我们推导、计算和分析 合成运动的各种特性。
合成运动的应用及展望
应用
合成运动的概念和原理广泛应用于物理学、工程学和运动学等领域，为我们理解和解决复杂 的运动问题提供了有力的工具。
点的合成运动的基本概念
点的合成运动是指多个点以各自不同的速度和方向同时运动，并在同一时间 到达相对位置的运动方式。它是合成运动的基本形式之一。
合成运动的示意图和公式推导
示意图
通过示意图展示合成运动的过程和结果，帮助加深 理解。
公式推导
推导合成运动的公式，使我们能够定量描述和计算 合成运动的各个特性。
质点运动的合成运动
质点的合成运动是指质点在运动过程中，同时具有平移运动和旋转运动的一 种复杂运动形式。在合成运动中，质点的运动轨迹会呈现出特定的形态和规 律。
质点合成运动实例分析
1
实例一
分析一个小球在倾斜平面上同时进行滚动和滑动的合成运动，探讨其运动规律和 性质。
2
实例二
研究一个弹射体在水平飞行过程中受到重力和空气阻力合成运动的影响，揭示合 成运动对物体运动轨迹的影响。
理论力学第八章点的合成 运动
欢迎大家来到本次关于理论力学第八章点的合成运动的精彩演讲。在本次演 讲中，我们将深入探讨合成运动的定义、基本概念、示意图与公式推导，以 及质点运动的合成运动等内容。
合成运动的定义
合成运动是指由多个简单的运动相结合而成的复杂运动。它将两个或多个运 动矢量合成为一个合成矢量，从而形成全新的运动方式。
理论力学一第八章试题
一、概念题1．动点的牵连速度是指该瞬时牵连点的速度，它所相对的坐标系是（ ）。
① 动坐标系 ② 不必确定的③ 定坐标系 ④ 都可以2．点的速度合成定理v a = v e + v r 的适用条件是（ ）。
① 牵连运动只能是平动 ② 各种牵连运动都适合③ 牵连运动只能是转动 ④ 牵连运动为零3．两曲柄摇杆机构分别如图（a ）、（b ）所示。
取套筒A为动点，则动点A 的速度平行四边形（ ）。
① 图（a ）、（b ）所示的都正确② 图（a ）所示的正确.，图（b ）所示的不正确③ 图（a ）所示的不正确.，图（b ）所示的正确④ 图（a ）、（b ）所示的都不正确4．图示偏心凸轮如以匀角速度ω绕水平轴O 逆时针转动，从而推动顶杆AB 沿铅直槽上下移动，AB 杆的延长线通过O 点。
若取凸轮中心C 为动点，动系与顶杆AB 固连，则动点C 的相对运动轨迹为（ ）。
① 铅直直线② 以O 点为圆心的圆周③ 以A 点为圆心的圆周④ 无法直接确定5．在图示机构中，已知s = a + b sin ωt ，且φ = ωt （其中a 、b 、ω均为常数），杆长为L ，若取小球A 为动点，动系固连于物块B ，定系固连于地面，则小球A 的牵连速度v e 的大小为（ ）；相对速度v r 的大小为（ ）。
① L ω ② b ωcos ωt③ b ωcos ωt + L ωcos ωt④ b ωcos ωt + L ω6．图示偏心轮摇杆机构中，ω、α为已知，要求摇杆的角加速度α1，应取（ ）。
① 杆上的M 为动点，轮为动系② 轮上的M 为动点，杆为动系 ③ 轮心C 为动点，杆为动系④ 轮心C 为动点，轮为动系7．如图所示，直角曲杆以匀角速度ω绕O 轴转动，套在其上的小环M 沿固定直杆滑动。
取M 为动点，直角曲杆为动系，则M 的（ ）。
① v e ⊥CD ，a C ⊥CD② v e ⊥OM ，a C ⊥CD③ v e ⊥OM ，a C ⊥OMα α18．平行四边形机构如图。
理论力学第8章,点的合成运动
速度合成定理
始末状态
8.2
1 定理推导
速度合成定理
运动合成
M’
绝对运动
牵连运动
相对运动
8.2
1 定理推导
