《数学物理方程》复习笔记
数学物理方程知识点归纳
数学物理方程知识点归纳数学和物理是息息相关的学科，数学在物理中起着重要的作用，许多物理规律都可以用数学方程式表达。
在学习物理时，掌握数学方程式是必不可少的，以下是数学物理方程知识点的归纳。
1.牛顿第一定律牛顿第一定律又称为惯性定律，它表明物体保持运动状态的惯性，只有外力才能改变物体的运动状态。
牛顿第一定律的数学表达式为F=ma，即力等于质量乘以加速度。
2.牛顿第二定律牛顿第二定律是物理学中最重要的定律之一，它描述了物体的运动状态和所受的力之间的关系。
牛顿第二定律的数学表达式为a=F/m，即加速度等于力除以质量。
3.牛顿第三定律牛顿第三定律又称为作用与反作用定律，它表明对于每一个作用力，都存在一个相等而反向的反作用力。
牛顿第三定律的数学表达式为F1=-F2，即作用力等于反作用力的相反数。
4.万有引力定律万有引力定律是描述物体之间万有引力作用的定律，它表明两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
万有引力定律的数学表达式为F=Gm1m2/d2，即引力等于万有引力常数乘以两个物体的质量除以它们之间的距离的平方。
5.波动方程波动方程是描述波动现象的方程，它可以用来描述声波、光波等波动现象。
波动方程的数学表达式为y(x,t)=Asin(kx-ωt+φ)，即位移等于振幅乘以正弦函数，其中k是波数，ω是角频率，φ是初相位。
6.热传导方程热传导方程是描述热传导现象的方程，它可以用来描述物体内部的温度分布随时间的变化。
热传导方程的数学表达式为∂u/∂t=k∇2u，即温度变化率等于热扩散系数乘以温度梯度的二阶导数。
7.量子力学方程量子力学方程是描述微观粒子运动的方程，它可以用来描述电子、质子等粒子的运动和相互作用。
量子力学方程的数学表达式为Hψ=Eψ，即哈密顿算符作用于波函数等于能量乘以波函数。
8.电动力学方程电动力学方程是描述电场和磁场相互作用的方程，它可以用来描述电磁波、电荷运动等现象。
数学物理方程知识点
数学物理方程知识点
Chapter 1：绪论
1.偏微分方程的基本概念名词
2.三大类方程的典型物理模型：弦振动、热传导、
3.二阶方程的标准简化:用坐标变换化简二阶项、用v=ue!"!!"化简一次项
Chapter 2：波动方程
1.D’Alembert公式——Cauchy 初值问题：
半区域用延拓法或特征线法、非齐次方程右端用叠加原理、
2.分离变量法——矩形区域混合初边值问题：
方程分离、特征值与特征函数求解、初值用特征函数展开确定系数
非齐次方程右端用叠加原理、叠加原理一般公式
非齐次边界先化成齐次边界、边界条件最先考虑
3.三维波动方程球平均法——Cauchy 初值问题
三维积分公式的一般表达、极坐标表达
4.二维波动方程降维法——Cauchy 初值问题
二维积分公式的一般表达、极坐标表达
5.能量积分——解的唯一性和稳定性
6.解的无穷远渐进形态
Chapter 3：热传导方程
1.Fourier 变换法——Cauchy 初值问题：1 维或n 维公式
2.分离变量法——矩形混合初边值问题：
place 变换法
4.圆域上的热传导方程、极坐标、Bessel 函数
5.能量积分——解的唯一性和稳定性
6.极值原理——解的唯一性和稳定性
Chapter 4：调和方程
1.分离变量法——Drichlet 问题
圆域内外（内外Poisson 公式）、扇形区域、环形区域、矩形区域、球形区域
非齐次问题先齐次化，或用特征函数法
2.Green 公式、能量积分、变分原理、基本解、基本积分公式、平均值公式、极值原理、唯
一性和稳定性。
3.Green 函数：上班平面、球形区域。
数学物理方程归纳总结
数学物理方程归纳总结数学和物理方程是科学研究中的重要工具，广泛应用于各个领域。
本文将对一些常见的数学物理方程进行归纳总结，分析其数学意义和物理应用，并探讨其背后的原理和推导过程。
1. 一维运动方程一维运动是物理学中最简单的情形之一，其运动状态只涉及一个方向的变化。
常见的一维运动方程有：- 位移公式：$S = V_0t + \frac{1}{2}at^2$- 速度公式：$V = V_0 + at$- 速度与位移的关系：$V^2 = V_0^2 + 2aS$这些方程描述了质点在匀加速度下的运动规律，其中$S$ 表示位移，$V_0$ 表示初始速度，$a$ 表示加速度，$t$ 表示时间，$V$ 表示末速度。
这些方程在解决一维运动问题时具有重要的应用价值，可以帮助我们计算物体的位移、速度和加速度等物理量。
2. 牛顿力学方程牛顿力学是经典力学的基础理论，在描述宏观物体运动和相互作用时非常重要。
牛顿三定律是牛顿力学的核心，其表述为：- 第一定律（惯性定律）：物体在不受外力作用时保持静止或匀速直线运动。
- 第二定律（运动定律）：物体受到的合力等于质量乘以加速度，即 $F = ma$。
- 第三定律（作用与反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出一些重要的等式，用于解决各种力学问题。
