(江苏专用)2020年高考数学二轮复习 专题14圆锥曲线学案
江苏省宝应县画川高级中学2020届高考数学第二轮复习 圆锥曲线导学案2(无答案)
画川高级中学高三 数学（体艺） 学案复习课题：圆锥曲线1〖导 学 过 程〗一、复习目标：掌握圆锥曲线的相关知识，能解决基础的相关问题二．知识整理：三、小题练习1. 直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______2. 双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______3. 已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____4. 短轴长为5，离心率32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________总结：四、典型例题例1设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7求这个椭圆方程【变式】：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆与点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 .例2. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，12,F F 分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，123F PF π∠=，且12PF F ∆的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．五、课堂练习1. 已知短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程 ．2椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e=_________3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为。
江苏省滨海中学2020届高三数学总复习教学案9.4直线与圆锥曲线
9.4 直线与圆锥曲线重点集结1.直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线的地点关系可分为：订交、相切、相离．办理问题的常用方法,是将曲线方程与直线方程联立 ,由所得方程组的解的个数来决定 . 2.其余综合问题(1) 求参数的取值范围问题：主假如依据题中所给条件 ,成立起目标函数关系式或不等式 (组 ),而后经过求函数的值域或解不等式组获得参数的范围． (2) 定值或定点问题主要有两种解决方法：(1) 先猜后证 ,即从特点下手 ,估量出定值或定点来 ,再证明这个定值或定点与变量没关即可．(2) 直接推理与运算 ,消去变量 ,进而获得定值或定点来 .基础自测1.抛物线 y 2＝ 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分订交于点 A ， AK ⊥ l ，垂足为 K ，则△ AKF 的面积是 ________．2.假如直线 y ＝ kx － 1 与双曲线 x 2－ y 2＝ 1 没有公共点，则 k 的取值范围是 ____________．3.椭圆x22＋ y＝ 1 的一个焦点为 F 1，点 P 在椭圆上，假如线段PF 1 的中点 M 在 y 轴上，12 3那么点 M 的纵坐标是 ________．4.过点 0，－ 1的直线 l 与抛物线 y ＝－ x 2交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，则 → → 2 OA ·OB 的值为 ______.5.经过抛物线 y 2＝ 4x 焦点的直线l 交抛物线于 A 、B 两点，且 AB ＝ 8，则直线 l 的倾斜角的大小为 ________.考点研究【例 1】已知椭圆3C 经过点 A(1, ),两个焦点为 ( 1,0),(1,0) ．2(1)求椭圆 C 的方程；(2)E 、F 是椭圆 C 上的两个动点 ,假如直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数 ,证明直线 EF 的斜率为定值 ,并求出这个定值．【例 2】椭圆 C：x223，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.2＋y2＝ 1(a>b>0)的离心率为a b2(1) 求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 C 的左、右极点分别为 A，B，点 P 是直线点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点为 N.求证：直线x＝ 1 上的动点，直线MN 经过必定点 .PA 与椭圆的另一交22F1，【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x＋y＝ 1(a＞ b＞ 0)的左、右焦点分别为a2b2F 2，焦距为 2，一条准线方程为x＝ 2.P 为椭圆 C 上一点，直线PF 1交椭圆 C 于另一点 Q.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 P 的坐标为 (0， b)，求过 P， Q， F 2三点的圆的方程；→→1， 2→ →(3) 若F 1P＝λQF 1，且λ∈2，求 OP·OQ 的最大值 .热门研习1.若动圆的圆心在抛物线x 2=12y 上 ,圆与直线 y+3=0 相切 ,则此圆恒过定点 __________.2.抛物线 y=x 2 的一条切线与直线2x y+4=0 平行 ,则此切线方程为 ______________________.x 2 y 23. 若双曲线 2m + m 4 =1 的一条渐近线与直线 2x2y 3=0 垂直 , 则双曲线的离心变成____________.4.设抛物线 y 2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点 ,PA ⊥ l,A 为垂足 ,若直线 AF 的斜率为3,则 PF=_________ . x 2 y 25.过椭圆 C:a 2+b 2 =1(a>b>0)的左极点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 B,且点 B 在 x 轴上的1 <k< 1 射影恰巧为右焦点 ,若 ,则椭圆的离心率的范围为 _________ .3 22 y 2 → → → → 6. 设 F 1,F 2 分别是双曲线x9 =1 的左右焦点,若点P 在双曲线上,PF 1 PF 2 =0, 则| PF 1 +PF 2|=_________ .x 2 y 22,若抛物线 C 2:x 2=2py(p>0)的焦点到双曲线C 1 的7.已知双曲线 C 1 : 2b 2=1(a>b>0)C 1:的离心率为a渐近线的距离为 2,则抛物线 C 2 的方程为 _________ .x 2 y 28.若椭圆 4 + 2 =1 的一条弦恰巧被点 P(1,1)均分 ,则此弦所在的直线方程为_________ .x 2 y 2 a 29.设点 P 在椭圆 a 2+b 2=1(a>b>0)上 ,直线 l 的方程为 x= c ,且点 F 的坐标为 ( c,0),作 PQ ⊥ l,于点Q,若 P,F,Q 三点组成一个等腰直角三角形,则离心率为 _________ .x 2 y 210.椭圆 C: a 2+b 2=1(a>0,b>0)的左焦点为 F,右极点为 A,动点 M 为右准线上一点(异于右准线与 x2 9轴的交点 ),设线段 FM 交椭圆 C 于点 P,已知椭圆C 的离心率为 3,点 M 的横坐标为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程 .(2)设直线 PA 斜率为 k ,直线 MA 的斜率为 k,求 k k的取值范围 .121 211.如图，已知椭圆 C：x2＋y2＝ 1(a>1)的上极点为 A，右焦点为 F ，直线 AF 与圆 M： x2＋ y2 a2－6x－ 2y＋ 7＝ 0 相切 .(1) 求椭圆 C 的方程；→→(2) 若可是点 A 的动直线 l 与椭圆 C 订交于 P、Q 两点，且 AP·AQ＝ 0，求证：直线 l 过定点，并求出该定点 N 的坐标 .x212.如图 :设点 P 是椭圆 E: 4 ＋y2＝1上的随意一点(不一样于左、右极点A,B).(1)若椭圆 E 的右焦点为F,上极点为C,求以 F 为圆心且与直线AC 相切的圆的半径;10(2)设直线 PA,PB 分别交直线l:x= 3于点 M， N，求证： PN⊥ BM.。
高三数学《圆锥曲线》复习教案
【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高三数学《圆锥曲线》复习教案，希望能给大家带来帮助!90题突破高中数学圆锥曲线1.如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。
(1)若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程;(2)(理)连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明;否则说明理由。
(文)若为x轴上一点,求证:2.如图所示，已知圆定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。
(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0，2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足的取值范围。
3.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且⑴求椭圆C的离心率;⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程.4.设椭圆的离心率为e=(1)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.(2)求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M(2， )处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1OQ2.5.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(- ，0)和F2( ，0)的距离之和为4.(1)求曲线的方程;(2)设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点)，求直线的方程.6.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B.过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n).(Ⅰ)当m+n0时，求椭圆离心率的范围;(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切?证明你的结论.7.有如下结论：圆上一点处的切线方程为，类比也有结论：椭圆处的切线方程为，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.(1)求证：直线AB恒过一定点;(2)当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积8.已知点P(4，4)，圆C：与椭圆E：有一个公共点A(3，1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围.9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。
2022江苏高考数学二轮复习教学案(祥解)--圆锥曲线(含轨迹问题)
2022江苏高考数学二轮复习教学案（祥解）--圆锥曲线（含轨迹问题）本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B 级考点，其余差不多上A 级考点，但高考必考．在明白得定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，专门是圆锥曲线中的离心率运算(含范畴)．要能准确建模(方程或不等式)．1. 把握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；把握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．1. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．2.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．3.双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范畴是________．【例1】 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1) 求椭圆G 的方程； (2) 求△PAB 的面积． 【例2】 直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O 、A 、B 三点的圆的方程．【例3】 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若只是定点，请说明理由．【例4】 (2011·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：(x －1)2＋y 2＝16与点A(－1,0)，P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M 、N ，连结QM 、QN ，分别交直线x ＝t(t 为常数，且t ≠2)于点E 、F ，设E 、F 的纵坐标分别为y 1、y 2，求y 1·y 2的值(用t 表示)．1. (2011·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为__________．2.(2010·全国)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D 点，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．3.(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好通过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．4.(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范畴为________．5.(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k.(1) 当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2) 当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3) 对任意k>0，求证：PA ⊥PB.6.(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2. (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求出F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．(2011·苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1) 求证：A 、C 、T 三点共线；(2) 假如BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求现在椭圆的方程和P 点坐标．(1) 证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0.(1分)AT ：x a 2c＋y b ＝1 ②，BF ：x c ＋y －b ＝1 ③，(3分) 联立①②③解得：交点C ⎝⎛⎭⎫2a 2ca 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得(4分)⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2＋(a 2－c 2)2(a 2＋c 2)2＝1，(5分)满足①式，则C 点在椭圆上，A 、C 、T 三点共线．(6分) (2) 解：过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，△OBF ∽△ECF.∵BF →＝3FC →，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝⎛⎭⎫4c 3，b 3，代入①得⎝⎛⎭⎫43c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32b 2＝1，∴ a 2＝2c 2，b 2＝c 2.(7分)设P(x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2.(8分)现在C ⎝⎛⎭⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC ＝12·2c·4c 3＝43c 2，(9分) 直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c|5＝x 0＋2y 0－2c5， S △APC ＝12d·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c ＝x 0＋2y 0－2c 3·c.(10分) 只需求x 0＋2y 0的最大值．(解法1)∵ (x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)(11分)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2，∴ x 0＋2y 0≤6c.(12分)当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c.(13分)(解法2)令x 0＋2y 0＝t ，代入x 2＋2y 20＝2c 2得(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0.(11分)Δ＝(－4t)2－24(t 2－2c 2)≥0，得t ≤6c.(12分) 当t ＝6c ，代入原方程解得：x 0＝y 0＝63c.(13分)∴ 四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23，(14分) ∴ c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，(15分)现在椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.(16分)第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)1. 已知方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范畴是________，若该方程表示双曲线，则m 的取值范畴是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫1，32 (－∞，1)∪(2，＋∞)2. 点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 1 ，F 2为椭圆的焦点，假如∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为________．【答案】 633. 已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．【答案】 x ＝－14. 设P 点在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则|PQ|的最大值是________．【答案】 1＋362 解析：圆心C(0,2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，因此只要求|CQ|的最大值．设Q(x ，y)，∴ |CQ|＝x 2＋(y －2)2＝9(1－y 2)＋(y －2)2＝－8y 2－4y ＋13， ∵ －1≤y ≤1，∴ 当y ＝－14时，|CQ|max ＝272＝362，∴ |PQ|max ＝1＋362.5. (2011·南京二模)如图，椭圆C ：x 216＋y 24＝1的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB 是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点． (1) 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2) 过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于点R 、S(不同于B)，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标．(1) 证明：由题意得A(4,0)，B(0,2)，D(0，－2)，E(2,0)，P(4,1)． 因此直线DE 的方程为y ＝x －2， 直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝165，y ＝65，因此直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫165，65.因为⎝⎛⎭⎫165216＋⎝⎛⎭⎫6524＝1，因此点⎝⎛⎭⎫165，65在椭圆x 216＋y 24＝1上． 即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上． (2) 解：直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16k 11＋4k 21，y ＝2－8k 211＋4k 21，因此点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 11＋4k 21，2－8k 211＋4k 21. 因为k 1k 2＝－14，因此直线BS 的斜率k 2＝－14k 1， 直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝－14k 1x ＋2，x 216＋y24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16k 11＋4k 21，y ＝8k 21－21＋4k 21.因此点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21. (若写成“同理可得点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21”也能够) 因此R 、S 关于坐标原点O 对称，故R 、O 、S 三点共线，即直线RS 过定点O.6. (2011·扬州三模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c 24 (c 是椭圆的半焦距)相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M 、N.(1) 若椭圆C 通过两点⎝⎛⎭⎫1，423、⎝⎛⎭⎫332，1，求椭圆C 的方程；(2) 当c 为定值时，求证：直线MN 通过一定点E ，并求OP →·OE →的值(O 是坐标原点)； (3) 若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范畴． 解：(1) 令椭圆mx 2＋ny 2＝1，其中m ＝1a 2，n ＝1b 2，得⎩⎨⎧m ＋329n ＝1，274m ＋n ＝1，因此m ＝19，n ＝14， 即椭圆为x 29＋y 24＝1. (2) 直线AB ：x －a ＋yb ＝1，设点P(x 0，y 0)，则OP 的中点为⎝⎛⎭⎫x 02，y 02，因此点O 、M 、P 、N 所在的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝x 20＋y 24，化简为x 2－x 0x ＋y 2－y 0y ＝0，与圆x 2＋y 2＝c 24作差，即有直线MN ：x 0x ＋y 0y ＝c 24. 因为点P(x 0，y 0)在直线AB 上，因此x 0－a ＋y 0b ＝1，因此x 0⎝⎛⎭⎫x ＋b a y ＋⎝⎛⎭⎫by －c 24＝0，因此⎩⎨⎧x ＋ba y ＝0，by －c24＝0，得x ＝－c 24a ，y ＝c 24b ，故定点E ⎝⎛⎭⎫－c 24a ，c 24b ，OP →·OE →＝⎝⎛⎭⎫x0，b a x 0＋b ·⎝⎛⎭⎫－c 24a ，c 24b ＝c 24.