张量分析习题答案
张量分析——精选推荐
《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。
*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。
张量分析第三章
1 m 1 m 1 m
（3.1-3）
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是 一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。 张量积：设张量 A P ; B P ；则 A和 B的张量积按：
m n
A B AB ( Ai1im B j1 jn )ii1 iim i j1 i jn B A BA ( Ai1im B j1 jn )i j1 i jn ii1 iim
（3.1-4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一 组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值，A 、B 都是确定的实数。 A B 记C 。则：
J : A (ii i j ii i j ) : ( Amn imin ) Amnim jn ii i j Amn imin A
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
例1： 如图3－1所示刚体Ω 以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的 述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ；速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为：
ij i j k k ij k i j k 3
k k ij i j ij k k i j 3
二阶张量与二阶张量的张量积：
AB Aij ii i j （Bmn imin） Aij Bmn）i j imin Φ （ ) （ ii ; Φ P 4
《连续体力学》习题及解答2分析
2 二阶张量及其若干运算法则(一) 概念、理论和公式提要2-1 张量的乘法① 张量的外乘(并乘) 张量的外乘用⊗表示，其外积为张量，其阶数等于外乘诸张量阶数之和。
② 张量的内乘(点乘) 张量的点乘用“·”表示(有时也可省去“·”)，其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。
③ 张量的双点乘记作“∶”(两次点乘)，例如B A∶；其积为张量，其阶数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。
设)(CT )(CT )(CT p n m 为，为，为C B A ，则)42(CT ⨯-++=p n m 为，∶∶D D C B A (2-1-1) 取)2(CT 244为，则，，D ===p n m ，其分量为rp mnrp ijmn ij C B A D = (2-1-2)其中A 分量的后两个指标与B 分量的前两个指标，B 分量的后两个指标与C 分量的前两个指标依次相同。
④ 二阶张量ij ij T T =T T T T ∶，定义为的范数记为为正方根，且有时才取等号只当，o T T =≥0 (2-1-3) 的绝对值为标量，ααααT T = (2-1-4) R T R T +≤+ (2-1-5) R T R T ⋅≤∶ (2-1-6) a T a T ≤⋅ (2-1-7)R a a 的模，为矢量亦为二阶张量。
⑤ 设C B A B A 次缩拼为张量外积的和，则和分是是和s t r )(CT )(CT ，记为C B A =⊗s C)2(s t r -+为C 阶张量，其分量关系为mn k k k k k k ij mn ij s s B A C 2121= (2-1-8)反之，如果已知C B 和为张量，其分量与带指标的量 ij A 满足上式，则 ij A 为张量A 的分量，称为商法则或张量识别定理。
A 的阶数等于s 2的阶数加C ，减去B 的阶数。
特别地当B ，t s =的分量的全部指标都是哑标时，则A 的阶数等于B 和C 的阶数之和。
习题答案—第二章
第二章 正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。
解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系 （2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。
张量分析(最后附题目)
●
矢量微分元
线元，面元，体元v v v v 例： ∫ F ⋅ dl , ∫ B ⋅ dS , ∫ ρ dV
v v 其中：dl , dS dV 称为微分元。
v dl
v dS
A.直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 v v r r 线元： dlx = dxa x 面元： dS x = dydzax v v r r dS y = dxdza y dl y = dya y v r v r dS z = dxdyaz dlz = dzaz v r r r 体元： dV = dxdydz dl = dxax + dya y + dzaz
（对各向同性、线性电介质） 电极化率，表征了电介质的性质 r r 对各向异性、非线性电介质， 并不和 E 简单成正比， P 其方向也不一定平行，“电极化率”不是一个简单的数。 r r r P 当 E 不太强时， 和 E 的对应关系仍然是线性关系， 可以用分量表示为：
r r ∑ pi 单位体积内所有分子 电极化强度矢量：P = 的电偶极矩矢量和 ΔV r r P = αE
直角坐标系（笛卡尔坐标系:Cartesian coordinates ） 右手坐标系： r 如果由 e1按右手螺 r r 旋旋转到 e2 可以得到 e3 左手坐标系： r 如果由 e1按左手螺 r r e2 e3 旋旋转到 可以得到 b .矢量不变特性
r e3
r e1
r e2
r e3
r e1
r e2
α ϕ x
β
ρ
cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos γ = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 γ = 1
张量分析答案完整版.