例如，结合万有引力定律，我们可以得到开普勒第三定律 $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$，其中 $T$ 是行星公转周期，$G$ 是引力常数，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是行星与太阳的平均距离。
3. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程，描述了电磁场的产生和传播规律。
麦克斯韦方程组包括四个方程：- 高斯定律：$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$- 安培定律：$\nabla \cdot B = 0$- 法拉第电磁感应定律：$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$- 完整的麦克斯韦方程：$\nabla \times B =\mu_0J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$其中，$E$ 和 $B$ 分别表示电场和磁场，$\rho$ 表示电荷密度，$J$ 表示电流密度，$\varepsilon_0$ 是真空中的介电常数，$\mu_0$ 是真空中的磁导率。
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳一、力学1.物质的运动和静止是相对参照物而言的。
2.相对于参照物，物体的位置改变了，即物体运动了。
3.参照物的选取是任意的，被研究的物体不能选作参照物。
4.力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体。
5.力的作用效果有两个：使物体发生形变。
使物体的运动状态发生改变。
6.力的三要素：力的大小、方向、作用点。
7.重力的方向总是竖直向下的，浮力的方向总是竖直向上的。
8.重力是由于地球对物体的吸引而产生的。
9.一切物体所受重力的施力物体都是地球。
10.两个力的合力可能大于其中一个力，可能小于其中一个力，可能等于其中一个力。
11.二力平衡的条件(四个)：大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，作用在同一个物体上。
12.用力推车但没推动，是因为推力小于阻力(错，推力等于阻力)。
13.影响滑动摩擦力大小的两个因素：接触面间的压力大小。
接触面的粗糙程度。
14.惯性现象：(车突然启动人向后仰、跳远时助跑、运动员冲过终点不能立刻停下来)。
15.物体惯性的大小只由物体的质量决定(气体也有惯性)16.司机系安全带，是为了防止惯性(错，防止惯性带来的危害)。
17.判断物体运动状态是否改变的两种方法：速度的大小和方向其中一个改变，或都改变，运动状态改变。
如果物体不是处于静止或匀速直线运动状态，运动状态改变。
18.物体不受力或受平衡力作用时可能静止也可能保持匀速直线运动。
二、热学1.实验室常用温度计是利用液体热胀冷缩的性质制成的2.人的正常体温约为36.5℃。
3.体温计使用前要下甩，读数时可以离开人体。
4.物质由分子组成，分子间有空隙，分子间存在相互作用的引力和斥力。
5.扩散现象说明分子在不停息的运动着;温度越高，分子运动越剧烈。
6.密度和比热容是物质本身的属性。
7.沿海地区早晚、四季温差较小是因为水的比热容大(暖气供水、发动机的冷却系统)。
8.物体温度升高内能一定增加(对)。
9.物体内能增加温度一定升高(错，冰变为水)。
数学物理方程Ch.1-2复习资料
(F，G 为任意单变量可微函数)
（2）解作上述变换， v 是下述柯西问题的解
2 ∂ 2v 2 ∂ v = a ∂t 2 ∂x 2
t = 0 : v = ( h − x )ϕ ( x ),
∂v = ( h − x )ψ ( x ) ∂t
用达朗贝尔公式得
1 1 x+at v( x, t ) = [(h − x + at )ϕ( x − at ) + (h − x − at )ϕ( x + at )] + ∫ (h − ξ ) ψ (ξ )dξ 2 2a x−at
（3）把（*）分为两个问题 （I） ：
Vtt = a 2Vxx
V |x = 0 = 0, V |x =l = 0
x V |t =0 = ϕ ( x) − u1 (0) − (u2 (0) − u1 (0)) l x Vt |t =0 = ψ ( x) − u1′ (0) − (u2′ (0) − u1′ (0)) l
∴ Ak =
Bk =
2 l 1 + 2k ϕ (ξ ) sin πξ d ξ ∫ l 0 2l
l 4 1 + 2k ( ) sin ψ ξ πξ d ξ (1 + 2k )π a ∫0 2l
12．叙述：利用齐次化原理求解
utt = a 2 u xx + f ( x , t )
−∞ < x < ∞, t > 0
（II） ：
utt = a 2u xx
0 < x < l, t > 0
u |x =0 = 0, ux |x =l = 0
u |t = 0 = ϕ ( x )
ut |t = 0 = ψ ( x )
数学物理方程复习资料
∞ n=1
bn
sin= nπl x (x ∈ C), 其中 bn
2= l f (x) sin nπ xdx (n 1, 2,3, ).
