功率谱密度
功率谱密度 公式证明
功率谱密度公式证明
功率谱密度是描述信号功率在频域上分布的一种参数，对于连续信号，功率谱密度可以通过傅里叶变换得到。
以下是功率谱密度的公式推导。
假设有一个宽度为T的连续信号x(t)，其功率谱密度为S(f)，其中f表示频率。
首先，我们将信号x(t)分割成很多个宽度为Δt的小时段，然后将每个小时段乘以一个窗函数w(t)（通常选择矩形窗函数），得到窗口函数为w(t)的窗口信号xw(t)。
根据能量守恒定律，信号的总能量等于每个窗口信号的能量之和。
因此，可以得到以下等式：
∫[0,T] |x(t)|² dt = ∑[n] ∫[nΔt,(n+1)Δt] |xw(t)|² dt 然后，我们对上述等式两边进行傅里叶变换，得到：
∫[0,T] |X(f)|² df = ∑[n] ∫[nΔt,(n+1)Δt] |Xw(f)|² df 其中，X(f)表示信号x(t)的傅里叶变换，Xw(f)表示窗口信号xw(t)的傅里叶变换。
由于信号x(t)在每个窗口内是平稳的，所以可以将窗口信号的傅里叶变换看作是信号功率在频域上的估计。
因此，可以用以下等式近似表示：
S(f) ≈ |Xw(f)|² / Δt
最后，我们取极限使Δt趋近于0，得到连续信号的功率谱密度公式：
S(f) = lim Δt→0 |Xw(f)|² / Δt
这就是功率谱密度的公式推导过程。
需要注意的是，实际应用中，可以使用计算机进行数值计算来估计功率谱密度。
功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
功率谱密度
功率谱密度功率谱密度是信号处理中的重要概念，它描述了信号的频率成分在功率上的分布。
在工程领域中，功率谱密度广泛应用于信号分析、通信系统设计以及噪声分析等方面。
本文将介绍功率谱密度的定义、性质、计算方法以及在实际应用中的重要性。
1. 定义功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是描述信号功率在频域上的分布情况的密度函数。
在时域中，信号的功率通常被定义为信号的能量在单位时间内的平均值，而功率谱密度则描述了信号功率在不同频率上的分布。
功率谱密度通常用单位频率范围内的功率值表示，是信号频谱特性的重要指标之一。
2. 性质功率谱密度具有以下几个重要性质：•非负性：功率谱密度始终大于等于零，表示信号中的功率都是非负的。
•互相关函数和功率谱密度之间的关系：两个信号的自相关函数的傅里叶变换是它们的功率谱密度的乘积。
•窄带信号：窄带信号的功率谱密度在窄频段内集中，而宽带信号的功率谱密度分布更广。
3. 计算方法计算功率谱密度可以通过信号的自相关函数或者信号的傅里叶变换来实现。
常用的计算方法包括：•周期图法：通过对信号进行周期图分析，可以得到信号的功率谱密度。
•傅里叶变换法：对信号进行傅里叶变换，然后计算幅度谱的平方即可得到功率谱密度。
•Welch方法：对信号进行分段处理，然后对各段信号的功率谱密度进行平均，可以获得更加准确的估计。
4. 应用功率谱密度在通信系统、雷达系统、生物医学工程等领域具有重要应用价值，例如：•在通信系统中，功率谱密度可以帮助分析信道的频率选择性，设计滤波器以及优化调制方案。
•在雷达系统中，功率谱密度可以帮助分析雷达回波信号的频率特性，识别目标特征。
•在生物医学工程中，功率谱密度可用于分析生物信号的频率特征，帮助诊断疾病。
5. 总结功率谱密度作为描述信号频率特性的重要参数，在信号处理和通信系统设计中扮演着重要角色。
了解功率谱密度的定义、性质、计算方法以及应用领域，有助于更深入地理解信号处理中的功率谱密度的重要性和作用。
1的功率谱密度
1的功率谱密度
功率谱密度是一种衡量随机信号能量的方式，它描述了信号的能量分布情况。
对于离散信号x[n]，其功率谱密度可以定义为信号x[n]的自相关函数的傅里叶变换在频域内的模平方，即：|X(e^(jω))|^2。
对于离散信号1，其功率谱密度可以简化为计算1的自相关函数的傅里叶变换在频域内的模平方。
由于1是一个常数序列，其自相关函数是一个单位脉冲函数，即δ(n)。
将δ(n)进行傅里叶变换可以得到1的频域表示，即：X(e^(j ω))=1。
根据功率谱密度的定义，离散信号1的功率谱密度可以计算为：|X(e^(j ω))|^2=1^2=1。
因此，离散信号1的功率谱密度为1。
对于连续信号1，其功率谱密度可以简化为计算1的能量谱密度。