1.1 求证： u × (v × w ) = ( u • w) v − ( u • v) w
黄克智版张量分析课后习题答案完整版
并问： u × ( v × w ) 与 （u × v） × w 是否相等？ u 、v、w 为矢量 证明：因为 u= (u x , u y , u z ) ; v= ( vx , vy , vz ) ; w= ( wx , wy , wz ) ;
左边= u × (v × w ) = (u x , u y , u z ) × [ ( vx , vy , vz ) × ( wx , wy , wz ) ]
g11g1 + g 12g 2 + g 13g 3 = 2g1 + g 2 + g 3
= j + k = g1
1.11 根据上题结果验算公式： g j = g jig i 1 1 1 由上题结果： g = 2 , g1 = ( −i + j + k ) , g 2 = (i − j + k ) , g3 = ( i + j − k ) 2 2 2
=[
⎧2 g rs = ⎨ ⎩1
及： g1 = g11g1 + g12g 2 + g13g3
所以 u × (v × w) ≠（u × v） ×w
第一章
同理; g 21g1 + g 22g 2 + g 23g3 = g1 + 2g 2 + g 3 当r=s 当r ≠ s
=
=
, u y ( vx wy − wx v y ) − u z ( wxv z − v x wz ) u x ( wx vz − vx wz ) − u y ( v y wz − w yv z ) ] 所以： u × (v × w ) = (u • w)v − ( u • v) w 同理可证： ( u × v ) × w = ( u • w) v − ( v • w) u
张量分析第一章 习题答案
一阶张量 一阶张量 根据张量识别定理: δ ij 是1+1阶即二阶张量. (2) 对于任意二阶张量 b jk 缩并:
∑ε
j ,k
ijk
b jk
一阶张量
∑ε
j ,k
1 jk b jk = b23 − b32
∑ε
j ,k
2 jk
b jk = b31 − b13
∑ε
j ,k
3 jk
b jk = b12 − b21
∑
i1i2 ⋅⋅⋅iµ j1 j2 ⋅⋅⋅ jµ
得 Ai1′i 1 Ai2′i2 ⋅⋅⋅ Aiµ′iµ Aj1′ j1 Aj2′ j2 ⋅⋅⋅ Ajν ′ jν ai1i2 ⋅⋅⋅iµ j1 j2 ⋅⋅⋅ jν 命题得证！ 命题得证！
ci1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ =
∑ ∑
i1i2 ⋅⋅⋅iν j1 j2 ⋅⋅⋅ jν
得
i1i2 ⋅⋅⋅iµ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ j1 j2 ⋅⋅⋅ jν
在新坐标系中: ci1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ = ∑ ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ b j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′
j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′
比较
ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ =
ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ =
∑
i1i2 ⋅⋅⋅iµ
得 Ai1′i 1 Ai2′i2 ⋅⋅⋅ Aiµ′iµ ai1i2 ⋅⋅⋅iµ
命题得证！ 命题得证！
6. 根据张量识别定理证明:δ ij是二阶张量, ε ijk 为三阶张量. 证: (1) 对于任意一阶张量 对于任意 阶张量 a j ∑ δij a j = ai
张量分析与材料应力张量习题解答
练习题Ⅱ（金属所）1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl )4. 证明ijk ikj =-6。
5. 证明ijkmik =-2δjm 。
6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。
并验证主方向是相互正交的。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1cx 3，u 3= bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。
求这个位移场的应变张量Γ。
11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
练习题Ⅱ解答（金属所）1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
解：CB A BC A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j ik m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a 2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈解：a ij 的行列式为333231232221131211det a a a a a a a a a A = 当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 321321321=∈ 任意换列后有A a a a a a a a a a ijk kjik j i kj i det 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有A a a a a a a a a a lmn ijk nkmkninj mj mi nimi li det ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有lmn ijk nknj ni mk mj mi lklj li ∈=∈δδδδδδδδδ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 解：根据上题的结果，有)()3()3()()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mkmj mi lklj li kkkj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈4. 证明ijk ikj =-6解：ijk ikj =-ijk kij =-(δii δjj -δij δji )=-(33-δii )=-(9-3)=-65. 证明ijk mik =-2δjm解：ijk mik =ijk kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
张量分析与弹性力学：ch04-exercises
张
(武汉大学)
张量分析与
学
2016 年 4 月 6 日 2 / 4
1 习题
张
(武汉大学)
张量分析与
学
2016 年 4 月 6 日 3 / 4
习题 1
x2 1 (1)
(1, 1)
O (a)
x2 1 (2)
x1 1
(1, 1)
x1
O
1
(a)
张
(武汉大学)
x2 1.2
+ e2)
上线元的变Байду номын сангаас长度比与
变形后的新方向。
张量分析与
学
2016 年 4 月 6 日 3 / 4
习题 2
在图示的四面体 OABC 中，已
知 OA = OB = OC，D 是 AB 的中点。设 柯西应变张量为
0.010
(εij) = −0.005
.
