《数值分析》复习题(14)

合集下载

数值分析试题集

..数值分析试题集（试卷一）一（ 10 分）已知 x 1* 1.3409 ，x 2* 1.0125 都是由四舍五入产生的近似值，判断 x 1*x 2* 及 x 1* x 2*有几位有效数字。

二（ 10 分）由下表求插值多项式x 01 2 y2 34 y1－ 1三（ 15 分）设 f ( x)C 4 [a,b] ， H （ x ）是满足下列条件的三次多项式H (a) f (a) , H (b) f (b) , H (c)f (c) , H (c) f (c)( a c b )求 f (x)H ( x) ，并证明之。

12四（ 15 分）计算13 dx ，10 2。

x五（ 15 分）在 [0，2]上取 x 0 0 , x 1 1 , x 22 ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。

六（ 10 分）证明改进的尢拉法的精度是 2 阶的。

七（ 10 分）对模型 yy , 0 ，讨论改进的尢拉法的稳定性。

八（ 15分）求方程 x 34x 2 7x 1 0 在 -1.2 附近的近似值，10 3。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（试卷二）一填空（ 4*2 分）1 {k ( x) } k 0 是区间 [0， 1]上的权函数为( x) x 2 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中10 (x)1，则x0 ( x) dx ------------------- ， 1 ( x) ------------------。

2 12 A，则 A1 4----------- ，( A) ----------------- 。

a 1 2 时， A 可作 LU 分解。

3 设 A，当 a 满足条件 ---------------- 14..4 设非线性方程 f ( x) (x33x23x1)( x 3) 0 ，其根 x1* 3 ， x2*1，则求 x1* 的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是--------------------------- 。

数值分析14_5.3条件数和方程组的性态

其准确解为（-2，10）T 。
1 x1 4 x 1 2 4.0002
此例中， A和b的微小变化引起x很大的变化， x对A和b的扰动是敏感的。这种现象的出现完全是由方程组的性态决定的。
华长生制作
8
定义如果方程组Ax= b中，矩阵A和右端b的微小变化，引起解向量x的很大变化，则称A为关于解方程组和矩阵求逆的病态矩阵，称相应的方程组为病态方程组。否则，称A为良态矩阵，称相应的方程组为良态方程组。我们需要一种能刻画矩阵和方程组病态程度的标准。
5
如果对矩阵范数 A 和向量范数
Ax
p
x
p
，有
A x p , A R
nn
,xR
n
则称矩阵范数和向量范数相容。另外介绍一种由向量范数导出的矩阵范数 x R n , A R nn , x p 为向量范数，定义定义设矩阵A的非负函数
A p max
x 0
华长生制作
14
对于病态方程组，数值求解必须小心进行，否则达不到所要求的准确度。有时可以用高精度（如双精度或扩充精度）的运算，以改善或减轻方程组的病态程度，有时也可以对圆方程组作预处理，以降低系数矩阵的条件数，即选择非奇异矩阵P和Q，一般选择为对角阵或三角矩阵，使
cond（ PAQ ）< cond(A)
Ax x
p
p
可验证它是一矩阵范数，称为从属范数。
华长生制作 6
可以验证，向量范数 x p 所导出的矩阵范数 A p 与该向量范数是相容的。定理矩阵范数 A 1 , A , A 2 分别是向量范数 x 1 , x , x 2 的从属范数。下面来讨论线性方程组的解对系数矩阵和右端常数项的敏感性问题。

数值分析复习试题及参考答案

1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x 的绝对误差限。

解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε()07057.00005.0115.80005.01025.621=⨯+⨯≈x x ε2、设430.56,1021.12≈≈x x均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x +的绝对误差限。

解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε0055.0)()()(2121=+=+x x x x εεε3、简答题（1）已知12622)(256+-+-=x xxxx f ，求]1,0[f 及]6,5,4,3,2,1,0[f 。

解：由f(0)=1,f(1)=5得 []()()41011,0=-=f f f因为最高阶差商只出现在最高次，所以[]26,5,4,3,2,1,0=f（2）求积公式[])1()0(121)]1()0([21)(1f f f f dx x f '-'++≈⎰的代数精度为多少？解：令()xx f =，则()21211021==⎰xdx x f ，右边=21，左边=右边同理令()2xx f =，()3xx f =均准确成立，()4xx f =时，左边≠右边所以，上式具有3阶精度4、求满足下表条件的Hermit 插值多项式。

x0 1)(x f -1 0 )(x f '-210解：使用重节点差商表法x y 一阶二阶三阶 0 -1 0 -1 -2 1 0 1 3 1 010 9 6()()1236163212322---=-++--=x x x x xx x x H5、已知函数)(x f y =的数据如下：x1 2 4 -5 )(x f3 4 1 0（1）求3次Lagrange 插值多项式；（2）求3次Newton 插值多项式；（3）写出插值余项。

