第3章 扭转
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第三章 扭 转
如果一直杆所受的外载是垂直于杆轴线平面内的力偶,或者说外力偶的矢量方向沿杆的轴线,杆即发生扭转变形。这时将外力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩,将以扭转变形为主要变形的(圆截面)直杆称之为(圆)轴。工程中最常见的是圆轴,如图3.1所示的汽车转向轴,又如图
3.2a 中的传动轴等。
最简单的受扭圆轴的计算简图如图3.2b 反向的扭力矩M 0为两截面的相对扭转角,用ϕ表示。在图3.3中,AB ϕ表示截面B 相对于截面A 的扭转角。
本章主要研究圆轴的扭转问题。在最后一节里,将对矩形截面杆、薄壁杆的自由扭转及轴的弹塑性扭转作一简单介绍。
3.1 传动轴的动力传递 扭矩
在传动轴的扭转计算中,作用在轴上的扭力矩0M 可以通过轴所传递的功率P (kW )及转速n (r/min )进行换算得到。因为功率是每秒钟内所做的功,有
3
3
r/min
kW 0N m rad/s 0N m {}{}{}{}10
{}2π10
60
n P M M ω--⋅⋅=⨯=⨯⨯
⨯
所以,当轴平稳转动时,作用在轴上的扭力矩与传递的功率和转速间的关系为
3
0N m kW 0N m r/min
r/min
{}1060
{}{}9549
2π{}{}M P M n n ⋅⋅⨯⨯=
= (3-1)
杆件上的扭力矩确定后,可用截面法计算任意横截面上的内力。图3.4a 所示的为一受扭
图3.1
图3.2
M
图3.3
第三章 扭 转 35
圆轴,欲求横截面m-m 上的内力,用截面法将圆轴沿截面m-m 截开,考虑左段在轴线x 方向的力矩平衡(图3.4b ),得
0x M T M ∑=⇒
=
式中内力偶矩T 是横截面上唯一的内力分量,称为扭矩。如果取右段为研究对象,也可以得到同样结果(图3.4c )。图中的双箭头的指向是扭矩的矢量方向。
关于扭矩T 的符号,以扭矩矢量(按右螺旋定)的指向与截面的外法线方向一致者规定为正,反之为负(图 3.5)。按此规定无论按右段或左段所求同一截面上的扭矩,其符号是相同的。
例 3.1 图示为一机器的传动轴,其转速n = 700r/min ,主动轮A 的输入功率为
400kW
A P =,从动轮
B 、
C 和
D 的输出功率分别为120kW B C P P ==,120kW D P =。试计算轴
内(数值)最大的扭矩。
解:(1)由式(3-1)计算扭力偶矩
40095495457N m
700
A
M
=⨯
=⋅,1637N m B C M M ==⋅,16095492183N m
700
D M =⨯
=⋅
(2)计算各段轴内的扭矩。分别将轴在截面1-1、2-2和3-3处截开,如图b 、c 和d 所示,设待求扭矩为正,用平衡方程0=∑x M 求出
11637N m B T M =-=-⋅,23274N m
B C T M M =--=-⋅,32183N m D T M ==⋅
负号表示该截面扭矩的实际方向与所设方向相反。
例3.1图
第三章 扭 转
36 (3)扭矩值随截面位置而变化的曲线称为扭矩图。仿拉压杆轴力图的画法画出扭矩图(图e )。可见,最大扭矩max
3274N m
T
=⋅发生在AC 段各横截面上。
讨论:若将主动轮A 与从动轮B 或D 对调,轴的扭矩会有何变化?是否有利?
3.2 薄壁圆轴的扭转 切应力互等定理
一、横截面上的切应力
设一薄壁圆轴的壁厚t 远小于其平均半径00(/10)r t r ≤,其两端面作用有扭力偶矩0M (图3.6a )。由截面法可知,圆轴任一横截面n-n 上唯一的内力是扭矩0T M =,由截面上的应力与微面积d A 之乘积的合成等于截面上的扭矩可知,横截面上的应力只能是切应力。
为得到沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律,可预先在圆轴表面画上等间距的圆周线和纵向线,从而形成一系列的正方格子。在圆轴两端施加扭力矩0M 以后,可以发现圆周线保持不变,而纵向线发生倾斜,在小变形时仍保持为直线。于是可设想,薄壁圆轴扭转变形后,横截面保持为形状、大小均无改变的平面,相邻两横截面只是绕圆轴轴线发生相对转动的角位移ϕ,即相对扭转角。而圆轴表面上每个格子的直角均改变了相同的角度γ,即矩形格子abdc 变成了平行四边形abd c ''(图3.6b ),这种直角的改变量γ称为切应变。这个切应变γ 和横截面上的沿圆周切线方向的切应力τ 是相对应的,也就是说,只有图b 中右侧面作用有向下的切应力,才能产生图中虚线所示的错动变形。由于相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等,并根据材料均匀连续的假设,可以推知,沿圆周各点处切应力的方向与圆周相切,且数值相等。至于切应力沿壁厚的分布,由于壁厚t 远小于其平均半径0r ,故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力之值无变化。
根据上述分析,可得薄壁圆轴扭转时,横截面上任一点处的切应力τ值均相等,其方向与圆周相切。于是,由横截面上内力与应力间的静力关系,得
d A
A r T τ⋅=⎰
(a )
(b)
(a)
图3.6
第三章 扭 转 37
由于τ为常量,且对于薄壁圆轴,r 可用其平均半径0r 代替,而积分0d 2πA
A A r t ==⎰为薄
壁圆轴横截面面积,将其代入式(a ),并引进200πA r =,从而得
2
002π2T T r t
A t
τ=
=
(3-2)
由图3.6a 所示的几何关系,可得薄壁圆轴表面上的切应变γ与相距为l 的两端面间的相对扭转角ϕ之间的关系:
r l
ϕγ=
(3-3)
式中,r 为薄壁圆轴的外半径。
通过薄壁圆轴的扭转实验可以发现,当扭力偶矩在某一范围内时,相对扭转角ϕ与扭力矩0M (在数值上等于扭矩T )之间成正比,如图3.7a 所示。利用式(3-2)和(3-3),即得τ与γ间的线性关系(图3.7b )为
G τγ= (3-4)
上式称为材料的剪切胡克定律,式中的比例常数G 称为材料的切变模量(剪切弹性模量),其量纲与弹性模量E 的量纲相同,单位为Pa 。钢材切变模量的值约为80G Pa G =。
应当注意,剪切胡克定律只有在切应力不超过材料的某一极限值时才是适用的。该极限值称为材料的剪切比例极限p τ。即它只在线弹性范围内适用。 二、切应力互等定理
若将图3.6b 看成是微立方体,建立坐标系如图3.8所
示,其边长分别为d x 、d y 和d z (即厚度t ),微体左、右侧面(轴的横截面)上的切应力τ已由式(3-4)求出,设微体顶面和底面上的切应力为τ',方向如图,则由平衡方程
0z
M
=∑⇒d d d d d d 0x z y y z x ττ'⋅-⋅=
得
ττ
'= (3-5)
上式称为切应力互等定理,即在微体相互垂直的平面上,垂直于平面交线的切应力数值相等,方向则均指向或离开该交线。切应力互等定理虽然是在纯剪切状态下导出的,但具有普遍意义,在平面上同时有正应力的情况下仍然成立。
3.3 圆轴扭转时的应力 强度条件
一、横截面上的应力
与薄壁圆轴相仿,也要从几何、物理和静力学三个方面,建立受扭圆轴横截面上的应力
图3.8