拉氏变换
拉氏变换
于是 L[ f (t )] e
skT
所以
对周期函数来说，求广义积分就转化为求
0
1 L[ f (t )] 1 e sT
k 0
T
T
0
1 f (t ) e dt 1 e sT
st
T
0
f (t ) e st dt
f (t ) e st dt
在一个周期区间[0, T]上的定积分，上式就是 周期函数的拉氏变换公式．
15
故
1 1 2 sb 1 1 sb sb 2 L[ f (t )] [ ( e 2 e 1 )] [ ( 1 e )] 2 sb 2 st 2 2 1 e s 1 (e ) s 1 e sb 1 sb 2 2 th( ) sb s (1 e ) s 2
0
f (t ) e st dt
st ( k 1)T kT
f (t ) e dt f (t ) e dt ..........
k 0 ( k 1)T kT
2T
f (t ) e st dt ......
f (t ) e st dt
kt kt st ( s k )t
所以
1 L[e ] sk
kt
(s k )
为了简便起见，求拉氏变换时，可以不再指出 收敛区域。
7
二、常用函数的拉氏变换 我们已经求了常值函数，指数函数的拉氏变
换，下面我们再求其它常用函数的拉氏变换。
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换。
19
2.求下列函数的拉氏变换 (1) 0t 4 1
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
信号与系统第6章拉氏变换
t
L[
f ( )d ] F(s) f 1(0)
s
s
其中：
f (1) (0)
0
f ( )d ，为常数
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t t0)u(t t0)] est0 F(s)
5、S域平移
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t)eat] F(s a)
]/
ds
显然
K12
d[(s
p1)k ds
F (s)]
s p1
继续微分：
K13
1 2
d
2[(s
p1)k ds2
F (s)]
s p1
一般形式：
K1i
(i
1 1)!
d i1[(s
p1)k dsi1
F (s)]
i 1,2,,k
s p1
举例：
F (s)
s2 s(s 1)3
F(s)
K11 (s 1)3
K12 (s 1)2
如果A(s) 的阶次高于B(s) ，可以先用长除法，后用上面
的方法：
举例：
F
(s)
s3 (s
5s2 1)(s
9s 2)
7
则展开后应有：
F
(s)
s
2
(s
s3 1)(s
2)
F(s) s 2 2 1 s 1 s 2
f (t) ' (t) 2 (t) 2et e2t t 0
E(s) D(s)
为求 K1i ，上式两边同乘以(s p1)k
(s
p1)k
F
(s)
K11
K12
拉氏变换
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
信号与系统第6章拉氏变换
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
拉氏变换详细解读
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换的基本性质
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
拉氏变换
s 3
7
f (t ) 3e (t ) 7e (t )
3t
N ( p1 ) p t N ( p2 ) p t N ( pn ) p t f (t ) ' e ' e ' e D ( p1 ) D ( p2 ) D ( pn )
1 2 n
原函数的一般形式
二 单位冲激函数
1. 单位脉冲函数 p(t) p(t) 1/ 0
1 p( t ) [ ( t ) ( t )]
t
p( t )dt 1
2. 单位冲激函数 (t)
1/
p(t)
- / 2
定义
/2
t
lim p( t ) ( t )
0
利用部分分式可将F(s)分解为：
待定常数
Kn K1 K2 F ( s) s p1 s p2 s pn
f (t ) K1e K 2e
p1t
p2t
K n e
返 回
pn t
上 页 下 页
待定常数的确定： 方法1
K i F ( s)( s pi ) s pi i 1 、 2、 3、 n
K1， 2 F ( s )( s j )s j
返 回 上 页 下 页
(2) 若 D(s) 0 具有共轭复根
p1 j p2 j
N (s) N (s) F (s) D(s) (s j )(s j ) D1 (s)
K1 K2 N1 (s) s j s j D1 (s)
st 0
(s c ) t
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。
本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。
1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。
以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。
（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。
（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。
其中ω为正弦信号的频率。
2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。
（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。
（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。
3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。
（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。
拉氏变换
t<0 0≤t<a a ≤ t < 3a t ≥ 3a
试用单位阶梯函数将f(t)合写为一个式子。
例5
已知
sin t , 0 ≤ t < π f (t ) = t ≥π t,
试将f(t)合写为一个式子。
（2）狄拉克函数 δ (t ) (Dirac) 定义 设 t<0 0, 1 δ τ (t ) = 0 ≤ t ≤τ τ t >τ 0, 则称 δ ( t ) = lim δ τ ( t ) 为狄拉克函数，
说明：
1）为方便计，总假定：当t<0时，f(t) 0。 2）p本来是复数，为方便，假定p为实数。 ≡ 不影响讨论。 3）拉氏变换是一种积分变换（另一种为： 傅里叶变换）。
例题
例1 求f(t)=eat（t ≥ a是常数）的拉氏变 0, 换。 例2 求f(t)=at（t ≥0, a为常数）的拉氏变换。 例3 求f(t)=sin t(t 0)的拉氏变换。 ≥ ω 同理可求L[cos t].
