数学： 2.3.2《向量数量积的运算律》课件(新人教B版必修4).ppt
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特别地 a a | a |2 或 | a | a a （4）cos a b
| a || b |
2、判断垂直
3、求向量的模
（ 5） a · b ≤| a | · |b|
4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a, b
A
b a | b || a | cos b, a
2
2
解： (1)(a b)(a b) a a b b a b a b
2 2 2
(2)(a b)
2 2
2 2
a a b a b b a 2a b b
2
平面向量数量积运算律
| a | 6 | b | 4 例2 已知 ， ，a与b的夹角为 60 ，
（3）有如下常用性质：
①（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）
＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
②ａ２＝｜ａ｜２
平面向量数量积Βιβλιοθήκη Baidu算律
例1 求证： 2 2 （1）(a b)(a b) a b 2 2 2 （2）(a b) a 2a b b
| a | 6 | b | 4 例2 已知 ， ，a与b的夹角为 60 ，
求 (a 2b) (b 3b)
例3 已知 | a | 3 ， | b | 4（且a与b不共线），当 且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb 互相垂直？
平面向量数量积运算律
例1 求证： 2 2 （1）(a b)(a b) a b 2 （2） 2
(a b) a 2a b b
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a, b
叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
a b | a || b | cos a, b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
显然 a, b b, a AOB
而 ∣∣ a ∣∣=∣∣ b b ∣∣ a
o
B1
B
所以 | b || a | cos b, a | a || b | cos a, b
即： a b b a
交换律
平面向量数量积运算律
由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
(a b) ∣∣ ( a ∣∣ b cos a, b ) ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
a ( b ) ∣∣∣ a ( b ∣)cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
(a b) ∣∣ ( a ∣∣ b cos a, b ) ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
a ( b ) ∣∣∣ a ( b ∣)cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
cos a, b cos a, b cos a, b
a b b a
( a ) b ( a b ) a ( b)
（3）（分配律）(a b) c a c b c
平面向量数量积运算律
想一想：向量的数量积满足结合律吗？
（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0 ,ａ≠ｂ
所以（ a b) （ a) b a ( b)
平面向量数量积运算律 由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
所以（ a b) （ a) b a ( b)
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a, b | a | (| b | cos a, b ) | a | b1 如图所示： OA a, 在向量c上的射影是OA1，
AB b, 在向量c上的射影为 A1B1， OB a b，在向量c上的射影为OB1，
求 (a 2b) (a 3b)
2 2
解： (a 2b) (a 3b) a 3a b 2b a 6b a a b 6b
2 2 o 2 2
∣∣ a ∣∣ a ∣∣ b cos 60 6 ∣∣ b 1 2 2 6 4 6 6 4 72 2
所以： c • (a b) c • OB
c • OB ∣∣ c OB1 ∣∣ c OA1 ∣∣ c A1B1 而 c ac b ∣∣ c OA1 ∣∣ c A1B1
1 1
c • ( a b) c • a c b
平面向量数量积运算律
运算律总结如下：
（1）（交换律） （2)
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1 ）e · a=a · e=| a | cos （ 2 ） a⊥ b a · b=0 （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，
当a 与b 反向时， a · b =—| a | · |b| ．
平面向量数量积运算律
例3 已知 | a | 3 ， | b | 4（且a与b不共线），当 且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb 互相垂直？
解：若向量a kb与a kb垂直， 根据向量垂直的性质，则 （a kb） （ a kb）=0 （a kb） （ a kb） a - ka b ka b - k b
| a || b |
2、判断垂直
3、求向量的模
（ 5） a · b ≤| a | · |b|
4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a, b
A
b a | b || a | cos b, a
2
2
解： (1)(a b)(a b) a a b b a b a b
2 2 2
(2)(a b)
2 2
2 2
a a b a b b a 2a b b
2
平面向量数量积运算律
| a | 6 | b | 4 例2 已知 ， ，a与b的夹角为 60 ，
（3）有如下常用性质：
①（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）
＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
②ａ２＝｜ａ｜２
平面向量数量积Βιβλιοθήκη Baidu算律
例1 求证： 2 2 （1）(a b)(a b) a b 2 2 2 （2）(a b) a 2a b b
| a | 6 | b | 4 例2 已知 ， ，a与b的夹角为 60 ，
求 (a 2b) (b 3b)
例3 已知 | a | 3 ， | b | 4（且a与b不共线），当 且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb 互相垂直？
平面向量数量积运算律
例1 求证： 2 2 （1）(a b)(a b) a b 2 （2） 2
(a b) a 2a b b
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a, b
叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
a b | a || b | cos a, b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
显然 a, b b, a AOB
而 ∣∣ a ∣∣=∣∣ b b ∣∣ a
o
B1
B
所以 | b || a | cos b, a | a || b | cos a, b
即： a b b a
交换律
平面向量数量积运算律
由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
(a b) ∣∣ ( a ∣∣ b cos a, b ) ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
a ( b ) ∣∣∣ a ( b ∣)cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
(a b) ∣∣ ( a ∣∣ b cos a, b ) ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
a ( b ) ∣∣∣ a ( b ∣)cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
cos a, b cos a, b cos a, b
a b b a
( a ) b ( a b ) a ( b)
（3）（分配律）(a b) c a c b c
平面向量数量积运算律
想一想：向量的数量积满足结合律吗？
（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0 ,ａ≠ｂ
所以（ a b) （ a) b a ( b)
平面向量数量积运算律 由于a与 a共线， b与b共线 a, b a, b
0时
( a ) b ∣ ( a ∣∣∣ ) b cos a, b ∣∣ a ∣∣ b cos a, b
所以（ a b) （ a) b a ( b)
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a, b | a | (| b | cos a, b ) | a | b1 如图所示： OA a, 在向量c上的射影是OA1，
AB b, 在向量c上的射影为 A1B1， OB a b，在向量c上的射影为OB1，
求 (a 2b) (a 3b)
2 2
解： (a 2b) (a 3b) a 3a b 2b a 6b a a b 6b
2 2 o 2 2
∣∣ a ∣∣ a ∣∣ b cos 60 6 ∣∣ b 1 2 2 6 4 6 6 4 72 2
所以： c • (a b) c • OB
c • OB ∣∣ c OB1 ∣∣ c OA1 ∣∣ c A1B1 而 c ac b ∣∣ c OA1 ∣∣ c A1B1
1 1
c • ( a b) c • a c b
平面向量数量积运算律
运算律总结如下：
（1）（交换律） （2)
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1 ）e · a=a · e=| a | cos （ 2 ） a⊥ b a · b=0 （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，
当a 与b 反向时， a · b =—| a | · |b| ．
平面向量数量积运算律
例3 已知 | a | 3 ， | b | 4（且a与b不共线），当 且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb 互相垂直？
解：若向量a kb与a kb垂直， 根据向量垂直的性质，则 （a kb） （ a kb）=0 （a kb） （ a kb） a - ka b ka b - k b