(3) 直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c 24(c 是椭圆的半焦距)相离， 则ab a 2＋b 2＞c2，即4a 2b 2＞c 2(a 2＋b 2)，4a 2(a 2－c 2)＞c 2(2a 2－c 2)，得e 4－6e 2＋4＞0.因为0＜e ＜1，因此0＜e 2＜3－ 5.①连结ON 、OM 、OP ，若存在点P 使△PMN 为正三角形，则在Rt △OPN 中，OP ＝2ON＝2r ＝c ，因此aba 2＋b 2≤c ，a 2b 2≤c 2(a 2＋b 2)，a 2(a 2－c 2)≤c 2(2a 2－c 2)，得e 4－3e 2＋1≤0. 因为0＜e ＜1，因此3－52≤e 2＜1.②由①②，得3－52≤e 2＜3－5，因此5－12≤e ＜10－22. 基础训练1. 3或2532. 32 3. 26＋44. [2－1,1) 解析：∵ PF 1PF 2＝e, ∴ PF 1＝ePF 2＝e(2a －PF 1)，PF 1＝2ae1＋e ，又a －c ≤PF 1≤a ＋c ，∴ a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，a(1－e)≤2ae 1＋e ≤a(1＋e)，1－e ≤2e1＋e ≤1＋e ，解得e ≥2－1.又0＜e ＜1, ∴ 2－1≤e ＜1.例题选讲例1 解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 因此椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，因此PE ⊥AB.因此PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.现在方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.因此y 1＝－1，y 2＝2. 因此|AB|＝3 2.现在，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，因此△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝92. 例2 解：(1) 由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3. 因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，因此812＋1b 2＝1，解得b ＝3， 故所求椭圆方程为x 212＋y 23＝1.(2) 如图设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F(3,0)．由AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝3(x 2－3)，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2，① 又A 、B 在椭圆C 上，因此⎩⎨⎧(－3x 2＋12)212＋(－3y 2)23＝1，x 2212＋y223＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝103，y 2＝23.因此B ⎝⎛⎭⎫103，23，代入①得A 点坐标为(2，－2)．因为OA →·AB →＝0，因此OA ⊥AB. 因此过O 、A 、B 三点的圆确实是以OB 为直径的圆， 其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.变式训练 已知点P(4,4)，圆C ：(x －m)2＋y 2＝5(m<3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1) 求m 的值与椭圆E 的方程；(2) 设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范畴．解：(1) 点A 坐标代入圆C 方程，得(3－m)2＋1＝5.∵ m ＜3，∴ m ＝1. 圆C ：(x －1)2＋y 2＝5.设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0.∵ 直线PF 1与圆C 相切，∴ |k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.解得k ＝112或k ＝12. 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去． 当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴ c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0). 2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2.椭圆E 的方程为：x 218＋y 22＝1.(2) AP →＝(1,3)，设Q(x ，y)，AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵ x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y)2＝18，而x 2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴ －3≤xy ≤3. 则(x ＋3y)2＝x 2＋(3y)2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范畴是[0,36]. x ＋3y 的取值范畴是[－6,6]．∴ AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范畴是[－12,0]. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)例3 解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM 方程为y ＝x ＋2， 代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0， 解之得x 1＝－2，x 2＝－65，∴ M ⎝⎛⎭⎫－65，45.(2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1， 化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵ 此方程有一根为－2，∴ x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0.∵ k MP ＝y Mx M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可运算得k PN ＝5k4－4k 2.∴ 直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0.变式训练 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其焦点在圆x 2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆的方程；(2) 设A 、B 、M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cosθOA →＋sinθOB →.① 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； ② 求OA 2＋OB 2.(1) 解：依题意，得c ＝1.因此a ＝2，b ＝1.因此所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2) ①证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②.又设M(x ，y)，因OM →＝cosθOA →＋sinθOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cosθ＋x 2sinθ，y ＝y 1cosθ＋y 2sinθ. 因M 在椭圆上，故(x 1cosθ＋x 2sinθ)22＋(y 1cosθ＋y 2sinθ)2＝1. 整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cosθsinθ＝1.将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得x 1x 22＋y 1y 2＝0. 因此k OA k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．② 解：(y 1y 2)2＝⎝⎛⎭⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1. 又⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2.因此OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3.例4 解：(1) 连结RA ，由题意得RA ＝RP ，RP ＋RB ＝4， 因此RA ＋RB ＝4＞AB ＝2，由椭圆定义，得点R 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2) 设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，－y 0)，QM 、QN 的斜率分别为k QM 、k QN ， 则k QM ＝y 0x 0－2，k NQ ＝y 0x 0＋2，因此直线QM 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线QN 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x －2)． 令x ＝t(t ≠2)，则y 1＝y 0x 0－2(t －2)，y 2＝y 0x 0＋2(t －2)，又(x 0，y 0)在椭圆x 204＋y 203＝1上，因此y 20＝3－34x 20.因此y 1·y 2＝y 20x 20－4(t －2)2＝⎝⎛⎭⎫3－34x 20(t －2)2x 20－4＝－34(t －2)2，其中t 为常数且t ≠2.高考回忆1. x 29－y 227＝1 解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ3－y 2λ＝1.因此c 2＝λ3＋λ＝4λ3.又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ3＝36，因此λ＝27.因此双曲线的方程x 29－y 227＝1.2. 33 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，设D(x 2，y 2)，B(0，b)，C(c,0)，BF →＝(c ，－b)，FD →＝(x 2－c ，y 2)⎩⎨⎧x 2＝32c ，y 2＝－b 2.∴ 1a 2·94c 2＋1b 2·b 24＝1，∴ 94e 2＝34，∴ e ＝33.3. x 25＋y 24＝1 解析：作图可知一个切点为(1,0)，因此椭圆c ＝1.分析可知直线AB 为圆x 2＋y 2＝1与以⎝⎛⎭⎫1，12为圆心，12为半径的圆的公共弦．由(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝14与x 2＋y 2＝1相减得直线AB 方程为：2x ＋y －2＝0.令x ＝0，解得y ＝2，∴ b ＝2，又c ＝1，∴ a 2＝5，故所求椭圆方程为：x 25＋y 24＝1.4. (1，2) 解析：由题可知A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c ，c －a 2c <ab c ，∴ b<a ，∴ c 2－a 2<a 2，∴ c a <2，即1<e< 2.5. 解：(1) 由题意知M(－2,0)，N(0，－2)，M 、N 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22， 直线PA 平分线段MN ，又直线PA 通过原点，因此k ＝22.(2) 直线PA ：y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋2y 2＝4，得P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43，C ⎝⎛⎭⎫23，0，AB 方程：y －43＝x －23－23－23，即：x －y －23＝0，因此点P 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪23－43－232＝223.(3) (解法1)由题意设P(x 0，y 0)，A(－x 0，－y 0)，B(x 1，y 1)，则C(x 0,0)，∵ A 、C 、B 三点共线，∴ k AC ＝k AB ，y 02x 0＝y 1＋y 0x 1＋x 0，又因为点P 、B 在椭圆上，∴ x 204＋y 202＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1＝－x 0＋x 12(y 0＋y 1)，∴ k PA k PB ＝y 0x 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x 0＋x 12(y 0＋y 1)＝－(y 1＋y 0)(x 0＋x 1)(x 1＋x 0)(y 0＋y 1)＝－1，∴ PA ⊥PB.(解法2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点T(x 0，y 0)，则P(－x 1，－y 1)，C(－x 1,0)，∵ A 、C 、B 三点共线，∴ y 2x 2＋x 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 12x 1＝k AB ，又因为点A 、B 在椭圆上，∴ x 224＋y 222＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：y 0x 0＝－12k AB ，∴ k OT k PA ＝y 0x 0·y 1x 1＝－12k AB ×2k AB ＝－1，∵ OT ∥PB ，∴ PA ⊥PB. (解法3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2， A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－21＋2k 2，－2k 1＋2k 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，0， k AC ＝2k1＋2k 241＋2k 2＝k 2，直线AC ：y ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 1＋2k 2，代入x 24＋y 22＝1得到⎝⎛⎭⎫1＋k 22x 2－2k 21＋2k 2x －4＋6k 21＋2k 2＝0，解得x B ＝4＋6k 2(2＋k 2)1＋2k 2，k PB ＝y B －y P x B －x P ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x B－21＋2k 2x B －21＋2k 2＝－4k 4k 2＝－1k .∴ k PA ·k PB ＝k·⎝⎛⎭⎫－1k ＝－1，∴ PA ⊥PB. 点评：本题要紧考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式，直线的垂直关系的判定．另外还考查了解方程组，共线、点在曲线上的问题．字母运算的运算求解能力， 考查推理论证能力．(1)(2)属容易题；(3)是考查学生灵活运用、数学综合解题能力，属难题．6. 解：(1) 由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2) 设P(x ，y)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得 (x ，y)＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，因此x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，因此x 2＋2y 2＝20.因此P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．。
圆锥曲线计算技巧(2)直线过圆锥曲线上一已知点——-高三数学二轮复习学案
圆锥曲线计算技巧（2）--直线过圆锥曲线上一已知点1、 设椭圆22413y x +=的右顶点为A ，直线:1l x =-上两点P,Q 关于x 轴对称，直线AP与椭圆相交于点B （点B 异于点A ），直线BQ 与x 轴交于点D 。
若APD ∆的面积为2求直线AP 的方程。
2、 已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F 。
设过点(9,)T m 的直线,TA TB 与椭圆分别交于点M ，N ，其中0m >。
求证：直线MN 必过x 轴上一定点（其坐标与m 无关）。
3、 已知椭圆2222154x y c c+=的上顶点为B ，左焦点为F 。
设直线BF 与椭圆交于点P （点P 异于点B ），过点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （点Q 异于点B ），直线PQ 与y 轴交于点M ，||||PM MQ λ=。
（1） 求λ的值；（2） 若||sin 9PM BQP ∠=，求椭圆的方程。
4、 已知椭圆2222143x y c c+=的右顶点为A ，左焦点为F ，点E 的坐标为(0,)c 。
设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 之间的距离为c ，四边形PQNM 面积为3c 。
（1） 求直线FP 的斜率；（2） 求椭圆的方程。
5、 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆短轴长为4，离心率为5。
（1） 求椭圆方程；（2） 设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若||||ON OF =，且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率。
6、 点P(0,-1)是椭圆221:14x C y +=的一个顶点，圆222:4C x y +=。
12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 与圆2C 交于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D 。
高考数学 圆锥曲线的综合问题(学案)绝密资料
圆锥曲线的综合问题★知识梳理★1.直线与圆锥曲线C 的位置关系：将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)交点个数：①当 a ＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。
(2) 弦长公式： 2.对称问题：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。
3.求动点轨迹方程：①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。
★重难点突破★重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问题1：已知点1F 为椭圆15922=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点P 在椭圆上，则||||1PF PA +的最小值为 . 点拨：设2F 为椭圆的右焦点，利用定义将||1PF 转化为||2PF ，结合图形，||||6||||21PF PA PF PA -+=+，当2F A P 、、共线时最小，最小值为2-6★热点考点题型探析★考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题[例1 ] 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线28yx =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (－2 , 0)，于是，可设过点Q (－2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+，4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=联立222228,(48)40.(2),y x k x k x k y k x ⎧=⇒+-+=⎨=+⎩ 其判别式为2242(48)1664640k k k ∆=--=-+≥，可解得 11k -≤≤，应选C.【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对∆进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论【新题导练】1. （09摸底）已知将圆228x y +=上的每一点的纵坐标压缩到原来的12,对应的横坐标不变,得到曲线C ；设)1,2(M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点. (1)求曲线C 的方程；(2)求m 的取值范围.[解析]（1）设圆上的动点为)','('y x P 压缩后对应的点为),(y x P ，则⎩⎨⎧==yy xx 2''，代入圆的方程得曲线C 的方程：12822=+y x （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m,又21=OMK , ∴直线l 的方程为m x y +=21. 由221,2 1.82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 得 222240x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，∴22(2)4(24)0,m m ∆=--> 解得220m m -<<≠且.∴m 的取值范围是2002m m -<<<<或. 题型2：与弦中点有关的问题[例2]（08韶关调研）已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程; (Ⅱ)若过点1(,1)2N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程. 【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设(,)M x y ， 因为2AM BMk k ⋅=-,:()22221x y x +=≠±(Ⅱ) 设1122(,),(,)C x y D x y 当直线l ⊥x 轴时,l 的方程为12x =,则11(),(,2222C D ,它的中点不是N ,不合题意 设直线l 的方程为11()2y k x -=-将1122(,),(,)C x y D x y 代入()22221x y x +=≠±得 221122x y +=…………(1) 222222x y += (2)(1)－(2)整理得:12121212122()12()212y y x x k x x y y ⨯-+==-=-=--+⨯直线l 的方程为111()22y x -=--即所求直线l 的方程为230x y +-= 解法二: 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11(,(,2222C D , 其中点不是N ,不合题意.故设直线l 的方程为11()2y k x -=-, 将其代入()22221x y x +=≠±化简得222(2)2(1)(1)2022k k k x k x ++-+--=由韦达定理得222212221224(1)4(2)[(1)2]0(1)222(1)2(2)2(1)22(3)2k k k k k k x x k k x x k ⎧--+-->⎪⎪⎪-⎪+=-⎨+⎪⎪--⎪⋅=⎪+⎩,又由已知N 为线段CD 的中点,得122(1)222kk x x k -+=-+12=,解得12k =-,将12k =-代入(1)式中可知满足条件.此时直线l 的方程为111()22y x -=--,即所求直线l 的方程为230x y +-=【名师指引】通过将C 、D 的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ 的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁 【新题导练】2.椭圆141622=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程。
