刚体的一般运动的运动学与动力学 动力学教学课件
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
分析刚体的运动学和动力学问题
分析刚体的运动学和动力学问题摘要本文主要介绍了刚体的运动学和动力学问题。
首先，我们介绍了刚体的概念及其特点，解释了什么是刚体运动学和动力学。
其次，我们详细讨论了刚体的运动学问题，包括刚体的位移、速度和加速度的计算方法，以及刚体的角位移、角速度和角加速度的计算方法。
然后，我们深入探讨了刚体的动力学问题，包括刚体的受力分析、刚体平衡条件的推导，以及刚体的动量和动能的计算方法。
最后，我们还介绍了一些常见的刚体运动学和动力学问题，并给出了相应的实例分析。
关键词：刚体，运动学，动力学，位移，速度，加速度，角位移，角速度，角加速度，受力分析，平衡条件，动量，动能1. 引言刚体是物理学中一个重要的概念，广泛应用于力学、工程、机械等领域。
刚体的运动学和动力学问题是研究刚体运动规律的基础，对于理解和应用刚体的运动行为具有重要意义。
2. 刚体的概念及特点刚体是指在外力作用下始终保持形状不变的物体，其内部各个点间的相对位置和相对距离不会发生变化。
刚体的特点是分子之间的相对位置保持不变，相互作用力保持不变，因此刚体具有固定的外形和尺寸。
3. 刚体运动学问题刚体运动学是研究刚体的位置、速度和加速度随时间变化的规律。
对于刚体的位移、速度和加速度的计算，我们可以从两方面来考虑：3.1 刚体的直线运动对于刚体的直线运动，我们可以利用刚体的质心来进行计算。
刚体的质心是所有质点的质量之和与各质点质量的加权平均值。
通过计算刚体的质心的位移、速度和加速度，我们可以得到刚体的直线运动规律。
3.2 刚体的转动运动对于刚体的转动运动，我们需要引入刚体的转动轴和转动角。
刚体的转动轴是通过刚体上的一个点且与刚体的质心相距一定距离的直线。
刚体的转动角是刚体围绕转动轴旋转过的角度。
通过计算刚体的转动角、角速度和角加速度，我们可以得到刚体的转动运动规律。
4. 刚体动力学问题刚体动力学是研究刚体受力分析、平衡条件和动量、动能的变化规律。
对于刚体的受力分析，我们可以利用牛顿第二定律和刚体的转动惯量来进行计算。
第4章刚体的运动学和动力学
P
II
M
d d 2 2 f " (t ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt dt
当 β c
0 t 1 2 ( ) t t 0 2 2 2 0 2 ( 0 )
z ω,
与质点的匀加速直线运动公式相象
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr J
(2) mg T ma
rO
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mgr J mr 2
两者区别
F
mg
Tr J a r
98 0.2 2 21 . 8 rad/s 0.5 10 0.22
例如 T' T
x dx
x
• 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算
T' T
M i TR T' R
M i TR T' r
二. 刚体对定轴的转动定律
实验证明 当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动 当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比
M J
刚体的转动定律
M kJ
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 m l x O 求 它由此下摆 角时的 解 取一质元
M xdm g g xdm
C
mg
dm
M mgxC
1 M mgl cos 2
xdm mxC
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
L x
J
1 x dx ML2 3
刚体运动的基本原理与动力学分析
刚体运动的基本原理与动力学分析刚体运动是物理学中的重要概念，研究刚体的基本原理和动力学分析对于理解力学运动规律具有重要意义。
本文将从刚体的定义、刚体运动的基本原理，以及刚体的动力学分析等方面展开论述。
一、刚体的定义刚体是指在力的作用下，保持形状和体积不变的物体。
刚体的特点是不易变形，内部各点之间的相对位置保持不变。
二、刚体运动的基本原理1. 平动和转动刚体运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体上所有点按照相同方向和相同距离运动，转动是指刚体绕着某个轴旋转。
2. 受力和力矩刚体的运动受到外力的作用，外力可以分为接触力和非接触力。
接触力是指物体之间直接接触施加的力，非接触力是指物体间通过场的相互作用施加的力，如重力和电磁力等。
另外，刚体的转动还受到力矩的影响。
力矩是由作用力与力臂的乘积，用来描述力对刚体的转动效果。
力矩的方向由右手定则确定，大小等于力的大小与力臂的长度之积。