由于1是一个常数函数，其能量谱密度可以表示为1的平方乘以频率的函数，即：E(ω)=1^2×ω^2。
根据能量谱密度的定义，连续信号1的能量谱密度可以计算为：E(ω)=1^2×ω^2=1。
因此，连续信号1的能量谱密度也为1。
总之，无论是离散信号还是连续信号，常数序列1的功率谱密度或能量谱密度都为1。
这是因为1是一个常数函数，其能量或功率是恒定的，不随时间或频率变化而变化。
3.3功率谱密度与自相关函数的关系
随机信号分析目录CONTENTS CONTENTS 目录CONTENTS功率谱密度与自相关函数之间的关系维纳－辛钦定理计算举例小结功率谱密度的表达式为：2(,)()lim 2X X T E X T S T ωω→∞⎡⎤⎣⎦=(,)() j t X T X T x t e dt ωω∞−−∞=⎰2*(,)(,)(,)X X X X T X T X T ωωω=其中：功率谱密度可表示为：1211221lim ()()2TT j t j t T T T E x t e dt x t e dt T ωω−−−→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰[]1212121lim ()()2T T j t j t T T T E x t x t e e dt dt T ωω−−−→∞=⎰⎰21()12121lim (,)2T T j t t X T T T R t t e dt dt Tω−−−−→∞=⎰⎰1lim (,)2Tj X T T R t t dt e d T ωτττ∞−−∞−→∞⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰对于任意随机过程，其自相关函数的时间均值与过程的功率谱密度互为傅里叶变换。
⎰=+−∞−∞ωττωτS A R t t e d X X j ()(,)⎰+=−∞∞πτωωωτA R t t S e d X X j 2(,)()1+←⎯→τωA R t t S X X FT(,)()维纳-辛钦定理⚫对于广义平稳随机过程⚫对于平稳（或广义平稳）随机过程，其自相关函数与过程的功率谱密度互为傅里叶变换，称为维纳-辛钦定理。
(,)()()X X X A R t t A R R τττ+==()()1()()2j X X j X X S R e d R S e d ωτωτωτττωωπ∞−−∞∞−∞==⎰⎰维纳-辛钦定理⚫双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频率轴上。
⚫单边带功率谱密度：功率谱密度只定义在零和正的频率轴上。
⚫二者之间的关系：⎩⎨⎧<≥=0 00 )(2S )(G X X ωωωω)(G X ωX S ()ωω⚫广义平稳随机过程的均方值：X 01G ()d 2ωωπ∞=⎰注：在以后，如不加说明，都指双边带功率谱密度。
功率谱密度和频谱
功率谱密度和频谱
电功率谱密度（Power Spectral Density，简称PSD）是一种用于表征信号强度分布的数量指标，可以用来对信号进行分类、检测、测量和识别处理，从而实现信号参数提取。
该技术使用功率谱密度（PSD）分解信号，
使用频谱作为信号描述符。
PSD是通过对周期性时间序列的强度进行功率频谱的计算，可以实现多波段信号的统计分析。
它是以次/赫兹（Hz）为单位向量X与其频谱之间的一种称为自相关函数/自相关函数（ACF）的函数X（f）相乘结果变换而来。
因此，当X（f）和X（t）知道时，可以根据它们
的定义来计算其功率谱密度：
PSD(f)=|X(f)·x(t)|^2/T
PSD的最大优点是可以生成更容易解释的信号类型以及
更多的特定频率信号表示。
它可以区分信号的有效频率，从而更加有效的筛选信号，追踪变化的情况，抑制杂波以及滤波处理。
从信号分析的角度来看，PSD和频谱都是用于可视化信
号特性的重要手段。
PSD是将信号直接投射到功率谱上，它着重于信号传输和功率衰减属性，更多地应用于对温度变化和噪声的频率分析。
而频谱的重点是在信号的时域周期出现，更多地用于信号的时间和特征提取，将信号从时间域转换为频域，从而使信号变得更容易处理。
这两种技术都可以用于滤波、信号增强、波形识别和信号跟踪。
两者都是基于对信号强度分布的分析，有助于提取更强、有用的幅度和频率信号信息，从而实现恢复信号等。
因此，PSD和频谱均可用于信号分析，比较它们多个优点，想要更好的分析信号，可以使用它们的融合技术，以及其他技术确定有用的信号特性。