l0
l
∑ ∫ 当 f (x) 为偶函数时， f (x) = a20 + n∞=1 an cos= nπl x (x ∈ C), 其中 an
2= l f (x) cos nπ xdx (n
的常微分方程，并由齐边值条件可得固 有值问题。
二阶线常性微齐分次方微程分方程→
特征方程为 r2 + λ =0
求解固有值问题，即解出固有值以及固 有函数
结合定解条件讨论 λ 的取值范围
确定系数，由选定的固有值来求 T (t) ，
进而得到一系列特解，然后利用叠加原 理叠加特解得到一个无穷级数解，并由 初始条件确定无穷级数的系数。 M2 积分变换法 根据自变量的变化范围以及定解条件 的具体情况，选取适当的积分变换。然 后对方程两端取变换，把一个含两个自 变量的偏微分方程化为含一个参变量 的常微分方程。
（1） 固定端（第一边值条件= ）： u = x 0= 0, u =x l 0, t ≥ 0
（2） （3）
自由端（第二边值条件= ）： ∂∂ux = x 0= 0, ∂∂ux=x l 0, t ≥ 0
弹性支承端（第三边值条件= ）： (∂∂ux + σ u) x 0= =0, (∂∂ux + σ u) x l =0, t ≥ 0 ，其中σ = k / T 。
1.偏微分方程&数学物理方程：含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程； 描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。 2.方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
数学物理方程知识点归纳
数学物理方程知识点归纳
数学和物理是紧密相关的学科，数学物理方程是两个学科的交叉点。
下面将对数学物理方程的知识点进行归纳。
1. 微积分
微积分是数学物理方程中最基础的知识点之一。
微积分包括微分和积分两个部分。
微分是研究函数变化率的工具，积分是研究曲线下面积的工具。
微积分在物理学中有着广泛的应用，例如牛顿第二定律、万有引力定律等。
2. 偏微分方程
偏微分方程是数学物理方程中的重要知识点。
偏微分方程是描述物理现象的数学模型，例如热传导方程、波动方程等。
偏微分方程的求解需要使用到数学分析和数值计算等方法。
3. 矩阵和线性代数
矩阵和线性代数是数学物理方程中的另一个重要知识点。
矩阵是一种数学工具，可以用来表示线性方程组。
线性代数是研究向量空间和线性变换的学科。
矩阵和线性代数在物理学中有着广泛的应用，例如量子力学中的哈密顿算符等。
4. 微分方程
微分方程是数学物理方程中的重要知识点。
微分方程是描述物理现象的数学模型，例如运动方程、电路方程等。
微分方程的求解需要使用到微积分和数值计算等方法。
5. 概率论和统计学
概率论和统计学是数学物理方程中的另一个重要知识点。
概率论是研究随机事件的学科，统计学是研究数据分析和推断的学科。
概率论和统计学在物理学中有着广泛的应用，例如热力学中的熵等。
以上是数学物理方程的知识点归纳，这些知识点是物理学家和数学家研究物理现象和数学问题的基础。
数学物理方程知识点归纳
数学物理方程知识点归纳数学物理方程是数学和物理学两门学科的交叉领域，其涉及到许多重要的知识点。
本文将从微积分、向量、力学、热力学和波动等方面，总结归纳数学物理方程的主要知识点。
一、微积分微积分是数学和物理学中非常重要的一个分支。
其中，微分和积分是微积分的两个基本概念。
微分是研究函数在某一点的变化率，积分则是求解函数的面积、体积或长度等量的方法。
微积分的一些重要公式包括：牛顿-莱布尼茨公式、柯西-黎曼方程、拉普拉斯公式等。
二、向量向量是几何学和物理学中非常重要的概念。
向量具有大小和方向两个属性，可以表示物理量的大小和方向。
向量的一些重要知识点包括：向量的加法和减法、向量的数量积和向量积、向量的投影、向量的夹角等。
三、力学力学是物理学中研究物体运动和相互作用的学科。
其中，牛顿三大定律是力学的基础。
牛顿第一定律指出物体在外力作用下保持静止或匀速直线运动；牛顿第二定律则确定了物体受力的大小和方向与其加速度成正比；牛顿第三定律则描述了力的相互作用。
四、热力学热力学是物理学中研究热量和能量转化的学科。
其中，热力学的一些重要概念包括：热力学系统、热力学过程、热力学态函数、热力学循环等。
热力学中的一些重要公式包括：热力学第一定律、热力学第二定律、热力学方程等。
五、波动波动是物理学中研究波的传播和相互作用的学科。
其中，波动的一些重要概念包括：波长、频率、波速、干涉、衍射、折射等。
波动的一些重要公式包括：波动方程、费马原理、赫兹实验等。
数学物理方程中的知识点非常丰富，包括微积分、向量、力学、热力学和波动等方面。
这些知识点是理解和应用物理学中的方程和定律的基础，对于物理学的学习和科学研究都具有重要的意义。
数学物理方程公式总结
无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩ 解:()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()22222222200,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t tx y z u x y z u x y z t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩无界三维空间自由振动的泊松公式21()1()(,)44M M atrS S M M u M t dS dS a tra rϕψππ''∂=+∂⎰⎰⎰⎰, r at =.