速度合成定理
由矢径的关系 除以时间取极限 速度合成定理
MM '' MM ' M ' M ''
MM '' MM ' M ' M '' lim lim lim t 0 t 0 t t 0 t t
目的：牵连点，AB上C点的速度
作 业
P195
7-17 7-19
谢 谢
8.3
加速度合成定理
科氏加速度方向的判断：
(2)从相对速度方向开始，顺着牵连角速度转90度
8.3
加速度合成定理
例3. 摆动导杆机构，已知AB匀速转动，求CD杆的角加速度？
目的：基本使用过程
8.3
加速度合成定理
练习
练习1. （P197 7-26）求小环的速度和加速度。（85分）
目的：熟悉
速度分析
用ADAMS来表示牵连点的运动
思考题. (p194 7-11 ) 求销钉M的速度？（100分）
动画
目的：同用。
8 点的合成运动
0 引言 1 三种运动 2 速度合成定理
3 加速度合成定理
8.3
加速度合成定理
1 加速度合成定理
说明：
加速度比速度更麻烦。速度只有1项，加速度可能存 在向心加速度和切向加速度2项。
注意：牵连点—动系上与动点重合的点。
8.2
速度合成定理
例1 机构如图。三角块移动速度为V，求BC的速度。
理论力学基础点的合成运动
1
平动和转动的区别
2
它们之间的关系对于理解合成运动具有
重要意义；
3
运动学基本公式
4
位置、速度、加速度等运动学基本公式 是研究合成运动的基础知识。
牛顿第二定律
合力产生加速度，加速度与力成正比。 一切合成运动都符合牛顿第二定律；
匀速圆周运动的分解
它是所有曲线合成运动的基础，掌握分 解方法可以为其他曲线合成运动的研究 提供启示；
结论和总结
合成运动是力学基础点之一，但不同于其他运动，它是由多个运动步骤组 成的复杂过程，因此有其独特的研究方法和工具。对合成运动理论及其实 际应用的深度理解和掌握，具有重要意义。 ——陈晓明，中国科技大学教授
机器人动作设计
机器人动作设计中需要进行多种复杂的合成运动分析与控制。合成运动理论可以指导机器人 的运动规划、轨迹跟踪和动作执行。
运动传感设计
合成运动分解是一种重要的运动测量技术。在车辆安全、物流配送、航空监控等领域，合成 运动传感器为复杂运动测量提供了有效手段。
合成运动的实验方法和技术
1
高速相机
观测高速运动的一种重要方法。运用指定的曝光时间和快门速度，拍摄合成运动 过程中的关键帧。
2
追踪仪器
用于测量运动物体的位置、速度和加速度等多种参数，对于合成运动的分析和控 制有着重要作用。
3
动力学仿真软件
自动地计算合成运动的轨迹、速度、加速度等参数。可以模拟物体的运动过程， 为结构设计和工艺分析提供有力支持。
合成运动的分类和特点
线性合成运动
由两个或两个以上直线运动叠 加而成；
圆周合成运动
由两个或两个以上曲线运动叠 加而成；
复合合成运动
由不同类型直线运动或曲线运 动叠加而成。
点的合成运动
种位移之间的关系为
MM'' =MM' + M' M''
目录
刚体的运动\点的合成运动
将上式两边分别除以Δt ,并取Δt→0 时的极限，得
y Ox
lim lim lim MM
MM
M M
t0 t
t0 t
t0 t
式在中绝：对lit运m0动M中Mt 的 表速示度动，点称在为瞬动时点t的、
y
vr
va
系相固结的物体的运动，因而是指一个刚体的运动，它可以是平移、
转动或其他复杂的运动。
目录
刚体的运动\点的合成运动
1.2 点的速度合成定理
以图示桥式起重机为例，研究
y Ox
绝对运动、相对运动和牵连运动三
者速度之间的关系。设在瞬时t，动 点在位置M。假如动点不作相对运
y
M''
