数学： 2.3.2《向量数量积的运算律》课件(新人教B版必修4).ppt
合集下载
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律课件新人教B版必修4
1
9
答案:A
题型一
题型二
分析关系式a2=|a|2可使向量的长度与向量的数量积互相转化,因 此欲求|a+b|,可求(a+b)· (a+b),将此式展开,由已知|a|=|b|=6,可得 a· a=b· b=36,也可求得a· b,将上面各式的值代入,即可求得|a+b|,|a-b|.
π 【例2】 已知|a|=|b|=6,向量a与b的夹角为 3,求|a+b|,|a-b|.
2.3.2
向量数量积的运算律
1.掌握平面向量数量积的运算律,并要注意运算律的适用范围以 及与实数乘法运算律的区别. 2.会应用运算律进行相关的计算或证明等问题.
向量数量积的运算律 已知向量a,b,c与实数λ,则
交换律 结合律 分配律
a· b=b· a a· (λb)=(λa)· b=λ(a· b) (a+b)· c=a· c+b· c
题型一
题型二
【变式训练1】 已知e1,e2是两个单位向量,它们的夹角为60°,则 (2e1-e2)· (-3e1+2e2)等于( )
A.-2
9
B.2
1
9
C.-8
D.8
解析:∵|e1|=|e2|=1且夹角为60°,
∴e1· e2=1×1×cos 60° =2, ∴
2 2 (2e1-e2)· (-3e1+2e2)=-6������1 +4e1· e2+3e2· e1-2������2 =-6+7e1· e2-2=-8+7×2=-2.
名师点拨1.数量积的运算只适合交换律、与数乘的结合律、分 配律,但不适合消去律,即a· b=a· c b=c; 2.数量积的运算也不适合结合律,即(a· b)c不一定等于a(b· c).
人教B版高中数学必修四课件高一：2-3-2向量数量积的运算律
• [例1] 已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，
求|a－b|.
• [分析] 利用公式|a|2＝a·a.
• [解析] 由|a＋b|2＝(a＋b)2， • 可得a2＋2a·b＋b2＝576， • ∴169＋2a·b＋361＝576， • ∴2a·b＝46. • ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝169－46＋361
3，且 a 与 b 的夹角为6π，则|a＋b|＝( )
A．3
B. 3
C．21 D. 21
• [答案] D
[解析] ∵|a|＝3，|b|＝ 3，a 与 b 的夹角为6π，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝9＋2×3× 3×cos6π＋3 ＝9＋2×3× 3× 23＋3＝21， ∴|a＋b|＝ 21.
• [答案] ②④ • [解析] ①错因为向量数量积不满足结合
律；③错，因为[(b·c)a－(c·a)·b]·c
• ＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)
• ＝0， • ∴垂直．
• 5．关于平面向量a，b，c，有下列三个命
题：
• ①若a·b＝a·c，则b＝c.
• ②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝
A. 7 C. 13
B. 10 D. 4
[解析] ∵|a|＝|b|＝1，向量 a 与 b 夹角为 60°，
• [答∴案|a]－3bA|2＝|a2|－6a·b＋9|b|2
＝1－6×1×1×cos60°＋9
＝1－6×12＋9＝7，
∴|a－b|＝ 7.
• [例[解2析] ] 已∵知a＋a3、b 与b7都a－是5b非垂零直，向∴(量a＋，3b且)·(7aa－ ＋53b)b＝与0，
(3)A→B与A→D的夹角为 60°， 所以A→B与D→A的夹角为 120°，(←此处易错为 60°.) 所以A→B·D→A＝|A→B|·|D→A|·cos120°＝4×3×－12＝－6.
高中数学人教B版必修四2.3.1- 2.3.2《向量数量积的物理背景与定义 向量数量积的运算律》ppt课件
【思路点拨】 应用向量数量积的公式或向量 的几何意义求解．
【解】 (1)a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝5×5×12＝225， ∴|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2 ＝ 25＋2×225＋25＝5 3. |a－b|＝ a－b2＝ |a|2－2a·b＋|b|2 ＝ 25－2×225＋25＝5.
