衍生金融工具第二讲

Ae
− Rn
由式(2.1)和(2.2)可以推导出连续复利的利率Rc 和每年计m次复利的利率Rm之间相互转换的公式：
Rm ) R c = m ln( 1 + m
Rc / m
(2.3)
(2.4) R m = m (e − 1) 同理，我们可以推导出任意两种复利频率m1和 m2下的利率之间相互转换的公式：
利用指数期货改变β值 可以利用指数期货来改变股票组合的β值。 要将组合的β值从β变到β*，设需要卖出或买进 的指数期货合约数为n，则当β>β*时，由 Πβx-nmFx=Πβ*x 可得，应卖出
Π n = ( β − β *) mF
个合约。当β<β*时，由 Πβx+nmFx=Πβ*x 可得，应买进
Π n = (β * − β ) mF
消费性商品 我们已经知道，如果式(2.15)、(2.16)和 (2.17)不成立，则存在套利机会，而众多套 利者的操作将很快使这种机会消失，最终使 得式(2.15)、(2.16)和(2.17)成立。 但这一结论对于以消费目的持有的商品 来说不适用，因为这些商品的消费价值使得 持有者不会因为F<Se(r+u)(T-t)而积极主动地出 售商品购买期货合约，因而使F<Se(r+u)(T-t)的 情况得以长期存在。显然， F>Se(r+u)(T-t)的情 况是不可能长期存在的。所以，对于消费类 商品，有 F≤Se(r+u)(T-t) (2.18)
例、考虑一种5年期债券，价格为$900。 假设这种债券的1年期远期合约的交割价格 为$910。预计在6个月后和12个月后都将收 到$60的利息。第二次付息日正好在远期合 约交割日之前。6个月期和12个月期的无风 险连续复利利率分别为年率9％和10％。此 时该远期合约多头的价值为多少？
2.2.3 支付已知红利率证券的远期合约
2.2.2 支付已知现金收益证券的远期合约
如果远期合约的标的资产将为持有者提 供完全可预测的现值为I的现金收益，例如支 付已知红利的股票和附息票的债券，则F和S 之间的关系可以推导如下： t 考虑t时刻的如下两个证券组合： 组合A：一个交割价格为K的远期合约多 头加上一笔数额为Ke-r(T-t)的现金； 组合B：一单位标的证券加上以无风险 利率借I数额的资金。
Π n = β mF
(2.12)
例、某公司持有的一个股票组合当前的 价值为$2,100,000。因担心未来几个月内股 价下跌，该公司决定运用还有4个月有效期 的S&P500指数期货合约来对冲风险。已知该 股票组合的β值为1.5，当前的指数期货价格 为300，一张指数期货合约的价值为指数期 货价格的500倍。该公司应卖空多少张指数 期货合约？
便利收益 式(2.18)可以这样来理解：对于某种商品， 可以定义一个比率y，使得 F=Se(r+u-y)(T-t) (2.19) y实际上代表的是持有商品现货相对于持有 期货合约的好处，比如从暂时的商品短缺中获 利或者维持生产线运行的能力等。我们把它称 为便利收益(convenience yield)。投资性商品的 便利收益几乎为0，即y=0，所以式(2.17)成立。
2.3.6 交割选择与期货价格
2.2 远期价格 2.2.1 不支付收益证券的远期合约
考虑t时刻的如下两个证券组合： 组合A：一个交割价格为K的远期合约多 头加上一笔数额为Ke-r(T-t)的现金； 组合B：一单位标的证券。 其中r为t时刻的T-t期限的以连续复利计算 的无风险利率(年率)。 在T时刻，组合A中的现金数额将达到K(假 设以无风险利率投资)，正好用来购买一单位 的标的证券。组合B仍然为一单位的标的证券。 也就是说，在T时刻，两个组合的价值都是一 单位的标的证券。
第2章 远期和期货价格 章 远期和期货价格
2.1 某些预备知识 2.2 远期价格 2.3 期货价格
在衍生证券的定价中，将标的资产划分为 以下两类是很重要的：一类是众多投资者仅为 了投资而持有的资产；另一类是几乎完全为了 消费而持有的资产。基于前一类资产的远期和 期货价格能够以相对直截了当的方法进行精确 定价，而那些基于后一类资产的合约却不能这 样定价。