动，则经Δt时间后，动点随动系运
理论力学
刚体的运动\点的合成运动
点的合成运动
在研究刚体的平面运动之前，先介绍点的合成运动的有关概念 及点的速度合成定理，这既是研究点的运动的又一种方法，又是研 究刚体复杂运动的基础。
1.1 点的合成运动的概念
在不同的物体上观察同一物体的运动时，会得出不同的结果。 例如，当火车行驶时，在车厢上观察车轮上一点的运动是圆周运动， 在地面上观察则是复杂的曲线运动，若在车轮上观察则是静止的。 因此，在研究一个物体的运动时，必须指明是相对于哪个物体而言， 即必须选定参考体或参考系。在工程上如果没有特别的说明，都是 以地面作为参考系。
目录
刚体的运动\点的合成运动 【例6.5】 凸轮机构（如图）中，导
杆AB可在铅垂管D内上下滑动，其下端 与凸轮保持接触。凸轮以匀角速度ω绕O 轴逆时针转动，在图示瞬时OA=a ，凸轮
点的合成运动中动点＼动系的选取原则和方法
点的合成运动中动点＼动系的选取原则和方法摘要系统阐述点的合成运动中动点、动系的四条选取原则及各类问题中动点和动系的选取方法,并列举实例加以分析说明。
关键词合成运动;动点;动系;选择点的合成运动是理论力学的运动学部分的重点,同时也是难点,对初学的大学生和部分青年教师来讲,都是不太容易理解和掌握的。
在合成运动理论中,首先要选定一个动点,它可以是抽象为点的刚体,也可以是运动刚体上的某一确定点。
然后选定两个坐标系:定系和动系,通常把固结在地球上的坐标系选为定系,固结在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系选为动系。
最后再分析三种运动:绝对运动、相对运动和牵连运动。
这其中,选取合适的动点、动系最为关键,它是解题技巧中最重要的,也是难以确定的。
动点、动系选择得合适,三种运动分析就很简单,速度分析和加速度分析也就顺理成章。
选取动点、动系一般应遵循如下四条原则:1)动点与动系不能选在同一物体上。
动点相对于动系是运动的,若选在同一物体上,就没有相对运动。
2)动系固结在相对于定系运动的物体上。
3)动点的相对运动轨迹要清楚,容易判断,从而便于确定相对速度和相对加速度的方位。
4)动点在运动过程中必须是系统中同一个确定的点。
它可以是抽象为点的刚体,也可以是运动刚体上的某一确定点。
下面针对几种不同问题,归纳出动点、动系的选取方法,并列举实例加以分析说明。
学生只要记住这些机构的特点和相应的动点、动系的选择方法,并针对具体题目应用即可。
1两物体之间通过小圆环相互连接可选小圆环为动点,动系固结在其中一运动物体上。
图1 图2如图1所示的运动机构中,小环M套在直杆OA与直角曲杆OBC上。
选小环M为动点,动系固结在绕O轴转动的直角曲杆OBC上,注意动系不能选在OA 杆上,因为OA杆相对地面不动。
则绝对运动为沿OA的直线运动,相对运动为沿BC的直线运动,牵连运动为杆OBC的定轴转动。
速度分析如图所示。
2运动机构中的不同情况一杆状构件(甲)的一端始终与另一物体(乙)的轮廓相接触。
8理论力学
线运动.
D
动系的牵连运动—沿x轴的直线平动. vD
va= ve + vr va = r ve = vD= v
v 解得: va sin
v r sin
16
例题8-7.平底凸轮机构如图
示. 凸轮 O 的半径为R,偏心 距OA = e,以匀角速度 绕 B O 转动,并带动平底从动杆 BCD运动. 试求该瞬时杆 BCD的速度.
动系O—x´y´
e x´
y´
A的绝对运动—以B为中心 l 为 半径的园运动.
x A的相对运动—沿凸轮O边缘的曲线运动.
牵连运动—动系随凸轮O且角速度为的定轴转动.
