椭圆常见题型总结
椭圆题型总结
椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ，M 是α内的动点，且a MF MF 221=+,判断动点M 的轨迹.5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。
(二) 标准方程求参数范围1. 若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5）2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( )A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 已知方程112522=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 .4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .5. 方程231y x -=所表示的曲线是 .6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。
7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。
8. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .(三) 待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程.2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为 。
椭圆题型及方法总结
椭圆题型及方法总结
椭圆题型及方法总结：
1. 求椭圆的标准方程：通过给定的信息，如焦点、顶点、直径长度等，使用定义式以及椭圆的性质，将椭圆的方程转化为标准方程：$(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1$，其中$(h,k)$为椭圆的中心坐标。
2. 求椭圆的焦点坐标：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的中心坐标$(h,k)$，然后使用椭圆的性质，计算出焦点的坐标。
3. 求椭圆的顶点坐标：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的中心坐标$(h,k)$，然后使用椭圆的性质，计算出顶点的坐标。
4. 求椭圆的参数方程：已知椭圆的方程，可以通过给定的信息，如焦点、顶点、直径长度等，使用定义式以及椭圆的性质，将椭圆的方程转化为参数方程：$x = h + a \cos t$，$y = k + b \sin t$，其中$(h,k)$为椭圆的中心坐标，$a$和$b$分别为椭圆的半
长轴和半短轴长度。
5. 求椭圆的离心率：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的半长轴长度$a$和半短轴长度$b$，然后使用离心率的定义式计算出椭圆的离心率：$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$。
6. 求椭圆的面积和周长：已知椭圆的方程，可以通过给定的信
息，如半长轴长度$a$和半短轴长度$b$，使用椭圆的性质计算出椭圆的面积和周长。
以上是常见的椭圆题型及解题方法的总结，具体问题具体分析，有时需要结合其他几何知识来解决问题。
椭圆总结(全)
椭圆总结一、椭圆的定义：（隐含条件）平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
二、 方程1、标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=2、 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
要求能熟练的把一般方程转化成标准方程，并找出a,b,c.三、性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：1、范围：|x|≤a ，|y|≤b ；[][]22121212,*,0PF a c a c PF PF b a F PF F BF ∈-+⎡⎤∈⎣⎦∈角，2、对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；3、顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；4、通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab 225、离心率：e=ca==（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。
(文理通用)椭圆题型总结(完美全面)
椭圆题型归纳一、知识总结1、椭圆的概念在平面内与两定点21F F 、的 等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 。
集合}2{21a MF MF M P =+=，c F F 221=，其中0>a ，0>c ，且c a ，为常数。
（1）若c a >，则集合P 为 ；（2）若c a =，则集合P 为 ； （3）若c a <，则集合P 为 。
b ab aa x a ≤≤-b x b ≤≤- （1）确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两方面：“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的情况下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断椭圆方程的标准形式。
“定量”是指确定22,a b 的具体数值，常用待定系数法。
（2）当椭圆的焦点位置不明确时（或无法确定）求其标准方程时，可设方程为221(0,0,),x y m n m n m n+=>>≠且可避免讨论和繁琐的计算。
也可以设为221A>0,B>0,A B Ax By +=≠（），这种形式在解题中较为方便。