课前自主学案
温故夯基
1．cosθ＞0(其中θ∈[0，π])⇔θ为____________； co锐sθ角＜或0(零其角中θ∈[0，π])⇔θ为________________
2．在代数式的运算中满足的运算律有：
___钝__角__或_、平_角__．_____、___________等．
3．代数式运算中，平方差公式：(a－b)(a＋b)＝
又 a·b＝|a||b|cos120°＝－12|a||b|，③ 把③代入①得|a|＝|b|， 再代入②得(λ＋4＋1＋24λ)|a|2＝0. ∵|a|＞0，∴λ＋4＋1＋24λ＝0，即 λ＝－32. 故存在实数 λ＝－32，使(a－4b)⊥(λa－b)．
【点评】 非零向量a⊥b⇔a·b＝0是非常重要的
当〈a，b〉＝π2 或 ___a_，__b_中__至__少__有__一__个__零__向__量_________ 时 ， a ⊥b.
2．向量在轴上的正射影已知向量 a 和轴 l 如图． 作O→A＝a，过点 O，A 分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1，A1，则_向__量__O→_1A_1___叫做向量 a 在轴 l 上的正射影(简
向．这是二者的主要区别．
2．若a·b＝0，则有a＝0或b＝0，这种说法正确
吗？
提示：错误，实际上，由a·b＝0可以推出以下四 种可能：①a＝0且b＝0；②a＝0且b≠0；③a≠0 且b＝0；④a≠0且b≠0，a⊥b.
【解】 (1)a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝5×5×12＝225， ∴|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2 ＝ 25＋2×225＋25＝5 3. |a－b|＝ a－b2＝ |a|2－2a·b＋|b|2 ＝ 25－2×225＋25＝5.
课前自主学案
温故夯基
1．cosθ＞0(其中θ∈[0，π])⇔θ为____________； co锐sθ角＜或0(零其角中θ∈[0，π])⇔θ为________________
2．在代数式的运算中满足的运算律有：
___钝__角__或_、平_角__．_____、___________等．
3．代数式运算中，平方差公式：(a－b)(a＋b)＝
又 a·b＝|a||b|cos120°＝－12|a||b|，③ 把③代入①得|a|＝|b|， 再代入②得(λ＋4＋1＋24λ)|a|2＝0. ∵|a|＞0，∴λ＋4＋1＋24λ＝0，即 λ＝－32. 故存在实数 λ＝－32，使(a－4b)⊥(λa－b)．
【点评】 非零向量a⊥b⇔a·b＝0是非常重要的
当〈a，b〉＝π2 或 ___a_，__b_中__至__少__有__一__个__零__向__量_________ 时 ， a ⊥b.
2．向量在轴上的正射影已知向量 a 和轴 l 如图． 作O→A＝a，过点 O，A 分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1，A1，则_向__量__O→_1A_1___叫做向量 a 在轴 l 上的正射影(简
向．这是二者的主要区别．
2．若a·b＝0，则有a＝0或b＝0，这种说法正确
吗？
提示：错误，实际上，由a·b＝0可以推出以下四 种可能：①a＝0且b＝0；②a＝0且b≠0；③a≠0 且b＝0；④a≠0且b≠0，a⊥b.
数学：2.3.3《向量数量积的坐标运算与度量公式》课件(1)(新人教B版必修4)
AC = (−2 − 1,5 − 2) = ( −3,3)
∴ AB ⋅ AC = 1× (−3) + 1× 3 = 0
△ABC是直角三角形 是直角三角形
变形：在∆ABC中，设 AB = (2,3), AC = (1, k ), 且 ∆ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC = AC − AB = ( − 1, k − 3) ∵ 又 ∆ ABC 是直角三角形 即( − 2, − 3) i ( − 1, k − 3) = 0 ∴ 2 − 3( k − 3) = 0 11 k = 3
1 ∴n = 2
变形： .已知 a = 4, b = 3, a与b的夹角为90 , 且 c = a + 2b, d = 2 a + k b,问 k 为何值时 (1) c ⊥ d (2) c∥d (3) c与 d的 夹角为锐角 ? 的夹角为锐角
°
a b . 注: a ⋅ b > 0不能保证向量与 的夹角为锐角
解: ∵ c ⊥d ,∴ c⋅ d =0, ∴ 即 a+(sinα−3)b⋅−ka+(sinα)b =0 也即 −ka +a⋅b⋅sinα
2
−k(sinα−3)a⋅b+ sinα(sinα−3b =0, )
2
2 2 1 3 又∵ a = ( 3, −1) , b =( , ),∴ a⋅ b =0,且 a = a = 4, 2 2
∴ a ⋅ b = x 1 i + y1 j （ x 2 i + y 2 j （ ） ⋅ ）
= x1 x 2 i + x1 y2 i ⋅ j + x 2 y1 j ⋅ i + y1 y2 j
∵ i = 1， j = 1， i ⋅ j = j ⋅ i = 0
∴ AB ⋅ AC = 1× (−3) + 1× 3 = 0
△ABC是直角三角形 是直角三角形
变形：在∆ABC中，设 AB = (2,3), AC = (1, k ), 且 ∆ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC = AC − AB = ( − 1, k − 3) ∵ 又 ∆ ABC 是直角三角形 即( − 2, − 3) i ( − 1, k − 3) = 0 ∴ 2 − 3( k − 3) = 0 11 k = 3