2.1 某些预备知识 2.1.1 连续复利
假设数额A以年利率R投资了n年。如果每年计 m次复利，则终值为
R mn A (1 + ) (2.1) m 当m趋近于无穷大时(即连续复利continuous compounding)，其终值为 R mn A (1 + ) = A e R n lim m (2.2) m→∞ 如果已知终值为A，以利率R按连续复利方式贴 现n年，则其现值为
利用指数期货对冲 某投资者持有一个高度分散化的股票 组合，并且已知该组合的β值。为了对冲 该组合，这位投资者应卖出多少份指数 期货合约呢？ 设Π为该组合的价值，mF为一份期 货合约标的资产的价值(指数的m倍)，n 为卖出的合约份数。
根据CAPM， β表示该股票组合的超额收益 为市场超额收益的β倍。由于指数超额收益可以 合理地代表市场超额收益，因此，如果一段时间 内指数的超额收益为x，则股票组合的超额收益 为βx。经过这一段时间后，投资者持有的股票组 合的超额利润为Πβx(可以为正值或负值)，而期 货合约标的资产的价值变动为nmFx。在完全对 冲的情况下，应该有 Πβx= nmFx 由此得
2.3 期货价格 2.3.1 远期价格与期货价格
可以证明(参见书P.68附录3A)，当无风险 利率为常数时，相同交割日的远期价格与 期货价格相等。这一结论也适用于利率为 一个已知的时间函数的情形。 当利率变化无法预测时，远期价格和期货 价格从理论上来讲就不同了。当标的资产 价格S与利率高度正相关时，期货价格高于 远期价格；当S与利率高度负相关时，远期 价格高于期货价格。 有效期仅为几个月的远期合约价格与期货 合约价格之间的理论差异可忽略不计。
f = Se
−rf (T −t )
− Ke−r (T −t )
F = Se
( r −rf )(T −t )
ห้องสมุดไป่ตู้
(2.14)
这实际上是国际金融领域著名的利率平价 关系。根据前面的讨论，在合理近似的情况下， F大致上也是外汇期货价格。 比较式(2.9)和(2.14)可以看到，如果把外汇 的无风险利率看作其“红利率”，则外汇与支 付已知红利率的证券是一样的。 在国际货币市场上，外汇期货的价格用单 位外汇的美元价值来标价，这与大部分外汇的 即期价格和远期价格用每单位美元若干数额的 外汇来标价的方式有所不同。
2.3.2 股票指数期货
一些主要的股票指数期货 行情报价 股票指数的期货价格 股票指数通常不因派发现金红利而调整，因此 大部分股票指数可以看作支付红利的证券。假定 构成指数的股票组合的红利以年率q连续支付，由 式(2.9)可得期货价格为 F=Se(r-q)(T-t) (2.11) q应当是构成指数的股票组合在合约有效期内 的平均红利收益率，用来估计q的红利应是那些除 息日在合约有效期内的股票的红利。 利用式(2.11)，我们可以得到股票指数期货价 格的增长率。
2.3.4 商品期货
投资性商品 黄金和白银可以看作是众多投资者仅 为了投资而持有的资产。如果不考虑存储 成本，黄金和白银类似于无收益的证券， 所以根据式(2.6)有 F=Ser(T-t) (2.15) 存储成本可视为负收益。设U为期货合 约有效期间所有存储成本的现值，根据式 (2.8)有 F=(S+U)er(T-t) (2.16)
根据无套利假设，在早些时候比如t时刻， 两个组合的价值也应相等。因此有 f+Ke-r(T-t)=S 即 f=S-Ke-r(T-t) (2.5) 其中，f为一个远期合约多头的价值。 我们已经知道，远期合约在签署时，远期 价格等于合约规定的交割价格，这种选择使 得该合约本身的价值为0。因此，远期价格F 就是式(2.5)中令f=0的K值，即 F=Ser(T-t) (2.6) 这就是不支付收益证券(no-income security) 的远期价格与即期价格之间的关系。
个合约。