−0.005 0.020 0.010
. 0.010
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第四章 应变分析
习题
武汉大学测绘学院 张
2016 年 4 月 6 日
张
(武汉大学)
张量分析与
学
2016 年 4 月 6 日 1 / 4
习题
试分析以下应变状态是否存在。 1 εx = k(x2 + y2)z, εy = ky2z, εz = 0; γxy = 2kxyz, γyz = γzx = 0； 2 εx = k(x2 + y2), εy = ky2, εz = 0; γ = 2kxy, γyz = γzx = 0； 3 εx = axy2, εy = ax2y, εz = axy; γxy = 0, γyz = az2 + by2, γxz = ax2 + by2。
张量分析(最后附题目)
x2
5
２ 常用总体坐标系（正交系）
z
O
（x0 y0 z0）
·
z （ρ0 ϕ0 z0）
·
θ
O
·（r r
0
θ0 ϕ0 ）
y
x
x
ϕ
O
ρ
y
x
ϕ
直角坐标系
柱坐标系
v e v A
v v v e x , e y , ez v v v Ax , Ay , Az
v v v e ρ , eϕ , e z 曲线 v v v 正交 Aρ , Aϕ , Az
●
矢量微分元
Байду номын сангаас
线元，面元，体元v v v v 例： ∫ F ⋅ dl , ∫ B ⋅ dS , ∫ ρ dV
v v 其中：dl , dS dV 称为微分元。
v dl
v dS
A.直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 v v r r 线元： dlx = dxa x 面元： dS x = dydzax v v r r dS y = dxdza y dl y = dya y v r v r dS z = dxdyaz dlz = dzaz v r r r 体元： dV = dxdydz dl = dxax + dya y + dzaz
（对各向同性、线性电介质） 电极化率，表征了电介质的性质 r r 对各向异性、非线性电介质， 并不和 E 简单成正比， P 其方向也不一定平行，“电极化率”不是一个简单的数。 r r r P 当 E 不太强时， 和 E 的对应关系仍然是线性关系， 可以用分量表示为：
r r ∑ pi 单位体积内所有分子 电极化强度矢量：P = 的电偶极矩矢量和 ΔV r r P = αE
张量分析答案完整版
= T J• T ii • 2
=
tr(T
•T
)
=T
•T
•G
•
T T = •m •a am
• •
JT 3
=T •T •T •G •
=T T T •m •p •a a mp
对于 S ：
得证。
JT 1
=T jj
J• T
•2
= tr(T T
•TT) = TT
TT
•
•G
•
= T T J m •a • T •a m • 3
2δ
i j
[u
v
w
]
+
2δ
i j
[u
v
w]
[ = T⋅ii δ
i j
u
v
w ]=T⋅ii [u
v
w ]= φ1T [u
v
w ]，命题得证。
（2）式左边
[ ] [ ] [ ] = T⋅ija jgi
T
a ⋅b
b
b
g
a
c cgc
+ adgd
T ⋅ijb jgi
T⋅ab cb g a + T⋅ija jgi
∂v m
'
∂x n '
−
∂vn' ∂x m'
∂xm = ∂xm'
∂x n ∂xn '
(
∂vm ∂xn
−
∂vn ∂x m
)
即T(m' .n' )
=
β m' m'
β n' n'
(
∂vm ∂xn
−
∂vn ∂x m
《矢量与张量分析》作业题
矢量与张量分析习题第一章1．证明下列恒等式：（1）()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d b c a d ；（2）()()()⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=a b c b c a c a b 0； （3）()()()()2⨯⋅⨯⨯⨯=⋅⨯a b b c c a a b c .2．试证明矢量积满足分配律，即 ()⨯+=⨯+⨯a b c a b a c .第二章1． 若 ()sin cos t t t t =++A i j k ，()cos sin 4 t t t =--B i j k ，()7 6 2 t =+-C i j k ，求在0t =的(())ddt ⨯⨯A B C .2． 设 cos uv chu v u =++a i j k , 求22v u ∂∂⋅∂∂a a.3． 求()/23sin 4cos t t dt π+⎰i j .第三章§3.11. 求标量场3(,,)f x y z xy z =+在点(3,1,4)A 处的梯度及沿从点A指向点(8,4,16)B 方向的方向导数.2. 求333u x y z =++在曲线23,,x t y t z t ==-=上点(1,1,1)-处, 沿曲线在该点的正切线方向的方向导数.3. 设(,)f x y 在点(3,1)P 处沿(1,1)=-s 的方向导数是2, 沿(0,1)=-m 的方向导数是1-, 求在P 处沿(4,5)=n 的方向导数.4. 设22(,)2311h x y x x y =---+为山的高度.(1) 从点(0,1)沿哪一方向是最陡下降的方向? (2) 决定山顶的位置和高度. §3.21. 