华东师范大学数学分析 期末试卷

华东师范大学数分期末试卷（A 卷）
2009-2010年第一学期
一．（20分）判断下列结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）
1．设()f x 在（a,b ）连续，()f x 在0(,)x a b ∈取极值，则0'()0f x =；
2．设()f x 在点0x 可导，则存在0δ>，使得()f x 在00(,)x x δδ-+上连续；
3．设数列{}n a ，{}n b 满足1(1,2,)n n a b n ≤≤=…，lim()0n n n b a →∞-=，则极限lim ,lim n n n n a b →∞→∞ 都存在；
4．设()f x 是区间（-a,a ）上的可导偶函数，则()f x 在x=0取极值。

二．（16分）计算下列极限；
1．20arctan lim
tan x x x x x
→-； 2．20ln(1)sin lim x x x x →+-； 三．（16分）计算下列函数的导函数dy dx
： 1．1
,0,()1,0;
x x e x y x e x -⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩ 2．()y y x =由极坐标方程2(1cos )(0)a a ρθ=+>所确定。

四．（14分）讨论2x y x e -=的单调性区间，凹凸性区间，极值与拐点。

五．（14分）证明不等式：
1．2arctan (0,);12
, x x x x π+
<∈+∞+ 2．过研究ln ()x f x x =的单调性，证明：e e ππ>. 六．（8分）设()f x 在区间I 上连续但不一致连续，()g x 在(,)-∞+∞上可导且'()0g x k ≥>.证明：复合函数(())g f x 在I 上不一致连续。

七．（12分）设()f x ，()g x 在[,)a +∞上连续可微，且极限
()lim ()x f f x →+∞+∞=，()lim ()x g g x →+∞
+∞= 存在，证明：
1． 若()()f a f =+∞，则：(,)a ξ∃∈+∞，使得'()0f ξ=；
2． 若对[,),'()0,x a g x ∈+∞≠则：(,)a ξ∃∈+∞，使得
'()()()'()()()
f f f a
g g g a ξξ+∞-=+∞- 八．（附加题10分）设()f x 在[,)a +∞上二阶可导且''()1f x ≤，又极限lim ()x f x A →+∞
=存在。

证明lim '()0x f x →+∞=。