细心挖掘，前世今生——谈2020年江苏卷第14题
两个动点以及一个定点的给出，来确定相应的三角形
面积的最值问题．“动 ”与 “静 ”相 结 合，“定 值 ”与 “最 值”相融合，很好地考查函数与方程思想、化归与转化
思想、抽象概 括 能 力、应 用 意 识，以 及 逻 辑 推 理问题，关键是合理 借助平面几何与解析几何的图形直观，通过合理转化
教学
２０２１年３月 新颖试题
参谋
细心挖掘，前世今生
——— 谈２０２０年江苏卷第１４题
? 江苏省南京市宁海中学 汤池武
苏联数学教 育 家 奥 加 涅 相 说 过：“必 须 重 视 很 多 习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育 功能的可行性．”在提倡新课程高考改革与创新的时 代，越 来 越 多 的 高 考 真 题、竞 赛 试 题 以 及 模 拟 题 等 都 呈现出回归历年高考真题的趋势，命题来源于以往高 考中的相关真 题，通 过 改 编、变 形、转 化、深 入、创 新、 拓展应用等手段与方式，引导历年高考真题的典型应 用，有效承载 教 学 与 示 范，拓 展 思 维，探 究 深 入，成 为 高考命题的一种新导向．
一、真题呈现
高考在线：（２０２０年 江 苏 卷 第 １４ 题 ）在 平 面 直 角
（ ） 坐标 系 狓犗狔 中，已 知 犘 槡３，０ ，犃，犅 是 圆犆：狓２ ＋ ２
（ ）１
狔－ ２
２
＝３６ 上 的 两 个 动 点，满 足 犘犃 ＝犘犅，则
△犘犃犅 面积的最大值是
．
此题以平面解析几何为问题背景，通过定圆上的
槡３６－狋２
４或狋＝－９ ２（舍去），而函数犳（狋）在区间（０，４）上单调 递增，在区间（４，６）上单调递减，所以犳（狋）ｍａｘ＝犳（４）＝
１０槡５，即 △犘犃犅 面积的最大值是１０槡５．
2019-2020学年高考数学总复习(圆锥曲线综合)教学案 苏教版.doc
2019-2020学年高考数学总复习（圆锥曲线综合）教学案 苏教版【知识与方法】1、若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个2、抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4,4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个3、斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为 ( )A ．2B.455C.4105D.81054、已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于 ( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 25、已知对∀k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是6、已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|FA |>|FB |，则|FA |与|FB |的比值等于________．7、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率e 的最大值为________． 【理解与应用】8、已知动圆过定点(2,0)，且与直线x ＝－2相切． (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点(0,2)，并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足OP ·OQ ＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．9、如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，M 为直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M 点的坐标为(2，－2p )时，|AB |＝410.求此时抛物线的方程；10、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．华侨城中学2011年高考数学总复习教学案（教师版）复习内容：圆锥曲线综合【知识与方法】1、若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 解析：由直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点得4m 2＋n2>2，m 2＋n 2<4，点(m ，n )表示的区域在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为2个．答案：B 2、抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4,4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个解析：由于圆经过焦点F 且与准线l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆． 答案：C3、斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为 ( )A ．2B.455C.4105D.8105解析：设椭圆截直线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则有x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5＝425 5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.答案：C 4、已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于 ( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3y ＝x ＋b⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1，得AB 的中点M (－12，－12＋b )，又M (－12，－12＋b )在直线x ＋y ＝0上可求出b ＝1，∴x 2＋x －2＝0，则|AB |＝1＋12(－1)2－4×(－2)＝3 2.答案：C5、已知对∀k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5) 解析：直线恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有公共点，只需点(0,1)在椭圆上或内部，∴1m≤1，又m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.答案：C6、已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|FA |>|FB |，则|FA |与|FB |的比值等于________．解析：F (1,0)，∴直线AB 的方程为y ＝x －1.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x⇒x 2－6x ＋1＝0⇒x ＝3±2 2.∵|FA |>|FB |，由抛物线定义知A 点的横坐标为3＋22，B 点的横坐标为3－2 2.|FA ||FB |＝x A ＋1x B ＋1＝4＋224－22＝2＋22－2＝6＋422＝3＋2 2.答案：3＋2 2 7、已知双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率e 的最大值为________．解析：设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，∴cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2. ∵cos θ∈[－1,1)，∴1＜e ≤53.答案：538、已知动圆过定点(2,0)，且与直线x ＝－2相切． (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点(0,2)，并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足OP ·OQ ＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)如图，设M 为动圆圆心，F (2，0)，过点M 作直线x ＝－2的垂线，垂足为N ，由题意知：|MF |＝|MN |，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线， 所以动圆圆心轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题可设直线l 的方程为x ＝k (y －2)(k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k (y －2)y 2＝8x，得y 2－8ky ＋16k ＝0，Δ＝(－8k )2－4×16k >0，解得k <0或k >1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝16k ，由OP ·OQ ＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即k 2(y 1－2)(y 2－2)＋y 1y 2＝0，整理得：(k 2＋1)y 1y 2－2k 2(y 1＋y 2)＋4k 2＝0，代入得16k (k 2＋1)－2k 2·8k ＋4k 2＝0，即16k ＋4k 2＝0， 解得k ＝－4或k ＝0(舍去)，所以直线l 存在，其方程为x ＋4y －8＝0.9、如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，M 为直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M 点的坐标为(2，－2p )时，|AB |＝410.求此时抛物线的方程；解答：(1)证明：由题意设A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )，x 1<x 2，M (x 0，－2p )．由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，得y ′＝x p ，所以k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p.直线MA 的方程为y ＋2p ＝x 1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p (x －x 0)．所以x 212p ＋2p ＝x 1p(x 1－x 0) ①x 222p ＋2p x 2p (x 2－x 0)．②由①、②得x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x 1＋x 22，即2x 0＝x 1＋x 2. 所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．(2)由(1)知，当x 0＝2时，将其代入①、②并整理得：x 21－4x 1－4p 2＝0，x 22－4x 2－4p 2＝0， 所以x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2，又k AB ＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 1＋x 22p ＝x 0p ，所以k AB ＝2p.由弦长公式得|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4p216＋16p 2.又|AB |＝410，所以p ＝1或p ＝2，因此所求抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y . 10、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值． 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63，a ＝3，∴b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3.②当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知|m |1＋k2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)． 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6(k ≠0) ≤3＋122×3＋6＝4.当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝ 3.综上所述，|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值：S max ＝12×|AB |max ×32＝32.11、直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 不同两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是________．解析：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－4(k ＋2)]2－4×k 2×4＞0，x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝2×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2.答案： 212、倾斜角为π4的直线交椭圆x 24＋y 2＝1于A 、B 两点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．解析：设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 214＋y 21＝1，①x 224＋y 22＝1，②①－②得14(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.③又直线AB 的斜率k ＝tan π4＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 1－y 2＝x 1－x 2.④由中点坐标公式得x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，即x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y .⑤把④⑤代入到③中得x ＝－4y ，∴直线方程为x ＋4y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＋4y ＝0，得x 2＝165.∴x 1＝－455，x 2＝455.∴点M 的轨迹方程为x ＋4y ＝0(－455<x <455)．答案：x ＋4y ＝0(－455<x <455)。
2020版高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习提升学案苏教版选修2_1
第2章 圆锥曲线与方程1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质 椭圆双曲线抛物线几何 条件 与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准 方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2＝2px (p >0)图形顶点 坐标 (±a,0) (0，±b ) (±a,0)(0,0)对称轴 x 轴，长轴长2a ； y 轴，短轴长2bx 轴，实轴长2a ； y 轴，虚轴长2bx 轴 焦点 坐标 (±c,0)c ＝a 2－b 2(±c,0)c ＝a 2＋b 2 (p2，0) 离心率 0<e <1，e ＝c ae >1，e ＝cae ＝1 准线 x ＝±a 2cx ＝±a 2cx ＝－p 2渐近 线y ＝±b ax(1)曲线与方程：如果曲线C 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．(2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e ；当0<e <1时，圆锥曲线是椭圆；当e >1时，圆锥曲线是双曲线；当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．3．直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，与圆锥曲线D 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，fx ，y ＝0，可得(消去y )ax 2＋bx ＋c ＝0(*)．(1)当a ≠0时，若关于x 的方程(*)的判别式Δ>0，则直线与圆锥曲线有两个不同交点；若Δ<0，则直线与圆锥曲线没有交点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切．(2)当a ＝0时，若方程(*)有解，则直线与圆锥曲线有一个交点． 1．数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单．例1 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________． 答案 (1,3] 解析 如图所示，由PF 1＝2PF 2知P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ， 又PF 1＝2PF 2， ∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos∠F 1PF 2<1，∴－1≤54－e24<1，由e >1，解得1<e ≤3.跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若AF ，BF ，CF 成等差数列，则下列说法正确的是________． ①x 1，x 2，x 3成等差数列 ②y 1，y 2，y 3成等差数列 ③x 1，x 3，x 2成等差数列 ④y 1，y 3，y 2成等差数列 答案 ①解析 如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知： AF ＝AA ′，BF ＝BB ′，CF ＝CC ′.∵2BF ＝AF ＋CF ， ∴2BB ′＝AA ′＋CC ′.又∵AA ′＝x 1＋p 2，BB ′＝x 2＋p 2，CC ′＝x 3＋p2，∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.2．分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果．如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论．例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±34x ，求此双曲线的离心率．解 当双曲线的焦点在x 轴上时，由已知可得b a ＝34，∵c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋b2a 2＝1＋b 2a 2＝2516，∴双曲线的离心率e ＝54；同理，当焦点在y 轴上时，可求得离心率e ＝53.故双曲线的离心率为54或53.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (3,0)，且e ＝63. 解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知得a ＝2b .①∵椭圆过点P (2，－6)，∴4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b2＝1.②由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. (2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴a ＝3.又c a ＝63，∴c ＝ 6. ∴b 2＝a 2－c 2＝3.此时椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴b ＝3.又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 此时椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.3．函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口．用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器．我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位．在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．例3 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.①∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a . 直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1.又AB ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b，∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b .②将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， 且直线AB 的斜率k ＝－1， ∴AB ＝k 2＋1x 1－x 22＝k 2＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b .∵AB ＝22， ∴2·4b 2－4a ＋b b －1a ＋b ＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b.∵OC 的斜率为22， ∴a b ＝22，将其代入①式得，a ＝13，b ＝23. ∴所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1.跟踪训练3 若双曲线x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为53，则a ＝________.答案 3解析 由离心率公式，有a 2＋16a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532(a >0)，得a ＝3.4．化归与转化思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归与转化思想．一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式．转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性．例4 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA ＋MF 取最小值时，点M 的坐标为________． 答案 (12，－2)解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知MF ＝ME . 当点M 在抛物线上移动时，MF ＋MA 的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时，A ，M ，E 共线，此时ME ＋MA 最小，把y ＝－2代入y 2＝8x ，得x ＝12，∴M (12，－2)．跟踪训练4 已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )． (1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当AM ＝AN 时，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意得，a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0， 化简得x 23＋y 2＝1，∴点Q 的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1.得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又AM ＝AN ，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(ⅱ)当k ＝0时，AM ＝AN ，∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1即为m 2<1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， 当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1)．1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点．2．圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查．3．虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线．考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是填空题，也可以是解答题．4．考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程．5．对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．。
