第3章 扭转

第三章 扭 转

如果一直杆所受的外载是垂直于杆轴线平面内的力偶，或者说外力偶的矢量方向沿杆的轴线，杆即发生扭转变形。这时将外力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩，将以扭转变形为主要变形的（圆截面）直杆称之为（圆）轴。工程中最常见的是圆轴，如图3.1所示的汽车转向轴，又如图

3.2a 中的传动轴等。

最简单的受扭圆轴的计算简图如图3.2b 反向的扭力矩M 0为两截面的相对扭转角，用ϕ表示。在图3.3中，AB ϕ表示截面B 相对于截面A 的扭转角。

本章主要研究圆轴的扭转问题。在最后一节里，将对矩形截面杆、薄壁杆的自由扭转及轴的弹塑性扭转作一简单介绍。

3.1 传动轴的动力传递 扭矩

在传动轴的扭转计算中，作用在轴上的扭力矩0M 可以通过轴所传递的功率P （kW ）及转速n （r/min ）进行换算得到。因为功率是每秒钟内所做的功，有

3

3

r/min

kW 0N m rad/s 0N m {}{}{}{}10

{}2π10

60

n P M M ω--⋅⋅=⨯=⨯⨯

⨯

所以，当轴平稳转动时，作用在轴上的扭力矩与传递的功率和转速间的关系为

3

0N m kW 0N m r/min

r/min

{}1060

{}{}9549

2π{}{}M P M n n ⋅⋅⨯⨯=

= （3-1）

杆件上的扭力矩确定后，可用截面法计算任意横截面上的内力。图3.4a 所示的为一受扭

图3.1

图3.2

M

图3.3

第三章 扭 转 35

圆轴，欲求横截面m-m 上的内力，用截面法将圆轴沿截面m-m 截开，考虑左段在轴线x 方向的力矩平衡（图3.4b ），得

0x M T M ∑=⇒

=

式中内力偶矩T 是横截面上唯一的内力分量，称为扭矩。如果取右段为研究对象，也可以得到同样结果（图3.4c ）。图中的双箭头的指向是扭矩的矢量方向。

关于扭矩T 的符号，以扭矩矢量（按右螺旋定）的指向与截面的外法线方向一致者规定为正，反之为负（图 3.5）。按此规定无论按右段或左段所求同一截面上的扭矩，其符号是相同的。

例 3.1 图示为一机器的传动轴，其转速n = 700r/min ，主动轮A 的输入功率为

400kW

A P =，从动轮

B 、

C 和

D 的输出功率分别为120kW B C P P ==，120kW D P =。试计算轴

内（数值）最大的扭矩。

解：（1）由式（3-1）计算扭力偶矩

40095495457N m

700

A

M

=⨯

=⋅，1637N m B C M M ==⋅，16095492183N m

700

D M =⨯

=⋅

（2）计算各段轴内的扭矩。分别将轴在截面1-1、2-2和3-3处截开，如图b 、c 和d 所示，设待求扭矩为正，用平衡方程0=∑x M 求出

11637N m B T M =-=-⋅，23274N m

B C T M M =--=-⋅，32183N m D T M ==⋅

负号表示该截面扭矩的实际方向与所设方向相反。

例3.1图

第三章 扭 转

36 （3）扭矩值随截面位置而变化的曲线称为扭矩图。仿拉压杆轴力图的画法画出扭矩图（图e ）。可见，最大扭矩max

3274N m

T

=⋅发生在AC 段各横截面上。

讨论：若将主动轮A 与从动轮B 或D 对调，轴的扭矩会有何变化？是否有利？

3.2 薄壁圆轴的扭转 切应力互等定理

一、横截面上的切应力

设一薄壁圆轴的壁厚t 远小于其平均半径00(/10)r t r ≤，其两端面作用有扭力偶矩0M （图3.6a ）。由截面法可知，圆轴任一横截面n-n 上唯一的内力是扭矩0T M =，由截面上的应力与微面积d A 之乘积的合成等于截面上的扭矩可知，横截面上的应力只能是切应力。

为得到沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，可预先在圆轴表面画上等间距的圆周线和纵向线，从而形成一系列的正方格子。在圆轴两端施加扭力矩0M 以后，可以发现圆周线保持不变，而纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持为直线。于是可设想，薄壁圆轴扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面只是绕圆轴轴线发生相对转动的角位移ϕ，即相对扭转角。而圆轴表面上每个格子的直角均改变了相同的角度γ，即矩形格子abdc 变成了平行四边形abd c ''（图3.6b ），这种直角的改变量γ称为切应变。这个切应变γ 和横截面上的沿圆周切线方向的切应力τ 是相对应的，也就是说，只有图b 中右侧面作用有向下的切应力，才能产生图中虚线所示的错动变形。由于相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等，并根据材料均匀连续的假设，可以推知，沿圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等。至于切应力沿壁厚的分布，由于壁厚t 远小于其平均半径0r ，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力之值无变化。

根据上述分析，可得薄壁圆轴扭转时，横截面上任一点处的切应力τ值均相等，其方向与圆周相切。于是，由横截面上内力与应力间的静力关系，得

d A

A r T τ⋅=⎰

（a ）

(b)

(a)

图3.6

第三章 扭 转 37

由于τ为常量，且对于薄壁圆轴，r 可用其平均半径0r 代替，而积分0d 2πA

A A r t ==⎰为薄

壁圆轴横截面面积，将其代入式（a ），并引进200πA r =，从而得

2

002π2T T r t

A t

τ=

=

（3-2）

由图3.6a 所示的几何关系，可得薄壁圆轴表面上的切应变γ与相距为l 的两端面间的相对扭转角ϕ之间的关系：

r l

ϕγ=

（3-3）

式中，r 为薄壁圆轴的外半径。

通过薄壁圆轴的扭转实验可以发现，当扭力偶矩在某一范围内时，相对扭转角ϕ与扭力矩0M （在数值上等于扭矩T ）之间成正比，如图3.7a 所示。利用式（3-2）和（3-3），即得τ与γ间的线性关系（图3.7b ）为

G τγ= （3-4）

上式称为材料的剪切胡克定律，式中的比例常数G 称为材料的切变模量（剪切弹性模量），其量纲与弹性模量E 的量纲相同，单位为Pa 。钢材切变模量的值约为80G Pa G =。

应当注意，剪切胡克定律只有在切应力不超过材料的某一极限值时才是适用的。该极限值称为材料的剪切比例极限p τ。即它只在线弹性范围内适用。 二、切应力互等定理

若将图3.6b 看成是微立方体，建立坐标系如图3.8所

示，其边长分别为d x 、d y 和d z （即厚度t ），微体左、右侧面（轴的横截面）上的切应力τ已由式（3-4）求出，设微体顶面和底面上的切应力为τ'，方向如图，则由平衡方程

0z

M

=∑⇒d d d d d d 0x z y y z x ττ'⋅-⋅=

得

ττ

'= （3-5）

上式称为切应力互等定理，即在微体相互垂直的平面上，垂直于平面交线的切应力数值相等，方向则均指向或离开该交线。切应力互等定理虽然是在纯剪切状态下导出的，但具有普遍意义，在平面上同时有正应力的情况下仍然成立。

3.3 圆轴扭转时的应力 强度条件

一、横截面上的应力

与薄壁圆轴相仿，也要从几何、物理和静力学三个方面，建立受扭圆轴横截面上的应力

图3.8