数值分析复习题

γ1 β2
α3
1
γ2 β3
α4
-5-
= LU γ3 β4
由矩阵乘法得
β1 = 2, γ 1 = 1, γ 2 = 1, γ 3 = 1, α 2 = , β 2 = , α 3 = , β 3 = , α4 =
从而
2 1 5 1 1 2 2 3 ，U = 1 1 5 5 10 7 1 − 3 3 3 7 14 （2）解方程 LY = b 得 Y = (1, , , − ) Τ 2 5 3 1 1 2 L=
解：（1）设有分解
1 0 1 0 0 2 0 1 l 1 0 1 = 21 2 4 3 l 31 1 0 3 l 41 1 l32 l 42 1 l 43
由矩阵乘法可逐行、逐列分别求出 u ij 和 lij
1 l 21 l31 l 41 1 1 0 0 1 u 22 = ， 1 2 1 1 0 1 0 1 2 u 23 u 33 0 1 0 2 0 u 24 = 1 0 1 u 34 2 1 u 44 2
3 3 5 1 3 5 9 = l 21 5 9 17 l 31 1 l32 d1 1 d2 d3 1 l 21 1 l31 l32 1
由矩阵乘法可逐行求得 2 5 d1 = 3, d 2 = 2, d 3 = , l 21 = 1, l31 = , l 32 = 2 3 3 （2）解方程组
k →∞
三、各章计算证明题第二章代数方程组的直接解法
1 0 1.用杜利特分解法解方程组 1 0 0 2 0 x1 5 1 0 1 x 2 3 = 2 4 3 x3 17 1 0 3 x 4 7 1 1 0 u 22 2 u 23 u 33 0 u 24 u 34 u 44

数值分析整理版试题及答案

例1、已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式. 解：（1）插值基函数分别为()()()()()()()()()()1200102121()1211126x x x x x x l x x x x x x x ----===--------()()()()()()()()()()021*******()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+---+-()()()()()()()()()()0122021111()1121213x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+--+-故所求二次拉格朗日插值多项式为()()()()()()()()()()()2202()11131201241162314121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤=-⨯--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑(2）一阶均差、二阶均差分别为[]()()[]()()[][][]010*********011201202303,11204,41234,,52,,126f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----===----===---故所求Newton 二次插值多项式为()()[]()[]()()()()()20010012012,,,35311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-++++-=+-例2、设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1］上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式.解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=,且()1x ρ=，这样，有()()()()()()()()1120011011201100012101,11,,3123,,,,32269,324dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ========++==++=⎰⎰⎰⎰⎰ 所以,法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦再回代解该方程，得到14a =,0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、设()xf x e =,[0,1]x ∈，试求()f x 在［0， 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式. 解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样,有()()()()()()100012110101100100110,111,31,,2, 1.7183,1x x dx x dx xdx f e dx f xe dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ===========⎰⎰⎰⎰⎰所以，法方程为0111 1.7183211123a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦解法方程，得到00.8732a =,1 1.6902a =，故，所求最佳平方逼近多项式为*1()0.8732 1.6902S x x =+例4、用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。

数值分析计算方法试题集及答案

数值分析复习试题第一章绪论一. 填空题 1.*x 为精确值x 的近似值;()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-:***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差.3、分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6位和 7 1.73≈（三位有效数字）-211.73 10 2≤⨯。

4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字,则12x x 的相对误差限为 0.0055 .5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0。

01 。

6、已知近似值 2.4560A x=是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0。

0000204 。

7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取01.41y ≈作计算，则计算到10y 时，误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定。

8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。

9、若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2＊10—5。

数值分析14差商的概念

数值分析14差商的概念差商，也称为均差，是数值分析中的一个重要概念。

它在差分法、数值插值以及数值微积分等领域都有广泛的应用。

差商的定义如下：给定n个不同的数x0，x1，x2，...，xn和函数f(x)，差商的定义为：f[x0,x1]=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)f[x1,x2]=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)...f[xn-1, xn] = (f(xn) - f(xn-1)) / (xn - xn-1)其中，方括号表示差商的符号。

从定义中可以看出，差商是基于相邻点的函数值之间的差异来计算的。

利用差商，我们可以构造更高阶的差商。

例如，二阶差商可以通过一阶差商计算得到：f[x0,x1,x2]=(f[x1,x2]-f[x0,x1])/(x2-x0)同样地，我们可以通过递归的方式计算更高阶的差商。

