限制性三体问题的探究
三体运动的规律课程设计
三体运动的规律课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握三体运动的基本概念，理解三体运动中物体间的相互作用力。
2. 使学生了解三体运动的主要数学模型，如拉格朗日点和欧拉方程。
3. 引导学生掌握分析三体运动稳定性的方法，了解限制性三体问题和开普勒定律的应用。
技能目标：1. 培养学生运用数学知识解决三体运动问题的能力，包括建立数学模型、求解方程等。
2. 提高学生运用物理原理分析三体运动中物体运动状态变化的能力。
3. 培养学生运用计算机软件模拟三体运动过程，观察和分析运动规律的能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对天体物理学和数学建模的兴趣，培养科学探索精神。
2. 培养学生团队协作意识，学会与他人共同分析问题、解决问题。
3. 引导学生关注我国航天事业的发展，树立为国家和民族事业奋斗的远大理想。
本课程针对高中物理课程中的三体运动问题，结合学生年级特点和教学要求，设计课程目标。
通过本课程的学习，学生将能深入理解三体运动的规律，掌握相关物理和数学知识，培养解决实际问题的能力，同时培养科学精神和团队协作意识。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 三体运动基本概念：介绍三体运动定义，分析三体系统中物体间的相互作用力，如万有引力等。
2. 数学模型：学习拉格朗日点和欧拉方程，了解它们在三体运动中的应用。
- 拉格朗日点：讲解拉格朗日点的定义及其稳定性。
- 欧拉方程：推导并解释欧拉方程在三体运动中的作用。
3. 三体运动稳定性分析：探讨限制性三体问题，分析三体系统运动稳定性。
4. 开普勒定律及其应用：回顾开普勒定律，并应用于三体运动问题。
5. 计算机模拟：利用计算机软件（如MATLAB等）进行三体运动模拟，观察和分析运动规律。
6. 实践案例：分析实际航天工程中的三体运动问题，如地球-月球-人造卫星系统。
教学内容按照以下进度安排：1. 第1周：三体运动基本概念，拉格朗日点介绍。
2. 第2周：欧拉方程推导及应用，三体运动稳定性初步分析。
三体问题详解及其历史
三体问题详解及其历史三体问题详解及其历史【导读】这一阵在看刘慈欣的《三体》，的确是好科幻小说。
不过，再好的科幻小说也仍然是科幻，更何况“硬度”不一，科学背景上总归能找出不合事实的地方来。
当然，这些不能说就是Bug，毕竟，总得让写书的有些自由发挥的余地，反正这又不是写物理论文。
而且，好的科幻容易把人拉入梦境中，比如看《球状闪电》的时候，我时常会有出冷汗的感觉。
这个时候，科学知识可以把人从小说营造的意境中拉出来，象我逃离量子玫瑰等充满鬼气的情节的法子就是念叨“我相信系综解释”。
多了解些背景，兴许可以少做些噩梦。
三体问题不消说，光从书名上看，三体问题就是《三体》最大的背景之一。
三体问题算是经典力学里面的天体力学的老难题了，从牛顿那个时候起就是物理学家和数学家的恶梦。
先说一下什么叫三体。
用物理语言来说，在一个惯性参考系中有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问题。
参考系是惯性参考系，也就是说不受系统外的力的作用，所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。
在天体力学里面，我们通常就只考虑万有引力。
用数学语言来说，经典力学的N体问题模型就是，在三维平直空间里有N个质点，每个质点的质量都已知而且不会变化。
在初始时刻，所有质点的位置和速度都已知。
每个质点都只受到来自其它质点的万有引力，引力大小由牛顿的同距离平方成反比的公式描述。
