刚体的一般运动的运动学与动力学 动力学教学课件

ao1 0
7
§4-1、刚体一般运动的运动学
x1
x1
z1
M
z1
o1
v o1 y1
P
aM(ro1M)
aM v Mo 1
vM1o( ro1M) ( z1 x1)ro1M
r x1 o1M
aM ( z1 x1)vM1o
0Rj
z1vM 1 o x1vM 1o02Ri 02Rk
8
§6-4-1、刚体一般运动的运动学
2 z'
a 1r
1 si ' n 1 cj o ' r k 's T25mR22
si ' i c n j ' o k ' s 8
24
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
1 2R
应用动能定理 dT W
M O
x'
4M 25mR2
2
T 25mR22
C
8
P
z ' dT25mR2d
（3）动能：
T
12其m 中：vC2T C rT Cr1 2Jc'xx 2 ' 1 2Jc'y
y 2' 1 2Jc'z
2 z'
T1 2vcxvcyvcz mm v vc c y x1 2x'
y'
Jc'x
z'
Jc'y
x' y' ,
m vc z
Jc' z z'
z
M
o
yc
x
x' mg
例: 已知半径为R质量为m的圆盘可 绕AC轴自由转动，OA轴在力偶M 的作用下绕铅垂轴转动，忽略所有 摩擦。 建立系统运动微分方程。
设AC=L＝2R，OA轴对z轴的转动
惯量为J
z'
方法一：应用拉格朗日方程
y ' 方法二：应用动量矩定理
18
方法一：应用拉格朗日方程
z
系统的动能： T1 2J21 2mC 2vTC r
v cx v cy v c z x Cy Cz C
y'
B(
,)
z'
q T T 1 x 2 C x cy C y cz C zc m x zy c c c ,1 2 M m 0B B T 0 J TJ B B
1 2
qT
Mq
13
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
x' x' y' y'
(Jz' ( J x'
J y')y'z' J z')x'z'
M x' M y'
1 2
mR2z'
0
J
z
' z '
(J y'
J x')x'y'
M z'
15
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
z
FOz
147mR2x' 2mgR
xy z x x ''' ' 0o, s c s My23'o FiOiOc z,s n y s n yz'o i0m n g s s c cio n 1 124 zxs y''xyz'm'''m 7 R 02 2 R y z'1 ' 11 2 4 02m M 5o在上间2 z R 随的的2 0 12求体投导181 7m 角坐影数g R速标对。R 21度轴时M 62o1z
x' sin y' cos
c
z ' z' Mz' 0
x
x' mg
J x'x' (J z' J y')y'z' M x'
y ' J y' y' (Jx' Jz')x'z' M y'
J
z
' z
'
(J
y'
J x')x'y'
M z'
0 Jz'z' M z'
J c' z z ' J c' z 0
y'
4
W M •1 d tM dt
25m2R dMdt
4
285mMR2
a k k'1r
25
本章基本内容
刚体定点运动的运动学
运动方程、欧拉角、有限转动和无限小转动的性质、角速
度、角加速度、点的速度和加速度。
定点运动刚体的动力学
欧拉动力学方程、陀螺近似理论、陀螺力矩、陀螺的动力
学特性。
刚体一般运动
例: 已知半径为R质量为m的圆盘可绕OC杆自由转动，杆的O端 用光滑柱铰链悬挂在天花板上。已知图示瞬时，杆的角速度
为 1 圆盘绕杆的角速度为 2 。求该瞬时，杆的角加速度，
圆盘自转角加速度和铰链O的约束力。 OC=L＝2R
z
2
FOz
1y
x ' o x
FOy M Oz
z'
c
y ' mg
1、运动分析、受力分析 2、确定要求的未知量 3、确定惯量主轴，计算转动惯量 4、计算角速度在轴上的投影 5、计算力对轴之矩
0 22
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
例：已知不计质量的OA轴绕铅垂轴转动，半径为R的圆盘与碾
盘无滑动，若在转轴上作用一个力偶M，图示瞬时转轴的角速
度为 1，求圆盘在该瞬时的角加速度。（不计圆盘的厚度）
1 2R
解： a 1r
O
M
r C
k k '
a k k'k'
z'
P
k '1k'
x x'
N
y'sincos sin 0 z' cos 0 1
节线
B(,)
12
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
T1 2vcxvcyvcz mm v vc c y x 1 2x'
y'
Jc'x
z'
Jc'y
x' y' ,
m vc z
Jc' z z'
x'
z z1，x1：常矢量1
M
z1
vo1 ro1P
ro1P(z1x1)
o1
x1
x1
P
v o1 y1
ro1Px10Rj
vMvo1ro1M
0Rj( z1x1)ro1M
0Rj x1ro1M
20Rj
（3）求M点的加速度 a M a o ' r o 1 M ( r o 1 M )
vo1 0Rj ?