牵连点—凸轮O上被AB杆的A端盖住的A´点且随凸轮
O作角速度为的定轴转动.
va= ve + vr va = l AB
解得:
AB
e l
22
ve = rsin
将它表示成转角的函数.
B
D
C e O A
26
解:取偏心园凸轮的 B
D
中心C为动点.
建立静系O—x y和 动系A—x´y´
y
ve va
C e vr
O
A
y´
x
x´
C的绝对运动—以O为中心为e半径的园运动.
C的相对运动—平行于 y´ 轴的直线运动.
牵连运动—动系沿水平直线作往复平动.
va= ve + vr
长 r,以匀角速1转动.试分析滑
O2
块A的运动.
5
O
例题8-3.曲柄导杆机构
的运动由滑块 A带动,已
B
C
知OA= r且转动的角速
A
度为.试分析滑块 A的
点的合成运动
2013年7月5日
理论力学CAI
42
1.牵连运动为转动时点的加速度合成定理
设一圆盘以匀角速度 绕 定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽 内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点
相对于定系的绝对加速度应是
多少呢？
2013年7月5日
理论力学CAI
43
选点M为动点，动系固结于圆盘上，
则M点的牵连运动为匀速转动， 为常数
y'
y u
x'
M
O
M O
y'
x'
x
O'
2013年7月5日
理论力学CAI
4
车刀以匀速横向走刀，卡盘匀角速度转动，求刀尖相对工件的轨迹。
2013年7月5日
理论力学CAI
5
§8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
归纳为：一点，两系，三种运动
一点
动点：做合成运动的点。
两系
定参考系（定系）：固结于地面（地球）。如机座。 动参考系（动系）：固结于某运动着的刚体上。
ar = 2l sin
理论力学CAI
37
课后作业1（浙大）
作业题 7-7 7-8 7-9
2013年7月5日
理论力学CAI
38
课后作业1
思考题 8-1 8-2 作业题 8-7 8-8
8-3
8-10
2013年7月5日
理论力学CAI
39
例题
例 曲柄滑杆机构
= 45o 时，, a ; 已知: OA＝l ,
例题
已知：AB匀角速度转动。 求：M在导槽EF及BC中运动的速度与加速度。
E
B
C M
理论力学《点的合成运动》答案
4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
理论力学第八章点的合成运动
运动学/点的合成运动
▼曲柄摇杆机构运动分析
动 点：套筒A
动 系：摇杆OC 定 系： 地面 绝对运动：圆周（O1） 相对运动：直线（沿
OC）
牵连运动： 定轴转动 （绕O）
运动学/点的合成运动
▼平底凸轮机构运动分析
动点：凸轮圆心点C 动系:平底挺杆 静系：地面 绝对运动：圆周（C） 相对运动：直线
运动学/点的合成运动
飞机螺旋桨上点P的运动分析
飞机上观察 P点为圆周 运动
当飞机直线 平移时地面 上观察P点的 运动为曲线 运动。
P点的运动可看成随飞机的平移与绕螺旋桨轴心转动的合成。
运动学/点的合成运动
本章利用运动的分解、合成的方 法对点的速度、加速度进行分析，研 究点在不同参考系中的运动，以及它 们之间的联系。
运 动 ， 带 动 顶 杆 AB 沿 铅
A
R φ
v0
垂方向运动，如图所示。
试求φ=60º时，顶杆AB的
速度。
n
运动学/点的合成运动
解： 1. 选择动点、动系与定系
B
y
y A
v0
R
o φ
x
o
n
x
动点：AB 杆的端点A 动系：固连于凸轮
定系：固连于水平 轨道
2. 运动分析
绝对运动：直线运动
相对运动：沿凸轮轮 廓曲线运动
▼牵连点指某瞬时动系上与
动点相重合的点，不同瞬时 牵连点的位置不同。
▼动点相对动系、定系必
须有运动，不能和动系在同 一物体上。
▼以上可归结为一点、两
系、三运动。
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
理论力学第八章 点的合成运动
I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。
II) 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。
第二节 点的速度合成定理
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素， 已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二．应用举例 [例8-1] 桥式吊车 已知： 小车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升
第一节 点的合成运动的概念