要求解的就是，任意一个时刻，某个质点的位置。
N=2，就是二体问题。
N=3，也就是我们要说的三体问题了。
N=2的情况，早在牛顿时候就已经基本解决了。
学过中学物理后，大家都会知道，两个质点在一个平面上绕着共同质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。
然而三体运动的情况就糟糕得多。
攻克二体问题后，牛顿很自然地开始研究三体问题，结果也是十分自然的——头痛难忍。
牛顿自述对付这种头痛的方法是：用布带用力缠紧脑袋，直至发晕为止—虽则这个办法治标不治本而且没多少创意，然而毕竟还是有效果的。
关于一些特殊的限制性三体问题的讨论
关于一些特殊的限制性三体问题的讨论一般来说,三体问题是不可积的,因此我们需要做一些近似。
其中很重要的一类就是限制性三体问题,这也是很多实际问题的很好的近似模型,例如,研究卫星的轨道演化的时候,不妨引入太阳+行星+无质量的测试粒子的模型,亦如研究太阳系主带小行星或者柯伊伯带天体的时候,也可以简化成太阳+木星或者海王星+无质量的测试粒子的模型；这些都是真实情况的很好近似。
特别的,我们所感兴趣的是等级式的系统(系统可以分成内部轨道和外部轨道因而保证了系统的稳定性),大体来说,限制性等级式三体问题可以分成外限制(测试粒子在外部轨道)和内限制(测试粒子在内部轨道)两种,我们在第一章和第二章中分别做讨论。
在对外限制问题的讨论中,我们利用展开了的摄动函数,得到最低阶的一个可积的系统,由此得出,这时候测试粒子的升交点经度可能会平动,并且此时伴有较高的倾角；更一般的,我们介绍了这个系统的演化特性。
而后我们引入高阶影响,特别关注了此时的偏心率的演化。
在近共面的情况下,我们得到此时的偏心率激发和共面情况没有(明显)差别的结论；在近极轨的条件下,我们发现,此时偏心率的激发可能会依赖初始的倾角的不同而分为两种情况,这是因为这两种不同的激发在相图中属于不同的平动区的缘故；并且,当轨道属于高激发区域时,偏心率可以从近零激发到0.3,这会极大的影响这种轨道的轨道稳定性,事实上,我们利用这种偏心率激发机制可以很好的限制环高偏心率双星的高倾角轨道的稳定性。
在对内限制问题的研究中,我们关注的重点是外部天体的平运动与内部测试粒子的进动频率相当的时候所引起的近共振的影响。
在共面的假设下,我们推导了含有偏心率的哈密顿量,并利用此时发生倍周期分叉临界点可以得出关于稳定性边界的限制。
我们也推导了高阶的描述倾斜轨道的演化的哈密顿量。
三体质子封锁科学原理
三体质子封锁科学原理1三体质子封锁科学原理三体质子封锁（Three Body Ion Trap，简称3-BIT）是结合物离子分子的物理、化学、动力学经典价键理论和非线性思想，利用外部电场在空间封锁三个及以上有原子和分子组成的离子，可以进行定量结构分析、膜质子交换反应、复杂物质合成、超高分子量物质生成等研究工作。
传统的离子魔方（Ion Trap）大多只可以封锁二体离子，而3-BIT技术则可以将三体离子封锁到完全隔离状态，有效地避免它们之间相互反应，从而控制它们的反应方向性，获得相应生成物的准确分子式及相互位置的定义性。
2基本原理3-BIT的基本原理是自由离子必须被轴向的外部电场封锁到围绕共轴线转动，形成封锁可抱轨道。
原子和分子离子的封锁，仅当外部电场有应力的时候（即有中心场和共轴线的径向场），而且必须满足垂直限制条件，它们才可以稳定保持一个空间封锁配置，这一配置也被称为共用相同轴圈（Common Axial Ring）。
垂直限制条件即三体离子必须位于电场对称中心的立体中心点（TCP），凡是满足封锁的电场的半径不能超过TCP轴向位移的距离，三体离子的封锁可以稳定保持。
该原理大大简化了微小电场控制多原子分子封锁的构造状况，使封锁多个离子分子成为可能。