拉氏变换及其性质
一 拉氏变换的基本概念
定义
设函数f(t)的定义域为[0， + ∞ ),若广义积分 +∞ 对于p的某一范围内的值收敛于F(p)，即 f ( t ) e − pt dt ∫0 +∞ F(p)= − pt
∫
0
f (t )e
dt
则称F(p)为f(t)的拉普拉斯变换（或象函数， 拉氏变换），记作L[f(t)]=F(p).也称f(t)为F(p) −1 L 的拉氏逆变换（或象原函数），记作 [F(p)]=f(t).
g (t )δ (t )dt = g (0)
例6
求u(t)的拉氏变换。
例7
求
δ (t ) 的拉氏变换。
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
证：同理可推广到n阶：当初始条件为0时，即则有4、积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则，其中时的值。
拉氏变换定义,性质
拉氏变换的未来发展
理论完善
随着数学和工程领域的发展，拉普拉斯变换的理论体系将不断完 善，为解决更复杂的问题提供更有效的工具。
应用拓展
随着科技的不断进步，拉普拉斯变换的应用领域将不断拓展，例如 在人工智能、机器学习等领域的应用。
数值计算
随着计算机技术的发展，拉普拉斯变换的数值计算方法将更加精确 和高效，为实际应用提供更好的支持。
拉氏变换的定义
定义
拉普拉斯变换是一种将时域函数（通常是无限或有限时间内 的信号或系统响应）转换为复频域函数的方法。通过将时域 函数乘以相应的权函数，然后对结果进行积分，可以得到该 时域函数的拉普拉斯变换。
符号表示
通常使用符号 (L) 表示拉普拉斯变换，例如，如果 (f(t)) 是时 域函数，那么 (F(s)) 就是 (f(t)) 的拉普拉斯变换，其中 (s) 是 复频域变量。
时移性质
时移性质
若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(t-a)$ 的拉氏变换为 $e^{-sa}F(s)$，其中 $a$ 是时移量。
应用
在系统分析中，时移性质可用于分析 系统的稳定性和动态响应。
频移性质
Hale Waihona Puke 频移性质若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(at)$ 的拉氏变换为 $frac{1}{|a|}F(frac{s}{a})$，其中 $a$ 是频移量。
拉氏变换定义、性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的性质 • 拉氏变换的应用 • 结论
01 引言
拉氏变换的背景和重要性
背景
拉普拉斯变换是18世纪末由法国科学家拉普拉斯提出的一种数学工具，主要用 于解决初值问题，即求解微分方程时，需要给出初始条件的问题。
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉氏变换定义
拉氏变换定义拉氏变换是数学中的一种重要工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析等领域。
它是将时域信号转换为复频域信号的一种方法，可以用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性以及系统的传递函数等问题。
拉氏变换的定义如下：设函数f(t)在区间[0,∞)上绝对可积，即∫|f(t)|dt<∞，则称函数F(s) = L{f(t)}=∫f(t)e^(-st)dt为f(t)的拉氏变换，其中s为复变量。
通过拉氏变换，我们可以将一个复杂的时域信号转换为在复频域中的表示，从而更方便地进行分析。
通过对拉氏变换的运算和性质的研究，我们可以得到许多有用的结论和定理，进而解决各种与信号与系统相关的问题。
拉氏变换的一个重要性质是线性性质。
即对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
这个性质使得我们可以将复杂的信号分解为更简单的部分进行处理，从而简化问题的求解过程。
拉氏变换还有平移性质和尺度变换性质。
平移性质表明，如果f(t)的拉氏变换为F(s)，则e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