（3）求动点的轨迹方程时，应首先充分的挖掘图形的几何性质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以避免陷入繁琐的化简计算中二、例题剖析题型一、椭圆的定义例1、设定点)30(1-，F ，)30(2，F ，动点满足条件，则点的轨迹是A 、椭圆B 、线段C 、不存在D 、椭圆或线段例2、下列说法中正确的是（ ）A.已知12(4,0),(4,0)F F -,到12,F F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；B. 已知12(4,0),(4,0)F F -,到12,F F 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；C.到12(4,0),(4,0)F F -两点的距离之和等于点(5,3)M 到12,F F 的距离之和的点的轨迹是椭圆；D.到12(4,0),(4,0)F F -的距离相等的点的轨迹的方程。
椭圆综合题型分类总结大全(定点定值问题、圆锥曲线与向量、圆锥曲线弦长与面积等)
椭圆综合题型分类总结大全一、直线与椭圆位置关系的常规解题方法:1.设直线的方程（注意：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标（注意:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组，得到新的一元二次方程4.求出韦达定理（注意：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化，常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（注意：需讨论K 是否存在，OA ⊥OB ） ②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”⇔12120x x y y +>③“等角、角平分、角互补问题”即斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题”即坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想1、“常规求值”问题：找等式关系，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：应当假设存在去求，若求出答案则假设成立，若不存在则计算时会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变量用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明（此方法用得少）4、处理定点问题的方法：⑴常把方程参数分离，使参数乘以的因式为0，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；、题型一、椭圆与向量（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A、B与PQ的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
(完整word)椭圆十二大题型精华总结(学生版),推荐文档
椭圆十二大题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一)定义1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙:P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P的轨迹是（ ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q的轨迹是( ) A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。
5. 选做：F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。
(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k 的取值范围，使方程13522=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。
2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( )A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限（ ） A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 方程231y x -=所表示的曲线是 。
5. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 。
(三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程；2. 求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ；（2）过（3，0）点，离心率为36=e ； （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。
椭圆的五种基本题型
椭圆专题训练(一)题型1、给出曲线方程，求相应量的值1、求椭圆400251622=+y x 的长轴长为 、短半轴长为 、离心率为 、焦点坐标为 、顶点坐标为 。
2、（练习）求下列各椭圆的长轴和短轴的长，离心率、焦点坐标、顶点坐标、准线方程： ①=+3610022y x 1 ②8222=+y x方法提练：①转化为相应的标准方程；②直接求出a 、b 、c 。
③判断焦点在哪一坐标轴上④将a 、b 、c 的值代入相应量公式（接第2题）③16422=+y x ④81922=+y x3、椭圆)0(022<<=++n m mn ny mx 的焦点为 。
4、曲线=+92522y x 1与=+--ky kx 925221（k<0）有相同的（ ）A 、长轴长；B 、离心率；C 、准线；D 、焦点题型2、给出相应量的值，求曲线方程1、焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点P （3，-62）的椭圆方程为： 。
解：依题设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x2、准线方程为x=±4,离心率为1/2的椭圆方程为： 3、两焦点为（±3，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和为10，椭圆方程为：3、两焦点为（±2，0）且过点（2325,-）的椭圆方程为： 方法提练：①判断焦点在哪一坐标轴上；②设出相应的椭圆方程③联立方程组求出a 、b 、c 。