()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩2222222200001(cos ,sin )1(cos ,sin )(,,)22at at x r y r x r y r u x y t rdrd rdrd a t a a t r a t rππϕθθψθθθθππ∂++++=+∂--⎰⎰⎰⎰三个Green 公式 Gauss 公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：VSV SP Q R FdV F dSdV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂∇=⇔++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导， 则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导， 则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：()014M Mv M r π=-000011111()44M M M M M M S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：Laplace 方程混合边值问题0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz S S S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为：0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ Poisson 方程的混合边值问题(,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续） 的解为：011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足: (1) 在VS 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆=称u 为V 上的调和函数. 2、调和函数的性质。
数学物理方程知识点汇总
数学物理方程是研究自然现象和科学问题的基础工具，下面是数学物理方程的一些知识点汇总：
微积分：微积分是研究函数变化的数学分支，包括导数、积分等概念。
在物理学中，微积分广泛应用于描述运动和力学、电磁学等领域。
偏微分方程：偏微分方程是对多元函数的偏导数进行求解的方程式，被广泛用于描述物理现象和自然现象，如流体力学、传热学、量子力学等。
黎曼几何：黎曼几何是研究非欧几何的数学分支，对一些物理问题的描述非常重要，如广义相对论、引力场、宇宙学等。
矩阵论：矩阵论是代数学的一个分支，用于处理线性方程组、向量空间、特征值和特征向量等，被广泛应用于物理建模和计算机图形学等领域。
哈密顿力学：哈密顿力学是一种基于能量守恒原理和拉格朗日力学的数学方法，被广泛应用于量子力学、统计物理学、天体物理学等领域。
泛函分析：泛函分析是研究无限维空间和函数空间上的变化的数学分支，被广泛应用于量子力学、波动力学、概率论等领域。
数学物理方程是研究自然现象和科学问题的基础工具，涉及到多个数学分支和物理学领域。
不同的数学物理方程可以描述不同的自然现象和科学问题，对于学习和理解这些知识点非常重要。
数学物理方程必备知识梳理
数学物理方程必备知识梳理数学物理方程是数学系本科的后继课程,相当于是偏微分方程的简单版本.原则上认为,只要学生拥有数学分析的基础就可以学习数学物理方程课程.实际上,数学物理方程中涉及到大量散度和梯度等微积分的基本概念,而这些概念在很多数学分析教学中得到了一定程度上的删改.表面上这种做法减轻了数学系学生的学习负担,至少从短期来看这种做法似乎是在"照顾"学生,但是从长期来看这对学生后续学习造成极大的不利影响.本该在前面基础课程中应当掌握的概念,却放在后续课程中花费大量时间弥补,这本身就是一件不太合理的事情(普遍后似乎就合理了?!).出于这样的考虑,笔者去年研究生入学后便开始在Word文档中整理了这部分基础内容,主要原因是笔者得花时间查缺补漏.尽管这些对熟知它们的人而言是trivial的,但是这并不妨碍我们重新看待它们.学习数学时常遇到的一个尴尬处境是:学完一遍后往往不知道学了什么,更不知为何而学.当遇到别人提问时,我们经常采取的策略是:将脑海中记住的定义和定理结论原封不动地重复一遍.然而,表面上这样的做法可以"骗"得了非(数学)专业人士,但当面临专业人士时自然会原形毕露.殊不知,对方早已从你的答复中揣测出你的真实水平.★安安心心学数学,踏踏实实学做人,实实在在学做事!”Definition1 梯度（gradient）：是用数量函数所定义的向量函数而且我们规定梯度的方向是使得达到最大值的方向，梯度的大小就是在这个方向上的方向导数。
Remark1 由梯度给出的向量场，称为梯度场。
Definition2 哈密顿算符：我们称为哈密顿算符，其中. 则我们可以得到Property(梯度基本性质 )（1）若是数量函数,则.（2）若是数量函数,则.特别地，我们令上面的，则.Definition3 散度（divergence）：设为空间区域上的向量函数，对于上每一点，定义数量函数称它为向量函数在(x,y,z)处的散度，记作.Remark（1）由向量场的散度所构成的数量场，称为散度场。
数学物理方程复习
习题课和总复习鉴于数学物理方程课程对大多数同学来讲有一定的学习难度，为帮助同学们较好地掌握本课程的基本内容和定解问题主要的求解方法，下面将这学期的教学内容进行总结，并提出每部分的教学基本要求。
希望同学们能够参考下面总结《一》到《四》的具体要求安排好个人的复习计划，认真看书（结合以往的作业题）和总结；也希望同学们之间能够加强讨论并积极地参加答疑。
祝同学们学习愉快并取得考试好成绩！《一》 特征线方法掌握两个自变量一阶线性方程的解法：三步，求出特征线族；在特征线上求解原问题；代入求出原问题的解。
如书上269P 例1.1；276P 第1题。
(新书107P 例6.1；118P 第1题) 《二》格林函数法1. 记住基本解0(,)p p Γ， 0(,),(,)p p x y ξη或0(,,),(,,)p p x y z ξηζ。
