拉氏变换

n
]

0
u s 1
n n
e


1 s
du
s s
n 1

0
u
n
e
u
du n! s
n 1
1
n 1
Γ(n 1)

拉氏变换的性质
线性性质（叠加性质和比例性质）
L f ( t ) L K 1 f 1 ( t ) L K 2 f 2 ( t ) K 1 F1 ( s ) K 2 F 2 ( s )
单位阶跃函数
1 u (t ) 0 t 0 t 0
根据拉普拉斯变换的定义，单位 阶跃函数的拉普拉斯变换为：
F s L 1( t )
1 s
st 0

st
u (t )e
0
dt
e
0
st
dt
u(t) 1 t
e

1 s
( R e (s) 0)
n
B ( pi )

1 s pi

举例：
14 s 55 s 51
2
F(s)= F(s)=
2 s 12 s 22 s 12
3 2
20 ( s 1)( s 3 ) ( s 2 s 2 )( s 2 )( s 4 )
2
对于有共轭复根的分式有两种处理方法： a. 该部分分式的系数仍可由前面的方法求得； b. 可对该部分分式的分母用配方法后再用查表 法。 不管是哪一种方法，最后求得的该部分分式的 两个系数之间也为共轭复数
m n
b m 1 s
m 1 n 1
b0 a0
a n s a n 1 s

K ( s z 1 )( s z 2 ) ( s z m ) ( s p 1 )( s p 2 ) ( s p n )
F(s)无重极点，即pi≠pj(i ≠j)
F(s)有重极点 设s=p1为r重根，其余极点均不相同，则F(s)可表示为
F (S ) K 11 ( s p1 )
r
K ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) ( s p1 ) ( s p 2 ) ( s p n r 1 )
r

K 12 ( s p1 )
1 1 1 dt 2 j s j s j
s

2

2
同理也可得： L cos t
s s
2 2
拉普拉斯变换


幂函数 t
n
L[t
n
]

0
t
n
e
st
dt , dt
u
令 u st t

u s
1 s
du
L[t
0
j 2
1
j
j
F ( s ) e ds
st

f(t)——原函数
F(s)——象函数
f (t ) F ( s )
常用函数的拉氏变换
序号 f(t) F(s)
1
2 3 4 5 6 7
2012-10-23
1(t)
δ(t) t eat sinωt、cosωt tn tneat
拉普拉斯变换

单位脉冲函数δ(t)
t 0 0 (t ) t 0 ( t ) dt 1
根据拉普拉斯变换的定义，单位 脉冲函数的拉普拉斯变换为：
F s L ( t )
0


( t )e
0

st
j t
e e
j t

j t
e
0
j t
j t
L sin t

sin t e
0
dt
2j
1
e
j t
e
e
st
dt
1 ( s j t ) dt e 2j 0
e
0
( s j t )
1/s
1 1/s2 1/(s-a) ω、s／（s2+ω2） n!/sn+1 n!/(s-a)n+1
拉氏变换性质
叠加性 若 L[f1(t)]=F1(S) L[f2(t)]=F2(S) L[fn(t)]=SnF(s) L[∫…∫f(t)(dt)n]=F(S)/Sn
则 L[af1(t)+bf2(t)]=a F1(S) +b F2(S)

查表法应用

例1：F(s)=
1 s 4
2
f(t)= sin2t
2
1

例2： F(s)= s 1 例3： F(s)= s
s 1
2
e
s
f(t)= e t-1
f(t)= 3 sin3t+cos3t
1

9

部分分式法应用 一般F(s)为复数s的有理代数式，可表示为
F (S ) B (S ) A(S ) bm s
F (S ) B (s) A(s) K1 s p1 K2 s p2 ...... Kn s pn
Ki
B (s) A(s)
(s-p i )
s pi

B ( pi ) A ( pi )
'
A (p ) 得到各系数后 再用查表法即可求得。
F (S )
' i 1 i
F (S ) 10 S ( S 1)
求:f(0)和f( )
2j
1
c j
c j
F1 ( s ) F 2 ( ) d
拉普拉斯变换
11.
初值定理 若L[f(t)]= F(s)，且 lim sF ( s ) 存在，则 s
f ( 0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
t 0 s
12.
终值定理 若L[f(t)]= F(s)，且
r 1