功率谱密度 db
功率谱密度 db功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是描述信号随频率变化的能量分布的概念。
一般情况下，功率谱密度以对数形式表示，单位为分贝（dB）。
本文将对功率谱密度进行详细介绍，并介绍功率谱密度的计算方法以及应用。
一、功率谱密度的定义和性质功率谱密度是信号理论中一个基本的概念，用于描述信号在频域上的特征。
对于一个离散信号x(n)，它的功率谱密度定义为其自相关函数Rxx(k)的傅里叶变换。
功率谱密度用符号Sxx(f)表示，即：Sxx(f) = |X(f)|^2其中X(f)为x(n)的傅里叶变换。
功率谱密度描述了信号在各个频率上的能量分布。
在实际应用中，我们通常将功率谱密度取对数并以分贝（dB）为单位进行表示，即：PSD(dB) = 10 * log10(Sxx(f))根据功率谱密度的定义，我们可以得到其中三个重要性质：1.非负性：功率谱密度是一个非负函数，即Sxx(f)>=0。
2.时间平移：如果信号在时间域上平移t0，则功率谱密度在频域上也相应平移f0，即Sxx(f-f0)。
3.频率平移：如果信号在频域上平移f0，则功率谱密度在时间域上也相应平移t0，即Sxx(f)-Sxx(f0)。
二、功率谱密度的计算方法计算功率谱密度的方法有多种，其中最常用的是基于傅里叶变换的方法。
下面介绍两种常见的计算功率谱密度的方法。
1.时域平均法：信号x(n)通过窗函数w(n)进行分段，每段长度为N。
对每段信号进行傅里叶变换，得到每段信号的频谱，然后将所有段的频谱进行平均，得到信号的平均功率谱密度。
2.数字滤波法：将信号进行滤波，并测量滤波后信号的功率。
通过改变滤波器的通带宽度，可以得到不同频率下的功率谱密度。
三、功率谱密度的应用功率谱密度在工程和科学的多个领域中都得到了广泛的应用。
以下是几个典型的应用案例：1.无线通信：功率谱密度可以用于描述无线通信中不同信号的频谱占用情况，从而帮助设计和规划无线网络。
功率谱密度计算公式的推导过程
一、引言功率谱密度是信号处理领域一个重要的概念，它描述了一个信号在频域内的能量分布情况，是信号谱分析的重要工具。
功率谱密度计算公式的推导过程，是深入理解信号处理原理和方法的关键。
二、基本概念1. 信号的功率谱密度是在频域内描述信号功率分布的指标，通常用符号S(f)表示，其中f为频率。
2. 信号的功率谱密度可以用来描述信号的频谱特性，包括信号的频率成分和能量分布情况。
3. 对于一个信号x(t)，其功率谱密度S(f)的计算公式可以采用傅里叶变换来推导。
三、傅里叶变换1. 对于一个信号x(t)，其傅里叶变换可以表示为X(f) = ∫x(t)e^(-j2πft)dt，其中X(f)为信号在频域内的表示。
2. 傅里叶变换将信号从时域转换到频域，描述了信号在频率上的分布情况。
四、功率谱密度的推导1. 为了推导信号x(t)的功率谱密度S(f)，首先可以计算信号x(t)的自相关函数R(τ)。
2. 自相关函数R(τ)可以描述信号在不同时刻下的相关性，即信号在延迟τ下的相似程度。
3. 根据傅里叶变换的性质，信号x(t)的功率谱密度S(f)可以表示为S(f) = ∫R(τ)e^(-j2πfτ)dτ。
4. 通过对自相关函数R(τ)进行傅里叶变换，可以得到信号x(t)的功率谱密度S(f)的表达式。
五、应用举例1. 通过功率谱密度的计算公式，可以对信号进行频谱分析，了解信号在频域内的特性。
2. 功率谱密度的计算可以应用于多种信号处理场景，包括通信系统、雷达系统、生物医学信号处理等领域。
3. 信号的功率谱密度分析可以帮助工程师和研究人员更深入地理解信号的频率特性，为系统设计和优化提供重要参考。
六、结论功率谱密度计算公式的推导过程是信号处理领域中的重要内容，它涉及信号的频谱分析方法和原理，具有重要的理论和应用价值。
深刻理解功率谱密度的计算公式及推导过程，对于工程师和研究人员具有重要的意义，可以帮助他们更好地理解信号处理的基本原理，并应用于实际工程和研究项目中。
谱密度,功率谱密度,能量谱密度
谱密度, 功率谱密度, 能量谱密度在应用数学和物理学中，谱密度、功率谱密度和能量谱密度是一个用于信号的通用概念，它表示每赫兹的功率、每赫兹的能量这样的物理量纲。
解释在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。