差商的应用非常广泛。

其中一个主要的应用是数值插值。

数值插值是指用一些已知的数据点来估计未知函数在其他特定点的值。

通过计算差商，我们可以构造一个多项式来拟合这些已知点，从而得到未知点的函数值。

差分法也是差商的重要应用之一、在差分法中，我们将微分方程转化为差分方程，并通过计算差商来逼近微分方程的解。

差分法广泛应用于数值求解微分方程的过程中。

此外，差商还被应用于数值微积分中的数值微分和数值积分。

通过计算差商，我们可以近似计算函数的导数和定积分。

总结起来，差商是数值分析中一个重要的概念，可以应用于数值插值、差分法、数值微分和数值积分等领域。

通过计算差商，我们可以近似计算函数的变化率和定积分，从而帮助我们解决各种数值问题。

数值分析课后部分习题答案

证明由差商的定义 (a) 如果 F ( x ) = cf ( x ) ，则
F [ x0 , x1 ,⋯ , xn ] =
=
F [ x1 , x2 ,⋯ , xn ]-F [ x0 , x1 ,⋯ , xn− 1 ] x n − x0
cf [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-cf [ x0 , x1 ,⋯ , xn −1 ] x n − x0 f [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-f [ x0 , x1 ,⋯ , xn−1 ] = cf [ x0 , x1 , ⋯ , xn ] . x n − x0
1 1 1 1 |e( x*)| ≤ × 10m − n = × 10−2 ， |e( y*)| ≤ × 10m − n = × 10 −2 ， 2 2 2 2 1 1 |e( z*)| ≤ × 10 m − n = × 10 −2 ， 2 2 | e( y * z*) |≈| z * e ( y*) + y * e ( z *) |≤ z * | e ( y *) | + y * | e (z *) |
m − n = −3 ，所以， n = 4 ； z * = 0.00052 = 0.52 × 10−3 ，即 m = −3
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得即
m − n = −3 ，所以， n = 0 .
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
1 1 ≤ 2.35 × × 10−2 + 1.84 × × 10−2 = 2.095 × 10−2 ， 2 2 1 | e( x * + y * z*) |≈| e( x*) + e( y * z*) |≤ × 10 −2 + 2.095 × 10−2 2 1 = 0.2595 × 10−1 ≤ × 10−1 ， 2

数值分析考试题

数值分析考试题一、选择题1. 以下哪个方法不是数值分析中常用的数值积分方法？A. 梯形法则B. 辛普森法则C. 牛顿法D. 龙格-库塔法2. 在求解线性方程组的直接方法中，高斯消元法属于以下哪种类型？A. 列主元消去法B. 行主元消去法C. 完全主元消去法D. 选主元消去法3. 非线性方程求根的二分法属于以下哪种类型的数值方法？A. 迭代法B. 直接法C. 优化算法D. 插值法4. 在数值分析中，用于度量舍入误差的常用指标是：A. 截断误差B. 舍入误差C. 估计误差D. 计算误差5. 插值多项式的最高次数与插值节点的数量关系是：A. 次数多于节点数量B. 次数少于节点数量C. 次数等于节点数量D. 与节点数量无关二、填空题1. 在数值分析中，__________是用来描述一个算法在实际运算中所需步数的度量。

2. 线性方程组的雅可比方法是一种__________消去法。

3. 牛顿法在求解非线性方程时，每次迭代都需要计算__________。

4. 龙格现象是指在数值积分中，由于__________而引起的误差。

5. 在多项式插值中，拉格朗日插值法是通过__________来构建插值多项式的。

三、简答题1. 请简述数值分析中的截断误差和舍入误差的区别。

2. 描述高斯-赛德尔迭代法的基本思想，并与雅可比迭代法进行比较。

3. 解释在数值积分中为什么需要使用自适应方法。

4. 讨论在求解非线性方程时，二分法与牛顿法的适用条件和优缺点。

5. 分析多项式插值与样条插值的主要区别及其各自的应用场景。

四、计算题1. 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上使用梯形法则计算积分的近似值，取4个等分点。

2. 设线性方程组如下：\[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 2y + 4z = 14 \\3x + y + 2z = 10\end{cases}\]使用高斯消元法求解该方程组的解。

数值分析复习题答案

数值分析复习题答案数值分析复习题答案数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科。

在实际问题中，我们经常需要通过数值计算方法来求解数学模型，这就需要我们掌握数值分析的基本概念和方法。

下面是一些数值分析复习题的答案，希望能对你的复习有所帮助。

一、差分法与数值微分1. 差分法是一种数值计算方法，通过计算函数在一点的导数来近似计算函数在该点的值。

常用的差分法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。

2. 前向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h，其中h为步长。

3. 后向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h，其中h为步长。

4. 中心差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)，其中h为步长。

5. 数值微分是使用差分法来近似计算函数的导数。

通过选取合适的步长，可以使数值微分的误差最小化。

二、插值法与数值积分1. 插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。

常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。

2. 拉格朗日插值法通过构造一个多项式来逼近已知数据点，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。