求矢量场22 () x y x y z =-+-A i j k 通过点(2,1,1)M 的力线方程. §3.31. 求矢量场2 2 xz xy x y =++F i j k 沿圆周222:4, 0C x y z z ++==(从z 轴看C 依顺时针方向)的环流. 2. 计算力3 4 yz xz z =-+F i j k 沿螺旋线()cos sin 2 t t t t =++R i j k 从0t =运动到t π=时刻所作的功.3. 已知2223232(223)(42)xz xy z x y y z x x yz =-+++-+A i j 4222(22)y z x z x y +-k 为一势量场, 试求势函数v . §3.41. 求矢量场22(3) x z x y xz =-+-A i j k 经过立方体02,02,02x y z ≤≤≤≤≤≤的通量.2. 设352=-+-0r i j k , 求矢径 x y z =++R i j k 经过球||2-≤0r r 表面的通量.§3.51. 载直流电流I 的无限长导线产生的磁场强度为()()222I y x x yπ=-++H i j , 求 div H .2. 求矢量 3 xz xy z =-+A i j k 经过直圆柱224, 02x y z +≤≤≤的通量.3. 设3232222(22)(3)(63)x y ax z y x y xz y z =-+-+-F i j k . 问a 取何值时, F 是一个管形场?4. 验证 ()220jkre k r-∇+= (0, k j r ≠是一个常数,为纯虚数单位). §3.61. 求矢量场24 () xyz x z y z =+++A i j k 在点(3,2,1)M 的旋度.2. 求矢量场() () () P x Q y R z =++F i j k 的旋度.3. 设222 3 y x y z =+-A i j k ， S 为上半球面z =侧， n 为其单位外法线矢量. 计算面积分 Srot dS ⋅⎰⎰A n .4. 设a 为常矢量, 求[]f(r)∇⋅⨯r a . §3.71. 如果存在(,,)g x y z 使在区域D 中有2g φφ∇=和2g ψψ∇=, D的边界为S. 证明 () 0Sφψψφ∇-∇⋅=⎰⎰dS .第四章§4.11. 对椭圆柱坐标系(,,)u v z :c os s i n x a chu v y a shu v z z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(1) 求它的坐标面和坐标线;(2) 求酉矢量, , 123a a a 和互易矢量, , 123a a a ; (3) 求度规系数ij g 和ij g ;(4) 求体积元dV 和u 表面上的面积元1dA .2. 求椭圆柱面221259x y +=在0z =和5z =之间的体积和表面积. §4.2-§4.31. 对椭圆柱坐标系导出梯度、散度、旋度形式.2. 设f 是一标量场, 证明 ()f f y y ⎛⎫∂∂∇=∇ ⎪∂∂⎝⎭. 如果(, v, w)u 是正交曲线坐标系, 则方程()f f v v ∂∂⎛⎫∇=∇ ⎪∂∂⎝⎭是否总成立?§4.3-§4.51. 在圆柱坐标系中计算标量场3231f(,,)cos r z r z r θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在点1, , 34r z πθ==-=的梯度.2. 在圆柱坐标系中计算矢量场231sin 3cos 4 r r z θθ=++23F i i i 的散度.3. 设3221cos sin cos sin r r θϕϕθ=-+23A i i i 为球坐标系中的矢量场, 在点1,0,0x y z ===计算||∇⨯A .4. 验证球坐标系中的方程 ()1cos r θϕ⎛⎫∇=∇⨯∇ ⎪⎝⎭.5. 用椭圆柱坐标写出方程式 222222x y z ∂Φ∂Φ∂Φ++=Φ∂∂∂.第五章1. 证明张量识别定理（第151页的定理）.2. 设, klm ipq T T 为张量分量, 证明 klm lp mq ik ipq g T g g T =.3. 设在直角坐标系()123,,x x x 下, a 的分量为113221332, , a x x a x x a x x ===. 求a 在球坐标系下的协变分量和 逆变分量.4. 设在直角坐标系()123,,x x x 中给出二阶张量()123122321312133ij x x x x x a x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦求它在圆柱坐标系下的协变分量2'3'a 和混合分量2'3'a ⋅⋅.5. 求椭圆柱坐标系的克氏记号.复习： 梯度、散度、旋度的计算与性质一﹑ 正交曲线坐标系下的计算公式设 1231123(,,), u u u F F F ϕϕ==++23F i i i , 则 梯度 311 = jj j j g r a d h uϕϕϕ=∂∇=∂∑i (4—92) 散度 div = ∇⋅F F , 计算公式为(4—93);旋度 rot = ∇⨯F F , 计算公式为(4—95)或(4—94)． 