当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。
功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
定义能量谱密度能量谱密度描述的是信号或者时间序列的能量或者变化如何随着频率分布。
如果是一个有限能量信号，即平方可积，那么信号的谱密度就是信号连续傅里叶变换幅度的平方。
其中是角频率（循环频率的倍），是的连续傅里叶变换。
是的共轭函数。
如果信号是离散的，经过有限的元素之后，仍然得到能量谱密度：其中是的离散时间傅里叶变换。
如果所定义的数值个数是有限的，这个序列可以看作是周期性的，使用离散傅里叶变换得到离散频谱，或者用零值进行扩充从而可以作为无限序列的情况计算谱密度。
乘数因子经常不是绝对的，它随着不同傅里叶变换定义的归一化常数的不同而不同。
功率谱密度上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。
一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。
这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。
此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。
功率谱与功率谱密度
功率谱与功率谱密度
功率谱与功率谱密度是信号处理理论中两个重要的概念。
下面将分
别介绍它们的含义和作用。
1.功率谱
功率谱是指信号在频率域上的能量分布，它表示了信号在不同频率对
应的功率大小。
对于一个周期信号，其功率谱为离散的，譬如正弦波
的功率谱只在其频率处有功率。
功率谱常常被用来描述随机信号。
随机信号通常无法通过时域方法直
接分析，因此需要通过功率谱来分析其特征。
功率谱可以用于描述信
号的频带宽度、信号的峰值等特性。
2.功率谱密度
功率谱密度是指单位带宽内的信号功率密度，是功率谱的归一化形式。
功率谱密度与功率谱之间的关系可以用积分形式表示。
功率谱密度通常被用来描述连续信号。
在向离散信号过渡时，需要使
用柯西-施瓦茨不等式来对功率谱密度进行积分，从而得到离散信号的
功率谱密度。
功率谱密度可以用来描述信号的频谱分布，因为在单位带宽内，功率
谱密度越大，表示在该频率上的信噪比越高。
综上所述，功率谱和功率谱密度是描述信号特性的重要概念，它们可以用来分析各种信号的特性，从而实现信号处理和应用。
功率谱密度： power spectral density
式中T为离散随机信号的抽样间隔时间。
当利用随机信号的N个抽样值来计算其自相关估值时，即可得到功率谱估计为
(3)
可见，随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系，这两个函数分别从频率域和时间域来表征随机信号的基本特征。按上式计算功率谱估值，其运算量往往很大，通常采用快速傅里叶变换算法，以减少运算次数。
尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：
f(t) 的谱密度和 f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）。通常使用傅里叶变换技术估计谱密度，但是也可以使用如Welch法（Welch's method）和最大熵这样的技术。傅里叶分析的结果之一就是Parseval定理（Parseval's theorem），这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积。 另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自相关函数。
定义：对于具有连续频谱和有限平均功率的信号或噪声，表示其频谱分量的单位带宽功率的频率函数。 应用学科：通信科技（一级学科）；通信原理与基本技术（二级学科）
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
频率与功率谱密度计算公式
频率与功率谱密度计算公式
频率和功率谱密度是信号处理中重要的概念之一。
下面是频率和功率谱密度的基本计算公式：
1. 频率（Frequency）：频率是指信号在单位时间内的周期性重复次数，用赫兹（Hz）表示。
频率可以计算为信号的周期的倒数。