（注意别忘记隐藏的公式）④将a 、b 、c 的值代入相应量公式4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ①a=4,b=1,焦点在x 轴上。
②a=4,c=15,焦点在y 轴上③a+b=10 c=25.④a=6,c=1/3, 焦点在x 轴上。
⑤过点（-22，0）（0，5）⑥长轴是短轴的3倍，且过点（3，0）⑦离心率e=0.8，焦距为8的椭圆⑧若椭圆的焦点在x 轴上，焦点到短轴顶点的距离为2，到相应准线的距离为3，则椭圆的方程为：椭圆专题训练(二)题型3、给出某曲线方程，表达的是椭圆求所给方程中含的字母的范围。
高三数学椭圆常考题型
高三数学椭圆常考题型一、椭圆的基本性质椭圆是一种常见的二次曲线，具有以下基本性质：1. 椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。
2. 椭圆的焦点距离为：c = sqrt(a^2 - b^2)。
3. 椭圆的离心率e = c/a，离心率的取值范围是[0,1]。
4. 椭圆的准线方程为：x = ±a^2/c。
二、常考题型及解析1. 椭圆的定义与标准方程【例1】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为1/2，且椭圆C上一点到两焦点的距离之和为4。
(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若AB是过椭圆C中心的弦，M是AB的中点，且|AB| = 4√5，求线段AB 的长。
【解析】(1) 根据题意，设椭圆C的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。
由离心率的定义，我们有e = c/a = 1/2。
再根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为4，所以2a = 4，即a = 2。
由离心率的定义和已知条件，我们可以得到b = sqrt(a^2 - c^2) = sqrt(4 - 1) = sqrt3。
所以椭圆C的标准方程为：x^2/4 + y^2/3 = 1。
(2) 设AB的方程为y = kx + t。
代入椭圆方程得到二次方程(3 + 4k^2)x^2 +8ktx + 4t^2 - 12 = 0。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1 + x2 = -8kt/(3 + 4k^2)，x1x2 = (4t^2 - 12)/(3 + 4k^2)。
由弦长公式得|AB| = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = sqrt((1 + k^2)(x1 - x2)^2) = sqrt((1 + k^2)[(x1 + x2)^2 - 4x1x2])。
将已知条件代入得到k 和t 的关系，进一步求出线段AB的长为8sqrt(3-k^2)。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。
该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。
椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。
长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。
当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。
椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。
二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。
1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。
(完整版)椭圆的经典题型
(完整版)椭圆的经典题型引言椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。
本文将介绍椭圆的经典题型，以帮助读者更好地理解和应用椭圆的相关知识。
弧长公式椭圆的弧长公式是椭圆的基本题型之一。
假设我们有一个椭圆，其中长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
如果我们要计算椭圆上一段弧的长度，可以使用如下的公式：s = a∫(1 - e^2·sin^2(θ))^(1/2) dθ其中，s表示弧的长度，e是椭圆的离心率，θ是弧所对应的角度。
离心率与焦点椭圆的离心率和焦点之间有一定的关系。
离心率（e）是描述椭圆形状的一个参数，它的计算公式如下：e = (a^2 - b^2)^(1/2) / a椭圆的长轴上有两个焦点A和B，它们与椭圆上的任意一点C 的距离之和等于长轴的长度（2a）。
这一性质可以表示为：|CA| + |CB| = 2a椭圆的方程椭圆的方程是解决椭圆相关问题的基础。
一般来说，椭圆的标准方程可以表示为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，(x, y)是椭圆上的任意一点，a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴。
椭圆的面积计算椭圆的面积也是椭圆题型中常见的一种问题。
椭圆的面积可以使用如下公式计算：S = πab其中，S表示椭圆的面积，a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴，π是一个常数，近似等于3.。
结论椭圆的经典题型包括弧长、离心率与焦点、椭圆的方程和面积等。
通过掌握这些基本概念和公式，读者可以更好地理解和解决与椭圆相关的问题。
注意：以上内容为对椭圆经典题型的简要介绍，更详细的内容和例题请参考相关教材或高等数学课程资料。
圆锥曲线：有关椭圆的小题总结 高考数学
m足∠ = ∘ ,则
∘
≥ = ,
【解析】由题意得： +
=
，所以当＞＞，则＜ ＜ ，所
以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当 = ＞时，曲线
+
= ，所以表示圆，半径为 ，当 = , ＞时，曲线为
= ，所以 = ± ，所以表示两条直线，故选：
为
以只要求∠ 为直角时点横坐标的值，因为 = ，所以当
∠ 为直角时，点在圆 + = 上，解方程组:
得: =
±
,
所以点 横坐标的取值范围是:
+ =
�� +
−
＜＜
.