尺度变换性质表明，如果f(at)的拉氏变换为F(s)，则f(t)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这两个性质使得我们可以通过对信号进行平移和尺度变换，来获得不同频率和幅度的信号的拉氏变换。
拉氏变换还有微分和积分性质。
微分性质表明，如果f(t)的导数为f'(t)，则f'(t)的拉氏变换为sF(s) - f(0)。
积分性质表明，如果f(t)的积分为∫f(t)dt，则∫f(t)dt的拉氏变换为F(s)/s。
这两个性质使得我们可以通过对信号进行微分和积分操作，来得到信号的导数和积分的拉氏变换。
拉氏变换的应用非常广泛。
在信号与系统中，我们可以利用拉氏变换来分析信号的频谱特性，如频率响应、带宽等。
在控制理论中，拉氏变换可以用于分析系统的稳定性和动态响应。
积分变换第二章拉氏变换
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数 的拉氏变换 为实数) 例4 求 为实数 的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理 若函数 (t)满足 拉氏变换的存在定理 若函数f 满足 满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数 即存 →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换 则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程 此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程 的代数方程. 转化为 的代数方程
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j t
e e
j t
j t
e
0
j t
j t
L sin t
sin t e
0
dt
2j
1
e
j t
e
e
st
dt
1 ( s j t ) dt e 2j 0
e
0
( s j t )
（1）f(t)=5(1-cos3t)
（2）f(t)=e-0.5tcos10t
（3）f(t)=sin(5t+600) （4）f(t)=tneat 2.试求下列函数的拉氏变换 （1）f(t)=2t+3t3+2e-3t
（2）f(t)=t3e-3t+e-tcos2t+e-3tsin4t
（3）f(t)=5*1(t-2) +(t-1)2e2t 3.已知
F (S ) 10 S ( S 1)
求:f(0)和f( )
拉普拉斯变换
单位脉冲函数δ(t)
t 0 0 (t ) t 0 ( t ) dt 1
根据拉普拉斯变换的定义，单位 脉冲函数的拉普拉斯变换为：
F s L ( t )
0
( t )e
0 ຫໍສະໝຸດ t 1 1 1 dt 2 j s j s j
s
2
2
同理也可得： L cos t
s s
2 2
拉普拉斯变换
幂函数 t
n
L[t
n
]
0
t
n
e
st
dt , dt
u
令 u st t
u s
1 s
du
L[t
f(t) 2/T T/2 T
t
例3：求函数f(t)=(t-t2-3)e-2t+2e-3t+4的拉氏变换
拉氏反变换的数学方法
已知象函数F(s)，求原函数f(t)的方法有：
1.
查表法——对比较简单的象函数可利用拉普拉斯变换表 直接查得或利用拉氏变换的性质推得其原函数；（简单
举例）
2.
部分分式法——将复杂的象函数通过代数运算化为多个 简单的部分分式之和，再分别求出每个分式的原函数， 总的原函数即为所求。（重点介绍）
微分性 积分性
位移定理 L[e-atf(t)]=F(s+a) 延迟定理 L[f(t-a)]=e-asF(S) 相似性质 L[f(at)]=1/aF[s/a] 初值定理 limf(t)=limSF(S)
t→0 s →∞
s→0
2012-10-23
终值定理 t →∞
拉普拉斯变换
5.
时域微分定理
d L f ( t ) sF ( s ) f ( 0 ) dt
拉普拉斯变换
6.
时域积分定理
L
7.
