13讲 梁的挠曲线方程与积分解法

列出图示结构的边界条件和连续条件。
θA = 0 边界条件： ωA = 0
θB左 =θB右 连续条件： ωB左 = ωB右
列出图示结构的边界条件和连续条件。
ωA = 0 解：边界条件： A = 0 θ ωC = 0
ωD左 = ωD右 连续条件：θD左 =θD右 ωB左 = ωB右
积分常数的物理意义和几何意义
物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 C = EIθo即坐标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C； D = EIωo 即坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。 几何意义：C——转角 D——挠度
(4)建立转角方程和挠曲线方程； (5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意 θ max 和
[
]
(3)利用边界条件、 (3)利用边界条件、连续条件确定积分常数 利用边界条件
①积分常数的数目——取于的分段数
M (x) —— n 段 积分常数——2n个 举例：
M(x) 分2段，则积分常数2x2=4个
②积分常数的确定——边界条件和连续条件： 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 边界条件 这样的已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦 连续条件 的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个 不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连 续条件。 边界条件 积分常数2n个=2n个 连续条件
BC段 (a ≤ x ≤ L) 段
M1(x) = FAx =
Fb x, L
M2 (x) =
Fb EIω "= x, 1 L
Fb x − F(x −a), L Fb EIω2"= x − F(x −a), L
AC段 (0 ≤ x ≤ a) 段 Fb 2 EIω ' = EIθ1 = x +C , 1 1 2L Fb 3 EIω = x +C x + D , 1 1 1 6L 3、确定常数 、 由边界条件： 由边界条件：
M（x） ） d2 ω 2 ＝ dx EI
近似解释： （1）忽略了剪力的影响； （2）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。
(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程
2 2
d2ω dx2
M(x) ＝ EI
d2ω − M(x) 2 ＝ EI dx
二 计算弯曲变形的两种方法 1、积分法——基本方法 积分法——基本方法 ——
x = L,ωB = 0
（3） ） （4） ）
（2） ）
由光滑连续条件： 由光滑连续条件：
可解得： 可解得：
Fb 2 C =− (L −b2 ) = C2, 1 6L
D = D =0 1 2
则简支梁的转角方程和挠度方程为 BC段 段 AC段 (0 ≤ x≤ a) 段 Fb F(x −a)2 2 2 2 Fb 2 θ2 (x) = [3x −(L −b )] − , θ1(x) = [3x2 −(L −b2 )], 6LEI 2 6LEI − Fb L − Fb 3 2 2 3 2 2 ω2 (x) = [−x +(L −b )x + (x −a)3] ω (x) = [−x +(L −b )x], 1 6LEI 6LEI 6 6LEI 4、求转角 、 代入得： x = 0代入得：
＋ －
（ M x） d2ω 2 ＝ dx EI
此即弹性曲线的小挠度微分方程 此即弹性曲线的小挠度微分方程
(2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释 (2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释
w
2
2 dw <0 2 dx M <0
M
M x
o
选取如图坐标系， 弯矩 与 选取如图坐标系，则 弯矩M与
d2ω 恒为同号 dx2
2 Fb(L −b2 ) θA =θ1 x=0 = − 6LEI
(a ≤ x ≤ L)
代入得： x = L代入得：
Fab(L+ a) θB =θ2 x=L = 6LEI
5、求 ωm 。 、 ax
dω 的位置值x。 由 =θ = 0求得ωmax 的位置值 。 dx
2 Fb(L −b2 ) θA = − < 0, 6LEI
Fab(a −b) θC =θ1 x=a = > 0( a > b) Q 3LEI
∴θ = 0在AC段。
则由
Fb 2 θ1(x) = [3x2 −(L −b2 )] = 0 6LEI
解得： 解得：
2 L −b2 x= 3
代入 y1(x) 得：
ω max
L 若 a = b = 则： 2
Fb ( L2 − b 2 ) =− 9 3 EI
