第3章 扭转

第三章 扭 转如果一直杆所受的外载是垂直于杆轴线平面内的力偶，或者说外力偶的矢量方向沿杆的轴线，杆即发生扭转变形。

这时将外力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩，将以扭转变形为主要变形的（圆截面）直杆称之为（圆）轴。

工程中最常见的是圆轴，如图3.1所示的汽车转向轴，又如图3.2a 中的传动轴等。

最简单的受扭圆轴的计算简图如图3.2b 反向的扭力矩M 0为两截面的相对扭转角，用ϕ表示。

在图3.3中，AB ϕ表示截面B 相对于截面A 的扭转角。

本章主要研究圆轴的扭转问题。

在最后一节里，将对矩形截面杆、薄壁杆的自由扭转及轴的弹塑性扭转作一简单介绍。

3.1 传动轴的动力传递 扭矩在传动轴的扭转计算中，作用在轴上的扭力矩0M 可以通过轴所传递的功率P （kW ）及转速n （r/min ）进行换算得到。

因为功率是每秒钟内所做的功，有33r/minkW 0N m rad/s 0N m {}{}{}{}10{}2π1060n P M M ω--⋅⋅=⨯=⨯⨯⨯所以，当轴平稳转动时，作用在轴上的扭力矩与传递的功率和转速间的关系为30N m kW 0N m r/minr/min{}1060{}{}95492π{}{}M P M n n ⋅⋅⨯⨯== （3-1）杆件上的扭力矩确定后，可用截面法计算任意横截面上的内力。

图3.4a 所示的为一受扭图3.1图3.2M图3.3第三章 扭 转 35圆轴，欲求横截面m-m 上的内力，用截面法将圆轴沿截面m-m 截开，考虑左段在轴线x 方向的力矩平衡（图3.4b ），得0x M T M ∑=⇒=式中内力偶矩T 是横截面上唯一的内力分量，称为扭矩。

如果取右段为研究对象，也可以得到同样结果（图3.4c ）。

图中的双箭头的指向是扭矩的矢量方向。

关于扭矩T 的符号，以扭矩矢量（按右螺旋定）的指向与截面的外法线方向一致者规定为正，反之为负（图 3.5）。

按此规定无论按右段或左段所求同一截面上的扭矩，其符号是相同的。

例 3.1 图示为一机器的传动轴，其转速n = 700r/min ，主动轮A 的输入功率为400kWA P =，从动轮B 、C 和D 的输出功率分别为120kW B C P P ==，120kW D P =。

试计算轴内（数值）最大的扭矩。

解：（1）由式（3-1）计算扭力偶矩40095495457N m700AM=⨯=⋅，1637N m B C M M ==⋅，16095492183N m700D M =⨯=⋅（2）计算各段轴内的扭矩。

分别将轴在截面1-1、2-2和3-3处截开，如图b 、c 和d 所示，设待求扭矩为正，用平衡方程0=∑x M 求出11637N m B T M =-=-⋅，23274N mB C T M M =--=-⋅，32183N m D T M ==⋅负号表示该截面扭矩的实际方向与所设方向相反。

例3.1图第三章 扭 转36 （3）扭矩值随截面位置而变化的曲线称为扭矩图。

仿拉压杆轴力图的画法画出扭矩图（图e ）。

可见，最大扭矩max3274N mT=⋅发生在AC 段各横截面上。

讨论：若将主动轮A 与从动轮B 或D 对调，轴的扭矩会有何变化？是否有利？3.2 薄壁圆轴的扭转 切应力互等定理一、横截面上的切应力设一薄壁圆轴的壁厚t 远小于其平均半径00(/10)r t r ≤，其两端面作用有扭力偶矩0M （图3.6a ）。

由截面法可知，圆轴任一横截面n-n 上唯一的内力是扭矩0T M =，由截面上的应力与微面积d A 之乘积的合成等于截面上的扭矩可知，横截面上的应力只能是切应力。

为得到沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，可预先在圆轴表面画上等间距的圆周线和纵向线，从而形成一系列的正方格子。

在圆轴两端施加扭力矩0M 以后，可以发现圆周线保持不变，而纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持为直线。

于是可设想，薄壁圆轴扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面只是绕圆轴轴线发生相对转动的角位移ϕ，即相对扭转角。

而圆轴表面上每个格子的直角均改变了相同的角度γ，即矩形格子abdc 变成了平行四边形abd c ''（图3.6b ），这种直角的改变量γ称为切应变。

这个切应变γ 和横截面上的沿圆周切线方向的切应力τ 是相对应的，也就是说，只有图b 中右侧面作用有向下的切应力，才能产生图中虚线所示的错动变形。

由于相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等，并根据材料均匀连续的假设，可以推知，沿圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等。

至于切应力沿壁厚的分布，由于壁厚t 远小于其平均半径0r ，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力之值无变化。

根据上述分析，可得薄壁圆轴扭转时，横截面上任一点处的切应力τ值均相等，其方向与圆周相切。

于是，由横截面上内力与应力间的静力关系，得d AA r T τ⋅=⎰（a ）(b)(a)图3.6第三章 扭 转 37由于τ为常量，且对于薄壁圆轴，r 可用其平均半径0r 代替，而积分0d 2πAA A r t ==⎰为薄壁圆轴横截面面积，将其代入式（a ），并引进200πA r =，从而得2002π2T T r tA tτ==（3-2）由图3.6a 所示的几何关系，可得薄壁圆轴表面上的切应变γ与相距为l 的两端面间的相对扭转角ϕ之间的关系：r lϕγ=（3-3）式中，r 为薄壁圆轴的外半径。