复数域微分定理
L [ tf ( t )]
f ( t ) dt F ( s )
dF ( s ) ds
s
f ( t ) dt s
t0
8.
n
]
0
u s 1
n n
e
1 s
du
s s
n 1
0
u
n
e
u
du n! s
n 1
1
n 1
Γ(n 1)
拉氏变换的性质
线性性质（叠加性质和比例性质）
L f ( t ) L K 1 f 1 ( t ) L K 2 f 2 ( t ) K 1 F1 ( s ) K 2 F 2 ( s )
F s L [ 1 2
t ]
2
2t
0
1
2
e
st
dt
1 s
3
Re (s) 0
拉普拉斯变换
指数函数e-at
0 f ( t ) at e
t 0 t 0
根据拉普拉斯变换的定义，指数函数的拉普拉斯变换为：
F s L [ e
at
]
e
2j
1
c j
c j
F1 ( s ) F 2 ( ) d
拉普拉斯变换
11.
初值定理 若L[f(t)]= F(s)，且 lim sF ( s ) 存在，则 s
f ( 0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
t 0 s
12.
终值定理 若L[f(t)]= F(s)，且
0
at
e
st
dt
e
0
(a s )t
dt
1 sa
e
( s a )t 0
1 sa
同理也可得：
F s L e
at
1 sa
正弦函数sinωt 余弦函数cos ωt
sin t cos t 1 2j 1 2
st
由欧拉公式：
e
F (S ) B (s) A(s) K1 s p1 K2 s p2 ...... Kn s pn
Ki
B (s) A(s)
(s-p i )
s pi
B ( pi ) A ( pi )
'
A (p ) 得到各系数后 再用查表法即可求得。
F (S )
' i 1 i
查表法应用
例1：F(s)=
1 s 4
2
f(t)= sin2t
2
1
例2： F(s)= s 1 例3： F(s)= s
s 1
2
e
s
f(t)= e t-1
f(t)= 3 sin3t+cos3t
1
9
部分分式法应用 一般F(s)为复数s的有理代数式，可表示为
F (S ) B (S ) A(S ) bm s
1/s
1 1/s2 1/(s-a) ω、s／（s2+ω2） n!/sn+1 n!/(s-a)n+1
拉氏变换性质
叠加性 若 L[f1(t)]=F1(S) L[f2(t)]=F2(S) L[fn(t)]=SnF(s) L[∫…∫f(t)(dt)n]=F(S)/Sn
则 L[af1(t)+bf2(t)]=a F1(S) +b F2(S)
r 1
K 1r s p1
K r 1 s p r 1
Kn s pn
其中
K im
1
d
m 1
( m 1) ! d s
[ F ( s )( s p 1 ) ] m 1
r
s p1
其余系数同无重极点时一样。
1.试求下列函数的拉氏变换，假设当t<0时f(t)=0
n
B ( pi )
1 s pi
举例：
14 s 55 s 51
2
F(s)= F(s)=
2 s 12 s 22 s 12
3 2
20 ( s 1)( s 3 ) ( s 2 s 2 )( s 2 )( s 4 )
2
对于有共轭复根的分式有两种处理方法： a. 该部分分式的系数仍可由前面的方法求得； b. 可对该部分分式的分母用配方法后再用查表 法。 不管是哪一种方法，最后求得的该部分分式的 两个系数之间也为共轭复数
m n
b m 1 s
m 1 n 1
b0 a0
a n s a n 1 s
K ( s z 1 )( s z 2 ) ( s z m ) ( s p 1 )( s p 2 ) ( s p n )
F(s)无重极点，即pi≠pj(i ≠j)
0
j 2
1
j
j
F ( s ) e ds
st
f(t)——原函数
F(s)——象函数
f (t ) F ( s )
常用函数的拉氏变换
序号 f(t) F(s)
1
2 3 4 5 6 7
2012-10-23
1(t)
δ(t) t eat sinωt、cosωt tn tneat
复数域积分定理
9.
时域卷积定理
L [ f ( t )] t
t
1
F ( s ) ds
s
L [ f ( t ) g ( ) d L [ f (t ) g ( t )] F ( s ) G ( s )
0
10.
复数域卷积定理
L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
1.
2. 3.
时移性质（延时定理或实数域位移定理） （ 0） L[f(t-)]=e-s F(s) 频移性质（复数域位移定理）
L[e
at
f ( t )] F ( s a )
s F a a 1
4.
相似性质（尺度变换性质）
L [ f ( at )] a 0
dt
st
δ(t)
( t )e
0 0
dt
( t )e