《数学物理方程》复习笔记

2、分离变量法（特征函数法）【§4 章】
☆ 填空题：
①（13 期末）在平面极坐标下二维 Laplace 方程可以表示为
X " ( x ) X ( x ) 0 0 xL ②（13 期末）特征值问题 的特征值是 X ' (0) X ' ( L) 0
。 ，对应的特征函数是 。
2 u 2 cos xu xy sin xu yy sin xu y 0 ⑦（作业 P41）求解下列定解问题： xx u ( x, sin x) x cos x, u y ( x, sin x) sin x ( x, y ) R 2 x R1
⑧（作业 P41）求方程 u xy
（3）Laplace 方程和 Poisson 方程的边值（Dirichlet）问题（圆域内）
u u u 4 xx yy ①（13 期末）求解下列边值问题： u ( x , y ) 0 x2 y2 1 x2 y2 1
1 2 u r u r r u r sin ②（08 期末）求解下列边值问题： rr u (a, ) A sin 4 B cos 6
☆ 填空题：
①（12 期末）二阶线性偏微分方程 u xx 5u xy 6 xu x yu y 0 属于 ②（12 期末）二维 Laplace 方程 u xx u yy 0 的一个解是（ A、 u e x sin 2 y B、 u x 2 y 2 C、 u 1
x2 y2
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可设 u ( x, t ) v( x, t ) ( x, t ) ，使 v( x, t ) 满足 v(0, t ) v x ( L, t ) 0 ，则 ( x, t )
。
☆ 计算题：
（1）波动方程的初边值问题
2 utt a u xx t sin(x / L) 0 x L, t 0 ①（13 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) ut ( x,0) 0 0 xL u (0, t ) u ( L, t ) 0 t0 0 x 2, t 0 utt u xx ②（12 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) 0, ut ( x,0) x 0 x 2 u (0, t ) u (2, t ) 0 t0 2 0 x L, t 0 utt c u xx g 2 ③（11 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) g ( L x) / 2c , ut ( x,0) 0 0 x L （g, c 为正常数） u (0, t ) u ( L, t ) 0 t0 utt u xx 1 ④（10 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) x, ut ( x,0) 0 u (0, t ) 0, u (1, t ) 1 t 0 x 1, t 0 0 x 1 t0
〇、绪论（偏微分方程的基本概念）【§1 章】
☆ 填空题：
①（13 期末）方程 u xx xy 的通解是 ②（11 期末）偏微分方程定解问题的适定性是指解的 、 。 和 。
③（10 期末）写出直角坐标系下的二维齐次波动方程、热传导方程和 Laplace 方程： 、 和 。
一、二阶线性偏微分方程的分类与标准型【§2 章】
1 (u x u y ) 的通解。 x y
二、二阶常系数偏微分方程定解问题的经典解法（讨论解的存在性）
1、行波法（特征线积分法）【§3 章】
☆ 填空题：
2 x u a u xx e ①（13 期末）一维波动方程初值问题 tt 2 u ( x,0) 5, ut ( x,0) x x , t 0 的解为 x
然后，就 h
1 1 1 , h , h ,讨论 t 时， u ( x, t ) 的极限情况，并用能量积分方法证明解的唯一性。 4 4 4
2 0 x 1, t 0 ut a u xx u ⑥（作业 P121）求解下列定解问题： u ( x,0) T0 （其中 T0 为常数） 0 x 1 u (0, t ) u (1, t ) 0 t 0 2 ut a u xx A sin t ⑦（作业 P121）求解下列定解问题： u ( x,0) 0 u (0, t ) u (1, t ) 0 x x 0 x 1, t 0 （其中 A, 0 为常数） 0 x 1 t0
0 x 1, t 0 ut u xx u ②（10 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) x(2 x) 0 x 1 u (0, t ) u (1, t ) 0 t 0 x 2 ut a u xx sin t 0 x L, t 0 ③（09 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) x( L x) 0 xL u (0, t ) u ( L, t ) 0 t 0 2 ut c (u rr u r / r ) 0 r a, t 0 ④（09 期末）求解下列定解问题： u (r ,0) f (r ) 0ra u ( a, t ) 0 t0 0 x , t 0 ut u xx hu ⑤（08 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) x 2 ( x) 0 x u (0, t ) u ( , t ) 0 t 0 x