3. 牛顿插值法是利用差商的概念来构造一个多项式，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。

4. 数值积分是一种通过数值计算来近似计算函数的定积分。

常用的数值积分方法有梯形法则和辛普森法则。

5. 梯形法则通过将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形面积来近似计算积分。

6. 辛普森法则是在梯形法则的基础上进一步改进的方法，它使用抛物线来逼近函数的曲线，从而提高了积分的精度。

三、数值方程求解1. 数值方程求解是通过数值计算方法来求解非线性方程或线性方程组的方法。

2. 常用的数值方程求解方法有二分法、牛顿法和高斯消元法。

3. 二分法是一种通过不断缩小区间范围来逼近方程的根的方法。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。

A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。

A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。

A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。

A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。

A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。

A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。

A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。

A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。

A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。

A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。

A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。

A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。

A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。

A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。

A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。

A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。

A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。

答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。

答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。

答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。

《数值分析》复习题(14)

《数值分析》一、填空题1. 已知近似数 1.28y *=-，则其绝对误差限为 0.005 ，相对误差限是 0.0039 。

2. 设 1.28057x *=是准确值 1.28367x =的近似值，则x 有 3 位有效数字，相对误差限是 0.0024 。

3. 求方程sin x x =的Newton 迭代公式是。

5. 在数值计算中，计算1cos 2.6-o 应变成来计算。

6. 由秦九韶算法，543262975y x x x x x =-++--应改写为。

8. 已知3132A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则谱半径()A ρ= 32. 测量一支铅笔长是16cm ，那么测量的绝对误差限是 0.5cm ，测量的相对误差限是3.1% 。

3. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 0.5cm ，相对误差限是 0.20% 。

4. 在数值计算中，当a1/(√(a+1) +√a) 5. 在数值计算中，计算356-应变成（3561+）来计算。

6. 在数值计算中，计算1cos3- 应变为2)5.1(sin 2⨯来计算。

7. 若543()2792100f x x x x x =-+-+，则12345[1,4,4,4,4,4]f =____2_______，123456[1,3,3,3,3,3,3]f = 0 。

8. 函数()f x 关于三个节点012,,x x x 的拉格朗日二次插值多项式为 f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)] ， 9. 当()f x x =时，(,)n B f x =∑f （k/n ）Pk(x)= x 。

10. 代数式222236()66x xR x x x +=++ _________,323222122()23x x R x x x ++=++ _____.11. 已知方程组123123123103127322115x x x x x x x x x --=-⎧⎪-++=⎨⎪+-=-⎩，那么收敛的Jacobi 迭代格式为：，收敛的G S -迭代格式为：收敛理由是方程组的系数矩阵为严格对角占优阵12. 已知线性方程组1233111193234184x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么收敛的Jacobi 迭代格式：收敛的G-S 迭代格式：。

数值分析14差商(均差)的概念

定义误差余项: R(x) = f(x) – L(x) 由插值条件,知 R(x)=C(x) (x – x0)(x – x1)
即 f(x) –L(x) = C(x) (x – x0)(x – x1)
C(x) = ???
2/18
定理5.2 设 f(x)∈C[a, b], 且 f (x) 在(a, b)内具有 n+1阶导数, 取插值结点 a≤x0＜x1＜··＜xn≤b ·· ··
( j = 0,1,…,n-1 )
二阶均差 f [ x j , x j 1 , x j 2 ]
f [ x j1 , x j 2 ] f [ x j , x j1 ] x j 2 x j
( j = 0,1,…,n-2 ) n阶均差
f [ x 0 , x1 , , x n ] f [ x1 , , x n ] f [ x 0 , x n1 ] xn x0
f [ x , x 0 , x k 1 ] f [ x 0 , x 1 , x k ] f [ x , x 0 , x k ]( x x k )
( x x k ) k ( x ) k 1 ( x )
f ( x ) f ( x 0 ) f [ x 0 , x 1 ] 1 ( x ) f [ x 0 , x 1 , , x k ] k ( x ) f [ x , x 0 , , x k ] k 1 ( x )
( n 1 )( n 2 )( n 3 )( n 4 )
17/18
P(n)=1+(n-1)(8+(n-2)(19/2+(n-3)(3+(n-4)/4)))
= 1 + (n – 1)(8+(n – 2)(19/2+(n – 3 )(n/4+2)))

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

数值分析复习题及答案

数值分析复习题一、选择题1. 和分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =，那么 1______x =。

5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。

数值分析14差商(均差)的概念(精选)PPT文档20页

数值分析14差商(均差)的概念（精选）
16、人民应该为法律而战斗，就像为了城墙而战斗一样。 ——赫拉克利特 17、人类对于不公正的行为加以指责，并非因为他们愿意做出这种行为，而是惟恐自己会成为这种行为的牺牲者。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强者做什么事都横行霸道。— —奥维德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含义是财富。— —爱献生

6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you