其中度规系数(尺度因子)为:直角坐标系 1231, 1, 1;h h h === 见(3—14)，(3—73) 及(3—115)圆柱坐标系 1231, , 1;h h r h === 见(4—115) 球坐标系 1231, , si n ;h h r h r θ=== 见(4—125) 二﹑ 性质 c r r (设c 为常数,为常矢量,为矢径,r =||). (1) 线性性质() , () , () c f c f c c c c ∇=∇∇⋅=∇⋅∇⨯=∇⨯A A A A () f h f h ∇+=∇+∇ (3—23) () ∇⋅+=∇⋅+∇⋅A F A F (3—80) () ∇⨯+=∇⨯+∇⨯A F A F (3—128) (2) 两个函数乘积的微分性质() f h f h h f ∇=∇+∇ (3—24)() f f f ∇⋅=∇⋅+⋅∇A AA (3—81)() ;f f f ∇⨯=∇⨯+∇⨯A A A (3—129)(3) 两个函数商的微分性质2(0)f h f f hh h h ∇-∇⎛⎫∇=≠ ⎪⎝⎭(3—25) (4) 复合函数的微分性质() ()f h f h h '∇=∇ (3—26)(5) 特例() = ; () = f f f f ∇⋅∇⋅∇⨯∇⨯c c c c 0; 3; ;r r∇==∇⋅=∇⨯=r r r r 0[]0()(); ();f r fr f r '∇=∇⨯=r 0 ()()()∇⋅⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯a b b a a b (3—130)(6) 势(量)场﹑管形场﹑无旋场势场 u =∇⇔A 无旋场 ∇⨯=A 0 管形场 ∇⋅=⇔A 0 =∇⨯A F势场A 与势函数v 的关系为 g r a d v =-A (7) 基本的二次微分运算()()2 = 0; ϕϕϕϕ∇⨯∇∇⋅∇⨯=∇⋅∇=∇=∆0A （）； ()();∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∆A A A (3—146)(8) 高斯(Gauss)定理SVdiv dV ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰A ds A (3—68)(9) 斯托克斯(Stokes)定理csrot ⋅=⋅⎰⎰⎰A dR A ds (3—131)。
张量分析作业答案
张量分析作业1.2题 证明：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()C B AD D B A C D C B A U B A D C B A D C A B U B A U A B B A U A B U BA U AB U B A U B A DC wv u v w u w v u U D C B A D C D C B A ⨯∙-⨯∙=⨯⨯⨯=⨯⨯∙-⨯∙=∙-∙=∙+∙-∙+∙-=⨯⨯-=⨯⨯⨯-∙-∙=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯令同理可证得：利用点积交换律得：得：，利用公式设1.5 求证：0a b ⨯=⇔,a b 线性相关。
证明： a b ⨯=xy z xy zij ka a ab b b =()()()0y z z y z x x z x y y x a b a b i a b a b j a b a b k -+-+-= ∴i j j i a b a b =即i ji ja a kb b == i i a kb = i j k i j k k k k a i a j a k b i b j b k ∴++=++即k =a b ,a b ∴线性相关 同理可证 当,a b 线性相关时，0a b ⨯= ∴0a b ⨯=⇔,a b 线性相关。
1-7解：c mb a =+ ()1,2,3c =()2,,2mb m m m =- (),,a x y z =22021223x y z m x m y z m +-=+=+=-=解得1320234,,,9999x y z m ====-132023999a i j k =++1.8 试求线元d kx 的长度d k s 。
解：d d d d =d d d k ki k k ki i i x g x x x g r g r r δ=⇒==⇒1.10、解：（1）由公式g 1=g1(g 2×g 3)g 2=g 1(g 3×g 1)g 3=g1(g 1×g 2)又g =[g 1 g 2 g 3]=k ×i ·j ，得g 1=j i k jk i k j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 2=j i k kj k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 3=ji k jk k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯（2）g rs =323121g g g g g g g g s r ∙+∙+∙=⨯=()()()()()()j i k i j i k j k i k j +∙+++∙+++∙+ =222j k i ++1-10、解：（1）由公式g 1=g1(g 2×g 3)g 2=g 1(g 3×g 1)g 3=g1(g 1×g 2)又g =[g 1 g 2 g 3]=k ×i ·j ，得g 1=j i k jk i k j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 2=j i k kj k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 3=ji k jk k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯（2）g rs =323121g g g g g g g g s r ∙+∙+∙=⨯=()()()()()()j i k i j i k j k i k j +∙+++∙+++∙+ =222j k i ++1.17求：题1.13所示圆柱坐标和球坐标i x ,与笛卡尔坐标j x '的转换系数'i j β与'j i β。