公式如下：
频率 = 1 / 周期
2. 周期（Period）：周期是指信号完成一个完整周期所需的时间。
周期可以计算为信号的频率的倒数。
公式如下：
周期 = 1 / 频率
3. 功率谱密度（Power Spectral Density）：功率谱密度描述
了信号在频域上的功率分布情况。
它是信号功率在单位频率范围内的密度，常用单位为瓦特/赫兹（W/Hz）或分贝/赫兹（dB/Hz）。
功率谱密度可以通过对信号的傅里叶变换（Fourier Transform）得到。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到信号在不同频率上的幅度谱，然后将幅度谱的平方得到功率谱密度。
具体而言，对于一个连续时间信号，其功率谱密度可以表示为：
S(f) = |F(w)|^2
其中，S(f) 是频率为 f 的功率谱密度，F(w) 是信号的傅里叶变换。
对于一个离散时间信号，其功率谱密度可以表示为：
S(f) = |X(k)|^2 / N
其中，S(f) 是频率为 f 的功率谱密度，X(k) 是信号的离散傅里叶变换，N 是信号的长度。
需要注意的是，具体的信号处理方法和计算过程可能会因应用场景和算法的不同而有所差异。
上述公式仅提供了基本的概念和计算方法，具体的实现需要结合具体算法和工具来进行。
功率谱密度的性质
性质 1 : 宽平稳高斯过程一定是 严平稳高斯过程
11
性质2 : 若平稳高斯过程在任意 两个不同时刻 是不相关的 , 那么也一定是互相独立 的
两个高斯变量 X 1和X 2的联合概率密度 f X ( x1 , x2 ) 1 21 2 1 r 2
2
2
e
( x1 m1 ) 2 2 r ( x1 m1 )( x2 m2 ) ( x2 m2 ) 2 1 [ ] 2 2 2 2 (1 r ) 1 2 1 2
( )
2
[ ( 0 ) ( 0 )]
6
单边功率谱GX(w)与双边功率谱SX(w)的关系
只用正频率部分来表示功率谱密度
G X ( ) 2S X ( ) 0 0 0
S ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 1 RX ( ) S X ( ) cos d 0
RX () 0, 且呈振荡形式, 也可引入 函数解决
1 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ (1 cos 0 )] 2 1 1 FT [ ] FT [ cos 0 ] 2 2 1 1 2 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2 2
2.3.2 功率谱密度的性质
1 、S X ()为非负实函数, 即 : S X () 0
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
X T ( ) 0, 故S X ( ) 0
2
2、 若X (t )实平稳, 则S X ()是偶函数,即: S X () X (t ), Y (t )互相正交, 互谱密度为零.
RXY ( ) 0 S XY () FT[ RXY ( )] 0
功率谱密度公式推导
功率谱密度公式推导
功率谱密度函数是信号处理中一个重要的概念，它表示单位频带内信号功率随频率的变化情况。
下面我们来推导功率谱密度公式：
首先，假设信号是功率有限的确定信号，记为f(t)。
为了方便计算，我们通常会截取|t|≤T2的一段，得到一个截尾函数fT(t)。
此时fT(t)的能量也是有限的。
接着，对fT(t)进行傅里叶变换，得到F[fT(t)]=FT(ω)。
此时fT(t)的能量ET可以表示为:
ET=∫(-∞∞)|fT(t)|2dt （能量守恒：时域能量等于频域能量）
因为截取了fT(t)，所以f(t)的平均功率可以表示为:
P=limT→∞2T∫(-∞∞)|f(t)|2dt
当T在增加的时候，能量也是在增加的。
当T→∞时，fT(t)→f(t)，此时1T|FT(ω)|2极限可能是存在的。
假设此极限存在，定义它为f(t)的功率谱密度函数（功率谱），记作P(ω)。
即f(t)的功率谱为：
P(ω)=limT→∞2T|FT(ω)|2
因此，功率谱是反映单位频带内信号功率随频率的变化情况，也就是信号功率在频域内的分布情况。
P(ω)的面积就是该信号的总功率。
另外，值得注意的是，P(ω)是偶函数，也称作双边功率谱。