三．三种运动及三种速度与三种加速度。 １．绝对运动：动点对静系的运动。 点的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动。 例如：人在行驶的汽车里走动。 ３．牵连运动：动系相对于静系的运动 刚体的运动 例如：行驶的汽车相对于地面的运动。
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度
第八章 点的合成运动
主要研究内容
§8–1 点的合成运动的概念
§8–2 点的速度合成定理
§8–3点的速度合成定理合成定理
第一节 点的合成运动的概念
一．坐标系： 1.静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系, 简称静系。 2.动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标 系，称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。 二．动点：所研究的点（运动着的点）。
v A v a v e v r v平 v
2
2
2
2
t g1
v v平
第二节 点的速度合成定理
[例8-2] 曲柄摆杆机构 已知：OA= r , , OO1=l 求：摆杆O1B角速度1 图示瞬时OAOO1
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系， 基座为静系。 绝对速度va = r 方向 OA 相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B 由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。 r r 2 sin ,ve va sin r 2 l 2 r 2 l 2 ve 1 r 2 r 2 又ve O1 A1 ,1 2 l 2 （ 2 2 O1 A r 2 2 r l r l
山东大学《理论力学》教案第8章 点的合成运动
第8章 点的合成运动一、目的要求1．深刻理解三种运动、三种速度和三种加速度的定义、运动的合成与分解以及运动相对性的概念。
2．对具体问题能够恰当地选择动点、动系和定系进行运动轨迹、速度和加速度分析，能正确计算科氏加速度的大小并确定它的方向。
3．会推导速度合成定理、牵连运动为平动时点的加速度合成定理，理解并掌握牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
并能熟练地应用上述三个定理。
二、基本内容1．基本概念点的合成运动的概念；绝对运动、相对运动、牵连运动，以及由此引出的绝对速度、相对速度、牵连速度和绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度的概念；点的速度合成定理和加速度合成定理。
2．基本公式速度合成定理：r e a v v v +=加速度合成定理：r e a a a a +=（牵连运动为平动）c r e a a a a a ++=（牵连运动为转动）r c v a ⨯=ω2三、重点和难点1．重点（1）动点和动系的选择；（2）运动的合成与分解；（3）速度合成定理和加速度合成定理的应用和计算。
2．难点（1）动点和动系的选择；（2）加速度合成定理的运用与计算；（3）牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念。
四、教学建议1．教学提示（1）讲清动点、动系的选取原则，通过举例归纳常见机构动点、动系的选取方法。
（2）强化牵连点的概念，熟练掌握牵连速度、牵连加速度的计算。
（3）举例阐明速度合成定理的应用和解题步骤（多用几何法）。
（4）讲清如何用解析法求解加速度合成问题，强调科氏加速度产生的原因与计算（多用投影法）。
本章是运动学重点，也是难点，要求多举例，熟练掌握。
2．例题速度分析可按六种类型举例，即有一个指定动点、有一个运动连接点，有一个固定不变的接触点，没有一个固定不变的接触点，两个互不关联的物体，双动系；在进行加速度分析时，重点是前4类，特别是要注意科氏加速度的分析。
3.建议学时课内（7学时）课外（10.5学时）4．作业布置习题：8-4，8-8，8-10，8-13，6-15，8-17，8-18，8-19，8-21，8-24，8-25，8-27。
理论力学8—点的合成运动
(2) 应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的 几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左 右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。
7.2 点的速度合成定理