3. 刚体的运动学方程刚体的运动学方程描述了刚体在运动过程中各个部分的位置、速度和加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律和运动学关系可以得到刚体的运动学方程。
三、刚体的动力学分析1. 平动的动力学分析刚体的平动运动可以通过牛顿第二定律进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力等于刚体的质量与加速度的乘积。
2. 转动的动力学分析刚体的转动运动需要通过力矩和转动惯量进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。
此外，刚体的角动量和动能也是进行动力学分析的重要物理量。
角动量等于刚体的转动惯量与角速度的乘积，动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。
四、刚体运动的应用刚体运动的研究在工程、医学等领域有广泛应用。
例如在机械工程中，对机械零件的运动进行分析可以用于设计和优化机械结构；在生物医学中，对人体骨骼系统的运动学和动力学分析可以用于疾病的诊断和康复治疗。
总结：刚体运动的基本原理和动力学分析是研究力学运动规律中的重要内容。
§3.1 刚体运动的分析
空间力系的简化 可以简化为空间定点的一个单力F和一个力偶矩M，F称主矢， M称主矩，定点称简化中心。
Note: (1)简化中心可以任意选取（一般取质心）；
(2)主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。
例如：作用在A点的力F分别向B、C迁移：
B rBC
迁移到B，需添加：M
z
质点组(n个质点)：自由度= 3n
确定刚体在空间的位置，最少需要几个独立变量？
B
A
C
至少需要6个独立变6个独立变量？
刚体位置的描述 （1）三点法：
C xC , yC , zC
从9个非独立坐标 中任取6个独立的
A xA, yA, zA B xB , yB , zB
定点转动的自由度：3个
§3.2 角速度矢量
设刚体绕通过定点O的某轴线转动了Δθ角度
角位移： 在转动轴上截取有向线段 n称为角位移
n的方向：与旋转方向成右手螺旋关系
n
n
角位移是不是矢量？
——矢量的合成满足平行四边形法则 满足对易律：A+B=B+A
A B
有限转动 ：角位移不是矢量，不满足矢量加法对易律
dJ dt
Fe Me
刚体： mdJrC dt
i i
Fie
F
ri
Fi e
M
Note：
6个方程正好确定
①明确方程中各个量的意义。 刚体的6个独立变量
F
:主矢
J ,
M：以质心为中心得到的动量矩和主矩。
②当研究刚体对固定点的转动时，可以将第二方程换为
dJ dt
i
ri
Fi e
第二章 刚体运动学与动力学(下)讲解
极轴z 为最大惯量矩主轴时，
，z 趋向于Z ，转变为绕 极轴的永久转动。
极轴z 为最小惯量矩主轴时， ，z 趋向于与Z 轴垂直， 转变为绕赤道轴的永久 转动。
两种情况的最终阻尼结 果都是使转子自动选择 最大惯量矩 主轴作为永久转动轴。
因此变形体绕最小惯量 矩主轴的永久转动不稳 定。
这与刚 体的结论相反。
此结论 在航天领域中称为 最大轴原则 。
1958 年美国的细长形自旋卫 星Explorer 1 由于挠性天线变形 导致的失稳现象可由此 解释。
§2-7 刚体自由运动的动力学 为了简洁地描述刚体的自由运动，通常选刚体的质心 为基点。
根据质心运动定理和相对质心的动量矩定理，可 建立刚体质心运动和相对质心运动的运动微分方程。
同理：
以
上六式就是刚体自由 运动的运动微分方程。
高等教育：刚体19952
注意:对同轴的转动惯量 才具有可加减性。
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
30
一些均匀刚体的转动惯量表
31
四:平行轴定理
J D JC md 2
d
m
D
C
32
练习 求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量
z
A
mB
L4 o C
L
Jz
l 2dm 3L 4 m l 2dl 7 mL2
L 4 L
48
解二：
Jz
J oA
J oB
1 3
m 4
L 4
2
1 3
3m 4
3L 4
2
7 48
mL2
解三：
Jz
JC
m
L 4
2
1 12
mL2
m
L 4
2
7 48
mL2
33
§4-3 角动量 角动量守恒定律
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律
数为 ，求 m1 下落的加速度和两段绳中的张力。
m2
ro m
m1
解：在地面参考系中，选取 m1 、m2 和滑轮为研究对
象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：
19
T1
m1
a
m1g
a
N
m2 g m2
T2
m2 g
T2
向里+
Ny
o
Nx
T1
列方程如下： 可求解
第十章刚体的定点运动及一般运动_理论力学
章动角 等于或近似于常数， 且进动角速度
动称为规则进动。用欧拉角描述规则进动十分方便。 §10-4 刚体绕相交轴转动的合成 刚体绕相交轴转动的合成运动是绕定点运动。
1.