2020江苏高考理科数学二轮讲义：圆锥曲线的标准方程与几何性质含解析
所以MB＝ AB、
又斜率为 、∠BAE＝30°、
所以BE＝ AB、所以BM＝BE、
所以M为抛物线的焦点、所以p＝2．
[答案]2
1．(20xx·南京模拟)椭圆 ＋ ＝1的离心率是________．
[解析]由椭圆方程可得a＝5、b＝3、c＝4、e＝ ．
【解析】(1)因为双曲线x2－ ＝1(b>0)经过点(3、4)、所以9－ ＝1、得b＝ 、所以该双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝± x．
(2)设直线FA的倾斜角为α、因为焦点F(0、1)、定点A(2 、0)、
所以tanα＝ ＝－ 、sinα＝ 、
如图、作MB⊥l、垂足为点B、由抛物线的定义可得：FM＝MB、
[解析]设F、B、C的坐标分别为(－c、0)、(0、b)、(1、0)、则FC、BC的中垂线分别为
x＝ 、y－ ＝ ．
联立方程组 解出
m＋n＝ ＋ >0、即b－bc＋b2－c>0、即(1＋b)·(b－c)>0、所以b>c．从而b2>c2、
即有a2>2c2、
[解析]设点A(x1、y1)、C(x2、y2)、因为四边形OABC为矩形、所以点B(x1＋x2、y1＋y2)、则问题转化为方程组
存在实数解的问题．
展开第三个方程、整理得x1x2＝ ．易知直线OA和OC的斜率均存在、分别设为k、－ 、由 得x ＝ 、同理x ＝ 、因此 · ＝ 、即关于k2的二次方程(k2)2－ ·k2＋1＝0有正解、即 －4≥0、且3 －8>0、又a>b、所以a2≥3b2、所以 ≤e<1、故椭圆的离心率的最小值为 、此时矩形OABC为正方形．
高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习教案
高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习教案【】欢迎来到查字典数学网高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习适应和能力。
因此小编在此为您编辑了此文：高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习教案期望能为您的提供到关心。
本文题目：高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习教案高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.把握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，明白它的简单几何性质;4.了解圆锥曲线的简单应用;5.明白得数形结合的思想;6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.求曲线的方程或曲线的轨迹;4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的明白得和应用;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.曲线与方程的对应关系. 圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式显现，小题要紧考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、差不多技能和差不多方法运用;解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.知识网络9.1 椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解析】由椭圆的定义知，2a=453+253=25，故a=5，由勾股定理得，(453)2-(253)2=4c2，因此c2=53，b2=a2-c2=103，故所求方程为x25+3y210=1或3x210+y25=1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，然而当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2+ny2=1(m0，n0且m(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C1的方程为.【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(-2,2)，B(-2，0)，C(0，6)，D(2，-22)，E(22，2)，F(3，-23).通过观看可明白点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.明显半焦距b=6，则不妨设椭圆的方程是x2m+y26=1，则将点A(-2,2)代入可得m=12，故该椭圆的方程是x212+y26=1.方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.不妨设有两点y21=2px1，①y22=2px2，②y21y22=x1x2，则可知B(-2，0)，C(0，6)不是抛物线上的点.而D(2，-22)，F(3，-23)正好符合.又因为椭圆的交点在x轴上，故B(-2，0)，C(0，6)不可能同时显现.故选用A(-2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212+y26=1.题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范畴;(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a0)，|PF1|=m，|PF2|=n，在△F1PF2中，由余弦定理可知4c2=m2+n2-2mncos 60，因为m+n=2a，因此m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn，因此4c2=4a2-3mn，即3mn=4a2-4c2.又mn(m+n2)2=a2(当且仅当m=n时取等号)，因此4a2-4c23a2，因此c2a214，即e12，因此e的取值范畴是[12，1).(2)由(1)知mn=43b2，因此=12mnsin 60=33b2，即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用;求范畴时，要专门注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1||PF2|(|PF1|+|PF2|2)2，|PF1|a-c.【变式训练2】已知P是椭圆x225+y29=1上的一点，Q，R分别是圆(x +4)2+y2=14和圆(x-4)2+y2=14上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是.【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，则|PQ|+|PR|(|PF1|-12)+(|PF2|-12)=|PF1|+|PF2|-1=9.因此|PQ|+|PR|的最小值为9.题型三有关椭圆的综合问题【例3】(2021全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率;(2)设点P(0，-1)满足|PA|=|PB|，求E的方程.【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=43a.l的方程为y=x+c，其中c=a2-b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0，则x1+x2=-2a2ca2+b2，x1x2=a2(c2-b2)a2+b2.因为直线AB斜率为1，因此|AB|=2|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2]，即43a=4ab2a2+b2，故a2=2b2，因此E的离心率e=ca=a2-b2a=22.(2 )设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c，y 0=x0+c=c3.由|PA|=|PB|kPN=-1，即y0+1x0=-1c=3.从而a=32，b=3，故E的方程为x218+y29=1.【变式训练3】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2 |=e，则e的值是()A.32B.33C.22D.63【解析】设F1(-c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线x=-a2c，抛物线准线为x=-3c，x0-(-a2c)=x0-(-3c)c2a2=13e=33.故选B.总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2+ny2=1(m0，n0，mn)求解.2.充分利用定义解题，一方面，会依照定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行运算推理.3.焦点三角形包含着专门多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范畴.9.2 双曲线典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x+4)2+y2=2外切，与圆B：( x-4)2+y2= 2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|=r+2，|BE|=r-2，因此|AE|-|BE|=22，又A(-4,0)，B(4,0)，因此|AB|=8,22|AB|.依照双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.因为a=2，c=4，因此b2=c2-a2=14，故点E的轨迹方程是x22-y214=1(x2).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要专门注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线x29-y216=1的右支上一点，M，N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使=0，求此双曲线离心率的取值范畴.【解析】设P(x，y)，则由=0，得APPQ，则P在以AQ为直径的圆上，即(x-3a2)2+y2=(a2)2，①又P在双曲线上，得x2a2-y2b2=1，②由①②消去y，得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0，即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0，当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去;当x=2a3-ab2a2+b2时，满足题意的点P存在，需x=2a3-ab2a2+b2a，化简得a22b2，即3a22c2，ca62，因此离心率的取值范畴是(1，62).【点拨】依照双曲线上的点的范畴或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范畴的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A.k2-e21B.k2-e21C.e2-k21D.e2-k21【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足-ba题型三有关双曲线的综合问题【例3】(2021广东)已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1、A 2，点P(x1，y1)，Q(x1，-y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;(2)若过点H(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2，求h的值.【解析】(1)由题意知|x1|2，A1(-2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为y=y1x1+2(x+2)，①直线A2Q的方程为y=-y1x1-2(x-2).②方法一：联立①②解得交点坐标为x=2x1，y=2y1x1，即x1=2x，y1=2 yx，③则x0，|x|2.而点P(x1，y1)在双曲线x22-y2=1上，因此x212-y21=1.将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22+y2=1，x0且x2.方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①②得y2=-y21x21-2(x 2-2).③又点P(x1，y1)在双曲线上，因此x212-y21=1，即y21=x212-1.代入③式整理得x22+y2=1.因为点P，Q是双曲线上的不同两点，因此它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x+2 y-2=0.解方程组得x=2，y=0.因此直线l与双曲线只有唯独交点A2.故轨迹E只是点(0,1).同理轨迹E也只是点(0，-1).综上分析，轨迹E的方程为x22+y2=1，x0且x2.(2)设过点H(0，h)的直线为y=kx+h(h1)，联立x22+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.令=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0，得h2-1-2k2=0，解得k1=h2-12，k2=-h2-12.由于l1l2，则k1k2=-h2-12=-1，故h=3.过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由h2(-h2)=-1，得h=2.现在，l1，l2的方程分别为y=x+2与y=-x+2，它们与轨迹E分别仅有一个交点(-23，223)与(23，223).因此，符合条件的h的值为3或2.【变式训练3】双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F 2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB 是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于()A.1+22B.3+22C.4-22D.5-22【解析】本题考查双曲线定义的应用及差不多量的求解.据题意设|AF1|=x，则|AB|=x，|BF1|=2x.由双曲线定义有|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(2+1)x-x=4a，即x=22a=|AF1|.故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|=|F1F2|2-|AF1|2=4c2-8a2.又由定义可得|AF2|=|AF1|-2a=22a-2a，即4c2-8a2=22-2a，两边平方整理得c2=a2(5-22)c2a2=e2=5-22，故选D.总结提高1.要与椭圆类比来明白得、把握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应专门注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.2.要深刻明白得双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|-|PF2||=2a| F1F2|时，P的轨迹是双曲线;当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线;当||PF1|-|PF2||=2a|F1F2|时，P无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一样先画出渐近线，要把握以下两个问题：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线;(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y=bax，可将双曲线方程设为x2a2-y2b2=(0)，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法.9.3 抛物线典例精析题型一抛物线定义的运用【例1】依照下列条件，求抛物线的标准方程.(1)抛物线过点P(2，-4);(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.【解析】(1)设方程为y2=mx或x2=ny.将点P坐标代入得y2=8x或x2=-y.(2)设A(m，-3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y2=2px(p0)，由定义得5=|AF|=|m+p2|，又(-3)2=2pm，因此p=1或9，所求方程为y2=2x或y2=18x.【变式训练1】已知P是抛物线y2=2x上的一点，另一点A(a,0) (a0)满足|P A|=d，试求d的最小值.【解析】设P(x0，y0) (x00)，则y20=2x0，因此d=|PA|=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=[x0+(1-a)]2+2a-1.因为a0，x00，因此当0当a1时，现在有x0=a-1，dmin=2a-1.题型二直线与抛物线位置讨论【例2】(2021湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差差不多上1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B 的任一直线，都有0?若存在，求出m的取值范畴;若不存在，请说明理由.【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：(x-1)2+y2-x=1(x0).化简得y2=4x(x0).(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y 2).设l的方程为x=ty+m，由得y2-4ty-4m=0，=16(t2+m)0，因此①又=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2).(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y20.②又x=y24，因此不等式②等价于y214y224+y1y2-(y214+y224)+10(y1y2)216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+10.③由①式，不等式③等价于m2-6m+14t2.④对任意实数t,4t2的最小值为0，因此不等式④关于一切t成立等价于m 2-6m+10，即3-22由此可知，存在正数m，关于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0，且m的取值范畴是(3-22，3+22).【变式训练2】已知抛物线y2=4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y 2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则1y1+1y2= .【解析】y2-4my+8m=0，因此1y1+1y2=y1+y2y1y2=12.题型三有关抛物线的综合问题【例3】已知抛物线C：y =2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M 是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行;(2)是否存在实数k使=0?若存在，求k的值;若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，把y=kx+2代入y=2x2，得2x2-kx-2=0，由韦达定理得x1+x2=k2，x1x2=-1，因此xN=xM=x1+x22=k4，因此点N的坐标为(k4，k28).设抛物线在点N处的切线l的方程为y-k28=m(x-k4)，将y=2x2代入上式，得2x2-mx+mk4 -k28=0，因为直线l与抛物线C相切，因此=m2-8(mk4-k28)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，因此m=k，即l∥AB.(2)假设存在实数k，使=0，则NANB，又因为M是AB的中点，因此|MN|= |AB|.由(1)知yM=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12[k(x1+x2)+4]=12(k22+4)=k 24+2.因为MNx轴，因此|MN|=|yM-yN|=k24+2-k28=k2+168.又|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(k2)2-4(-1)=12k2+1k2+16.因此k2+168=14k2+1k2+16，解得k=2.即存在k=2，使=0.【点拨】直线与抛物线的位置关系，一样要用到根与系数的关系;有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直截了当使用公式|AB|=x1+x2+p，若只是焦点，则必须使用一样弦长公式.【变式训练3】已知P是抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作圆(x-3)2+y2=1的切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是.【解析】455.总结提高1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.2.把握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上;(2)准线垂直于对称轴;(3)焦点到准线的距离为p;(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.3.抛物线的标准方程有四种形式，要把握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采纳待定系数法.4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对比，专门容易把握.但由于抛物线的离心率为1，因此抛物线的焦点有专门多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线交抛物线于A、B 两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p sin2(为AB的倾斜角)，y1y2=-p2，x1x2=p24等.9.4 直线与圆锥曲线的位置关系典例精析题型一直线与圆锥曲线交点问题【例1】若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a 的值.【解析】联立方程组(1)当a=0时，方程组恰有一组解为(2)当a0时，消去x得a+1ay2-y-1=0，①若a+1a=0，即a=-1，方程变为一元一次方程-y-1=0，方程组恰有一组解②若a+1a0，即a-1，令=0，即1+4(a+1)a=0，解得a= -45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上所述，a=0或a=-1或a=-45.