通常选动点和动系主要有以下几种情况： 1. 有一个很明显的动点，在题中很容易发现；
2. 有一个不变的接触点，可选该点为动点；
3. 没有不变的接触点，此时应选相对轨迹容易确 定的点为动点； 4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系； 6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
＝ωt， 已知：r，相对速度v，
求：点M的绝对运动方程。
t0
0。
解:
动点：M 点 动 系 ： O x y
相对运动方程
OO x O M cos 1 1 O y M sin 1
代入
vt r
＝ωt， 已知：r，相对速度v，
求：点M的绝对运动方程。
vt x r 1 cos r y r sin vt r
第 7 章
点的合成运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
8.2 点的速度合成定理
8.3 点的加速度合成定理
7.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
一、方法及思想起源
运动合成的思想我们 大家都很熟悉，比如说右 边直升飞机螺旋桨端的P 点，其运动就可以分解为： “随螺旋桨一起相对飞机 机身的运动”和“随机身 一起在空中的移动”。你 们可以试着点击一下图片， 看看运动合成的情况。
A
y`
转轮
x
现在我们可以这样陈述：动点A相对于坐标架xoy的运动（螺旋 线），可以分解为动点相对于坐标架x`oy`的运动（直线运动）和坐 标架x`oy`相对于坐标架xoy的运动（定轴转动）。
理论力学8—点的合成运动2分解
(2) 应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的 几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左 右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。
8.2 点的速度合成定理
通常选动点和动系主要有以下几种情况： 1. 有一个很明显的动点，在题中很容易发现；
2. 有一个不变的接触点，可选该点为动点；
ae 2 ve1
o
M1
ae1
o
ve1 (l r ) ae1 (l r ) 2
2 2
ve 2 l r
ae 2 l 2 r 2 2
重点要弄清楚牵 连点的概念
8.2 点的速度合成定理
rM rO r
r = xi yj zk
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
习惯上把固定在地球上的坐标系称为 定参考系 ， 以oxy坐标系表示；固定在其它相对于地球运动的参考 体上的坐标系称为动参考系，以o'x'y'坐标系表示。 用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两 个参考系，区分三种运动：
(1) 动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动；
第 8 章
点的合成运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
8.2 点的速度合成定理
8.3 点的加速度合成定理
在不同的参考系中，对于同一动点，其运动方 程、速度和加速度是不相同的，这就是运动的 相对性。许多力学问题中，常常需要研究同一 点在不同参考系中的速度、加速度的相互关系。
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
z'
k' j'
y'
i'
x'
O' y
理论力学 点的合成运动
例1. 梯子 AB 长 L , 重 P，一端 B 靠在光滑的铅垂墙上， 另一端 A 放在摩擦系数为 f 的水平地面上，问梯子与水 平线所成的倾角 多大时，梯子能处于平衡？
y
解：
对象：梯子 P , NB , NA , FAmax
B
P m NA RAmax
分析力：
NB
L 列方程： m A ( F ) N B L sin P cos 0 2
摩擦角和自锁现象
2.利用摩擦角判断物体是否平衡的两条规律
全约束力的作用线范围
0 m
m
m
R
若某接触面上的主动力的合力作用线在摩 擦角的范围之内，则不论此力有多大，物体 将永远平衡。－－自锁现象
螺旋千斤顶 tg 1 f
m
f 0.1
5 43
例2. 已知排挡齿轮宽为 b，自重忽略不计，能在直径为 d 的轴上左右滑动。若齿轮与轴之间的摩擦系数为 f，求不 使齿轮被卡住，水平推力 P 的作用线离轴线的距离 a 的 y 范围。
解：
对象：排挡齿轮
d
NA A
P
a FA b
B m
分析力： P , NB , NA , FB , FA
FB NB
x
列方程：