刚体绕两相交轴转动之合成
图 10-7 所示为一两自由度陀 转动， 转子相对于框架绕 CD 轴以 转动， 两轴交点 O 固
螺， 框架 ABCD 绕定轴 Az 以
107角加速度见图106所以108规则进动欧拉角的实际重要性在于有许多力学系统其刚体的运动学方程式中章动角等于或近似于常数且进动角速度和自转角速度等于或近似于常数这种运动称为规则进动
第十章 刚体的定点运动及一般运动 1. 刚体绕固定点运动时，具有三个自由度（见图 10-1）用欧拉角描述其在空间的方位。
角→x'y'z'，形成如图 10-3 所示之欧拉角。 四轴共面，且与 Oz' 正交。
3.
刚 体 绕 定 点 运 动 方 程 式
（10-1） 是时间的单值连续函数。 由式（10-1）可见，定点运动一般具有三个自由度。 角速度矢量 ， 和 如图 10-4 所示。则 （10-2） 可见，定点运动的绝对角速度是一个变矢量，即
A 点的向轴加速度为
最后得 A 点的加速度为
矢量 aA 在 Oy1z1 平面内，且与 Oy1 轴的夹角为
2、 以上是利用瞬时转动轴及瞬时角速度方法求解。下面利用点的合成运动的方法求 A 点的 速度及加速度。 作动坐标系 固结在轴 OO1 上，则牵连运动即为刚体绕 Oz 轴以公转角速度的
转动，A 点相对于动坐标系的速度可由刚体自转角速度决定。 由于公转角速度 和瞬时转动轴位置 OC 已知，不难求出自转角速度 为（图 b）
这样， 定点 O 和瞬时速度为零的 C 点连线 OC 就是碾轮的瞬时转动轴。 由碾轮牵连角
刚体动力学.ppt
如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平 行，这样的运动就称为平动。
平动刚体内各质点的运动状态完全相同。
平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。
2
如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转 轴)作圆周运动，这种运动便称为转动。
转轴固定不动定轴转动。 刚体一般运动可看作是平
动和转动的结合。
3
I 1 mR 2 2
水平桌面
o
dr r
M 4g
I
3R
19
M 4g
I
3R
求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
由= o+ t = 0得
t o 3RO 4g
又由2-o2=2， 水平桌面
停下来前转过的圈数为
o
dr r
N o2 3o2 R 2 2 16 g
o
力矩的大小: 方向:
M =F rsin
rF
=Fd
d
r
F
注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会
Mz
F
产生力矩; 平行于转轴的力是
不会产生力矩的。
(2)力矩的方向沿转轴。
5
2.刚体定轴转动定理
mi: 切向方程:
Fi sini fij sini miai miri
Firi sini fijri sini miri2
撤去外力矩时,
-Mr=I2 , 2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s,
得
I=17.3kg.m2 。
15
例题1.4 匀质柱体(M、R) 边缘用细绳 挂一质量为m的物体。求柱体的角加速度 及绳中的张力。
第十三讲刚体的运动和动力学问题 (1)
第十三讲 刚体的运动学与动力学问题一 竞赛内容提要 1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律。
二 竞赛扩充的内容1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。
刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。
2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同。
3、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的角位移Φ、角速度ω和角加速度β相同（可与运动学的s 、v 、a 进行类比）。
且有：ω=t t ∆∆Φ→∆lim 0；β=t t ∆∆→∆ωlim0。
当β为常量时，刚体做匀加速转动，类似于匀加速运动，此时有：ω=ω0+βt ； Φ=Φ0+ω0t+βt 2/2；ω2－ω02=2β（Φ－Φ0）。
式中，Φ0、ω0分别是初始时刻的角位移和角速度。
对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况，有：v=ωR ， a τ=βR ， a n =ω2R=v 2/R, 式中，R 是该点到轴的距离，a τ、a n 分别是切向加速度和法向加速度。