=
试卷讲评课件
【例3】已知椭圆
x2
上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
试卷讲评课件
【证明】如图,设 , ≤ ＜, ＜ ≤ ,过点作
⊥ ,垂足为,则 = + , = − , = ,所以
∠ =
∠ =
+
,∠
=
−
迹E的方程为
+
=
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为
+
=
，
+
=
试卷讲评课件
x2
练习3.已知A、B分别为椭圆E： 2
椭圆知识点与题型总结
椭圆知识点与题型总结一、椭圆的定义和基本概念1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴的长度。
与椭圆的长轴垂直的轴称为短轴，其长度为常数2b。
2. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。
3. 椭圆的离心率：椭圆的离心率e的定义为e=c/a，其中c为焦距的一半，a为长轴长度的一半。
离心率描述了椭圆形状的“圆”的程度，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆。
4. 椭圆的几何性质：椭圆有关于焦点、直径、切线等方面的许多重要性质和定理，例如：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a、椭圆的切线与法线的交点、椭圆的对称性等等。
二、椭圆的常见题型及解题方法1. 椭圆的参数方程题型：求椭圆的参数方程，求参数方程表示的椭圆的离心率、焦点、中心等。
解题方法包括利用椭圆的定义，代入标准方程解参数等。
2. 椭圆的焦点、离心率题型：根据给定的椭圆的标准方程或参数方程，求椭圆的焦点坐标、离心率，或者给定椭圆的离心率和一个焦点，求椭圆的方程。
解题方法包括根据离心率的定义求解，利用椭圆的参数方程计算焦点坐标等。
3. 椭圆的性质题型：求椭圆的长轴、短轴长度，椭圆的离心角、焦点、直径，椭圆的法线、切线方程等。
解题方法包括利用椭圆的定义、性质和以直径为坐标系的轴来简化计算等。
4. 椭圆的切线、法线题型：求椭圆在给定的一点上的切线、法线方程，或者求椭圆上一点的切线、法线方向角。
解题方法包括利用椭圆的参数方程求导数，利用椭圆的切线、法线的定义求解等。
5. 椭圆的面积题型：求椭圆的面积，求椭圆内切矩形的最大面积等。
解题方法包括利用椭圆的定义和参数方程求解，利用微积分求解等。
总之，椭圆是重要的数学对象，涉及到许多重要的数学定理和公式，解椭圆相关的数学题目需要运用代数、几何和微积分等多种知识和技巧。
椭圆常考题型汇总及练习
椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()012222>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,12222≤≤by a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比ace =，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆。
6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），ab 22.7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.（二）运用的知识点及公式1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。
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椭圆常见题型总结1椭圆中的焦点三角形： 通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决;0)上一点P(x 0, y 0)和焦点F i ( c,0) ， F 2(C ,0)为顶点的① PF [ PF 2 2a ；人任孑)，B(X 2, y 2)两点，贝U AB| J i|x 1 x 2| J ik 2J (x 1 X 2)24x 1x 22 23、椭圆的中点弦：设A(X i , yj, B(X 2,y 2)是椭圆 务% 1(a b 0)上不同两点,a bM(x °,y °)是线段AB 的中点，可运用 点差法可得直线 AB 斜率，且k AB4、椭圆的离心率求椭圆离心率时注意运用：e C , a 2 b 2 C 2a2 2若P(x 0, y 0)是离心率为e 的椭圆^2 1(aa b椭圆 x 2 y2!(a ba bPF i F 2 中，F 1PF 2，则当P 为短轴端点时最大，且②4C 22PFi2PF 2 2 PF 1 PF 2 COS③ SPF 1F 211|PF i |PF 2 sin2=b tan( b 短轴长)22、直线与椭圆的位置关系：直线y2 kx b 与椭圆笃 a2b 1(a b 0)交于b 2X o ；~2~ ； a y 。