Y N N 0 Y P F F 0
A B A B
RBmax
d mA ( F ) P(a ) N Bb FB d 0 2 FB fN B 摩擦定律： FA fN A
由式得 NA = NB 代入式
b a 2f
由式得 FA = FB = P/2 齿轮平衡
B A RBAmax RAmax RAmax RBAx 画封闭力三角形：
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考物上的坐标系，简称定系。 一般将定系固结在地面上。 如图所示固结在地面上的坐标 系 。
●动坐标系：建立在相对于定系运动着的物体上的坐
标系，简称动系。图示原点在轮心与车厢固连的坐标系 o`x`y` 汽车车厢相对于 运动，如果将 坐标系固
结于车厢上,则形成了相对于定系运动的坐标系
。
运动学/点的合成运动
运动学/点的合成运动
▼凸轮机构运动分析
动点：凸轮圆心点O 动系:摇杆 静系：地面 绝对运动： 直线 相对运动：直线
牵连运动： 定轴转动
●注意的问题：
▼三种运动的分析必须明确什么物体相对什么参考体的
运动。 ▼相对、绝对运动指点的运动，可以是直线或曲线运动 ；牵连运动是指参考体的运动，是刚体的运动，可以是 平移或定轴转动以及刚体的其他运动形式。 ▼牵连点指某瞬时动系上与 动点相重合的点，不同瞬时 牵连点的位置不同。 ▼动点相对动系、定系必 须有运动，不能和动系在 同一物体上。
▼以上可归结为一点、两
系、三运动。
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、 相对和牵连运动之间的关系。 以二维问题为例。设定系 ， 动系 。动点M，如图所示。 （1）绝对运动方程：
x x(t ), y y (t )
（2）相对运动方程： （3）牵连运动方程：
▼该定理在推导的过程中，牵连运动未加限制，可以
是平移、定轴转动以及其他形式的刚体运动。
▼牵连速度为该瞬时动系上与动点相重合的点的速度。
运动学/点的合成运动
例2:已知正弦机构中，曲柄OA＝l，匀角速度 ω ， 当θ ＝30o 时。求T型杆BCD的速度。
O
θ
A C
B
D
运动学/点的合成运动
解：
y
1. 选择动点与动系
●牵连运动：动系相对于定系的运动。
刚体的运动
如行驶的汽车
相对于地面
的运动。
运动学/点的合成运动
● 绝对（加）速度：动点相对于定系的（加）速度，
用
表示。
● 相对（加）速度：动点相对于动系的（加）速度，
用
表示。
● 牵连（加）速度：牵：在某瞬时，动坐标系上与动点相重合的
运动学/点的合成运动
设动点 M 在动系中沿某一曲线 AB作相对运动，而
动系本身相对定系作某种运动 .下面证明速度合成定
理.
运动学/点的合成运动
三种运动 轨迹
当t → t+△t AB → A'B' M → M'
z' M2(m2) 绝对运动轨迹 y' A
t
t t
M'(m') A
相对运动轨迹
定 系：地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧）
牵连运动： 直线平移
运动学/点的合成运动
▼偏心凸轮机构运动分析
A(在AB杆上) 动 点： 动 系：偏心轮C
定 系： 地面
绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
运动学/点的合成运动
▼曲柄摇杆机构运动分析
套筒A 动 点： 动 系：摇杆O1B 定 系： 地面 绝对运动：圆周（O） 相对运动：直线（沿 O1B） 牵连运动： 定轴转动 （绕O1）
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
飞机螺旋桨上点P的运动分析
飞机上观察 P点为圆周 运动 当飞机直线 平移时地面 上观察P点的 运动为曲线 运动。
P点的运动可看成随飞机的平移与绕螺旋桨轴心转动的合成。
运动学/点的合成运动
本章利用运动的分解、合成的方 法对点的速度、加速度进行分析，研 究点在不同参考系中的运动，以及它 们之间的联系。
二、三种速度
绝对速度、相对速度、牵连速度
三、牵连点
在某瞬时，动坐标系上与动点相重合的点，为该瞬时动点 的牵连点。不同的瞬时动点的位置不同，牵连点也不同。
运动学/点的合成运动
§8-2
点的速度合成定理
速度合成定理建立动点的绝对速度，相对速
度和牵连速度之间的关系:
va ve vr
绝对速度 牵连速度 相对速度
运动学/点的合成运动
例4：图示机构，曲柄OA的一端与滑块A用铰链连接。当曲柄 OA以匀角速度 绕定轴O转动时，滑块在摇杆上滑动，并带动 摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 l 求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相 对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