为了使得总功率守恒，单边功率谱则是双边功率谱的两倍，即S(\omega)=2P(\omega)。
功率谱密度的单位
功率谱密度的单位功率谱密度（PowerSpectralDensity，简称PSD）是一项重要的信号处理技术，它是描述一个信号的频谱强度的指标，可以反映信号的能量分布情况。
功率谱密度的单位涉及到常见的单位，如赫兹、瓦特、米功、安培、比特等，但是要正确地使用它，就必须理解它的单位，如何把它与实际情况相结合，以及使用它的优势。
一般来说，功率谱密度最常用的单位是watt per hertz，简称W/Hz；它表示单位时间里某个频率的功率，即每一个赫兹所拥有的功率。
但是，由于赫兹的量级较小，并不是所有的应用场景都能够完美地使用它。
因此，还有其他的单位，如电压谱密度，它用伏特/赫兹（V/Hz）表示；另外一个是米功率谱密度，它用瓦特/平方米（W/m2）表示。
除此之外，功率谱密度还有其他的一些单位。
幅度谱密度用分贝（dB）表示，它是对功率谱密度和电压谱密度的一种衍生，表示比较值，用来表示信号的强度变化程度；另外，还有安培谱密度，用安培/赫兹（A/Hz）表示，它测量的是电流的能量；最后，还有比特谱密度，用比特/赫兹（bit/Hz）表示，它可以用来表示信号的传输容量。
理解功率谱密度的单位是理解功率谱密度技术的基本要求，也是应用功率谱密度技术实现目标必备的知识。
通过了解它们之间的关系，我们可以根据应用场景的需要，灵活的使用它们。
因此，我们必须正确理解它们的不同，正确地测量功率谱密度，从而有效地应用功率谱密度技术。
总之，功率谱密度的单位有watt per hertz（W/Hz）、伏特/赫兹（V/Hz）、米功率谱密度（W/m2）、分贝（dB）、安培/赫兹（A/Hz）和比特/赫兹（bit/Hz），它们之间有不同的关系，应用于不同的场景会有不同的效果，正确理解它们的关系，才能有效地使用功率谱密度技术。
第三章随机过程的功率谱密度
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
确定信号 是在
的非周期实函数，
的傅立叶变换存在的充要条件是：
(1). 满足狄利赫利条件
(2). 总能量有限，即
则信号 的傅立叶变换为 傅立叶反变换为
根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式) 称为信号的能量谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度 • 随机过程的样本函数 不满足傅立叶存在的
自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时
间上关联范围。
• 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。
等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频
率上分布范围。
3.3.1 自相关时间
相同的数学期望
相同的方差
(a)
图Hale Waihona Puke -12(b)和 的样本函数曲线
(a)
图 3-13
(b)
和 的自相关函数
(a)
(b)
图 3-14 自相关时间
因为
，有
由于 扩展比 要大一些， 因此
k1 能描述相关 程度
自相关时间定义：
通常，当 时，可认为 与 的相关性 已经很弱，实际上已经不相关了。
3.3.2 等效功率谱带宽
相同的数学期望
相同的方差
0
t
0
t
(a)
图3-15
(b)
和 的样本函数曲线
(a)
(b)
图3-15 功率谱
式中A为常数。求其功率谱密度。 解：由维纳－辛钦定理
• 样本函数在时间区间 的平均功率。 • 由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数，
取决于随机试验，平均功率具有随机性。 • 可采用集合平均消除样本函数的随机性，即
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功率谱密度
不同形式的数字基带信号具有不同的频谱结构，分析数字基带信号的频谱特性，以便合理地设计数字基带信号，使得消息代码变换为适合于给定信道传输特性的结构，是数字基带传输必须考虑的问题。
在通信中，除特殊情况（如测试信号）外，数字基带信号通常都是随机脉冲序列。