14
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
z
2
初始位置 0,3,0
FOz
1y
x ' o x
FOy M Oz
z'
c
Jz' x'
1 mR2
2
Jx'
1
Jy'2147mR2 Mx' 2mgR
y' 0
My' Moz
z' 2 Mz' 0
1 14 47m m 7R2 2 R y x'' y'1 42m 5 mg2 R mR2 g1M ozJJ
刚体一般运动的运动学（平移运动＋定点运动）
刚体一般运动的动力学（动量定理＋相对质心的动量矩定
理）
26
x o
M
y
T C r1 2Jc'xx 2 ' 1 2Jc'y
y 2 ' 1 2Jc'z
2 z'
c
Jz'
1 2
mR2
Jx'
Jy'
1mR2 4
z'
vc L x' sin
y '
x' mg
y' cos
z'
T1J 21m 72 R 21m2 R 2
28
4
19
方法一：应用拉格朗日方程
z
MCy'
相对质心的动量矩定理：
dLrc
dt
M(Fie)
Jcz'z' (Jcy' Jcx' )x'y'
MCz'
10
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
刚体一般运动基本物理量的计算 （1）动量： p mvC
（2）对固定点O的动量矩： L OrO C(m vC)L rC
其中： L r CJc'xx'i' Jc'yy'j' Jc'zz'k '
y ' k'(1k')
x'
a k k'1r
1(k')
1r 23
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
1 2R
动点：P；动系：OC轴
M O
T 12mvC2 TCr
r
vC C
vavevr vpvcvr
vP 0 vc2R
z ' v rrR R
P
0 2 R R
y'
xT C 'rv r 1 2Jc'xx 2 '1 2Jc 'y2y 2 ' 1 2 Jc'z
T1J 21m 72 R 21m2 R 2
28
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
M
o
yc
x
x' mg
d dt
T qj
qTj
Q'j
(j 1,2)
z ' QM, Q0
(J17mR2)M
y'
4
1 mR2 0
2
20
方法二：应用动量矩定理
z
研究整体 L O J k r O C ( m v C ) L r C
L rCJc'xx'i' Jc'yy'j' Jc'zz'k'
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
z
FOz
y
x ' o x
FOy M Oz
z'
c
y ' mg
8g
17 R
x' 1
z' 2
mac Fie
m (aC t aC n)F o zF oy m g
z: mL F o zmg y: mL 2F oy
Foz
1 mg 17
Foy2mR12
17
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
例: 已知半径为R钢球在地面上纯滚动。O 为球心，A、B、C、O共 面，图示瞬时A、B两点的速度水平向右，大小均为u。求此瞬时
球的角速度。
vA vB
B
A
vA
O
vB
C
vM vo ' r'
取C为基点 vA rCA (1 )
vB rCB (2 )
r C A r C B 0
(rC A rC) B0
§6-4、刚体的一般运动的运动学与动力学
1
刚体一般运动的实例
2
§6-4-1、刚体一般运动的运动学 问题：如何确定自由刚体在空间的位置？
3
§4-1、刚体一般运动的运动学
例：半径为R的保龄球在地面上纯滚动，已知该球绕铅垂轴的角
速度是 z1 ，绕水平轴的角速度为 x1 ，其大小均为常量ω0。
求保龄球的角速度，角加速度，球体最高点M的速度和加速度。
z z1，x1：常矢量1
M
z1
o1
x1
x1
P
解：（1）求角速度和角加速度
v o1 y1
z1x10k0i
d 0
dt
（2）求M点的速度
vMvo1ro1M 0 vPv?o1ro1P
vo1 ro1P ro1Px1 6
§4-1、刚体一般运动的运动学
//rBA
rBA0
由（2）得：
u
2R
9
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
三、刚体一般运动的运动微分方程
质心运动定理：
zr
z1
M
r'
mac Fie
m xc F x
m
y
c
Fy
m
zc
Fz
yr o '
c y1
x
x1
Jcx'x' (Jcz' Jcy' )y'z' MCx'
Jcy' y' (Jcx' Jcz' )x'z'
M
x' sin y' cos
o
yc
x
y' x'
mg
z'
z ' LOzJ mL2
(Jcx'x' sin)
(Jcy'y' cos)
LOz(J147mR2)
LOz M
21
方法二：应用动量矩定理
z 研究圆盘：应用相对质心的动量矩定理
L rCJc'xx'i' Jc'yy'j' Jc'zz'k'
M
y o
其中：cx',cy',cz' 为中心惯量主轴 11
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
（4）角速度在惯量主轴上的投影： k n k '
z' z
欧拉角 znz'
z'
z
y'
y
x ' s isn i n c os
y ' s ic n o s s in
z' co s
n
x' sinsin cos 0