范围：0e 1, e 越大，椭圆就越扁。
5、椭圆的焦半径b 0)上任一点，焦点为 F i （ c,0） , F 2C O ），则焦半径PF i a ex o , PR a ex o；6、椭圆标准方程的求法⑴定义法：根据椭圆定义，确定a 2,b 2值，结合焦点位置直接写出椭圆方程;⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出 准方程;⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为Ax 2 By 2 1；椭圆方程的常见题型2x2、已知x 轴上一定点 A （1,0），Q 为椭圆y 2 1上的动点，贝U AQ 中点M 的轨迹方程4的轨迹方程是（）2x 2 “ C y 1 46、设一动点P 到直线x 3的距离与它到点 A （1,0）的距离之比为-.3，则动点P 的轨迹方2 2a ，b ,从而求出标1、点P 到定点F （4,0）的距离和它到定直线10的距离之比为 1:2，则点P 的轨迹方程3、平面内一点 M 到两定点F 2（0, 5）、F 2（0,5）的距离之和为10,则M 的轨迹为（ A 椭圆B 圆4、经过点（2, 3）且与椭圆9x 24y 2 2 22 2 A 乞匕1Bx L 115 1010 15C 直线D 线段36有共冋焦点的椭圆为（)2 2 2 2C0匕1x D — 工15 101052 25、已知圆x y 1，从这个圆上任意一点 P 向y 轴做垂线段 PR ，则线段PR 的中点MA 4x 2 y 2 1B x 2 4y 2 12 2 2 27、 动圆P 与圆G ：(x 4) y 81内切与圆C 2: (x 4) y 1外切，求动圆圆心的 P 的轨迹方程。
8、 已知动圆C 过点A ( 2,0),且与圆C 2 :(x 2)2 y 2 64相内切，则动圆圆心的轨迹方 程为 ；9、 已知椭圆的焦点在 y 轴上，焦距等于4，并且经过点P(2, 2、®，则椭圆方程为 _________ ；10、 已知中心在原点，两坐标轴为对称轴的椭圆过点 A( I ，-5)，BC ,3,.5)，则该椭圆的标准方程为 ___________ ；11、 设代B 是两个定点，且|AB| 2，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分 线I 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程.12、若平面内一动点 M 到两定点F 1, F 2之和为常数2a ，则M 的轨迹是 _________________ 13、已知椭圆经过两点 (2,0)和(0,1), 求椭圆的标准方程;14、已知椭圆的焦距是 2,且过点P( -5,0)，求其标准方程;程是2 2x y A3 22xB -3(x 1)2 32 2x y D23椭圆定义的应用AB是经过焦点F,的弦且AB 8，若椭圆长轴长是10,求F2A F,B的值;2、已知A、E是两个定点，AB 4，若点P的轨迹是以A, E为焦点的椭圆，贝y PA PB 的值可能为（）A 2B 3C 4 D52 23、椭圆X y1的两个焦点为F-、F2,卩为椭圆上一点，若F-PF2 900，求F-PF225 9的面积。
F2A F2B 12，则AB2 8、设F1、F2为椭圆—492_y_ 1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1：PF2=4 :3，求F1PF21已知F-i、F2是椭圆的两个焦点，4、设P是椭圆2x492—1上的点,9F i、F2是椭圆的两个焦点, ，若PF- 2,PF25、2椭圆—251上一点M到焦点F i的距离为2,N是MF-中点, 则ON6、在椭圆x22y_91上有一点P, F i、F2分别是椭圆的上下焦点，若PF1 2 PF2，则PF27、已知F1、F2为椭圆2x251的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若6的面积。
9、m n 0是方程mx2 ny21表示焦点在y轴上的椭圆的 _________ 条件;2 210、若方程—y1表示椭圆，则的取值范围为k 2 5 k11、已知ABC的顶点在椭圆X2y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，贝U ABC的周长是 __________椭圆与向量有关题型例1已知椭圆C：x21的右焦点为F ,右准线为I , A l ,线段AF交C于点B ,uuu/ uuuv 若FA 3FB ,LULT AF =例2已知椭圆C:2x""2a2y_b21(a b 0)的离心率为—3，过右焦点F且斜率为k (k 0)2的直线与C相交于uuurB两点，且A Fmu3FB ,1、已知椭圆—4 1的焦点为F1、UJUVF2，点M在该椭圆上，且MRujuirMF20，则点M到y轴的距离为2x 2、已知F1、F2是椭圆~a b1(a bUULT UJUT0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1 