因为，如果在数字通信系统中所传输的数字序列是确知的，则消息就不携带任何信息，通信也就失去了意义。
故我们面临的是一个随机序列的谱分析问题。
考察一个二进制随机脉冲序列。
设脉冲、分别表示二进制码“0”和“1”, 为码元的间隔，在任一码元时间内，和出现的概率分别为p和1-p。
则随机脉冲序列x(t)可表示成:
其中
研究由上面二式所确定的随机脉冲序列的功率谱密度，要用到概率论与随机过程的有关知识。
可以证明，随机脉冲序列x(t)的双边功率谱公式（1）：
其中、分别为、的傅氏变换，。
可以得出如下结论：
（1）随机脉冲序列功率谱包括两部分：连续谱（第一项）和离散谱（第二项）。
对于连续谱而言，由于代表数字信息的及不能完全相同，故，因此，连续谱总是存在；而对于离散谱而言，则在一些情况下不存在，如及是双极性的脉冲，且出现概率相同时。
（2）当、、p及给定后，随机脉冲序列功率谱就确定了。
上式的结果是非常有意义的，它一方面能使我们了解随机脉冲序列频谱的特点，以及如何去具体地计算它的功率谱密度；另一方面根据它的离散谱是否存在这一特点，将使我们明确能否从脉冲序列中直接提取离散分量，以及采取怎样的方法可以从基带脉冲序列中获得所需的离散分量。
这一点，在研究位同步、载波同步等问题时，将是十分重要的；再一方面，根据它的连续谱可以确定序列的带宽（通常以谱的第一个零点作为序列的带宽）。
下面，以矩形脉冲构成的基带信号为例，通过几个有代表性的特例对功率谱密度公式的应用及意义做进一步的说明，其结果对后续问题的研究具有实用意义。
例单极性NRZ信号的功率谱，假定p=1/2
对于单极性NRZ信号，有，
这里，g(t)为图1所示的高度为1、宽度为的全占空矩形脉冲。
图1全占空矩形脉冲图2单极性NRZ信号的功率谱
则
代入功率谱密度公式并考虑到p=1/2，得单极性NRZ信号的功率谱密度为
单极性NRZ信号的功率谱如图1所示。
可以看出：
（1）单极性NRZ信号的功率谱只有连续谱和直流分量。
（2）由离散谱仅含直流分量可知，单极性NRZ信号的功率谱不含可用于提取同步信息的分量。
（3）由连续分量可方便求出单极性NRZ信号的功率谱的带宽近似为（Sa函数第一零点）。
例双极性NRZ信号的功率谱，假定p=1/2。
对于双极性NRZ信号，有
这里，g(t)也为图1所示的高度为1、宽度为的全占空矩形脉冲。
代入式（1）并考虑到p=1/2，得双极性NRZ信号的谱密度为
（2）
双极性NRZ信号的功率谱如上图所示。
可以看出：
（1）双极性NRZ信号的功率谱只有连续谱，不含任何离散分量。
当然，也不含可用于提取同步信息的分量。
（2）双极性NRZ信号的功率谱的带宽同于单极性NRZ信号，为。
（3）p≠1/2时，双极性NRZ信号的功率谱将含有直流分量，其特点与单极性NRZ信号的功率谱相似（请读者自己考虑）。
例求单极性RZ信号的功率谱，假定p=1/2。
对于单极性RZ信号，有，
这里，g(t)为图3所示的高度为1、宽度为τ的矩形脉冲（占空比）。
图3占空比为的矩形脉冲图4单极性RZ信号的功率谱
则
代入式（1）并考虑到p=1/2，得单极性RZ信号的功率谱密度为
单极性RZ信号的功率谱如图4所示。
可以看出：
（1）单极性RZ信号的功率谱不但有连续谱，而且在等处还存在离散谱。
（2）由离散谱可知，单极性RZ信号的功率谱含可用于提取同步信息的分量。
（3）由连续谱可求出单极性RZ信号的功率谱的带宽近似为。
较之单极性NRZ信号变宽。
（4）p≠1/2时，上述结论依然成立（请读者自己考虑）。
例双极性RZ信号的功率谱，假定p=1/2。
对于双极性RZ信号，有
这里，g(t)也为图3所示的高度为1、宽度为τ的矩形脉冲（占空比）。
则
代入式（1）并考虑到p=1/2，得双极性RZ信号的功率谱密度为
双极性RZ信号的功率谱如上图所示。
可以看出：
（1）双极性RZ信号的功率谱只有连续谱，不含任何离散分量。
当然，不含可用于提取同步信息的分量。
（2）双极性RZ信号的功率谱的带宽同于单极性RZ信号，为。
（3）p≠1/2时，双极性RZ信号的功率谱将含有离散分量，其特点与单极性RZ信号的功率谱相似。
通过上述讨论可知，分析随机脉冲序列的功率谱之后，就可知道信号功率的分布，根据主要功率集中在哪个频段，便可确定信号带宽，从而考虑信道带宽和传输网络（滤波器、均衡器等）的传输函数等等。
同时利用它的离散谱是否存在这一特点，可以明确能否从脉冲序列中直接提取所需的离散分量和采取怎样的方法可以从序列中获得所需的离散分量，以便在接收端用这些成分做位同步定时等。