【点拨】本题设计了一个思维陷阱，即审题中误认为a0，解答过程中的失误确实是不讨论二次项系数=0，即a=-1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a=0时，曲线y2=ax，即直线y=0，现在与已知直线y=x-1 恰有交点(1,0);②当a=-1时，直线y=-1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特点是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零);③当a=-45时直线与抛物线相切.【变式训练1】若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点，则实数k的取值范畴为()A.{1，-1，52，-52}B.(-，-52][52，+)C.(-，-1][1，+)D.(-，-1)[52，+)【解析】由(1-k2)x2-2kx-5=0，k=52，结合直线过定点(0，-1)，且渐近线斜率为1，可知答案为A.题型二直线与圆锥曲线的相交弦问题【例2】(2021辽宁)设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，=2 .(1)求椭圆C的离心率;(2)假如|AB|=154，求椭圆C的方程.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20.(1)直线l的方程为y=3(x-c)，其中c=a2-b2.联立得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0.解得y1=-3b2(c+2a)3a2+b2，y2=-3b2(c-2a)3a2+b2.因为=2 ，因此-y1=2y2，即3b2(c+2a)3a2+b2=2-3b2(c-2a)3a2+b2.解得离心率e=ca=23.(2)因为|AB|=1+13|y2-y1|，因此2343ab23a2+b2=154.由ca=23得b=53a，因此54a=154，即a=3，b=5.因此椭圆的方程为x29+y25=1.【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.【变式训练2】椭圆ax2+ by2=1与直线y=1-x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为.【解析】设直线与椭圆交于A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y 2)，弦中点坐标为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1-x2)(x1+x2)+b(y 1-y2)(y1+y2)=02ax0+2by0y1-y2x1-x2=0ax0-by0=0.故ab=y0x0=32.题型三对称问题【例3】在抛物线y2=4x上存在两个不同的点关于直线l：y=kx+3对称，求k的取值范畴.【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，由题意知k0.设直线AB的方程为y=-1kx+b，联立消去x，得14ky2+y-b=0，由题意有=12+414k0，即bk+10.(*)且y1+y2=-4k.又y1+y22=-1kx1+x22+b.因此x1+x22=k(2k+b).故AB的中点为E(k(2k+b)，-2k).因为l过E，因此-2k=k2(2k+b)+3，即b=-2k-3k2-2k.代入(*)式，得-2k-3k3-2+1k3+2k+3k30k(k+1)(k2-k+3)-1【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂直，且线段AB的中点坐标满足l的方程;(2)关于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范畴问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解;或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范畴.【变式训练3】已知抛物线y=-x2+3上存在关于x+y=0对称的两点A，B，则|AB|等于()A.3B.4C.32D.42【解析】设AB方程：y=x+b，代入y=-x2+3，得x2+x+b-3=0，因此xA+xB=-1，故AB中点为(-12，-12+b).它又在x+y=0上，因此b=1，因此|AB|=32，故选C.总结提高1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究能够转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组通过消去y(也能够消去x)得到x的方程ax2+bx+c=0进行讨论.这时要注意考虑a=0和a0两种情形，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情形除a0，=0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(现在直线与双曲线、抛物线属相交情形).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.3.弦中点问题的处理既能够用判别式法，也能够用点差法;使用点差法时，要专门注意验证相交的情形.9.5 圆锥曲线综合问题典例精析题型一求轨迹方程【例1】已知抛物线的方程为x2=2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l 2，记l1和l2交于点M.(1)求证：l1(2)求点M的轨迹方程.【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+12.联立消去y整理得x2-2kx-1=0.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x 2，y2)，则有x1x2=-1，将抛物线方程改写为y=12x2，求导得y=x.因此过点A的切线l1的斜率是k1=x1，过点B的切线l2的斜率是k2= x2.因为k1k2 =x1x2=-1，因此l1l2.(2)直线l1的方程为y-y1=k1(x-x1)，即y-x212=x1(x-x1).同理直线l2的方程为y-x222=x2(x-x2).联立这两个方程消去y得x212-x222=x2(x-x2)-x1(x-x1)，整理得(x1-x2)(x-x1+x22)=0，注意到x1x2，因此x=x1+x22.现在y=x212+x1(x-x1)=x212+x1(x1+x22-x1)=x1x22=-12.由(1)知x1+x2=2k，因此x=x1+x22=kR.因此点M的轨迹方程是y=-12.【点拨】直截了当法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的确实是直截了当法.要注意求轨迹方程和求轨迹是两个不同概念，求轨迹除了第一要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种差不多曲线方程和它的形状的对应关系了如指掌.【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(-5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是()A.x29-y216=1B.x216-y29=1C.x29-y216=1(x3)D.x216-y29=1(x4)【解析】如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，因此|CA|-|CB|=8-2=6，依照双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29-y216=1(x3)，故选C.题型二圆锥曲线的有关最值【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2+3y2=4上，对角线B D所在直线的斜率为1.当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.【解析】因为四边形ABCD为菱形，因此ACBD.因此可设直线AC的方程为y=-x+n.由得4x2-6nx+3n2-4=0.因为A，C在椭圆上，因此=-12n2+640，解得-433设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=3n2，x1x2=3 n2-44，y1=-x1+n，y2=-x2+n. 因此y1+y2=n2.因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60，因此|AB|=|BC|=|CA|.因此菱形ABCD的面积S=32|AC|2.又|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162，因此S=34(-3n2+16) (-433因此当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.【点拨】建立目标函数，借助代数方法求最值，要专门注意自变量的取值范畴.在考试中专门多考生没有利用判别式求出n的取值范畴，尽管也能得出答案，然而得分缺失许多.【变式训练2】已知抛物线y=x2-1上有一定点B(-1,0)和两个动点P、Q，若BPPQ，则点Q横坐标的取值范畴是.【解析】如图，B(-1,0)，设P(xP，x2P-1)，Q(xQ，x2Q-1)，由kBPkPQ=-1，得x2P-1xP+1x2Q-x2PxQ-xP=-1.因此xQ=-xP-1xP-1=-(xP-1)-1xP-1-1.因为|xP-1+1xP-1|2，因此xQ1或xQ-3.题型三求参数的取值范畴及最值的综合题【例3】(2021浙江)已知m1，直线l：x-my-m22=0，椭圆C：x2m2+y 2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范畴.【解析】(1)因为直线l：x-my-m22=0通过F2(m2-1，0)，因此m2-1=m22，解得m2=2，又因为m1，因此m=2.故直线l的方程为x-2y-1=0.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得2y2+my+m24-1=0，则由=m2-8(m24-1)=-m2+80知m28，且有y1+y2=-m2，y1y2=m28-12.由于F1(-c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点，由=2 ，=2 ，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，|GH|2=(x1-x2)29+(y1-y2)29.设M是GH的中点，则M(x1+x26，y1+y26)，由题意可知，2|MO||GH|，即4[(x1+x26)2+(y1+y26)2](x1-x2)29+(y1-y2) 29，即x1x2+y1y20.而x1x2+y1y2=(my1+m22)(my2+m22)+y1y2=(m2+1)(m28-12).因此m28-120，即m24.又因为m1且0，因此1因此m的取值范畴是(1,2).【点拨】本题要紧考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的差不多思想方法和综合解题能力.【变式训练3】若双曲线x2-ay2=1的右支上存在三点A、B、C使△A BC为正三角形，其中一个顶点A与双曲线右顶点重合，则a的取值范畴为.【解析】设B(m，m2-1a)，则C(m，-m2-1a)(m1)，又A(1,0)，由AB=BC得(m-1)2+m2-1a=(2m2-1a)2，因此a=3m+1m-1=3(1+2m-1)3，即a的取值范畴为(3，+).总结提高事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习第十四章圆锥曲线与方程14.3抛物线及其性质课件
8.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=
.
答案 2 2
解析 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=- p (p>0),故直线x=- p 过双曲线x2-y2=1的左焦点(-
2
2
2 ,0),
从而- p =- 2 ,得p=2 2 .
4.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴
的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为
.
答案 (x+1)2+(y- 3 )2=1
解析 本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程以及直线与圆的位置关系. 由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1, 因为∠FAC=120°,CA⊥y轴, 所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1, 所以OA= 3 ,即t= 3 , 故圆C的方程为(x+1)2+(y- 3 )2=1.
2
2
思路分析 利用抛物线的定义得|MN|=|MF|,从而得△MNF为等边三角形,易得点M到直线NF 的距离等于|FH|,进而得解.
解题反思 涉及抛物线焦点和准线的有关问题,应充分利用抛物线的定义求解.本题中直线的 倾斜角为特殊角60°,通过解三角形更快捷.若联立直线和抛物线的方程求点M的坐标,然后求 点N的坐标和直线NF的方程,再利用点到直线的距离公式求解,运算量会比较大.
.
答案 (1,0)
解析
∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为 2p ,
2019-2020年高中数学 圆锥曲线习题课学案2 苏教版选修1
2019-2020年高中数学圆锥曲线习题课学案2 苏教版选修1教学目标：（1）掌握圆锥曲线的标准方程（2）注意研究方程的形式和基本量的几何意义，运用待定系数法确定（3）通过本节的学习，可以培养我们观察、推理的能力重点：圆锥曲线的标准方程难点：圆锥曲线性质的理解与运用一．知识回顾椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质.二．数学探究问题4：直线与圆锥曲线相交弦的中点问题方法：设而不求例4.已知平面内的一个动点P到直线的距离与到定点的距离之比为，设动点P的轨迹为C，A（1，）.（1）求动点P的轨迹C的方程.（2）过点A的直线交轨迹C于B,C，且线段BC恰好被点A平分，求直线BC的方程.练习.已知椭圆C的焦点和,长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标.问题5：圆锥曲线焦点三角形例5.已知P是椭圆上的一点，是两焦点，P到两准线的距离分别等于10和8，且,求椭圆方程.练习. 双曲线上有一点P，点是双曲线的两个焦点，,求的面积.问题6：圆锥曲线几何性质的综合运用例6. 已知双曲线C：的离心率为，右准线方程为.（1）求双曲线C的方程.（2）设直线是圆O：上动点P（）（其中处的切线，与双曲线C交于不同的两点A、B，求证：OA.练习6. 已知点M在椭圆上，以M为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点F.（1）若圆M与轴相切，求椭圆的离心率；（2）若圆M与轴相交于A、B两点，且是边长为2的正三角形，求椭圆的方程.课堂小结：1．知识小结：2．数学思想方法：课外练习：成等差数列，则椭圆的离心率为_________.2.直线被抛物线截得线段的中点坐标是_______ .3.双曲线两个焦点为，点P在双曲线上，若,则点P到轴的距离为_________.4.椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为，则当取最大值时，点P的坐标是_________.5. 分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是________.6.点P在椭圆上，且点P到直线的距离最小，则点P的坐标为________.7. 已知双曲线x2a2－y22=1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3,则双曲线的离心率为__________.8. 抛物线上的点到直线距离的最小值是__________.9. 双曲线，过点P（1，1）能否作一条直线与双曲线交于A、B两点，且P为A、B中点？10.已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。
2020届一轮复习苏教版 圆锥曲线 学案
【2019年高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)． 【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． (2)待定系数法．①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义． ②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)．双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．这样可以避免讨论和烦琐的计算．对于x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1来说，抓住a 、b 、c 间的关系是关键.【变式探究】(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.【变式探究】(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.【变式探究】(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 24＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 2＝1 答案 C解析 由△AF 1B 的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N (3，0)． 设点A (x 0，y 0)(x 0≠±3)， 由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 203，②由①②解得b 2＝2. 所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( ) A ． 1 B ．2 C ．－1 D ．8 答案 A【感悟提升】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3，4，则双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 24－y 23＝1 D.x 29－y 216＝1 答案 D解析 ∵点(3,4)在以|F 1F 2|为直径的圆上， ∴c ＝5，可得a 2＋b 2＝25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a ＝43.② ①②联立，解得a ＝3且b ＝4， 可得双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt△ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3. ∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 题型二 圆锥曲线的几何性质例2、 (2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________． 答案3－1 2解析 方法一 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，则n m＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m2＝4，∴e 1＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b2.如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2. ∴4a 2b 23a 2＋b2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0， ∴3－6b 2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M 的离心率e 2满足e 22＝1－b 2a2＝4－2 3.∴e 2＝3－1.方法二 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n mx ， 则n m＝tan 60°＝ 3.又c 1＝m 2＋n 2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c 1m＝2. 如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点， 设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1. 又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋3＝2a ， ∴a ＝1＋32.∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1.【变式探究】(2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N两点，则FM →·FN →等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 D【变式探究】(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13 x .设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33， 所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt△ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt△OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B.【方法技巧】圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式探究】(2017·全国Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12B.23C.32D.22 答案 D解析 设|F 1B |＝k ()k >0， 依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， ∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . ∵cos∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos∠AF 2B ， ∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形． ∴c ＝22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22. (2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2＝3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋73B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C ．(1,2) D.(]1，2 答案 A解析 根据正弦定理可知sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|，||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ，而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73.又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【变式探究】(1)(2018·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 答案 D解析 如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.故选D.