张量分析部分习题答案
2 6 0 1 3
1 6 1 2 1 3
1 6 1 2 1 3
(d) 略 2. (a) 1
1, 2 2, 3 5
A1 i 2 i3 , A2 i1 , A3 i 2 i3
1 0 0 * ( I ij ) 0 2 0 0 0 5
t jibj
则： (e1
e2 e3 ) (b1 b2 b3 )(tij ) 5 1 0
(c)
b1 tij ai b j ai tij b j (a1 a 2 a3 )(tij ) b2 3 b 3 2 2 1 0 2 3 ( sij ) 2 3 2 , (tij ) 2 0 0 1 2 1 3 0 0
(b) 对 i ，散度分量为
aj
tij xi
，
a1 1, a2 0, a3 x2 ；
7
对
j ，散度分量为 bi x j
tij
，
b1 1, b2 0, b3 1
5.证明：
* aij * aij a pq xr a pq ip jq kr * * xk a pq xr xk xr
* 3 0 反向 4 1 * 1 1 * 2 e i1 , e i 1 i ,2, 2 2
18.
1 * 1
1 2 1 , 2
X * * X 1 2 *1 1 x x x 2 1 x*2 x1 x 2 2
a2 3b 2 3 a 3b 1 3 1a b 3 2
3 2
a b
3 3
3 3
6.(a)
黄克智版张量分析第一章习题解析
u w v u x wx u y wy u z wz vx i v y j vz k u v w u x vx u y v y u z vz wx i wy j wz k
u x wx u y wy u z wz v x i v y j v z k
y z
wx
u z v y wx u z v x
u v k
x z
u v w u v w
1.2
求证： (A×B) ×(C×D)=B(A· C×D) －A(B· C×D) =C(A· B×D) －D(A· B×C)
i
证明： A B Ax
i j u z vx u x vz wy k u x v y u y vx wz
u v w u y vz u z v y
w u v
y
wz u z v x u x v z wy u x v y u y v x i wx u x v y u y v x wz u y v z u z v y j
A C D Ax C y Dz Cz Dy Ay Cz Dx Cx Dz Az Cx Dy C y Dx
B i B j B k B C D C D B C D C D B C D A i A j A k B A C D C D A C D C D A B C D C D B C D C D i B A C D C D A C D C D A B C D C D B C D C D j B A C D C D A C D C D A B C D C D B C D C D k
张量分析与材料应力张量习题解答
练习题Ⅱ（金属所）1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl )4. 证明ijk ikj =-6。
5. 证明ijkmik =-2δjm 。
6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。
并验证主方向是相互正交的。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1cx 3，u 3= bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。
求这个位移场的应变张量Γ。
11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
练习题Ⅱ解答（金属所）1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
解：CB A BC A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j ik m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a 2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈解：a ij 的行列式为333231232221131211det a a a a a a a a a A = 当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 321321321=∈ 任意换列后有A a a a a a a a a a ijk kjik j i kj i det 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有A