(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程， (2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 分段列出梁的挠曲线近似微分方程 两次 对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
dω 1 = (∫ M(x)dx +c) θ(x) = dx EI
再积分一次，得挠曲线方程：
1 ω(x) = ∫(∫ M(x)dx) + cx + D EI
3 1 1 4 qL qL4 ω = (− qx + x − ) EI 24 6 8
将
代入得： x = 0 代入得：
3 qL θA = 比较知： （与C比较知： θA = C） 比较知 EI 6EI
qL4 ωA = − 比较知： （与D比较知： ωA = D 比较知 EI ） 8EI
因此 常数C表示起始截面的转角×刚度( ) 常数 表示起始截面的转角×刚度(EI) 表示起始截面的转角 常数D表示起始截面的挠度×刚度( ) 常数 表示起始截面的挠度×刚度(EI) 表示起始截面的挠度
3 2
ω max = ω
x=
L 2
FL3 =− 48 EI
在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外）， 在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），
ωmax 可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。 可用中间挠度代替 其误差不大，不超过3% 中间挠度代替， 3%。
作业：孙训方，《材料力学》（第五版） 5-2；5-4
利用积分法求梁变形的一般步骤： （1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求 支座反力，分段列弯矩方程； 分段的原则:
①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间
的相互作用力，故应作为分段点；
BC段 (a ≤ x ≤ L) 段 Fb 2 F EIω2 ' = EIθ2 = x − (x −a)2 +C2 2L 2 Fb 3 F EIω2 = x − (x −a)3 +C2x + D , 2 6L 6
x = 0,ωA = 0 （1） ） x = a时 θ1 =θ2 ， x = a时 ω =ω2 ，1
第十三讲 梁的挠曲线方程与积分解法
湖南理工学院——曾纪杰
一 弯曲变形的量度及符号规定
y
θ
w
p
θ
梁的挠度和转角
c′
c
x
∆x
1、度量弯曲变形的两个量：
（1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线 位移ω称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移） （2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所 转过的角位移θ称为转角。
及其 ω max 所在截面。
悬臂梁受力如图所示。 例题1: 悬臂梁受力如图所示。求 解： 取参考坐标系 取参考坐标系Axy。 。 1、列出梁的弯矩方程 、
ωA和 θA 。
y A q B x X``
1 2 L (0 ≤ x ≤ L) M(x) = − qx 2 2、 d2ω M(x) 、 1 2 EIω"= − qx 2 = dx EIz 2 积分一次： 积分一次： 1 3 ） EIω' = EIθ = − qx +C （1） 6 积分二次： 积分二次： 1 4 ） EIω = − qx +Cx + D （2） 24
3、确定常数C、D. 、确定常数 、
1 3 代入（ ） 由边界条件： 由边界条件： x = L,θ = 0 代入（1）得： C = − qL 6 代入（ ） x = L, y = 0 代入（2）得： D = −1 qL4 8
代入（1）（ ）得： ）（2） 代入（ ）（
1 1 3 1 3 θ = (− qx + qL ) EI 6 6
y
梁的挠度和转角
c′
c
θ
w
p
θ
x
∆x
W（ - ） θ （ - ）
2、符号规定：
（1）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规 定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线 的纵坐标（挠度），向上为正。 （2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。 （3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。
ρ（x）
EI
数学公式
1 ＝＋ dw 2 3/2 ρ（ x） － [1+( )] dx
d2w d x2
小挠度情形下
ω
＝（0.01－0.001）l － ） max＝（
0
；
θmax <1 or 0.0175 rad.
横力弯曲
d ω 2 << 0 ( ) dx
1 M（x）
＝
ρ（ x ）
EI
d2ω d x2 1 ＝ ＋ d ω 2 3/2 ρ（ x） － [1+( )] dx
一简支梁受力如图所示。 例题2: 一简支梁受力如图所示。试求 θ (x),ω(x) 和 θA,ωm 。 ax F y x 解： 1、求支座反力 、 x C B A Fb Fa x , F = FAy = By a b