2.3.3 货币的远期和期货合约
考虑t时刻的如下两个组合： 组合A：一个交割价格为K的远期多头加上 − r (T −t ) 数额为 Ke 的现金； 组合B：e−rf (T −t ) 金额的外汇。 其中rf为外汇的无风险利率，连续计复利。 设S为以美元表示的一单位外汇的即期价格，类 似于前面的证明过程，有 (2.13) 远期价格(或远期汇率)F就是使得上式中的f 为0的K值，因而
由于证券的收益可以用来偿还借款， 因此在T时刻，组合B与一单位证券具有相 同的价值。组合A在T时刻也具有同样的价 值。因此，在无套利假设下，这两个组合 在t时刻也具有相同的价值，即 f+Ke-r(T-t)=S-I 即 f=S-I-Ke-r(T-t) (2.7) 远期价格F就是使f=0的K值，由式(2.7) 可得 F=(S-I)er(T-t) (2.8)
R m 2 = [(1 +
R m1 m1
)
m1 m2
− 1] m 2
2.1.2 卖空
卖空的机理 挤空(short-squeezed) 管理部门只允许在价格升档(up tick)时才能 卖空保证金 被卖空证券的红利或利息
2.1.3 无套利假设
本章假定，对部分市场参与者而言， 以下几条是正确的： 1、无交易费用； 2、所有的交易利润(减去交易损失后的 净额)使用同一税率； 3、市场参与者能够以相同的无风险利 率借入和贷出资金； 4、当套利机会出现时，市场参与者将 参与套利。 以上假设意味着：市场价格就是无套 利机会时的价格。
若任何时刻的存储成本与商品价格成 一定的比例，则存储成本可视为负的红利 收益率，所以根据式(2.9)有 F=Se(r+u)(T-t) (2.17) 其中，u为每年的存储成本与现货价格 的比率。 例、假设黄金现价为$450，存储成本 为每年每盎司$2。无风险利率为每年7％ (连续复利)。期限1年的黄金期货价格是多 少？
2.3.5 持有成本
前面所涉及的远期和期货定价公式可 以总结性地写为 F=Se(c-y)(T-t) (2.20) 其中，c为标的资产的持有成本(cost of c (cost carry)，它包括存储成本加上融资购买资产 所支付的利息，再减去资产的收益。对于 不支付收益的证券，c=r；对于一个股票指 数，c=r-q；对于货币，c=r-rf；对于商品， c=r+u。y为持有标的资产的便利收益(显然， 对于投资性资产，y=0)。
指数套利 如果F>Se(r-q)(T-t) ，可以通过购买指数中的 成分股票，同时卖出指数期货来进行套利； 如果F<Se(r-q)(T-t) ，则通过相反操作，即卖出指 数中的成分股票，同时买进指数期货来进行 套利。 指数套利(index arbitrage)策略的运用是存 在风险的。如1987年10月19日的美国股市。
对于支付已知红利收益率证券的远期 合约，假设红利收益率按照年率q连续支 付。考虑t时刻的如下两个证券组合： 组合A：一个交割价格为K的远期合 约多头加上一笔数额为Ke-r(T-t)的现金； 组合B：e-q(T-t)个标的证券并且所有的 收入都再投资于该证券。
组合B中拥有证券的数量随着获得红 利的增加而不断增长，在T时刻正好拥有 一个单位的该证券。 类似于前面的证明过程，有 f+Ke-r(T-t)=Se-q(T-t) 最后可得 F=Se(r-q)(T-t) (2.9) 实际上，对于所有远期合约，有 f=(F-K)e-r(T-t) (2.10)
对于当前时刻t和介于t和T之间的某个时刻τ， 根据式(2.11)有 F=Se(r-q)(T-t) Fτ=Sτe(r-q)(T-τ) S和Sτ之间存在关系： Sτ=Seg(τ-t) 其中，g为指数即期价格的增长率，即资本利 得率。 如果设构成指数的股票组合的超过无风险利率r 的超额收益为x，则总收益为x+r，它由红利率q和资 本利得率g两部分构成。因此， g=x+r-q 将以上的四个式子联立求解可得 Fτ=Fex(τ-t) 这表明，指数期货价格的增长率等于该指数的 超额收益。