K 1r s p1

K r 1 s p r 1

Kn s pn
其中
K im
1
d
m 1
( m 1) ! d s
[ F ( s )( s p 1 ) ] m 1
r
s p1
其余系数同无重极点时一样。
1.试求下列函数的拉氏变换，假设当t<0时f(t)=0
（1）f(t)=5(1-cos3t)
（2）f(t)=e-0.5tcos10t
（3）f(t)=sin(5t+600) （4）f(t)=tneat 2.试求下列函数的拉氏变换 （1）f(t)=2t+3t3+2e-3t
（2）f(t)=t3e-3t+e-tcos2t+e-3tsin4t
（3）f(t)=5*1(t-2) +(t-1)2e2t 3.已知

微分性 积分性
位移定理 L[e-atf(t)]=F(s+a) 延迟定理 L[f(t-a)]=e-asF(S) 相似性质 L[f(at)]=1/aF[s/a] 初值定理 limf(t)=limSF(S)
t→0 s →∞
s→0
2012-10-23

终值定理 t →∞
拉普拉斯变换

1.
2. 3.
时移性质（延时定理或实数域位移定理） （ 0） L[f(t-)]=e-s F(s) 频移性质（复数域位移定理）
L[e
at
f ( t )] F ( s a )
s F a a 1
4.
相似性质（尺度变换性质）
L [ f ( at )] a 0
dt
st
δ(t)

( t )e
0 0

dt
( t )e
0

st
dt

( t )e
0

s 0
dt 1
源自文库
t
拉普拉斯变换

单位斜坡函数f(t)=t
0 f (t) f(t) t t 0 t 0
根据拉普拉斯变换的定义，单位 斜坡函数的拉普拉斯变换为：
0
at
e
st
dt


e
0
(a s )t
dt
1 sa
e
( s a )t 0

1 sa
同理也可得：
F s L e

at
1 sa


正弦函数sinωt 余弦函数cos ωt
sin t cos t 1 2j 1 2
st
由欧拉公式：
e
复数域积分定理
9.
时域卷积定理
L [ f ( t )] t
t
1

F ( s ) ds
s
L [ f ( t ) g ( ) d L [ f (t ) g ( t )] F ( s ) G ( s )
0
10.
复数域卷积定理
L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
t s 0
lim f ( t )
t
存在，则
f ( ) lim f ( t ) lim sF ( s )

拉氏变换及其性质的应用
例1：求图示方波的拉氏变换 1 1 f(t) f(t)= T - T ×l(t-T) 1/T 1 1 F(s)=L[f(t)]= Ts - Ts e-sT 1 = Ts (1-e-sT) t T 例2：求图示三角波的拉氏变换
5.
时域微分定理
d L f ( t ) sF ( s ) f ( 0 ) dt
拉普拉斯变换
6.
时域积分定理
L
7.
复数域微分定理
L [ tf ( t )]
f ( t ) dt F ( s )
dF ( s ) ds
s

f ( t ) dt s
t0
8.
F s L [ 1 2

t ]
2
2t
0
1
2
e
st
dt
1 s
3
Re (s) 0
拉普拉斯变换

指数函数e-at
0 f ( t ) at e
t 0 t 0
根据拉普拉斯变换的定义，指数函数的拉普拉斯变换为：
F s L [ e

at
]
e
拉普拉斯变换


概述
系统分析的过程或方法： 系统微分方程
拉氏变换

系统传递函数
拉氏反变换

系统输出时域表达式
拉普拉斯变换及其反变换的定义

拉氏变换定义
st

拉氏反变换 定义
1
L [ f ( t )] F ( s )

f ( t ) e dt
f ( t ) L [ F ( s )]
F s L t
1 s
2

te
0
st 0
st
dt
1 s

t s
e

e
0
st
dt
R e (s ) 0
t
拉普拉斯变换

单位抛物线函数f(t)=
1 2
t2
0 f (t) 1 2 t 2
t 0 t 0
根据拉普拉斯变换的定义， 单位抛物线函数的拉普拉斯变换为：
f(t) 2/T T/2 T

t
例3：求函数f(t)=(t-t2-3)e-2t+2e-3t+4的拉氏变换

拉氏反变换的数学方法
已知象函数F(s)，求原函数f(t)的方法有：
1.
查表法——对比较简单的象函数可利用拉普拉斯变换表 直接查得或利用拉氏变换的性质推得其原函数；（简单
举例）
2.
部分分式法——将复杂的象函数通过代数运算化为多个 简单的部分分式之和，再分别求出每个分式的原函数， 总的原函数即为所求。（重点介绍）