x'
M1(m1) M (m)
B
牵连点运动轨迹
z y
也可看成 M → M１ → M´
B
x
O
MM 为绝对运动轨迹
M1M 为相对运动轨迹 MM1 (mm1 ) 牵连点运动轨迹
MM
M 1M MM 1
为绝对位移 为相对位移 为牵连点位移
运动学/点的合成运动
速度合成定理
动点M在时间△t 内的绝对位移
坐标变换关系：
x' x' (t ), y' y' (t )
xo' xo ' (t ), yo' yo' (t ), (t )
x x0 x cos y sin y y0 x sin y cos
运动学/点的合成运动
例1 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖P沿水平轴x作 往复运动，如图所示。设 为定坐标系，刀尖的运动 方程为 x a sin t 。工件以等角速度 逆时针方向转 动。求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
运动学/点的合成运动
第八章
§8-1 §8-2 §8-3
点的合成运动
点的合成运动的概念 点的速度合成定理 牵连运动为平移时 点的加速度合成定理
§8-4
牵连运动为转动时 点的加速度合成定理
本章中点的速度合成是重点，点的加速度合成是难点。
运动学/点的合成运动
§8-1 点的合成运动的概念
一、坐标系
●定坐标系：建立在固定参
y
y
R
A
v0
o
φ
x
2. 运动分析
绝对运动：直线运动 相对运动：沿凸轮轮 廓曲线运动
牵连运动：水平平移
o
n
x
运动学/点的合成运动
3. 速度分析
B
大小： ？
vr
R
φ n
？
方向 沿凸 轮圆 周的 切线 方向 水平 向右
va
φ A
ve
v0
垂直 方向： 向上
因为杆AB作平移，所以此瞬时它的速度大小： 方向垂直向上
运动学/点的合成运动
理 论 力 学
第二部分 运 动 学
第八章
点 的 合 成 运 动
2015年2月28日
运动学/点的合成运动
第八章 点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（
参考体）固定不动 , 将坐标系（参考系）固连于地面 。因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。 物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。 同一物体的运动，在不同的参考系中看来，可以具有
解： 根据题意，需求车刀刀尖P相 对于工件的轨迹方程。 设刀尖 P为动点，动系固定在 工件上。则动点在动系 Ox1y1 和 定系Oxy中的坐标关系为：
x1
y1
y1 x sin t
x1 x cos t
运动学/点的合成运动
将点P的绝对运动方程代入上式中，得： x1 x cos t a y1 x sin t x1 a sin t cos t sin 2 t 2 a 2 y1 a sin t ( 1 cos 2 t ) 2 ———车刀相对于工件的运动方程。 从上式中消去时间t，得刀尖的相对轨迹方程
则有
其中：
代入（1）式可得
vr
z' A x'
M2(m2)
M '(m')
y'
va
A
ve
B
M(m)
M1(m1)
B
运动学/点的合成运动
绝对速度
牵连速度
相对速度
z' A x'
M2(m2) M '(m')
y'
va
ve
B
A
速度合成定理 某瞬时动点的绝对速度等 于其相对速度与牵连速度 的矢量和。
vr
M(m)
带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点
相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。 （3 ）注 意: 由于相对运动，动点在动系上的位 置随时间改变，所以牵连点具有瞬时性。
运动学/点的合成运动
运动学/点的合成运动
运动学/点的合成运动
运动学/点的合成运动
▼动点和动系的选择
基本原则： 1.动点对动系要有相对运动。 2.动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。 具体选择方法：
解：
滑块A
1、选取动点： OA 上的A点 动系： O1B
2、 运 绝对运动：圆周运动 动 相对运动：直线运动 分 析 牵连运动：定轴转动 ：
定系： 基座
运动学/点的合成运动
3、速度分析
由： v a
大小
r
?
ve vr
?
方向
OA
O1B
合，而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同 。
下面举例说明一点两系三运动的分析
运动学/点的合成运动
▼凸轮机构运动分析
动 点：AB杆上的A点
动 系：凸轮
定 系：地面 绝对运动： 直线 曲线（圆弧） 相对运动：