1 ∴n = 2
变形： .已知 a = 4, b = 3, a与b的夹角为90 , 且 c = a + 2b, d = 2 a + k b,问 k 为何值时 (1) c ⊥ d (2) c∥d (3) c与 d的 夹角为锐角 ? 的夹角为锐角
°
a b . 注: a ⋅ b > 0不能保证向量与 的夹角为锐角
解: ∵ c ⊥d ,∴ c⋅ d =0, ∴ 即 a+(sinα−3)b⋅−ka+(sinα)b =0 也即 −ka +a⋅b⋅sinα
2
−k(sinα−3)a⋅b+ sinα(sinα−3b =0, )
2
2 2 1 3 又∵ a = ( 3, −1) , b =( , ),∴ a⋅ b =0,且 a = a = 4, 2 2
∴ a ⋅ b = x 1 i + y1 j （ x 2 i + y 2 j （ ） ⋅ ）
= x1 x 2 i + x1 y2 i ⋅ j + x 2 y1 j ⋅ i + y1 y2 j
∵ i = 1， j = 1， i ⋅ j = j ⋅ i = 0
高中数学人教B版必修四2.3.2《向量数量积的运算律》ppt课件
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
[解析] 因为O→A⊥A→B，所以O→A·A→B＝0，所以O→A·O→B＝ O→A·(O→A＋A→B)＝|O→A|2＋O→A·A→B＝|OA|2＝32＝9.
易错疑难辨析
•e的1、夹e角2的为夹钝角角设为，两6求个0°实向，数量若te的1向、取量e2值2满t范e足1围＋|e．71e|2＝与2向，量|ee21|＋＝t1e，2
∴cos<a，b>＝|aa|·|bb|＝12.
∵0°≤<a，b>≤180°，向量 a 与 b 的夹角等于 60°.
• (2015·潮州市高一期末测试)已知a、b满足|a|＝4， |b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
• (1)求a与b的夹角θ ； • (2)求向量a＋b在向量b方向上的投影．
A．1
B．2
C．3
D．5
• [答案] A
• [解析] |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b＝10，|a－b|2＝a2 －2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.
4．(2014·江西文，12)已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cosα＝13，若向量 a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
[解析] 因为O→A⊥A→B，所以O→A·A→B＝0，所以O→A·O→B＝ O→A·(O→A＋A→B)＝|O→A|2＋O→A·A→B＝|OA|2＝32＝9.
易错疑难辨析
•e的1、夹e角2的为夹钝角角设为，两6求个0°实向，数量若te的1向、取量e2值2满t范e足1围＋|e．71e|2＝与2向，量|ee21|＋＝t1e，2
∴cos<a，b>＝|aa|·|bb|＝12.
∵0°≤<a，b>≤180°，向量 a 与 b 的夹角等于 60°.
• (2015·潮州市高一期末测试)已知a、b满足|a|＝4， |b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
• (1)求a与b的夹角θ ； • (2)求向量a＋b在向量b方向上的投影．
A．1
B．2
C．3
D．5
• [答案] A
• [解析] |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b＝10，|a－b|2＝a2 －2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.
4．(2014·江西文，12)已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cosα＝13，若向量 a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
2018-2019学年人教B版必修四2.3.2向量数量积的运算律课件(20张)
解析: ∵������������ + ������������=2������������,且|������������|+|������������ |=2, ∴(������������ + ������������)· ������������ =2������������ ·������������ =-2|������������||������������ | =-2|������������|(2-|������������|)=2|������������|2-4|������������|=2(|������������|-1)2-2. ∴当|������������|=1 时,(������������ + ������������ )· ������������ 有最小值-2.
2.3.2
向量数量积的运算律
课 标 阐 释 思 1.掌握平面向量数量积的运算律, 并要注意运算律的适用范围以及 与实数乘法运算律的区别. 2.会应用运算律进行相关的计算 或证明等问题.
维
脉
络
向量数量积的运算律 【问题思考】 1.如图,|a|=|b|=6,θ=120°,求a· b,b· a,(2a)· b,a · (2b)的值.