例1 有一车轮绕轮心以角速度ω匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度v 0、加速度a 作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程。
例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度θ和时间t 的关系式为：θ=at+bt 2－ct 3，式中，a 、b 、c 都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r 处的切向加速度和法向加速度。
例3 如图所示，顶杆AB 可在竖直槽K 内滑动，其下端由凸轮K 推动，凸轮绕O 轴以匀角速度ω转动，在图示瞬间，OA=r ，凸轮轮缘与A 接触处，法线n 与OA 之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆OA 的速度。
刚体基本运动
即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小， 等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的 at 方向与速度垂直并指向轴线。
w
a
M
r a n
j
s
M0
O
2.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点的全加速度为：
a
at
j
a at 2 an2 R a 2 w 4 at a tan 2 an w
2.1 刚体的平行移动
如果在物体内任取一直线段，在运动过程 中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种 运动称为平行移动，简称平动。
此处有影片播放
2.1刚体的平行移动
C
D
A
摆式输送机的料槽 筛分机构
B
直线行驶的列车车厢
2.1刚体的平行移动
在刚体上任取两点，令A的矢径为rA, B的矢径为rB,两条 矢端曲线是两点的轨迹。
动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。
r dr v lim dt t 0 t
动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿 动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。
1.1 矢量法
3. 加速度 点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加 速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。 点
1.3 自然法
全加速度为at和an的矢量和
a a t an
全加速度的大小和方向由下列二式决定：
v
大小：
at
a a t an
2
2
M
方向：
| at | tan an
an
a
例2：下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O 转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提 升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在 t＝4s时的速度和加速度。
刚体运动学、转动惯量、定轴转动
02
转动惯量
转动惯量的定义与计算
转动惯量的定义
转动惯量是描述刚体绕某轴转动惯性的物理量，其大小与刚体的质量分布和转 轴的位置有关。
转动惯量的计算
对于给定的刚体，可以计算出其绕不同轴的转动惯量。常用的计算方法有平行 轴定理、垂直轴定理和惯性积定理等。
角速度
描述刚体转动快慢的物理量，方向与转动轴线一致，单位为 弧度/秒。
角加速度
描述刚体转动角速度变化快慢的物理量，单位为弧度/秒²。
定轴转动的动力学方程
动力学方程
刚体的转动惯量与所受外 力矩之间的关系，表示刚 体转动状态变化的规律。
转动惯量
描述刚体转动惯性的物理 量，与刚体的质量分布和 转轴位置有关。
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刚体的运动形式
平动
刚体的整体相对于某参考系作平行于 某一直线的运动。
转动
刚体绕某一直线或某一固定点作圆周 运动。
刚体运动学的基本定理
牛顿第一定律
任何物体都保持其静止或匀速直线运动的状态， 除非有外力作用于它迫使它改变这种状态。