0 x , t 0 ut u xx hu ①（11 期末）求解下列定解问题： u ( x,0) x( x) 0 x u (0, t ) u ( , t ) 0 t 0
然后，就 h 1, h 1, h 1 分别讨论当 t 时 u ( x, t ) 的极限情况。
2 ( x, y ) R 2 , t 0 u c (u xx u yy ) t sin y ②（11 期末）求解下列二维波动方程初值问题： tt 3 2 2 u ( x, y,0) x , ut ( x, y,0) x sin y ( x, y ) R
1 1 点 ( x0 , t 0 ) ( , ) 的依赖区间是 2 6
。
☆ 计算题： ♦ 波动方程的初值（Cauchy）问题
u 3u 4u 0 x , y 0 xy yy xx ①（12 期末）用行波法求解下列初值问题： 2x u ( x , 0 ) e , u ( x , 0 ) 1 x y
《数学物理方程》复习笔记
毛主席教导我们：“长江，别人都说很大，其实，大，并不可怕。美帝国主义不是很大吗？我们顶了它一下，也没有啥。 所以世界上有些大的东西，其实并不可怕。游泳是很好的休息，轻松自在，没有其他任何杂念，一切都顺其自然。长江又宽又 深，水流湍急，是游泳的好地方。横渡万里长江，不仅可以锻炼身体，而且更能锻炼一个人的意志。要到大江大海中去游， 到 大风大浪中接受锻炼。”
。
u 4u x , t 0 tt xx ②（09 期末）一维波动方程初值问题 的解为 u ( x,0) x, ut ( x,0) sin x x
， 。 ，
点（4,1）的依赖区间是
，点（2,4）的影响区域是
u 9u x , t 0 xx tt ③（07 期末）一维波动方程初值问题 的解为 2 u ( x , 0 ) x , u ( x , 0 ) e x t
2 0 x L, t 0 utt a u xx cos 2 x sin t ③（09 期末）考虑定解问题： u ( x,0) x, ut ( x,0) cos x 0 x L ，为把非齐次边界条件齐次化， u (0, t ) t 2 , u ( L, t ) 1 t 0 x
2 0 x 1, t 0 utt a u xx ⑤（作业 P119）求解下列定解问题： u ( x,0) 0, ut ( x,0) x(1 x) 0 x 1 u (0, t ) u (1, t ) 0 t0
（2）热传导方程的初边值问题
（提示：利用叠加原理和一维波动方程的 D’Alembert 公式）
u 2u 3u 0 x , y 0 xx xy yy ③（作业 P67）用行波法求解下列初值问题： u ( x,0) sinx, u y ( x,0) x x
型方程。
） D、 u ln x 2 y 2 、 和 三种类型。
③（11 期末）两个自变量的二阶线性偏微分方程通常可分为
☆ 计算题：
①（13 期末）判断方程 u xx 3u xy 4u yy u x 2u y 0 的类型，并化为标准型。 ②（11 期末）判断方程 u xx 4u xy 5u yy u x 2u y 0 的类型，并化为标准型。 ③（10 期末）把方程 u xx 2u xy 3 2u yy u x u y 0 化为标准型，并求其通解，其中 为常数。 ④（09 期末）判断方程 u xx 2 cos xu xy (3 sin 2 x)u yy yu y 0 的类型，并化为标准型。 ⑤（08 期末）求方程 u xx 2u xy 3u yy 4(u x u y ) 的通解。 ⑥（07 期末）求方程 u xx 4u xy u x 0 的通解及满足条件 u (2 x,4 x) 0, u x (2 x,4 x) 4e x 的特解。
0 r a, 0 2 （A、B 为常数） 0 2
1 2 u u rr r u r r u 1 1 r 2, 0 2 ③（作业 P123）求解下列 Poisson 方程的边值问题： u (1, ) 5 / 4 cos 2 0 2 u (2, ) 1 sin 2 0 2 1 2 3 u r u r r u r sin 2 ④（作业 P124）求解下列 Poisson 方程的边值问题： rr u (a, ) sin r a, 0 2 0 2
3、积分变换法（Fourier 变换法【§5 章】& Laplace 变换法【§6 章】）
☆ 填空题：
①（12 期末）Fourier 变换的卷积定理（教材 133 页性质 5.2.6） ②（12 期末）函数 t n e at （n 为正整数）的 Laplace 变换为 函数 s 2 /( s 2 2 ) 2 的 Laplace 逆变换为 ③（11 期末）Fourier 变换下的卷积定义为： ( f g )( x) Laplace 变换下的卷积定义为： ( f g )(t ) ④（11 期末）函数 e at sint 的 Laplace 变换为 函数 ln