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y ＝b ax ， 则直线l 的斜率k l ＝－a b，直线l 的方程为y ＝－a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点(c,0)到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0， 即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a＝2，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 方法二 圆心到直线l 的距离为c 2－⎝⎛⎭⎪⎫223c 2＝c3， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c＝c3，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴c ＝2a ，b ＝3a ， ∴渐近线方程为y ＝±3x . 题型三 直线与圆锥曲线例3、(2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(x 0－y 0－1)22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 【变式探究】(2018·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有 c 2a 2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1. (2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin∠AOQ ＝y 1－y 2. 又因为|AQ |＝y 2sin∠OAB ，而∠OAB ＝π4， 所以|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4 . 由题意求得直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k k ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128. 所以k 的值为12或1128. 【变式探究】[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)， 联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝23x ＋，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)．∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D.【答案】D【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1．通法：将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元二次方程．解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题．2．点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解．提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即Δ＞0.【变式探究】(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22. (1)求椭圆的离心率；学_科网(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c 2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e .由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22. 又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12. 又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12. (2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m. 由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c＝1， 即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2， 即点Q 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2. 由已知|FQ |＝3c 2， 有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22， 整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)， 即直线FP 的斜率为34. ②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7 (舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，3c 2， 进而可得|FP |＝ (c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2， 所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c 2＝c . 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN ⊥FP ， 所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8， 所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232. 同理△FPM 的面积等于75c 232. 由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ， 整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2. 所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. 【变式探究】已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点． (1)若直线AB 与椭圆的长轴垂直，|AB |＝12a ，求椭圆的离心率； (2)若直线AB 的斜率为1，|AB |＝2a 3a 2＋b2，求椭圆的短轴与长轴的比值． 解 (1)由题意可知，直线AB 的方程为x ＝－c ，∴|AB |＝2b 2a ＝12a ， 即a 2＝4b 2， 故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝32. (2)设F 1(－c,0)，则直线AB 的方程为y ＝x ＋c ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ， 得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0， Δ＝4a 4c 2－4a 2(a 2＋b 2)(c 2－b 2)＝8a 2b 4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2， ∴|AB |＝1＋1|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·8a 2b 4a 2＋b 2 ＝4ab 2a 2＋b 2＝2a 3a 2＋b 2， ∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12， ∴2b 2a ＝22，即椭圆的短轴与长轴之比为22. 【感悟提升】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．【变式探究】如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .设点A (x 0，x 20)(x 0≠0)．(1)求直线AB 的方程；(2)求|OB ||OD |的值． 解 (1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′＝2x 0.所以直线AB 的方程y －x 20＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，即直线AB 的方程为2x 0x －y －x 20＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2， y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2. 所以(1－mx 0)216m 4＝x 2012m 2， 解得mx 0＝－3±23，满足Δ>0. 所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43， 故|OB ||OD |＝|y B ||y D |＝43±6.。
(江苏专用)2020年高考数学二轮复习 专题14圆锥曲线学案
专题14圆_锥_曲_线回顾2020～2020年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2020、2020、2020年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A 级要求相符合．预测在2020年的高考题中：(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及．(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解．1．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．解析：当m >5时，105＝m －5m，解得m ＝253； 当m <5时，105＝5－m 5，解得m ＝3. 答案：3或2532．若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________． 解析：设M 的坐标为(x ，±2x )(x >0)，则x 2＋2x ＝3，解得x ＝1，所求距离为1＋12＝32.答案：323．双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________． 解析：双曲线方程化为y 26－x 23＝1.设P 到另一焦点的距离为d ，则由|4－d |＝26得d ＝4＋26，或d＝4－26(舍去)．答案：26＋44．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，∴c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2. 答案：25．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________．解析：∵PF 1PF 2＝e ，∴PF 1＝ePF 2＝e (2a －PF 1)， PF 1＝2ae1＋e. 又a －c ≤PF 1≤a ＋c ，∴a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，a (1－e )≤2ae 1＋e ≤a (1＋e )，1－e ≤2e1＋e ≤1＋e ，解得e ≥2－1.又0<e <1，∴2－1≤e ＜1. 答案：[2－1,1)[典例1](2020·四川高考)(1)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．(2)(2020·福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于________．[解析] (1)法一：依题意得知，点F (－1,0)，不妨设点A (2cos θ，3sin θ)(sin θ>0)，则有B (2cos θ，－3sin θ)，|FA |＝|FB |＝2cos θ＋12＋3sin 2θ＝2＋cos θ，|AB |＝23sin θ，|FA |＋|FB |＋|AB |＝4＋2cos θ＋23sin θ＝4＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，当θ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即θ＝2k π＋π3，k ∈Z ，2cos θ＝1，3sin θ＝32时，△FAB 的周长最大，此时△FAB 的面积等于12×(1＋1)×3＝3.法二：椭圆右焦点为F ′(1,0)．由椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a . 则△FAB 的周长l ＝|AF |＋|BF |＋|AB | ＝4a －(|F ′A |＋|F ′B |)＋|AB | ＝4a －||F ′A |＋|F ′B |－|AB ||≤4a .所以△FAB 周长最大时，直线x ＝m 经过F ′(1,0)这时|AB |＝3， 此时S △FAB ＝12×2×3＝3.(2)由题意可设：|PF 1|＝4m ，|F 1F 2|＝3m ，|PF 2|＝2m ， 当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝ 4m ＋2m ＝6m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 6m ＝12；当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝4m －2m ＝2m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 2m ＝32. [答案] (1)3 (2)12或32解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意a ，b ，c 之间关系的区别．[演练1](1)已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为________；(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析：(1)由a ＋2＝3，可得a ＝1， ∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，∴其渐近线方程为x ±y2＝0，即y ＝±2x .(2)由y 2＝4x 可知l 2：x ＝－1是抛物线的准线，所以P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离．动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ＝|4＋6|42＋32＝2.答案：(1)y ＝±2x (2)2 [典例2](2020·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k2，所以MN ＝ x 2－x 12＋y 2－y 12＝ 1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12MN ·d ＝|k | 4＋6k 21＋2k2. 由|k | 4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0， 解得k ＝±1.本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系．解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题．[演练2]已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且AB ＝9.求该抛物线的方程．解：直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得AB ＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . [典例3](2020·南师大信息卷)已知双曲线x 2－y 23＝1，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3)．(1)求椭圆方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .①若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；②设过A ，F ，N 三点的圆与y 轴交于P ，Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程． [解] (1)双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．则⎩⎪⎨⎪⎧a2－b2＝4，4a2＋9b2＝1.解得a2＝16，b2＝12.故椭圆方程为x216＋y212＝1.(2)①由已知，A(－4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直线l的方程为x＝8.设N(8，t)(t>0)．∵AM＝MN，∴M⎝⎛⎭⎪⎫2，t2.由点M在椭圆上，得t＝6.故点M的坐标为M(2,3)．所以MAu u u r＝(－6，－3)，MBu u u r＝(2，－3)，MAu u u r·MBu u u r＝－12＋9＝－3.cos ∠AMB＝MAu u u r·MBu u u r| MAu u u r|·|MBu u u r|＝－336＋9·4＋9＝－6565.②设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，F，N三点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧16－4D＋F＝0，4＋2D＋F＝0，64＋t2＋8D＋Et＋F＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧D＝2，E＝－t－72t，F＝－8.圆的方程为x2＋y2＋2x－⎝⎛⎭⎪⎫t＋72ty－8＝0，令x＝0，得y2－⎝⎛⎭⎪⎫t＋72ty－8＝0.设P(0，y1)，Q(0，y2)，由线段PQ的中点为(0,9)，得y1＋y2＝t＋72t＝18.此时，所求圆的方程为x2＋y2＋2x－18y－8＝0.本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程．[演练3]心率为32，以如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．解：(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝22＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12. 所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，①直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2. ② 设T 点的坐标为(x ，y )．联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋3y －422＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． [典例4]已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ①若直线l 的斜率为1，求MN 的长；②是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．[解] (1)由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由a 2－b 2＝16－15＝1，得c ＝1. ∴抛物线的焦点为(1,0)，∴p ＝2. ∴抛物线D 的方程为y 2＝4x . (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．①直线l 的方程为：y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，整理得x 2－12x ＋16＝0. 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，所以MN ＝ x 1－x 22＋y 1－y 22＝410.②设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋42，y 12，过E 作直线x ＝a 的垂线，垂足为H ，设直线m 与圆E 的一个交点为G .可得GH 2＝EG 2－EH 2，即GH 2＝EA 2－EH 2＝x 1－42＋y 214－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋x 1－42－x 1＋424＋a (x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a (x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，GH 2＝3，此时直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意．以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设出参数．建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在．[演练4]已知椭圆C 的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝4，P 为准线上一动点，直线PF 1、PF 2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F 1F 2为直径的圆O 交于点M 、N .(1)求椭圆的标准方程；(2)探究是否存在一定点恒在直线MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得c a ＝22，a2c＝4，解得c ＝2，a ＝22，则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)由(1)易知F 1F 2＝4，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. 设P (4，t )，则直线PF 1方程为y ＝t6(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t6x ＋2，得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4(t 2－36)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－2t 2－36t 2＋36，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t 2－36t 2＋36，24t t 2＋36， 同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2－4t 2＋4，－8t t 2＋4. ①若MN ⊥x 轴，则－2t 2－36t 2＋36＝2t 2－4t 2＋4，解得t 2＝12，此时点M ，N 的横坐标都为1，故直线MN过定点(1,0)；②若MN与x轴不垂直，即t2≠12，此时k MN ＝－8t t2＋4－24tt2＋362t2－4t2＋4＋2t2－36t2＋36＝－8tt2－12，所以直线MN的方程为y－－8tt2＋4＝－8tt2－12⎝⎛⎭⎪⎫x－2t2－4t2＋4，即y＝－8tt2－12(x－1)，所以直线MN过定点(1,0)．综上，直线MN过定点(1,0)．[专题技法归纳](1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2＋ny2＝1(mn≠0)，这样可以避免对参数的讨论．(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求ca的值．(3)在双曲线中由于e2＝1＋b2a2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．1．(2020·上海春招)抛物线y2＝8x的焦点坐标为________．解析：由p＝4得焦点坐标为(2,0)．答案：(2,0)2．已知方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．解析：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧m－1>0，2－m>0，2－m>m－1，解得1<m<32；若方程表示双曲线，则(m －1)(2－m)<0，解得m<1或m>2.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，32(－∞，1)∪(2，＋∞)3．