通过薄壁圆轴的扭转实验可以发现，当扭力偶矩在某一范围内时，相对扭转角ϕ与扭力矩0M （在数值上等于扭矩T ）之间成正比，如图3.7a 所示。

利用式（3-2）和（3-3），即得τ与γ间的线性关系（图3.7b ）为G τγ= （3-4）上式称为材料的剪切胡克定律，式中的比例常数G 称为材料的切变模量（剪切弹性模量），其量纲与弹性模量E 的量纲相同，单位为Pa 。

钢材切变模量的值约为80G Pa G =。

应当注意，剪切胡克定律只有在切应力不超过材料的某一极限值时才是适用的。

该极限值称为材料的剪切比例极限p τ。

即它只在线弹性范围内适用。

二、切应力互等定理若将图3.6b 看成是微立方体，建立坐标系如图3.8所示，其边长分别为d x 、d y 和d z （即厚度t ），微体左、右侧面（轴的横截面）上的切应力τ已由式（3-4）求出，设微体顶面和底面上的切应力为τ'，方向如图，则由平衡方程0zM=∑⇒d d d d d d 0x z y y z x ττ'⋅-⋅=得ττ'= （3-5）上式称为切应力互等定理，即在微体相互垂直的平面上，垂直于平面交线的切应力数值相等，方向则均指向或离开该交线。

切应力互等定理虽然是在纯剪切状态下导出的，但具有普遍意义，在平面上同时有正应力的情况下仍然成立。

3.3 圆轴扭转时的应力 强度条件一、横截面上的应力与薄壁圆轴相仿，也要从几何、物理和静力学三个方面，建立受扭圆轴横截面上的应力图3.8第三章 扭 转38 计算公式， （1）几何方面取一半径为R 的圆轴做扭转试验，先在轴表面画上纵向线和圆周线（图3.9a ），然后在轴两端施加一对等值反向的扭力偶矩0M ，可以观察到：各圆周线的尺寸、形状和相邻两圆周线的间距均保持不变；在小变形条件下，各纵向线仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度（图3.9b ）。

由此，可假设圆轴的横截面如同刚性平面一样绕其轴线转动，即圆轴的横截面在变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持直线，且相邻两横截面间的距离不变。

这就是圆轴扭转的平面假设。

为求得横截面上的应力，先要分析轴内各点处的变形。

为此，设从轴中截取长为d x 的微段（图3.10a ）、并在其中再切取一楔形体（图b ）进行几何分析，图中的虚线为变形后的几何构形。

由平面假设可知，变形后截面2-2相对于截面1-1刚性转动了一角度d ϕ，故截面2-2上的两条半径2o c 和2o d 都分别旋转了同一角度d ϕ至2o c '和2o d '，于是，矩形abdc 变成平行四边形abd c ''（图b ），其纵线的斜倾角cac γ'∠=，即为轴表面上任一点a 处的、与横截面垂直的切应变。

同时，在距轴线ρ处、矩形efhg 也变成平行四边形efh g ''，且都垂直于横截面，即轴内任一点e 处的、与横截面垂直的切应变为geg ργ'=∠。

由图中的几何关系求得d tan d g g xegρρρϕγγ'≈==（a ）式中d /d x ϕ为单位长度上的扭转角。

在同一截面上，d /d x ϕ为一常量，所以，切应变ργ正比于该点到轴线的距离ρ。

（2）物理方面依剪切胡克定律，在线性弹性范围内，切应力与切应变成正比，将式（a ）代入到式（3-4），(a)图3.9(a)2图3.10第三章 扭 转 39得d d G G xρρϕτγρ== （b ）即轴内一点的切应力ρτ与该点到轴心的距离ρ成正比。

由于切应变ργ发生在与半径垂直的平面内，故切应力必在半径平面内，即横截面内，且方向与半径垂直（图3.11a ）。

此外，由切应力互等定理（式（3-5）知，纵、横截面上的切应力分布规律如图3.11b 所示。

（3）静力学方面式（b ）中d /d x ϕ尚未求出，需要进一步考虑静力学关系。

在轴的横截面上取微面积d A ，其上的微内力为d A ρτ（图3.11b ）。

所有微内力对轴心力矩的总和，等于该截面上的扭矩T ，即d AA T ρτρ⋅=⎰将式（b ）代入上式，并将常量G 、d /d x ϕ提到积分号外，即2pd d d d d d AAA GA GI Txxρϕϕτρρ⋅===⎰⎰（c ）式中2p d AI A ρ=⎰，是截面的几何参数，称为截面对形心的极惯性矩（见附录A ）。

由上式得 pd d T xG I ϕ=（3-6）代入到式（c ），得切应力的计算公式pT I ρρτ=（3-7）可见切应力的大小与极径ρ成正比，在横截面周边各点处，即R ρ=，切应力达到最大值m ax ppT R T I W τ== （3-8）式中p p I W R=（3-9）p W 称为抗扭截面模量（系数）。

p I 和p W 都是几何量，他们的量纲分别为[长度]4、[长度]3。

τ(a)(b)图3.11第三章 扭 转40 以上由实心圆轴得到的扭转切应力公式对空心圆轴亦适用。

二、极惯性矩和抗扭截面模量的计算对于直径为D 的实心圆截面，微面积d A 取为距圆心ρ、厚度为d ρ的环形（图3.13a ），有d 2πd A ρρ=，有4223p 0πd 2πd 32D AD I A ρρρ===⎰⎰（3-10）相应的p W 为43p p π/32π216I D D W R D ===（3-11）空心圆截面（图3.12b ）的，极惯性矩和抗扭截面模量可用相同的方法求得，其结果为4444p πππ(1)323232D dD I α=-=- （3-12）3p 4p π(1)16I D W Rα===- （3-13）式中，/d Dα=，为内径与外径之比。