将|a| =|b| =1,代入有
2 2
2
2
1 a· b= , 3
2
而(3a+b) =9|a| +6a· b+|b| 所以|3a+b|=2√3.
1 =9+6× +1=12, 3
探究一
探究二
探究三
易错辨析
求向量的模 【例2】 已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=3,求|3a+b|的值. 分析:通过数量积a· b来探求已知条件|3a-2b|=3与目标式|3a+b| 之间的关系. 解:因为|a|=|b|=1,所以|a|2=|b|2=1. 又因为|3a-2b|=3,所以(3a-2b)2=9, 所以9|a|2-12a· b+4|b|2=9,
最新-高中数学 232《向量数量积的运算律》课件(1) 新人教B版必修4 精品
ab
(3). cos =
| a || b |
平面向量数量积的运算律
已知向量 a, b, c 和实数 ,
则向量的数量积满足：
（1）a b b a （交换律）
（2）( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （3）(a b) c a c b c （分配律） 注意：数量积运算不满足结合律消去律
所以 cos a, a b a (a b) 2 7
| a || a b | 7
a
2
a
b
cos
6b
2
62 6 4 cos60 6 42 72
例2.已 知 a 与 b 的夹角为120°,︱a︱=2, ︱b︱=3,求
（1）a b；（2）a2 b2；（3）（2a b）（ a 3b）
（4）a b；（5）a b；
解：（1）a b a b cos120o 2 3 ( 1) 3
19
练习题：a b 1, a与b夹角为1200，问t取何值 时，a tb 最小？
例3.已知︱a︱=1, ︱b︱=2,a与a-b垂直.求a与b的夹角
解：设a与b的夹角为 a b与a垂直
（a b） a 0 即a2 b a 0
2
2
ab a a 1
cos a b 1 2
ab
（2）a 2
2
b
a
2
b
2
4
9
2 5
（3）（2a
b）（ a
3b）
2
2a
5a
b
2
3b
2
2
2 a 5 a b cos120o 3 b 8 15 27 34
（4）a b
(a b)2
2
2
(3). cos =
| a || b |
平面向量数量积的运算律
已知向量 a, b, c 和实数 ,
则向量的数量积满足：
（1）a b b a （交换律）
（2）( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （3）(a b) c a c b c （分配律） 注意：数量积运算不满足结合律消去律
所以 cos a, a b a (a b) 2 7
| a || a b | 7
a
2
a
b
cos
6b
2
62 6 4 cos60 6 42 72
例2.已 知 a 与 b 的夹角为120°,︱a︱=2, ︱b︱=3,求
（1）a b；（2）a2 b2；（3）（2a b）（ a 3b）
（4）a b；（5）a b；
解：（1）a b a b cos120o 2 3 ( 1) 3
19
练习题：a b 1, a与b夹角为1200，问t取何值 时，a tb 最小？
例3.已知︱a︱=1, ︱b︱=2,a与a-b垂直.求a与b的夹角
解：设a与b的夹角为 a b与a垂直
（a b） a 0 即a2 b a 0
2
2
ab a a 1
cos a b 1 2
ab
（2）a 2
2
b
a
2
b
2
4
9
2 5
（3）（2a
b）（ a
3b）
2
2a
5a
b
2
3b
2
2
2 a 5 a b cos120o 3 b 8 15 27 34
（4）a b
(a b)2
2
2
【数学】 2.3.2《向量数量积的运算律》课件(1)(新人教B版必修4)]
![【数学】 2.3.2《向量数量积的运算律》课件(1)(新人教B版必修4)]](https://img.taocdn.com/s3/m/ca2e7ccaaf1ffc4ffe47acb2.png)
分配律
(a分析b：) c a c b c
a b c cos a c cos1 b c cos 2
A
2
bB
a
| a b | cos
| a | cos1 | b | cos2
1
O A1
c B1 C
平面向量数量积的常用公式
2
2
(1)(a b)2 a 2a b b
2
2
(2)(a b)(a b) a b
ab
(3). cos =
| a || b |
平面向量数量积的运算律
已知向量 a, b, c 和实数 ,
则向量的数量积满足：
（1）a b b a （交换律）
（2）( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （3）(a b) c a c b c （分配律） 注意：数量积运算不满足结合律消去律
例1 已知 a 6, b 4,a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b在 a 方向上的投影；| b | cos =2
（2）a 在 b 方向上的投影；a cos =3
（3） a 2b a 3b
a解：2b（ 3a）3b
a a a b 6b b
2
a
2
ab6b
a
2
a
19
练习题：a b 1, a与b夹角为1200，问t取何值 时，a tb 最小？
例3.已知︱a︱=1, ︱b︱=2,a与a-b垂直.求a与b的夹角
解：设a与b的夹角为 a b与a垂直
（a b） a 0 即a2 b a 0
2
2
ab a a 1
cos a b 1 2
ab
25k （2k 1） 5 4 1 2 42 0 k 14
人教B版高中数学必修4课件 2.3向量数量积的运算律课件(人教B版)
探求新知 （? ?+? ?）·? ?=? ?·? ?+? ?·? ? 的证明
但对轴上任意三点O，A’，B’， 都有
OB’=OA’—A’B’ 即：
（? ?+? ?）·? ?=? ?·? ?+? ?·? ?