2. 记住并会证明格林第三公式：0()()u u p u ds udV n n ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 【 在()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 取00\(,),(,)B p v p p εεΩ=Ω=Γ 0(,)()()()B p u uu u dV uds u ds n n n n εεΩ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂⇒∆Γ-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，利用 0, in ε-∆Γ=Ω和当0ε+→时000(,)(,)(),0B p B p uuds u p ds n n εε∂∂∂Γ∂→Γ→∂∂⎰⎰⎰⎰即可 】 由此可得 0()()u Gu p Gu ds G udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，和如下问题解的表达式 , , u f in u on ϕ-∆=Ω⎧⎨=∂Ω⎩ ⇒0()Gu p ds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰。
在这里要注意，0p ∈Ω固定而动点为p 。
3.掌握利用对称法求格林函数的方法，如半空间，半平面和圆域等。
数学物理方程_ 复习
复 习题型一、根据物理过程写出相应的定解问题。
习题一、1，2， 例1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ϕ初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。
解 这是弦的自由振动，其位移函数(,)u x t 满足2,tt xx u a u = 其中2Ta ρ=.由于左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，所以(0,0)0,(0,)sin 0,0,x x u Tu t A t t ω=+=>因此 sin (0,),0.x A tu t t Tω=-≥ 又右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面，所以 (,)(,)0,x Tu l t ku l t --= 即 (,)(,)0.x Tu l t ku l t +=而初始条件为 0(),().t tt ux u x ϕψ====因此，相应的定解问题为200,0,0,sin (0,),(,)(,)0,0.(),().tt xx xx t t t u a u x l t A t u t Tu l t ku l t t T u x u x ωϕψ==⎧=<<>⎪⎪=-+=≥⎨⎪==⎪⎩例2、一长为 l 的均匀细杆，侧面绝热，一端放入0o C 水中，另一端裹以石棉，杆的初始温度为(),x ϕ 试写出杆的温度分布函数所满足的定解问题。
题型二、求特征值问题。
例3、求下列特征值问题的特征值和特征函数.（1）''()()0,(0)()0X x X x X X l λ⎧+=⎨==⎩（2）''()()0,'(0)()0X x X x X X l λ⎧+=⎨==⎩（3）''()()0,(0)'()0X x X x X X l λ⎧+=⎨==⎩（4）''()()0,'(0)'()0X x X x X X l λ⎧+=⎨==⎩（4）''()()0,()(2)θλθθθπΦ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩题型三、用分离变量法求齐次方程齐次边界条件的定解问题。
《数学物理方程》复习笔记
⑧（作业 P41）求方程 u xy
0 x 1, t 0 ut u xx u ②（10 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) x(2 x) 0 x 1 u (0, t ) u (1, t ) 0 t 0 x 2 ut a u xx sin t 0 x L, t 0 ③（09 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) x( L x) 0 xL u (0, t ) u ( L, t ) 0 t 0 2 ut c (u rr u r / r ) 0 r a, t 0 ④（09 期末）求解下列定解问题： u (r ,0) f (r ) 0ra u ( a, t ) 0 t0 0 x , t 0 ut u xx hu ⑤（08 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) x 2 ( x) 0 x u (0, t ) u ( , t ) 0 t 0 x
。
u 4u x , t 0 tt xx ②（09 期末）一维波动方程初值问题 的解为 u ( x,0) x, ut ( x,0) sin x x
， 。 ，
点（4,1）的依赖区间是
，点（2,4）的影响区域是
u 9u x , t 0 xx tt ③（07 期末）一维波动方程初值问题 的解为 2 u ( x , 0 ) x , u ( x , 0 ) e x t
数学物理方程知识点总结
数学物理方程知识点总结一、牛顿运动定律牛顿的运动定律是经典物理力学的基础，它描述了物体在力的作用下的运动规律。
牛顿的三大运动定律分别是：1. 第一定律：一个物体如果受力作用，将保持静止或匀速直线运动，直到受到外力的作用而改变其状态。
2. 第二定律：物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比。