牛顿第二定律
物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成 反比。
牛顿第三定律
转动惯量的性质
01
02
03
转动惯量是标量
转动惯量只有大小，没有 方向，是一个标量。
转动惯量的正定性
转动惯量总是大于等于零， 即 J ≥ 0。
转动惯量的对称性
对于质量均匀分布的刚体， 其绕主轴的转动惯量最小。
转动惯量在动力学中的应用
1 2
刚体定轴转动的角动量守恒
对于不受外力矩作用的刚体，其绕定轴转动的角 动量是守恒的，即 L = Jω = 常数。
《刚体运动学》课件
理解定轴转动的定义和性质是掌握刚体运动学的基础。
详细描述
定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋转的刚体运动，具有角速度和角加速度两个重要的物理量。刚体在定轴转动 时，其上任意一点都以相同的角速度和角加速度绕轴线旋转。
定轴转动的合成与分解
总结词
掌握定轴转动的合成与分解是解决刚体动力学问题的关键。
详细描述
合成与分解的方法
通过选择合适的参考系和坐标系，利用矢量合成 和分解的方法进行计算。
刚体的定点平面运动
定义：刚体绕某一固定点在平 面内作圆周运动或椭圆运动。
描述参数：刚体的位置、速度 和加速度可以用定点、角位移 、角速度和角加速度等参数描
述。
动力学方程：根据牛顿第二定 律和刚体的转动定理，建立定 点平面运动的动力学方程。
在物理学中的应用
01
力学
刚体运动学是力学的一个重要分支，用于研究刚体的运动规律和力学性
质。通过刚体运动学分析，可以了解物体在不同力场作用下的运动状态
和变化规律。
02
天体物理学
在天体物理学中，刚体运动学用于研究天体的运动和演化。通过对天体
的刚体运动进行分析，可以了解天体的轨道、速度和加速度等运动参数
要点二
分解
空间运动的分解是指将一个复杂的运动分解为若干个简单 的运动。
刚体的定点空间运动
定义
刚体的定点空间运动是指刚体绕一个固定点在空间中的 旋转运动。
性质
定点空间运动具有旋转轴、旋转角速度和旋转中心等物 理量，其运动状态可以通过这些物理量来描述。
06
刚体运动学的应用
在工程中的应用
机械工程
刚体运动学在机械工程中广泛应用于机构分析和设计，如连杆机构、凸轮机构和齿轮机构等。通过刚体运动学分析， 可以确定机构的运动轨迹、速度和加速度，优化机构设计。
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例: 已知半径为R质量为m的圆盘可绕OC杆自由转动，杆的O端 用光滑柱铰链悬挂在天花板上。已知图示瞬时，杆的角速度
为 1 圆盘绕杆的角速度为 2 。求该瞬时，杆的角加速度，
圆盘自转角加速度和铰链O的约束力。 OC=L＝2R
z
2
FOz
1y
x ' o x
FOy M Oz
z'
c
y ' mg
1、运动分析、受力分析 2、确定要求的未知量 3、确定惯量主轴，计算转动惯量 4、计算角速度在轴上的投影 5、计算力对轴之矩
刚体一般运动的运动学（平移运动＋定点运动）
刚体一般运动的动力学（动量定理＋相对质心的动量矩定
理）
26
v cx v cy v c z x Cy Cz C
y'
B(
,)
z'
q T T 1 x 2 C x cy C y cz C zc m x zy c c c ,1 2 M m 0B B T 0 J TJ B B
1 2
qT
Mq
13
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
（3）动能：
T
12其m 中：vC2T C rT Cr1 2Jc'xx 2 ' 1 2Jc'y
y 2' 1 2Jc'z
2 z'
T1 2vcxvcyvcz mm v vc c y x1 2x'
y'
Jc'x
z'
Jc'y
x' y' ,
m vc z
Jc' z z'
例: 已知半径为R钢球在地面上纯滚动。O 为球心，A、B、C、O共 面，图示瞬时A、B两点的速度水平向右，大小均为u。求此瞬时
球的角速度。
vA vB
B
A
vA
O
vB
C
vM vo ' r'
取C为基点 vA rCA (1 )
vB rCB (2 )
r C A r C B 0
(rC A rC) B0
M
x' sin y' cos
o
yc
x
y' x'
mg
z'
z ' LOzJ mL2
(Jcx'x' sin)
(Jcy'y' cos)
LOz(J147mR2)
LOz M
21
方法二：应用动量矩定理
z 研究圆盘：应用相对质心的动量矩定理
L rCJc'xx'i' Jc'yy'j' Jc'zz'k'
M
y o
ao1 0
7
§4-1、刚体一般运动的运动学
x1
x1
z1
M
z1
o1
v o1 y1
P