a a a a a a a a a lmn ijk nkmkninj mj mi nimi li det ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有lmn ijk nknj ni mk mj mi lklj li ∈=∈δδδδδδδδδ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 解：根据上题的结果，有)()3()3()()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mkmj mi lklj li kkkj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈4. 证明ijk ikj =-6解：ijk ikj =-ijk kij =-(δii δjj -δij δji )=-(33-δii )=-(9-3)=-65. 证明ijk mik =-2δjm解：ijk mik =ijk kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
张量分析习题
ai 1 a j1 ak 1
ai 2 a j2 ak 2
ai 3 aj3 ak 3
= eijk a
= e pqr aip a jq akr
vv vv v v vv vv 12. T = 3e1e1 − e1e2 − e2e1 + 3e2 e2 + e3e3 (1)求主值和主方向； (2)写出T在主方向坐标架下的表达式； v (3)写出T从{ei }标架变换到主方向坐标架的变换形式；
v 13. 证明 ∇ × ∇ϕ = 0， • ∇ × a = 0 ∇
v 14. 证明 ∫∫∫ ∇ ϕdΩ = ∫∫ ∇ϕ • ndS
2 Ω S
a11
a12 a22 a32
a13 a23 a33
15：证明 ：
a21 a31
1 = e ijk e pqr aip a jq akr 6
a11
a12 a2Biblioteka a32a13 a23 a33
15：证明 ：
a21 a31
1 = e ijk e pqr aip a jq akr 6
4. 展开计算 δ ijδ ikδ jk 和δ ij Aik Bkj
5.展开证明 e ijk a j ak = 0
6.写出下列表达式中的 2 写出下列表达式中的f 写出下列表达式中的 ( a ) f i = e ijkT jk
张量分析试卷
班 级： 姓 名： 学 号： 考试日期：密 封 线拟题人： 2011-2012 学 年 1 学 期 张量分析（A ） 试卷 校对人：一. 简答题（每题2分，共10分）1． ij j a b 与k ikb a 是否相等? 2． *ij δ是如何定义的?3． 张力张量的阶数与对称性如何？ 4． 对偶基的定义。
5． 阶数大于等于2的张量的分量有几种类型？二. 给出坐标变换*i ij j x x α=,其中 0()1000ij α⎛= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(a) 若在i x -坐标系中12322,A i i i =-+ 求它在*i x -坐标系中的分量。
（5分）(b) 若**132,B i i =+ 求它在i x -坐标系中的分量。
（5分） (c) 计算在i x -坐标系中的A B ⨯。
（5分）三. 平面应力12()21i j s -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求：（1）与单位向量n =+垂直的面上的应力。
（5分） （2）这个面上的法应力与切应力。
（5分）四. 一个二阶张量的分量如下给出：()400021012ij I ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(a) 求此张量的特征值及主轴。
（8分）(b) 写出在以主轴为坐标轴的坐标系中此惯性矩张量的分量。
（2分）五. 写出下列张量的散度223121222233112222312()ij x x x x x x s x x x x x x x x x x ⎛⎫-⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭ (10分)六. 写出由给定基决定的ix -坐标系与*ix -坐标系间的转换：1212122,e i i e i i =+=-+；*1*212122,2.e i i e i i =+=-+（10分）七. 令()ix φ为直角笛卡尔坐标系i x 中的数量场，且令**i i jj x x α=为由这个直角笛卡尔坐标系到一个斜坐标系*ix 的坐标转换。
证明：(1,2,3)ii xφ∂=∂是φ的梯度的共变分量。
（10分） 八. 已知两个斜笛卡尔坐标系ix -坐标系与*ix -坐标系，分别由下列基确定：1232133132,,;e i i e i i e i i i =+=+=++*1*2*311312,2,2.e i e i i e i i ==+=+在ix -坐标系中，一个二阶笛卡尔张量的共变和反变分量分别为：()()120161825203,182532032253242ij ij a a ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭写出这个二阶张量在*ix-坐标系中的共变分量及反变分量。