PF2 ,若PF1F2的面积为9，则2—1的右焦点为F ，右准线为I , A l ，线段AF 交C 于点B ,3椭圆的离心率问题uuiv uuiv若FA 3FB ，则imr AF =3、已知椭圆C：兰 12 2x例1、R 、F 2分别是椭圆—a1(a b 0)的两个焦点,A 和B 是以0为圆心，以OF’为半径的圆与该椭圆的两个交点,且F 2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为例2、已知F i 、F 2是椭圆的两个焦点，点 P 在椭圆上，且F 1PF 2 60°，求椭圆的离心率的取值范围;2 x1、设F 1、F 2分别是椭圆 -a2倉1(a b 0)的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ,使线段PF i 的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是 2x2、在平面直角坐标系 xoy 中，设椭圆 —a2吿 1(a b 0)的焦距为2C,以点O 为圆心, ba 为半径作圆M,若过点2P(—,0)所作圆M 的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率c2x3、已知椭圆a b— 1(a b 0)的左焦点为 F , A( a,0), B(0,b)为椭圆的两个顶点,ABC 900，则该椭圆的离心率为ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为2 2X V椭圆-2 i(a b 0)的右焦点为F ，其右准线与 x 轴的交点为 A 。
在椭圆上存a b在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率取值范围是7、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交C 于点 D,且uur uurBF 2FD ，贝V C 的离心率为 _______________ ;2 2&以椭圆xV y 1(a b 0)的右焦点为圆心的圆经过原点O ,且与该椭圆的右准线交a b于A 、B 两点，已知 OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ________________2 29、已知A B C 分别为椭圆笃七 i(a b 0)的右顶点、上顶点、和左焦点，若 a b4、 F 到AB 的距离等于已知椭圆2y_ b 2ULUV 圆上，AF i uuu uF F5、 已知F 1、 F 2 , b，则椭圆的离心率为 .71(a uuv AF i b 0)的左右焦点分别为F i 、F 2，且F 1F 2 2c ,点A 在椭uuuu 2AF 2 c 2，则椭圆的离心率为是椭圆的两个焦点，过 F i 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、E 两点,6、2 2x y10设F 1F 2是椭圆2 1(a b 0)的左、右焦点a b|AF i |,|F 冋,|F i B|成等比数列，则此椭圆的离心率为椭圆的焦点三角形1的焦点为F1、F 2，点P 在椭圆上，若PF , 4 ,则PF 2F 1PF 2的大小为等于(1 )求 F 1PF 2的面积；(2)求点P 的坐标。
点，F 2 PF i 是底角为 30°的等腰三角形，则E 的离心率为1A.-2B.- 3C. D .2x11椭圆-ya2yb 2(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若,P 为直线x3a上一22、P 是椭圆2x251上的一点，F i 和F 2是焦点，若 F 1PF 2 30°，则F 1PF 2的面积16.3(A)T(B) 4(2 .3) (C) 16(2 3)(D)16(2「3)3、P 是椭圆2x25y 2 91上的一点，F 1和F 2为左右焦点，若F 1PF 2 60°。
焦半径问题1的左右焦点分别为 F l 、F 2，点P 在椭圆上，如果线段 PF ,的中点在y3椭圆的中点弦问题例1、已知椭圆ax 2 by 2 1(a b 0)与直线x y 1 0相交于A 、B 两点，C 是ABAB 2J 2 , OC 的斜率为V2，求椭圆方程。
2轴上，那么PF ,是的PF 2的倍;1椭圆—12 的中点，若1于A 、B 两点，AB 中点的坐标是(2,1)，则直线l 的方程为于点M 对称，求直线I 的方程。
0的左右焦点分别为 F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且4x 2y 0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关2、已知椭圆的方程是2x161，则以点P( 2,1)为中点的弦所在的直线方程是2x3、椭圆CaPF 1 证，PF 1 PF 214 。
3(I )求椭圆C 的方程;(II )若直线I 过圆x * 21、直线I 交椭圆— 16。