即F=ma。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
这三个定律描述了物体在受力作用下的运动规律，它们被广泛应用于物体的运动研究和工程设计中。
二、电磁场方程电磁场方程描述了电荷和电磁场之间的相互作用。
其中，麦克斯韦方程组是最基本的电磁场方程，它包括了电荷产生的电场和电流产生的磁场，并描述了它们随时间和空间的变化规律。
麦克斯韦方程组包括了4个方程，分别是：1. 静电场高斯定律：描述电荷产生的静电场。
2. 静磁场高斯定律：描述磁场的产生和分布。
3. 安培定律：描述电流产生的磁场。
4. 法拉第电磁感应定律：描述磁场的变化产生感应电场。
这些方程组成了电磁场的基本描述，它们被广泛应用于电磁场的研究和工程技术中。
三、热传导方程热传导方程描述了物体内部的热传导过程。
热传导方程可以描述物体内部温度分布和热量的传导规律。
通常情况下，热传导方程是一个偏微分方程，它描述了温度场随时间和空间的变化规律。
热传导方程一般形式为：δT/δt = αΔT其中，T表示温度场，t表示时间，α为热传导系数，ΔT为温度梯度。
这个方程被广泛应用于热传导问题的研究和工程设计中。
四、波动方程波动方程描述了机械波和电磁波在空间中的传播规律。
波动方程是一个偏微分方程，它描述了波动场随时间和空间的变化规律。
波动方程的一般形式为：∂^2ψ/∂t^2 = v^2∇^2ψ其中，ψ表示波动场，t表示时间，v为波速，∇^2为拉普拉斯算符。
波动方程描述了波动在空间中的传播和幅度变化规律，它被广泛应用于波动现象的研究和工程设计中。
总之，数学与物理方程是自然科学研究和工程技术发展的基础。
数学物理方程复习
数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）U tt = a2U xx +f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;U t(x,0)=Ψ2（x）。
2.热传导方程（抛物型）U t = a2U xx +f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）U xx +U yy =f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;U t(y,a)=Ψ2（y）。
（二）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（三）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（四）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x) 2COSa2△x在小的振动下SINa1≈TANa1=U x(x,t), SINa2≈TANa2=U x(x+△x,t), COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ U x(x+△x,t)- U x(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t) 即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F（x,y,z,t），试导出扩散方程。
数学物理方程复习
数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）Utt = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;Ut (x,0)=Ψ2（x）。
2.热传导方程（抛物型）Ut = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）Uxx +Uyy=f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;Ut (y,a)=Ψ2（y）。
（二）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（三）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（四）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ Ux (x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t)即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F （x,y,z,t），试导出扩散方程。
九年级物理方程总结知识点
九年级物理方程总结知识点一、位移和速度的关系位移和速度的关系由位置函数来描述。
如果一个物体的位置随时间的变化关系可以用函数x(t)描述，那么这个函数的导数x'(t)就是该物体的速度v(t)。
根据速度-时间图像，我们可以求出位移，速度和时间之间的关系式（v=dx/dt）。
二、牛顿第二定律牛顿第二定律描述了物体受到力的作用时，其加速度的大小与所受力的大小成正比，与物体的质量成反比，且与受力的方向相同。
具体表达式为F=ma，其中F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
牛顿第二定律解决了力、质量和加速度之间的关系，为物体的运动提供了明确的数学描述。
三、动能定理动能定理是描述物体在作恒定力下沿直线运动过程当中动能的变化关系。
动能定理的常见表达式为：ΔE_k = W，其中ΔE_k 表示物体动能的变化量，W表示物体所受外力产生的功。
根据动能定理，我们可以计算物体在受力作用下动能的变化情况，进一步分析物体的运动过程。
四、位能和势能位能和势能用来描述物体在不同位置和位置变化过程中与外界相互作用的能量关系。
位能和势能之间的转化关系可以用势能定律来描述。