点P为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的焦点，如果∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率为________．解析：由题意得∠F 1PF 2＝90°，PF 1＝2c cos 75°，PF 2＝2c sin 75°，所以2c (sin 75°＋cos 75°)＝2a ，e ＝1sin 75°＋cos 75°＝63.答案：634．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．解析：直线AB 的方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 得，y 2－2py －p 2＝0.则y A ＋y B ＝2p ＝4，p ＝2，准线方程为x ＝－1. 答案：x ＝－15．(2020·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ3－y 2λ＝1.于是c 2＝λ3＋λ＝4λ3.又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ3＝36，于是λ＝27.所以双曲线的方程x 29－y 227＝1.答案：x 29－y 227＝16．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF u u u r ＝2FD u u u r，则C 的离心率为________．解析：不妨设椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在原点，B 点为椭圆的上顶点，F (c,0)(c ＞0)为右焦点，则由BF u u u r ＝2FD u u u r ，得D 点到右准线的距离是B 点到右准线距离的一半，则D 点横坐标x D ＝a 22c，由BF u u u r ＝2FD u u u r 知，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22c －c ，得3c 2＝a 2，e ＝33.答案：337．(2020·江西高考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2.令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1. 答案：x 25＋y 24＝1 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1. 答案：x 24－y 23＝1 9．设P 点在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则PQ 的最大值是________． 解析：圆心C (0,2)，PQ ≤PC ＋CQ ＝1＋CQ ，于是只要求CQ 的最大值．设Q (x ，y )，∴CQ ＝ x 2＋y －22＝ 91－y 2＋y －22＝ －8y 2－4y ＋13， ∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－14时，CQ max ＝ 272＝362， ∴PQ max ＝1＋362. 答案：1＋362 10．(2020·辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.答案：2 3 11.(2020·四川高考)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A (a ,0)、B (－a,0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；(2)当点P 异于点B 时，求证：OP uuu r ·OQ uuu r 为定值．解：(1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2， 所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1. 椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l 的方程为 y ＝－33x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝837， 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17， 所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫837，－17. 故|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫837－02＋⎝⎛⎭⎪⎫－17－12＝167. (2)证明：当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1⎝⎛⎭⎪⎫k ≠0且k ≠12. 代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k 4k 2＋1， 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1， 所以D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1. 又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1， 直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k(x ＋2)， 联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4k ，y ＝2k ＋1.因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)．又P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0. 所以OP uuu r ·OQ uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0·(－4k,2k ＋1)＝4. 故OP uuu r ·OQ uuu r 为定值．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，一条准线l ：x ＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点．①若PQ ＝6，求圆D 的方程； ②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程． 解：(1)由题设：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2c ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝2c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )， 则圆D 的方程：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝1＋t 24， 直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0，∵PQ ＝6，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6， ∴t 2＝4，∴t ＝±2. ∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.②证明：法一：设P (x 0，y 0)， 由①知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－t 22＝1＋t 24，2x 0＋ty 0－2＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20－2x 0－ty 0＝0，2x 0＋ty 0－2＝0， 消去t 得x 20＋y 20＝2 ∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上． 法二：设P (x 0，y 0)， 则直线FP 的斜率为k FP ＝y 0x 0－1.∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为k OM ＝x 0－1y 0，∴直线OM 的方程为y ＝－x 0－1y 0x ， 点M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫2，－2x 0－1y 0. ∵MP ⊥OP ，∴OP uuu r ·MP u u u r ＝0，∴x 0(x 0－2)＋y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋2x 0－1y 0＝0 ∴x 20＋y 20＝2，∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．。
高中数学第2章圆锥曲线与方程14圆锥曲线复习4教学案无答案苏教版选修21
圆锥曲线复习（ 4）【学习目标】掌握圆锥曲线中的定点、定值问题的算法【解答题】1. 在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x2y 21的左右极点为A、B，右极点为 F，95设过点T TA TB与椭圆分别交于点M( x1, y1)、N ( x2, y2)，此中 m>0，（ t , m ）的直线、y10, y2 0 ．①设动点 P满足PF2PB 24，求点 P 的轨迹；设 x11②2, x2，求点T的坐标；3③设 t9 ，求证：直线MN必过 x 轴上的必定点．（其坐标与 m没关）2. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆x2y2 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1( c，0) ，a2b2F2 (c ，0) ．已知 (1，e) 和 e，3都在椭圆上，此中 e 为椭圆的离心率．2（1）求椭圆的方程；（2）设 A, B 是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 AF1与直线 BF2平行， AF2与 BF1交于点P．（ i ）若AF1BF26，求直线 AF1的斜率；2（ ii ）求证：PF1PF2是定值．3. 如图，已知椭圆： x 2y 2 B 的直线交椭圆 C 于别的一点 AC1 ，点 B 是其下极点，过点124（点 A 在 x 轴下方），且线段 AB 的中点 E 在直线 y = x 上．（ 1）求直线 AB 的方程；（ 2）若点 P 为椭圆 C 上异于 A ，B 的动点， 且直线 AP ，BP 分别交直线 y =x 于点 M ，N ，证明： OM · ON 为定值．AyMP N OxEB4. 已知左焦点为F ( － 1， 0) 的椭圆过点 E (1 ， 2 3 ) ．过点 P (1 ， 1) 分别作斜率为k ，k 的3 1 2椭圆的动弦 AB ， CD ，设 M ， N 分别为线段 AB ， CD 的中点．（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）若 P 为线段 AB 的中点，求 k 1；（ 3）若 k 1+k 2=1，求证直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标．5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2y21 (a＞ b＞0)的离心率为2 ，其焦点在圆a2b22x2+y2=1上．(1)求椭圆的方程；(2) 设A，B，M是椭圆上的三点 ( 异于椭圆极点 ) ，且存在锐uuurcos uursinuur角θ，使 OM OA OB ．(i) 求证：直线与的斜率之积为定值；(ii)求2+2．OA OB OA OBxOy中，椭圆 E：x 2＋y266. 如图，在直角坐标系22＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点 (2，) ．a b2(1)求椭圆 E 的方程；(2)若点 A，B 分别是椭圆 E 的左、右极点，直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴，点 P 是椭圆上异于A， B 的任意一点，直线 AP交 l 于点 M．(i)设直线 OM的斜率为 k1，直线 BP的斜率为 k2，求证： k1k2为定值；(ii)设过点 M垂直于 PB的直线为 m．求证：直线 m过定点，并求出定点的坐标.yMPA O Bxml4江苏省泰兴中学高二数学课后作业（21）班级 :姓名 :学号：1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2y2 F (1，0)a2b21(a b 0) 的右焦点为，离心率为2．分别过 O ，F的两条弦AB， CD 订交于点E（异于A， C 两点），且 OE EF ．2（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线 AC ，BD的斜率之和为定值．yCAEO F D xB2. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2y2＋＝ 1．m8－m（1）若椭圆C 的焦点在x轴上，务实数的取值范围；m（2）若＝ 6，m①P 是椭圆 C上的动点， M 点的坐标为(1，0)，求 PM的最小值及对应的点P 的坐标；②过椭圆 C的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于 A， B 两点，线段 AB的垂直AB均分线 l 交 x 轴于点 N，证明：FN是定值，并求出这个定值．3. 如图,在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆 C :x2y 2 1(a b 0) 经 过 点a 2b 2M(3 2, 2,)e,F 1、 F 2分别是椭圆的左、右焦点.椭圆的离心率2 23(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A 、B .①若直线 MA 过坐标原点 O , 试求MAF 2 外接圆的方程；②若AMB 的均分线与yy 轴平行 , 尝试究直线AB 的斜率能否为定值？若M· 是, 请恩赐证明；若不是, 请说明原由 .· O·F 1F 2x。
2021-2022年高中数学第2章圆锥曲线与方程14圆锥曲线复习2教学案(无答案)苏教版选修2-1
2021年高中数学第2章圆锥曲线与方程14圆锥曲线复习2教学案（无答案）苏教版选修2-1[知识要点]1．圆锥曲线定义的运用；2．直线与圆锥曲线位置关系的几个常见问题；3．轨迹方程的常用方法．[课前预习]1．已知方程表示椭圆，则的取值范围为_______2．过的焦点F作直线与抛物线交于两点，若，则____3．已知双曲线C:的右顶点、右焦点分别为A、F,它的左准线与轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为4．抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，O是坐标原点，则=_________5．已知对于，直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围为__________[典例剖析]例1．已知是椭圆上的两点，是其右焦点，若，线段的中点到椭圆左准线的距离为.①求的值；②设M是椭圆上一动点，点，求的最小值及取最小值时点M的坐标.例2．已知双曲线（），直线过点、，左焦点到直线的距离等于该双曲线的虚轴长的.（1）求该双曲线的离心率；（2）若到左准线的距离与它到渐近线的距离的和为，求双曲线的方程．例3．已知抛物线上有两动点、及一个定点，是抛物线的焦点，且、、成等差数列．（1）求证：线段AB的垂直平分线经过定点；（2）若，（O为坐标原点），求抛物线方程江苏省泰兴中学高二数学课后作业（19）班级: 姓名: 学号：【A组题】1．若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线的焦点，点P是抛物线上一动点，则PA+PF取得最小值时，点P的坐标为2．椭圆的两焦点为，以为边做正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则它的离心率是3．双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，、是它的左右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝_________.4．一动圆M与⊙内切，且与⊙外切，则动圆圆心M的轨迹方程是_____________．5．抛物线上的点到直线距离最短的点的坐标为_________6．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则离心率的范围是．7．已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点M，圆与x轴交于两点（如图）．（1）过M点的直线交圆于两点，且圆弧恰为圆周的，求直线的方程；（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程．【B组题】1．过双曲线的右焦点作直线，交双曲线于两点，若=4，则这样的直线有_______条2．已知曲线，点及点，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围为____________3．已知直线与双曲线的左支．．交于A、B两点．（1）求斜率的取值范围．（2）若直线经过点及线段AB的中点，且在轴上截距为，求直线的方程．4．已知动点P到两个定点、的距离之差为（1）求点P的轨迹方程；（2）对于轴上的点，若满足，则称点为点P对应的“比例点”，求证：对任意一个确定的点P，它总对应两个比例点．。
2020高中数学第八章与圆锥曲线有关的几种典型题教学案苏教版
与圆锥曲线有关的几种典型题一、教课目的( 一 ) 知识教课点使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值 ( 极值 ) 问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线订交问题等．( 二 ) 能力训练点经过对圆锥曲线有关的几种典型题的教课，培育学生综合运用圆锥曲线知识的能力．( 三 ) 学科浸透点经过与圆锥曲线有关的几种典型题的教课，使学生掌握一些有关学科中的近似问题的办理方法．二、教材剖析1．要点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值( 极值 ) 问题、与圆锥曲线有关的证明问题．( 解决方法：先介绍基础知识，再解说应用．)2．难点：双圆锥曲线的订交问题．( 解决方法：要提示学生注意，除了要用一元二次方程的鉴别式，还要联合图形剖析．) 3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题．( 解决方法：由于这种问题波及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，因此比较灵巧，只好经过一些例题予以示范．)三、活动设计演板、解说、练习、剖析、发问．四、教课过程(一)引入与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值( 极值 ) 问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中常常有到，为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的认识，今日来讲一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”．( 二 ) 与圆锥曲线有关的几种典型题1．圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C∶ f(x ，y)=0 与直线 l ∶ y=kx+b 订交于 A(x1 ，y1) 、B(x 2，y2) 两点，则弦长|AB| 为：(2)若弦 AB过圆锥曲线的焦点 F，则可用焦半径求弦长， |AB|=|AF|+|BF| ．A、 B 两点，旦 |AB|=8 ，求倾斜角α．剖析一：由弦长公式易解．由学生演板达成．解答为：∵抛物线方程为x2=-4y ，设直线 l 的方程为 y-(-1)=k(x-0) ∴焦点为 (0 ， -1)，即 y=kx-1 ．．将此式代入x2=-4y 中得： x2+4kx-4=0 ．∴x1+x 2=-4 ， x1+x2=-4k ．∴k= ± 1．∴|AB|= -(y1+y 2)+p=-[(kx1-1)+(kx 2-1)]+p=-k(x1+x 2)+2+p ．由上述解法易求得结果，由学生课外达成．2．与圆锥曲线有关的最值 ( 极值 ) 的问题在分析几何中求最值，要点是成立所求量对于自变量的函数关系，再利用代数方法求 出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x ， y) 的取值范围．例 2已知 x2+4(y-1) 2=4，求：(1)x2+y 2的最大值与最小值；(2)x+y 的最大值与最小值． 解(1) ：将 x2+4(y-1)2=4 代入得：x2+y 2=4-4(y-1)2+y2=-3y 2+8y由点 (x ， y) 知足 x2+4(y-1)2=4 知：4(y-1) 2≤ 4即 |y-1| ≤ 1．∴ 0≤ y ≤ 2．当 y=0 时， (x2+y 2)min=0 ．解(2) ：剖析：明显采纳 (1) 中方法行不通． 假如令 u=x+y ，则将此代入x2+4(y-1)2=4 中得对于y 的一元二次方程，借助于鉴别式可求得最值．令 x+y=u ，则有 x=u-y ．代入 x2+4(y-1)2=4得：5y2-(2u+8)y+u2=0．又∵ 0≤ y≤2， ( 由 (1) 可知 )∴[-(2u+8)]2-4× 5× u2≥ 0．3．与圆锥曲线有关的证明问题它波及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．例 3在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且知足|AB|=y1+y2+2，求证：(1)A 、 B 和这抛物线的焦点三点共线；证明：(1) ∵抛物线的焦点为F(0 ， 1) ，准线方程为y=-1 ．∴ A 、 B 到准线的距离分别d1＝ y1+1， d2=y2+1( 如图 2－46 所示 ) ．由抛物线的定义：|AF|=d1=y 1+1， |BF|=d2=y 2+1．∴|AF|+|BF|=y1+y 2+2=|AB| ．即 A、 B、 F 三点共线．(2)如图 2－ 46，设∠AFK=θ．∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sin θ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ．小结：与圆锥曲线有关的证明问题解决的要点是要灵巧运用圆锥曲线的定义和几何性质．4．圆锥曲线与圆锥曲线的订交问题直线与圆锥曲线订交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0 来办理．但用△≥ 0 来判断双圆锥曲线订交问题是不行靠的．解决这种问题：方法 1，由“△≥ 0”与直观图形相联合；方法 2，由“△≥ 0”与根与系数关系相联合；方法 3，变换参数法 ( 此后再讲 ) ．实数 a 的取值范围．可得： y2=2(1-a)y+a2-4=0．∵ △ =4(1-a) 2-4(a2-4) ≥ 0，如图 2－ 47，可知：( 三 ) 稳固练习 ( 用一小黑板预先写出． )2．已知圆 (x-1) 2+y2=1 与抛物线 y2=2px 有三个公共点，求P 的取值范围．极点．请三个学生演板，其余同学作讲堂练习，教师巡视．解答为：1．设 P 的坐标为 (x ， y) ，则2．由两曲线方程消去 y 得： x2-(2-2P)x=0 ．解得： x1=0， x2=2-2P ．∵0＜ x ＜ 2，∴ 0＜ 2-2P ＜2， 即 0＜ P ＜ 1．故 P 的取值范围为 (0 ， 1) ．四个交点为 A(4 ， 1) ， B(4 ， -1) ， C(-4 ， -1) ， D(-4 ， 1) ．因此 A、 B、 C、 D 是矩形的四个极点．五、部署作业1．一条定抛物线C1∶ y2=1-x 与动圆 C2∶ (x-a) 2+y2=1 没有公共点，求 a 的范围．2．求抛线y=x2 上到直线y=2x-4 的距离为最小的点P 的坐标．3．证明：从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长．作业答案：1．当 x≤ 1 时，由 C1、 C2 的方程中消去y，得 x2-(2a+1)x+a2=0，离为 d，则似证明．六、板书设计。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题14圆_锥_曲_线回顾2020～2020年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2020、2020、2020年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A级要求相符合．