A
??
B ??
??
l
O ? ?0
A’ C
B’
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
小试牛刀 求证：
（1）（? ?+? ? ）2 = |? ? |2+2? ?·? ?+|? ? |2
（2）（? ?+? ?）·（? ? — ? ?）
=|? ? |2 （3）
− |? ? ?·?
??=|212
(
?
?+?
?
2
−
??
2
−
|? ? |2）
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
小试牛刀
（1）证明： （? ?+? ? ）2= （? ?+? ?）·（? ?+? ?） =? ?· ??=? |????++??|?|?2?·+?|22??+??·?·? ?+? ?·
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
新课导入
向量数量积的运算律
由向量数量积定义，可以直接推出交换律是成立的。
因此，? ?·? ?=? ?·? ? 另外，容易验证数乘以向量的数量积，可以与任意一个 向量交换结合，即对任意实数λ，有 λ(? ?·? ?)=(λ? ? ) ·? ? =? ?· (λ? ? )
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
小试牛刀
（2）证明： （? ?+? ?）·（ ? ? — ? ?）
人教课标版(B版)高中数学必修4《向量数量积的运算律》参考课件1
2.3.2向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影
正射影的数量 al a cos
3.向量的数量积（内积） a·b= a b cos a,b
4.两个向量的数量积的性质：
(1). ab ab = 0
(2). aa = |a|2或 | a | a a ab
(3). ab ab = 0
垂直问题
（1）a b b a;
(2)(a) b a (b) (a b) a b;
(3)(a b) c a c b c
2.类似于多项式的乘法运算
3.主要解决的问题
(1). aa = |a|2或 | a | a a 长度的计算问题
ab
(2). cos = | a || b |
夹角的计算问题
2
练习1. 已知|a|=2，|b|=3，<a·b>=120° ,求
（1）(a+b) ·(a－b)； －5
（2）(a－b)2；
19
（3）(2a+b) ·(a－b).
2
练习2. 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求 （1）|a+b|；（2）|2a－3b|.
| a b | 37 | 2a 3b | 6 3
证明：设 a, b 夹角为 ，
则 a b | a | | b | cos b a | b | | a | cos
所以 a b b a
（2） (a)b (a b) a (b) 数乘结合律
证明： (ab) | a || b | cos
若 0 (a)b | a || b | cos a(b) | a || b | cos
复习回顾
1.两个向量的夹角范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影
正射影的数量 al a cos
3.向量的数量积（内积） a·b= a b cos a,b
4.两个向量的数量积的性质：
(1). ab ab = 0
(2). aa = |a|2或 | a | a a ab
(3). ab ab = 0
垂直问题
（1）a b b a;
(2)(a) b a (b) (a b) a b;
(3)(a b) c a c b c
2.类似于多项式的乘法运算
3.主要解决的问题
(1). aa = |a|2或 | a | a a 长度的计算问题
ab
(2). cos = | a || b |
夹角的计算问题
2
练习1. 已知|a|=2，|b|=3，<a·b>=120° ,求
（1）(a+b) ·(a－b)； －5
（2）(a－b)2；
19
（3）(2a+b) ·(a－b).