具体表达式为：ΔU = -W，其中ΔU表示位能的变化量，W表示外力对物体所作的功。
势能定律揭示了位能和外力之间的关系，为我们理解物体在不同位置之间的能量变化提供了理论依据。
五、牛顿万有引力定律牛顿万有引力定律描述了质量之间的引力作用关系。
该定律的表达式为F=G(m1m2/r^2)，其中F表示物体之间的引力，G为引力常数，m1和m2分别为相互作用物体的质量，r为两物体质心之间的距离。
牛顿万有引力定律可以解释天体之间的引力作用关系，以及天体运动的规律。
六、守恒定律守恒定律是描述物理系统在特定条件下某些物理量的供给关系。
常见的守恒定律包括动量守恒定律、动能守恒定律、角动量守恒定律等。
守恒定律为我们理解物体在特定条件下的定量变化提供了重要的理论基础。
数学物理方法重点
球1) R 0 2 dr dr
2
再令 Y ( , ) ( )( )
2 sin d d 1 d (sin ) l ( l 1)sin 2 2 d d d
(1)勒让德多项式：
( 2l 2k )! l 2k Pl ( x ) ( 1) x k ! 2l ( l k )!( l 2k )! k 0
[ l / 2] k
[ l / 2： ] 小于、等于
l /2的最大整数。
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
m 0,1, 2,
θ部分是l-阶缔合勒让德方程
x cos
2
x 2 2 sin sin sin (1 x ) x x x
d 2 d (1 x ) [(1 x ) ] [l ( l 1)(1 x 2 ) m 2 ] 0 dx dx
柱坐标系
cos m ( ) sin m
拉普拉斯 方程
u 0
rl R( r ) l 1 1 / r
0
z e Z (z) z e
2 0
cos z Z (z) sin z
x
2 0 k 2 2 0
m2
m 0,1, 2,
d 2 R 1 dR m2 (1 2 ) R 0 2 x dx dx x
m阶贝塞耳方程
12
拉普拉斯方程分离变数结果
方程 球坐标系
cos m ( ) sin m
数学物理方程总复习
⎤ ⎥⎦
−
ρ
gdx
≈
ρ
∂ 2u ( x, ∂t 2
t)
dx
T
⎡ ⎢⎣
∂u(x + dx,t) ∂x
−
∂u( x, t ) ∂x
⎤ ⎥⎦
−
ρ
gdx
≈
ρ
∂ 2u( x, t ) ∂t 2
dx
∂u ( x,t )
由于x产生dx的变化而引起的 用微分近似代替，即
∂x
的改变量，可
∂u(x + dx,t) ∂x
现在考虑弧段MM’在t时刻的受力情况
由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力 的方向总是沿着弦在该点的切线方向。
t时刻 位移NM记作u u(x,t)
弧段 Mq M ' 两端
所受的张力记作T,T’
根据牛顿第二定律 F = ma
在x轴方向弧段 Mq M ' 受力的总和为
T 'cos a '− T cos a = 0
行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)，
显然
T 'cos a '− T cos a = 0
Fds
−
T
sin
a
+
T
'
sin
a
'−
ρ
gds
≈
ρ
ds
∂2u ∂t 2
弦的强迫振动方程
∂2u ∂t 2
=
a2
∂2u ∂x2
+
f
( x, t )
弦的强迫振动方程
∂2u ∂t 2
=
a2
∂2u ∂x2
dx
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然后，就 h
1 1 1 , h , h ,讨论 t 时， u ( x, t ) 的极限情况，并用能量积分方法证明解的唯一性。 4 4 4
2 0 x 1, t 0 ut a u xx u ⑥（作业 P121）求解下列定解问题： u ( x,0) T0 （其中 T0 为常数） 0 x 1 u (0, t ) u (1, t ) 0 t 0 2 ut a u xx A sin t ⑦（作业 P121）求解下列定解问题： u ( x,0) 0 u (0, t ) u (1, t ) 0 x x 0 x 1, t 0 （其中 A, 0 为常数） 0 x 1 t0
3、积分变换法（Fourier 变换法【§5 章】& Laplace 变换法【§6 章】）
☆ 填空题：
①（12 期末）Fourier 变换的卷积定理（教材 133 页性质 5.2.6） ②（12 期末）函数 t n e at （n 为正整数）的 Laplace 变换为 函数 s 2 /( s 2 2 ) 2 的 Laplace 逆变换为 ③（11 期末）Fourier 变换下的卷积定义为： ( f g )( x) Laplace 变换下的卷积定义为： ( f g )(t ) ④（11 期末）函数 e at sint 的 Laplace 变换为 函数 ln
可设 u ( x, t ) v( x, t ) ( x, t ) ，使 v( x, t ) 满足 v(0, t ) v x ( L, t ) 0 ，则 ( x, t )
。
☆ 计算题：
（1）波动方程的初边值问题
2 utt a u xx t sin(x / L) 0 x L, t 0 ①（13 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) ut ( x,0) 0 0 xL u (0, t ) u ( L, t ) 0 t0 0 x 2, t 0 utt u xx ②（12 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) 0, ut ( x,0) x 0 x 2 u (0, t ) u (2, t ) 0 t0 2 0 x L, t 0 utt c u xx g 2 ③（11 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) g ( L x) / 2c , ut ( x,0) 0 0 x L （g, c 为正常数） u (0, t ) u ( L, t ) 0 t0 utt u xx 1 ④（10 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) x, ut ( x,0) 0 u (0, t ) 0, u (1, t ) 1 t 0 x 1, t 0 0 x 1 t0
