中考数学初中数学 旋转(大题培优)及详细答案

中考数学初中数学 旋转(大题培优)及详细答案

一、旋转

1．已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ，设CE ＝a ，CF ＝b ．

（1）如图1，当a ＝42时，求b 的值；

（2）当a ＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b 的值；

（3）如图3，请直接写出∠EAF 绕点A 旋转的过程中a 、b 满足的关系式．

【答案】（1）422）b ＝8；（3）ab ＝32．

【解析】

试题分析：（1）由正方形ABCD 的边长为4，可得AC ＝2 ，∠ACB ＝45°． 再CE ＝a ＝2∠CAE ＝∠AEC ，从而可得∠CAF 的度数，既而可得 b=AC ； （2）通过证明△ACF ∽△ECA ，即可得；

（3）通过证明△ACF ∽△ECA ，即可得.

试题解析：（1）∵正方形ABCD 的边长为4，∴AC ＝2，∠ACB ＝45°．

∵CE ＝a ＝2∴∠CAE ＝∠AEC ＝452

︒＝22.5°，∴∠CAF ＝∠EAF －∠CAE ＝22.5°，∴∠AFC ＝∠ACD －∠CAF ＝22.5°，∴∠CAF ＝∠AFC ，∴b=AC ＝CF ＝42

（2）∵∠FAE ＝45°，∠ACB ＝45°，∴∠FAC ＋∠CAE ＝45°，∠CAE ＋∠AEC ＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC ．

又∵∠ACF ＝∠ECA ＝135°，∴△ACF ∽△ECA ，∴

AC CF EC CA =，∴42442=∴CF ＝8，即b ＝8． （3）ab ＝32．

提示：由（2）知可证△ACF ∽△ECA ，∴∴AC CF EC CA =，∴4242

=，∴ab ＝32．

2．（探索发现）

如图，ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形. 小明是这样想的：

（1）请参考小明的思路写出证明过程；

（2）直接写出线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系：______________；

（理解运用）

如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D .将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC ，交于点G .

（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由；

（拓展迁移）

（4）在（3）的前提下，如图，将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆，连接MB ，若6AD =，2BD =，求MB 的长.

【答案】（1）详见解析；（2）CD CF AC +=；（3）四边形ADGF 是正方形；（4）13【解析】

【分析】

（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE ，则四边形ABCE 是菱形； （2）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，BD=CF ，可得AC=CF+CD ；

（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；

（4）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论．

【详解】

（1）证明：∵ABC ∆是等边三角形，

∴AB BC AC ==.

∵ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，

∴60CAE =︒，AC AE =.

∴ACE ∆是等边三角形.

∴AC AE CE ==.

∴AB BC CE AE ===.

∴四边形ABCE 是菱形.

（2）线段DC ，CF ，AC 之间的数量关系：CD CF AC +=.

（3）四边形ADGF 是正方形.理由如下：

∵Rt ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，

∴AF AD =，90DAF ∠=︒.

∵AD BC ⊥，

∴90ADC DAF F ∠=∠=∠=︒.

∴四边形ADGF 是矩形.

∵AF AD =，

∴四边形ADGF 是正方形.

（4）如图，连接DE .

∵四边形ADGF 是正方形，

∴6DG FG AD AF ====.

∵ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，

∴BAD EAF ∠=∠，2BD EF ==，∴624EG FG EF =-=-=.

∵将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆，

∴MAE FAE ∠=∠，AF AM =.

∴BAD EAM ∠=∠.

∴BAD DAM EAM DAM ∠+∠=∠+∠，即BAM DAE ∠=∠.

∵AF AD =，

∴AM AD =.

在BAM ∆和EAD ∆中，AM AD BAM DAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴()BAM EAD SAS ∆≅∆. ∴222246213BM DE EG DG ==+=+=

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．

3．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F，连接DF，G 为DF 中点，连接EG，CG.

(1) 求证：EG=CG；

(2) 将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转 45∘,如图②所示,取DF 中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3) 将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).

【答案】解：（1）CG=EG

（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．

证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．

在△DMG与△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN．

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，