aM(ro1M)
aM v Mo 1
vM1o( ro1M) ( z1 x1)ro1M
r x1 o1M
aM ( z1 x1)vM1o
0Rj
z1vM 1 o x1vM 1o02Ri 02Rk
8
§6-4-1、刚体一般运动的运动学
T1J 21m 72 R 21m2 R 2
28
4
M
o
yc
x
x' mg
d dt
T qj
qTj
Q'j
(j 1,2)
z ' QM, Q0
(J17mR2)M
y'
4
1 mR2 0
2
20
方法二：应用动量矩定理
z
研究整体 L O J k r O C ( m v C ) L r C
L rCJc'xx'i' Jc'yy'j' Jc'zz'k'
求保龄球的角速度，角加速度，球体最高点M的速度和加速度。
z z1，x1：常矢量1
M
z1
o1
x1
x1
P
解：（1）求角速度和角加速度
v o1 y1
z1x10k0i
d 0
dt
（2）求M点的速度
vMvo1ro1M 0 vPv?o1ro1P
vo1 ro1P ro1Px1 6
§4-1、刚体一般运动的运动学
MCy'
相对质心的动量矩定理：
dLrc
dt
M(Fie)
Jcz'z' (Jcy' Jcx' )x'y'
MCz'
10
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
刚体一般运动基本物理量的计算 （1）动量： p mvC
（2）对固定点O的动量矩： L OrO C(m vC)L rC
其中： L r CJc'xx'i' Jc'yy'j' Jc'zz'k '
§6-4、刚体的一般运动的运动学与动力学
1
刚体一般运动的实例
2
§6-4-1、刚体一般运动的运动学 问题：如何确定自由刚体在空间的位置？
3
§4-1、刚体一般运动的运动学
例：半径为R的保龄球在地面上纯滚动，已知该球绕铅垂轴的角
速度是 z1 ，绕水平轴的角速度为 x1 ，其大小均为常量ω0。
x' sin y' cos
c
z ' z' Mz' 0
x
x' mg
J x'x' (J z' J y')y'z' M x'
y ' J y' y' (Jx' Jz')x'z' M y'
J
z
' z
'
(J
y'
J x')x'y'
M z'
0 Jz'z' M z'
J c' z z ' J c' z 0
z
M
o
yc
x
x' mg
例: 已知半径为R质量为m的圆盘可 绕AC轴自由转动，OA轴在力偶M 的作用下绕铅垂轴转动，忽略所有 摩擦。 建立系统运动微分方程。
设AC=L＝2R，OA轴对z轴的转动
惯量为J
z'
方法一：应用拉格朗日方程
y ' 方法二：应用动量矩定理
18
方法一：应用拉格朗日方程
z
系统的动能： T1 2J21 2mC 2vTC r
0 22
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
例：已知不计质量的OA轴绕铅垂轴转动，半径为R的圆盘与碾
盘无滑动，若在转轴上作用一个力偶M，图示瞬时转轴的角速
度为 1，求圆盘在该瞬时的角加速度。（不计圆盘的厚度）
1 2R
解： a 1r
O
M
r C
k k '
a k k'k'
z'
P
k '1k'
x x'
N
y'sincos sin 0 z' cos 0 1
节线
B(,)
12
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
T1 2vcxvcyvcz mm v vc c y x 1 2x'
y'
Jc'x
z'
Jc'y
x' y' ,
m vc z
Jc' z z'
x'
x o
M
y
T C r1 2Jc'xx 2 ' 1 2Jc'y
y 2 ' 1 2Jc'z
2 z'
c
Jz'
1 2
mR2
Jx'
Jy'
1mR2 4
z'
vc L x' sin
y '
x' mg
y' cos
z'
T1J 21m 72 R 21m2 R 2
Hale Waihona Puke 28419方法一：应用拉格朗日方程
z
2 z'
a 1r
1 si ' n 1 cj o ' r k 's T25mR22
si ' i c n j ' o k ' s 8
24
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
1 2R
应用动能定理 dT W
M O
x'
4M 25mR2
2
T 25mR22
C
8
P
z ' dT25mR2d
x' x' y' y'
(Jz' ( J x'
J y')y'z' J z')x'z'
M x' M y'
1 2
mR2z'
0
J
z
' z '
(J y'
J x')x'y'
M z'
15
§6-4-2、刚体一般运动的动力学
z
FOz
147mR2x' 2mgR