2 0 x 1, t 0 utt a u xx ⑤（作业 P119）求解下列定解问题： u ( x,0) 0, ut ( x,0) x(1 x) 0 x 1 u (0, t ) u (1, t ) 0 t0
（2）热传导方程的初边值问题
2 0 x L, t 0 utt a u xx cos 2 x sin t ③（09 期末）考虑定解问题： u ( x,0) x, ut ( x,0) cos x 0 x L ，为把非齐次边界条件齐次化， u (0, t ) t 2 , u ( L, t ) 1 t 0 x
。
u 4u x , t 0 tt xx ②（09 期末）一维波动方程初值问题 的解为 u ( x,0) x, ut ( x,0) sin x x
， 。 ，
点（4,1）的依赖区间是
，点（2,4）的影响区域是
u 9u x , t 0 xx tt ③（07 期末）一维波动方程初值问题 的解为 2 u ( x , 0 ) x , u ( x , 0 ) e x t
2 ( x, y ) R 2 , t 0 u c (u xx u yy ) t sin y ②（11 期末）求解下列二维波动方程初值问题： tt 3 2 2 u ( x, y,0) x , ut ( x, y,0) x sin y ( x, y ) R
型方程。
） D、 u ln x 2 y 2 、 和 三种类型。
③（11 期末）两个自变量的二阶线性偏微分方程通常可分为
☆ 计算题：
①（13 期末）判断方程 u xx 3u xy 4u yy u x 2u y 0 的类型，并化为标准型。 ②（11 期末）判断方程 u xx 4u xy 5u yy u x 2u y 0 的类型，并化为标准型。 ③（10 期末）把方程 u xx 2u xy 3 2u yy u x u y 0 化为标准型，并求其通解，其中 为常数。 ④（09 期末）判断方程 u xx 2 cos xu xy (3 sin 2 x)u yy yu y 0 的类型，并化为标准型。 ⑤（08 期末）求方程 u xx 2u xy 3u yy 4(u x u y ) 的通解。 ⑥（07 期末）求方程 u xx 4u xy u x 0 的通解及满足条件 u (2 x,4 x) 0, u x (2 x,4 x) 4e x 的特解。
（3）Laplace 方程和 Poisson 方程的边值（Dirichlet）问题（圆域内）
u u u 4 xx yy ①（13 期末）求解下列边值问题： u ( x , y ) 0 x2 y2 1 x2 y2 1
1 2 u r u r r u r sin ②（08 期末）求解下列边值问题： rr u (a, ) A sin 4 B cos 6
0 x , t 0 ut u xx hu ①（11 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) x( x) 0 x u (0, t ) u ( , t ) 0 t 0
Байду номын сангаас
然后，就 h 1, h 1, h 1 分别讨论当 t 时 u ( x, t ) 的极限情况。
0 r a, 0 2 （A、B 为常数） 0 2
1 2 u u rr r u r r u 1 1 r 2, 0 2 ③（作业 P123）求解下列 Poisson 方程的边值问题： u (1, ) 5 / 4 cos 2 0 2 u (2, ) 1 sin 2 0 2 1 2 3 u r u r r u r sin 2 ④（作业 P124）求解下列 Poisson 方程的边值问题： rr u (a, ) sin r a, 0 2 0 2
☆ 填空题：
①（12 期末）二阶线性偏微分方程 u xx 5u xy 6 xu x yu y 0 属于 ②（12 期末）二维 Laplace 方程 u xx u yy 0 的一个解是（ A、 u e x sin 2 y B、 u x 2 y 2 C、 u 1
x2 y2
《数学物理方程》复习笔记
毛主席教导我们：“长江，别人都说很大，其实，大，并不可怕。美帝国主义不是很大吗？我们顶了它一下，也没有啥。 所以世界上有些大的东西，其实并不可怕。游泳是很好的休息，轻松自在，没有其他任何杂念，一切都顺其自然。长江又宽又 深，水流湍急，是游泳的好地方。横渡万里长江，不仅可以锻炼身体，而且更能锻炼一个人的意志。要到大江大海中去游， 到 大风大浪中接受锻炼。”
2 u 2 cos xu xy sin xu yy sin xu y 0 ⑦（作业 P41）求解下列定解问题： xx u ( x, sin x) x cos x, u y ( x, sin x) sin x ( x, y ) R 2 x R1
⑧（作业 P41）求方程 u xy
1 (u x u y ) 的通解。 x y
二、二阶常系数偏微分方程定解问题的经典解法（讨论解的存在性）
1、行波法（特征线积分法）【§3 章】
☆ 填空题：
2 x u a u xx e ①（13 期末）一维波动方程初值问题 tt 2 u ( x,0) 5, ut ( x,0) x x , t 0 的解为 x
1 1 点 ( x0 , t 0 ) ( , ) 的依赖区间是 2 6
。
☆ 计算题： ♦ 波动方程的初值（Cauchy）问题
u 3u 4u 0 x , y 0 xy yy xx ①（12 期末）用行波法求解下列初值问题： 2x u ( x , 0 ) e , u ( x , 0 ) 1 x y