预测在2020年的高考题中：(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及．(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解．1．若椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值是________．解析：当m>5时，105＝m－5m，解得m＝253；当m<5时，105＝5－m5，解得m＝3.答案：3或25 32．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为3，则M到该抛物线焦点的距离为________．解析：设M的坐标为(x，±2x)(x>0)，则x2＋2x＝3，解得x＝1，所求距离为1＋12＝32.答案：3 23．双曲线2x2－y2＋6＝0上一个点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．解析：双曲线方程化为y26－x23＝1.设P到另一焦点的距离为d，则由|4－d|＝26得d＝4＋26，或d＝4－26(舍去)．答案：26＋44．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析：由题意得m＞0，∴a＝m，b＝m2＋4，∴c＝m2＋m＋4，由e＝ca＝5得m2＋m＋4m＝5，解得m＝2. 答案：25．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得PF1PF2＝e，则该椭圆离心率e的取值范围是________．解析：∵PF1PF2＝e，∴PF1＝ePF2＝e(2a－PF1)，PF1＝2ae1＋e.又a－c≤PF1≤a＋c，∴a－c≤2ae1＋e≤a＋c，a(1－e)≤2ae1＋e≤a(1＋e)，1－e≤2e1＋e≤1＋e，解得e≥2－1. 又0<e<1，∴2－1≤e＜1. 答案：[2－1,1)[典例1](2020·四川高考)(1)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B.当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．(2)(2020·福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于________．[解析] (1)法一：依题意得知，点F(－1,0)，不妨设点A(2cos θ，3sin θ)(sin θ>0)，则有B(2cos θ，－3sin θ)，|FA|＝|FB|＝2cos θ＋12＋3sin 2θ＝2＋cos θ，|AB|＝23sin θ，|FA|＋|FB|＋|AB|＝4＋2cos θ＋23sin θ＝4＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，当θ＋π6＝2kπ＋π2，k ∈Z ，即θ＝2kπ＋π3，k ∈Z ，2cos θ＝1，3sin θ＝32时，△FAB 的周长最大，此时△FAB 的面积等于12×(1＋1)×3＝3.法二：椭圆右焦点为F′(1,0)．由椭圆定义|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a. 则△FAB 的周长l ＝|AF|＋|BF|＋|AB| ＝4a －(|F′A|＋|F′B|)＋|AB| ＝4a －||F′A|＋|F′B|－|AB||≤4a.所以△FAB 周长最大时，直线x ＝m 经过F′(1,0)这时|AB|＝3， 此时S △FAB ＝12×2×3＝3.(2)由题意可设：|PF 1|＝4m ，|F 1F 2|＝3m ，|PF 2|＝2m ， 当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝ 4m ＋2m ＝6m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 6m ＝12；当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝4m －2m ＝2m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 2m ＝32.[答案] (1)3 (2)12或32解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意a ，b ，c 之间关系的区别．[演练1](1)已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为________；(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析：(1)由a ＋2＝3，可得a ＝1， ∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，∴其渐近线方程为x±y2＝0，即y ＝±2x. (2)由y 2＝4x 可知l 2：x ＝－1是抛物线的准线，所以P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离．动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为点F(1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ＝|4＋6|42＋32＝2. 答案：(1)y ＝±2x (2)2 [典例2](2020·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为22.直线y＝k(x－1)与椭圆C 交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k的值．[解] (1)由题意得⎩⎨⎧a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得b＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)由⎩⎨⎧y＝k x－1，x24＋y22＝1得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2，所以MN＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝2 1＋k24＋6k21＋2k2.又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|1＋k2，所以△AMN的面积为S＝12MN·d＝|k| 4＋6k21＋2k2.由|k| 4＋6k21＋2k2＝103，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系．解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题．[演练2]已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且AB＝9.求该抛物线的方程．解：直线AB的方程是y＝22⎝⎛⎭⎪⎫x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.[典例3](2020·南师大信息卷)已知双曲线x2－y23＝1，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3)．(1)求椭圆方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.①若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；②设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．[解] (1)双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．则⎩⎨⎧a2－b2＝4，4a2＋9b2＝1.解得a2＝16，b2＝12.故椭圆方程为x216＋y212＝1.(2)①由已知，A(－4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直线l的方程为x＝8.设N(8，t)(t>0)．∵AM＝MN，∴M⎝⎛⎭⎪⎫2，t2.由点M在椭圆上，得t＝6.故点M的坐标为M(2,3)．所以MAu u u r＝(－6，－3)，MBu u u r＝(2，－3)，MAu u u r·MBu u u r＝－12＋9＝－3.cos ∠AMB＝MAu u u r·MBu u u r| MAu u u r|·|MBu u u r|＝－336＋9·4＋9＝－6565.②设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，F，N三点坐标代入，得⎩⎨⎧16－4D＋F＝0，4＋2D＋F＝0，64＋t2＋8D＋Et＋F＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧D＝2，E＝－t－72t，F＝－8.圆的方程为x2＋y2＋2x－⎝⎛⎭⎪⎫t＋72ty－8＝0，令x＝0，得y2－⎝⎛⎭⎪⎫t＋72ty－8＝0.设P(0，y1)，Q(0，y2)，由线段PQ的中点为(0,9)，得y1＋y2＝t＋72t＝18.此时，所求圆的方程为x2＋y2＋2x－18y－8＝0.本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程． [演练3]如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T.求证：点T 在椭圆C 上．解：(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，①直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2. ②设T 点的坐标为(x ，y)． 联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3. 因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1. 整理得x 28＋3y －422＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． [典例4]已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ①若直线l 的斜率为1，求MN 的长；②是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．[解] (1)由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．由a 2－b 2＝16－15＝1，得c ＝1.∴抛物线的焦点为(1,0)，∴p ＝2. ∴抛物线D 的方程为y 2＝4x. (2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．①直线l 的方程为：y ＝x －4，联立⎩⎨⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，整理得x 2－12x ＋16＝0. 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16， 所以MN ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝410.②设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋42，y 12，过E 作直线x ＝a 的垂线，垂足为H ，设直线m 与圆E 的一个交点为G.可得GH 2＝EG 2－EH 2，即GH 2＝EA 2－EH 2＝x 1－42＋y 214－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋x 1－42－x 1＋424＋a(x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a(x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，GH 2＝3，此时直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长恒为定值2 3.因此存在直线m ：x ＝3满足题意．以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设出参数．建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在．[演练4]已知椭圆C 的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝4，P 为准线上一动点，直线PF 1、PF 2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F 1F 2为直径的圆O 交于点M 、N.(1)求椭圆的标准方程；(2)探究是否存在一定点恒在直线MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得c a ＝22，a 2c＝4，解得c ＝2，a ＝22，则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 28＋y24＝1.(2)由(1)易知F 1F 2＝4，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. 设P(4，t)，则直线PF 1方程为y ＝t6(x ＋2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t 6x ＋2，得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4(t 2－36)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－2t 2－36t 2＋36，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫－2t 2－36t 2＋36，24t t 2＋36，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2－4t 2＋4，－8t t 2＋4. ①若MN ⊥x 轴，则－2t 2－36t 2＋36＝2t 2－4t 2＋4，解得t 2＝12，此时点M ，N 的横坐标都为1，故直线MN 过定点(1,0)；②若MN 与x 轴不垂直，即t 2≠12， 此时k MN ＝－8t t 2＋4－24tt 2＋362t 2－4t 2＋4＋2t 2－36t 2＋36＝－8tt 2－12， 所以直线MN 的方程为y －－8t t 2＋4＝－8t t 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2t 2－4t 2＋4， 即y ＝－8tt 2－12(x －1)，所以直线MN 过定点(1,0)． 综上，直线MN 过定点(1,0)．[专题技法归纳](1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx 2＋ny 2＝1(mn≠0)，这样可以避免对参数的讨论．(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．(3)在双曲线中由于e 2＝1＋b2a2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．1．(2020·上海春招)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为________． 解析：由p ＝4得焦点坐标为(2,0)．答案：(2,0)2．已知方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎨⎧m －1>0，2－m>0，2－m>m －1，解得1<m<32；若方程表示双曲线，则(m －1)(2－m)<0，解得m<1或m>2.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，32 (－∞，1)∪(2，＋∞)3．点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为________．解析：由题意得∠F 1PF 2＝90°，PF 1＝2c cos 75°，PF 2＝2c sin 75°，所以2c(sin 75°＋cos 75°)＝2a ，e ＝1sin 75°＋cos 75°＝63.答案：634．已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．解析：直线AB 的方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 得，y 2－2py －p 2＝0.则y A ＋y B ＝2p ＝4，p ＝2，准线方程为x ＝－1. 答案：x ＝－15．(2020·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ3－y2λ＝1.于是c 2＝λ3＋λ＝4λ3.又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ3＝36，于是λ＝27.所以双曲线的方程x 29－y 227＝1.答案：x 29－y 227＝16．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C于点D ，且BF u u u r ＝2FD u u u r，则C 的离心率为________．解析：不妨设椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在原点，B 点为椭圆的上顶点，F(c,0)(c ＞0)为右焦点，则由BF u u u r ＝2FD u u u r，得D 点到右准线的距离是B 点到右准线距离的一半，则D 点横坐标x D ＝a 22c ，由BF u u u r ＝2 FD u u u r 知，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22c －c ，得3c 2＝a 2，e＝33. 答案：337．(2020·江西高考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k(x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，易知另一切点B(1,0)，则直线AB 的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为x25＋y24＝1.答案：x25＋y24＝18．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c＝7，e＝274＝ca，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是x24－y23＝1.答案：x24－y23＝19．设P点在圆x2＋(y－2)2＝1上移动，点Q在椭圆x29＋y2＝1上移动，则PQ的最大值是________．解析：圆心C(0,2)，PQ≤PC＋CQ＝1＋CQ，于是只要求CQ的最大值．设Q(x，y)，∴CQ＝x2＋y－22＝91－y2＋y－22＝－8y2－4y＋13，∵－1≤y≤1，∴当y＝－14时，CQmax＝272＝362，∴PQmax ＝1＋362.答案：1＋36 210．(2020·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.答案：2 311.(2020·四川高考)过点C(0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A(a ,0)、B(－a,0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P.直线AC 与直线BD 交于点Q.(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；(2)当点P 异于点B 时，求证：OP uuu r ·OQ uuu r为定值． 解：(1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l 的方程为 y ＝－33x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝837， 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17，所以D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫837，－17.故|CD|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫837－02＋⎝⎛⎭⎪⎫－17－12＝167.(2)证明：当直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫k≠0且k ≠12.代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝4k 2＋1，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1，所以D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1. 又直线AC 的方程为x2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k2－4k (x ＋2)， 联立解得⎩⎨⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1.因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)． 又P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0.所以OP uuu r ·OQ uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0·(－4k,2k ＋1)＝4.故OP uuu r ·OQ uuu r为定值．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，一条准线l ：x ＝2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点．①若PQ ＝6，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程． 解：(1)由题设：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2c ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为2＋y 2＝1.(2)①由(1)知：F(1,0)，设M(2，t)， 则圆D 的方程：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －t 22＝1＋t 24，直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0，∵PQ ＝6，∴2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24－⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6， ∴t 2＝4，∴t ＝±2.∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ②证明：法一：设P(x 0，y 0)，由①知⎩⎨⎧x 0－12＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－t 22＝1＋t 24，2x 0＋ty 0－2＝0即⎩⎨⎧x 20＋y 20－2x 0－ty 0＝0，2x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得x 20＋y 20＝2∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上． 法二：设P(x 0，y 0)， 则直线FP 的斜率为k FP ＝y 0x 0－1. ∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为k OM ＝x 0－1y 0， ∴直线OM 的方程为y ＝－x 0－1y 0x ， 点M 的坐标为M⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2x 0－1y 0. ∵MP ⊥OP ，∴OP uuu r ·MP u u u r＝0，∴x0(x－2)＋y0⎣⎢⎡⎦⎥⎤y＋2x－1y＝0∴x20＋y2＝2，∴点P在定圆x2＋y2＝2上．。