均值不等式应用求最值的技巧_题型分析

均值不等式应用

一．均值不等式

1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）

2. (1)若*,R b a ∈，则

ab b a ≥+2

(2)若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”

） (3)若*

,R b a ∈，则2

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）. 3.若0x >，则12x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则

22-2a b a b a b

b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”

） 4.若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a +≤

+（当且仅当b a =时取“=”） 例1：求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1

x

解：（1）值域为[ 6 ，+∞） （2）值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5

4x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值。 解：当1x =时，max 1y =。

技巧二：凑系数

例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解：x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2

3

0<

-x ∴2922322)23(22)23(42

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭

⎫

⎝⎛∈=

23,043x 时等号成立。 技巧三： 分离

例3. 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当

,即

时,4

21)591

y x x ≥+⨯

=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a

f x x x

=+的单调性。例：求函数22

4

y x =

+

解：函数的值域为5,2

⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）231

,(0)x x y x x

++=

> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x =-的最大值.；3．2

03

x <<

，求函数(23)y x x =-.

条件求最值

1.若实数满足2=+b a ，则b

a 33+的最小值是 .

解： 1==b a 时，b

a 33+的最小值是6．

变式：若44log log 2x y +=，求

11

x y

+的最小值.并求x,y 的值 技巧五：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且

19

1x y

+=，求x y +的最小值。 解：

19

0,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y

⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭

当且仅当9y x x y

=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。

变式： （1）若+

∈R y x ,且12=+

y x ，求y

x

11+的最小值

(2)已知+

∈R y x b a ,,,且1=+y

b x a ，求y x

+的最小值

（3）下列命题中正确的是A 、1

y x x

=+

的最小值是2 B 、222

y x =+的最小值是 2 C 、423(0)y x x x =-->的最大值是243- D 、

4

23(0)y x x x

=-->的最小值是243-

（答：C ）；

（4）若21x y +=，则24x y +的最小值是______

（答：；

（5）正数,x y 满足21x y +=，则

y

x 1

1+的最小值为______（答：3+； （6）如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________

（答：[)9,+∞）

技巧六、已知x ，y 为正实数，且x 2

＋y 2

2

＝1，求x 1＋y 2 的最大值.

x 1＋y 2 ≤ 3

4

2

技巧七：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1

ab 的最小值.

由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab

令u ＝ab 则u 2

＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2

∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1

18

变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧八：取平方

5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.

解法：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 2

2

，本题很简单

3x ＋2y ≤ 2

（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2

3x ＋2y ＝2 5

变式: 求函数15

()2

2

y x =<<的最大值。 解析：注意到21x -与52x -的和为定值。

2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=

又0y >，所以0y <≤

当且仅当21x -=52x -，即3

2

x =时取等号。 故max y =。 应用二：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且

19

1x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。 解：令,0,0,

x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky

∴++= 103

12k k

∴-

≥⋅ 。16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用三：不等式在恒成立问题中的应用：

（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围___（答：1a <）； （3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_（答：