2
练习2. 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求 （1）|a+b|；（2）|2a－3b|.
| a b | 37 | 2a 3b | 6 3
证明：设 a, b 夹角为 ，
则 a b | a | | b | cos b a | b | | a | cos
所以 a b b a
（2） (a)b (a b) a (b) 数乘结合律
证明： (ab) | a || b | cos
若 0 (a)b | a || b | cos a(b) | a || b | cos
高中数学 2.3.2向量数量积的运算律名师课件 新人教B版必修4
r r r rr rr （3） (a b) c a c b c （分配律）
探究二 数量积的运算律应用（一）
求证：
（1）a b 2 | a |2 2a b | b |2
（2）a b a b | a |2 | b |2
证明：1
rrr
已知向量 a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足：
rr rr （1） a b b a
（交换律）
r r rr r r
（2） ( a) b (a b) a (b) （数乘结合律）
r r r rr rr （3） (a b) c a c b c （分配律）
(5)
|
a
b ||
|a
a||
|| b
b|
|
我们小学时学过数与数相乘，它们满足哪些运算律？
1.交换律 ab ba
2.结合律 abc abc bac
3.分配律 a bc ac bc
向量的数量积是否具有类似
探
于数量乘法那样的运算律？
？ 交r换律 r
rr
（2）a b a b 0
解析：（1）
r a
r 2b
rr a 3b
r2 r r r r r2 =a 3a b+2a b 6b
r2 r r r2 a a b 6b
36 6 4 cos 600 616
72
r r
11
根据向量的数量积的定义,
r uur uuur uur
有 a c0 OA1 c0 OA1
r uur uuur uur b c0 AB c0 A1B1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以（ a b) （ a) b a ( b)
平面向量数量积运算律 由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣b)
2 2
解： (a 2b) (a 3b) a 3a b 2b a 6b a a b 6b
2 2 o 2 2
∣∣ a ∣∣ a ∣∣ b cos 60 6 ∣∣ b 1 2 2 6 4 6 6 4 72 2
平面向量数量积运算律
例3 已知 | a | 3 ， | b | 4（且a与b不共线），当 且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb 互相垂直？
解：若向量a kb与a kb垂直， 根据向量垂直的性质，则 （a kb） （ a kb）=0 （a kb） （ a kb） a - ka b ka b - k b
所以（ a b) （ a) b a ( b)
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a, b | a | (| b | cos a, b ) | a | b1 如图所示： OA a, 在向量c上的射影是OA1，
AB b, 在向量c上的射影为 A1B1， OB a b，在向量c上的射影为OB1，
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a, b
叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
a b | a || b | cos a, b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1 ）e · a=a · e=| a | cos （ 2 ） a⊥ b a · b=0 （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，
当a 与b 反向时， a · b =—| a | · |b| ．
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
(a b) ∣∣ ( a ∣∣ b cos a, b ) ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
a ( b ) ∣∣∣ a ( b ∣)cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
求 (a 2b) (b 3b)
例3 已知 | a | 3 ， | b | 4（且a与b不共线），当 且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb 互相垂直？
平面向量数量积运算律
例1 求证： 2 2 （1）(a b)(a b) a b 2 （2） 2
(a b) a 2a b b
(a b) ∣∣ ( a ∣∣ b cos a, b ) ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
a ( b ) ∣∣∣ a ( b ∣)cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
cos a, b cos a, b cos a, b
显然 a, b b, a AOB
而 ∣∣ a ∣∣=∣∣ b b ∣∣ a
o
B1
B
所以 | b || a | cos b, a | a || b | cos a, b
即： a b b a
交换律
平面向量数量积运算律
由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
特别地 a a | a |2 或 | a | a a （4）cos a b
| a || b |
2、判断垂直
3、求向量的模
（ 5） a · b ≤| a | · |b|
4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a, b
A
b a | b || a | cos b, a
a b b a
( a ) b ( a b ) a ( b)
（3）（分配律）(a b) c a c b c
平面向量数量积运算律
想一想：向量的数量积满足结合律吗？
（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0 ,ａ≠ｂ
2
2
解： (1)(a b)(a b) a a b b a b a b
2 2 2
(2)(a b)
2 2
2 2
a a b a b b a 2a b b
2
平面向量数量积运算律
| a | 6 | b | 4 例2 已知 ， ，a与b的夹角为 60 ，
所以： c • (a b) c • OB
c • OB ∣∣ c OB1 ∣∣ c OA1 ∣∣ c A1B1 而 c ac b ∣∣ c OA1 ∣∣ c A1B1
1 1
c • ( a b) c • a c b
平面向量数量积运算律
运算律总结如下：
（1）（交换律） （2)
（3）有如下常用性质：
①（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）
＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
②ａ２＝｜ａ｜２
平面向量数量积运算律
例1 求证： 2 2 （1）(a b)(a b) a b 2 2 2 （2）(a b) a 2a b b
| a | 6 | b | 4 例2 已知 ， ，a与b的夹角为 60 ，