数学模型在地质学中的应用

数学模型在地质学中的应用

一、绪论

数学模型是一门新兴学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学．数学模型就是通过研究观察到的现象及实践经验，将其归结成一套反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法，用以描述和研究客观现象的运动规律．它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、理论和方法进行深入的分析和研究，从定性或定量的角度描述实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据和可靠的指导．数学建模是指建立数学模型，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化等方法来建立能够近似描述和解决实际问题的一种强有力的数学手段．

数学模型的应用相当广泛，在分析与设计、预报与决策、控制与优化、规划与管理等方面都发挥了巨大的作用，取得了良好的社会效益和经济效益，为世人所瞩目，成为知识经济的推动力．同样，在广泛的地质学领域中，数学建模也处处存在，数学建模的存在，将地质学的发展推向了一个新的浪潮，可能有希望将地质学从一门定性科学转换成为一门定量科学[1]．如今，在地质学的众多分支学科中，数学模型都得到了极其广泛的应用．

本文主要运用数学模型来分析地质学中的一些实际问题，并把两者有机的结合起来，拓宽数学模型的发展领域，增加其对实践的指导意义，并为地质学的研究与发展提供新的方法．

二、数学模型在矿产资源评价中的应用

在矿产资源评价中，地质模型和数学模型的结合点是按有效的成矿理论建立区域成矿模式，然后用数学模型逼近，确定成矿地质条件与矿产资源量之间的关系，建立定量评价模型．简言之，矿产资源定量评价模型是用数学语言阐明地质条件与矿产资源量之

间的关系[2]．矿产资源评价中的数学模型是实现定量评价的工具，在矿产资源评价的实际工作中使用的数学模型可以是概率统计模型，也可以是确定性模型．1973年，D．P．Harris确定了矿产资源量（R）与地质条件（g1、g2、……、g n）之间的数学关系：

R= f（g1、g2、……、g n）+ e + μ（1）式中，f为g1、g2、……、g n的函数，在一般情况下指评价使用的数学模型；e为函数f（g1、g2、……、g n）的估计误差；μ与g1、g2、……、g n以外的地质变量有关．公式（1）表明了地质模型转化为数学模型的基本原理，同时也表明了可以用数学模型来沟通矿产资源量与地质环境．从中也可以看到采用合理的数学模型描述矿产资源与地质条件之间关系是矿产资源评价实践的关键．

随着数学模型的引进，矿产资源的评价进入了新的时代，用数学模型评价矿产资源，用经济指标圈定矿体成为主流．对于用经济指标圈定矿体，一种指标代替多种指标，不仅方便快捷，而且是经济合理的．下面介绍评价矿产资源的几个常用模型．矿产资源经济指数计算公式：

σt=[(P0+△P t)/P0]/[(Q0+△Q t)/Q0]=αt/βt （2）式中，σt为矿产资源经济指数；P0、αt分别为基准年和t年矿产资源工业储量潜在价值及指数；Q0、βt分别为基准年和t年沿海地区工业总产值及指数；△P t、△Q t分别为矿产潜在价值增量与工业总产值增量．

矿山资产评估模型（此处为期权定价的Black-Sholes模型）：

C=e-r T [FN(d1)-XN(d2)] （3）其中d1=[ln(F/X)- (σ2/2)T]/ σ[(T)1/2]，d2= d1-σ[(T)1/2]．

式中，C为欧式看涨期权的价格；X为执行价格；T为一年表示的权利期间的长短；

r为瞬间的无风险利率；N为累积正态分布函数；F为商品期货价格；σ为标准的资产价格的波动性．

这些模型在矿山开发利用方面发挥了巨大的作用，有利于资源的有序开发与保护．

三、数学模型在褶皱分类中的应用

根据褶皱在沿垂直于褶皱轴向的剖面上的几何形态，可把褶皱归为两种基本的形态：半波褶曲（背形或向形），完整褶皱即谐波褶皱（背形连向形）[3]．两者可以分别表达为：

Z=ax2 （抛物线型）（4）

Z= b×sin（nx + c）（谐波型）（5）式中，a、b、c、n均为实参数．此数学抽象基于两点考虑：一是单性原则，即基本的褶曲形态作为参与褶皱叠加的几何元素，应具有简单性，以便讨论问题；其二是完备性原则，即起码在数学的意义上可用（4）和（5）式给出其它复杂褶皱形态足够好的逼近．其实用傅立叶分析的方法来分析褶皱形状已是广泛讨论过的课题，该方法的实质便是用一系列三角函数来逼近任意形状的曲线（面）．

对一个褶皱分析，往往只需要傅里叶展开式的前几项就可以满足地质精度了．此处建立的上述对褶皱叠加元素的数学抽象，使千变万化的褶皱叠加现象，有了统一的数学基础，从而简化了对褶皱叠加的讨论．从褶皱叠加演化序列上分析，叠加褶皱实际上是递进变形过程，或后期对前期褶皱干涉的结果．当两期褶皱的干涉作用发生于空间的不同方位时，其结果较为复杂．此处只列举两种特定方位即两期褶皱轴向平行或垂直的叠加褶皱的数学表达式．

Z=a1x2与Z=a2x2或Z=b1sin（n1x+c1）与Z=b2sin（n2x+c2）的叠加．写成数学表达式就是：

Z=（a1+a2）x2（6）Z= b1sin（n1x+c1）+ b2sin（n2x+c2）（7）（6）式表示的褶皱仍是抛物线型的，但比原褶曲更为舒缓（a1a2＜0）或更为拱起（a1a2＞0）．

（7）式表示的叠加褶皱仍是谐波型的：当n1/n2为有理数时形成的叠加褶皱在空间上具有周期性，否则具准周期性．

四、数学模型在矿山断层构造研究中的应用

由于对矿山小断层构造认识不清楚，探测力度不够，构造预测准确性差，给矿山生产和建设带来很多困难．同时，因对小断层构造认识不清而导致底板突水，淹没工作面，甚至淹没矿井的现象也时有发生．所以，必须对矿山的小断层进行探查预测，并尽量提高预测的准确性．利用数学地质中统计分析的方法，通过对已被揭露的小断层构造的分析研究，经过数学计算，建立一种数学模型，用它来拟合矿井小断层构造的出现和展布规律，从而达到对矿山小断层构造既定性又定量的认识[4]．

矿山小断层构造的出现和展布规律，受到多种地质因素的影响．因此想要判断、预测矿山小断层，需要研究多个地质变量间的相关关系．数学模型的建立需要多元回归分析的方法来解决．通过对大量矿山小断层的解剖分析，从诸多影响因素中，选出了一些对因变量起主要作用的自变量，并将其引入回归方程，作重点分析，而把其次要作用的自变量除去，既避免了过分繁琐的数学计算，又使得到的回归方程具有较高的精度．所选用的主要因素有：（1）断层的断距；（2）断层的走向延展长度；（3）井下揭露断层地点的标高．

预测矿山小断层的数学模型，其推导重点是应用数理统计中回归分析的方法，应用最小二乘法原理确定回归平面．