3电场强度因素3-BIT技术可以有效控制多个离子分子的封锁，对于逐个离子分子的封锁效果也会受到电场强度大小影响。
当离子封锁在径向电场梯度较强时，将使得离子上升到所谓的峰值；当电场梯度比较弱时，将离子降低到一个“衰减”的位置；而当电场的梯度介于这两个极端之间时，离子分子就暂时“凝结”在TCP，以一个非常稳定的状态出现，此时其由此形成的封锁现象可以被称之为“锁定”。
4改良封锁方法虽然3-BIT封锁技术可以有效控制多个离子分子的封锁，但是其封锁效率仍存在一定的不足，而该技术的封锁效率可以通过改良电场的分布特性和电场的梯度强度等方面进行提高。
具体改良方法是，将电场的梯度强度和测量离子处于峰值或衰减位置的比例均衡化，并调节电子的分布，以围绕峰值的释放范围，有效提高被封锁离子的几率。
第七章限制性三体问题
2.3 算例
结论：10m/s左右的速度冲量，对探测器可达 到的访问范围有巨大的影响。
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
具体应用
天然的天文观测点：韦伯太空望远镜，2018年放 置于太阳─地球的第二拉格朗日点 天然的通信中继站：嫦娥4号将在地月拉格朗日2 点放置一颗数据中继卫星，实现月球背面的通信。
z
2
r23
z
z=0，平衡点在 天体运动平面内
1.3 拉格朗日解
2x
1
r13
(x2r12)
2
r23
(x1r12)
2
y
1
r13
y
2
r23
y
G(m1m2)
r132
r132
1.3 拉格朗日解
当 拉格朗日L4，L5点
1.3 拉格朗日解
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
1.3 拉格朗日解 地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
r232(xx& y& yzz& 1r12x& )
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
d dt 1 2v21 22(x2y2)1r 1 12r1 2 0
r132iz
1.2 限制性三体问题的动力学方程
系统的质心 又因为
得到 π2月球质量与地月质量的比值0.01215
1.2 限制性三体问题的动力学方程
受摄三体问题研究
２０ ０ ８年 ｌ ２月
中 国 空 间 科 学 技 术
１ ５
圆型 限 制性 三体 问题
假设 两个 主天 体 Ｍ１ Ｍ２Ｍ１ 和 （ ＞Ｍ２绕其 公 共质 心 以角速 度 ∞ 做 圆周 运 动 ， ） 第三 体 （ 行器 ） 飞 Ｍ３ 质量 远远 小于 主天 体 的质 量 ，因而第 三体不 影 响主天 体 的运动 。圆型限 制性 三体 问题研 究第 三体 在 主天 体 的引力 作用 下 的运 动 。以系统 的公共 质 心 为 原点 ，定义 会 合 坐标 系 。ｚ轴 从 Ｍ 向 Ｍ２ 指 ，ｚ
摘 要 圆型 限制 性三体 问题模 型忽略 了摄动 因素 的影响 ，在 很 多情况 下不能足 够准确
地描 述三体 系统 的动力 学性质 。本文研 究 了考虑 摄动影 响 的三体 问题 的动 力学性质及 其轨
道设计 。首先分析 了运行在 平动 点 附近 的卫 星所 受的主要 摄动 因素 ；然后从 系统在 惯性 坐 标 系中的动 力学方程 出发 ，推 导 了会 合 坐标 系中考虑偏 心率 、第四体 引力 以及 太 阳光压摄 动影 响的一般 动 力学方程 ；最后使 用 两层 微分修 正方 法将 圆型限制性 三体 问题 模 型下设计
１ ４
中 国 空 间 科 学 技 术
ＣＨＩ ＮＥＳＥ ＰＡＣＥ ＣＩ Ｓ Ｓ ＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＩＯＧＹ
２０ ０ ８年 １ ２月
第
６ 期
受 摄 三体 问题 研究
李 明涛 郑建华 于锡峥 高东
（ 中国 科 学 院空 间科 学 与 应 用 研 究 中心 ，北 京 １ ０ ８ ） ０ ０ Ｏ
较 好 的描述平 动点 附近的动 力学性 质在概念 设计 阶段被 广泛使 用 ，然 而 圆型限制性 三体 问题没有 考
限制性三体问题和拉格朗日点的研究
摘要：详细分析并得出了限制性三体问题中的力学模型，并绘制了势能分布图。
提出了一种迭代计算拉格朗日点附近物体运动轨迹的方法。
结合得到的势能分布图，对每个拉格朗日点的特性进行了详细的描述。
关键词：拉格朗日点限制性三体问题力学特性限制性三体问题和拉格朗日点的研究文/仲泽昂在宇宙中，三体问题是一种广泛存在的相互作用系统。
早在十八世纪就由牛顿、拉格朗日等人开始了对它的研究。
而在很多情况下，例如考虑发射人造卫星，计算质量较小的卫星（如木星周围的特洛伊群小行星带）的轨迹时，就可以假定其中一个质点的质量相对于另两个可忽略不计，即以限制性三体问题为模型进行简化。
而拉格朗日点是限制性三体问题的解。
其解共有五个，前三个由欧拉算出，后两个由拉格朗日算出。
其中有两个是稳定的解，即在受外力后有回到原来的相对位置的趋势。
在这五个点上的质点将总是相对于另两个静止，这作为一特性已被广泛应用在天文学、航空航天等领域。
以日地系统为例，L1 点位于地球和太阳中间，适合停留空间太阳望远镜等设备，方便对太阳的直接观测。
L2点处背离太阳和其他干扰，可以实现低损伤，低油耗的停留，适宜停驻空间天文台，在深空天体特别是红外波段的观测中有着无可比拟的优势。
在本文中，我们将会对限制性三体问题进行力学分析，求出势能模型，并使用MATLAB 对限制性三体问题的模型画图。
通过分析各个特征点的周围势能的分布情况，以及所处的位置情况，对拉格朗日点的特性进行分析。
一、限制性三体问题的势能模型在限制性三体问题中，将质量较小的研究对象的质量计为m ，体系中另外两个质点的质量分别为M 1，M 2。
由限制性三体问题定义有：以M 1，M 2为参考系，对于研究对象m ，由万有引力提供向心力，且受系统转动而产生的惯性力。
系统将在同一平面内做角速度为ω的转动，其转动圆心为M 1，M 2的质心[1]。
设万有引力常量为r ，与M 1，M 2的质心间的距离为。
由牛顿第二定律，可得：上式中，第一项为M 1和m 之间的引力，第二项为M 2和m 之间的引力，第三项为旋转过程中m 所受的离心力。
中学物理解答限制性三体问题的讨论
中学物理解答限制性三体问题的讨论
限制性三体问题是物理学中比较有挑战的问题，也是一个不知道结论的
难题。
它涉及三个物体的相互作用，物体之间没有外力耦合且物体之间受到
引力，而且这个问题存在着对称性，没有解决办法，具体到这三个物体之间
受到指定引力作用，讨论其形成的结果。
回归到实际，我们可以考虑三个相同质量的星球，它们受到其他星球的
引力作用，这样也就形成一个方阵的形状。
这里的关键是物体之间的力矩，
三个物体的力矩之和必须为零，才能确保物体不会发生运动。
这显然意味着
物体之间的距离也是有限的，即使受到的力越来越大，它们还是会保持一个
固定的形状，也就是不断发生变形但总体不会偏离一个特定的位置。
三体问题实际上只有无穷多种解，这也是这个问题非常复杂的原因，一
不小心就会让物体进入到一个不稳定的状态，而这个状态的变形甚至会导致
物体之间的碰撞。
总体而言，解决带有限制性的三体问题是非常困难的任务，需要很高的数学计算能力，同时要利用力学中约束着运动物体的有限条件来
求解，以使三个物体能够不断稳定地发生变形，以便能够以一种较好的状态
来构成我们所想要的效果。
变质量椭圆限制性三体问题
变质量椭圆限制性三体问题
变质量椭圆限制性三体问题是一个重要的天体力学问题，它涉及到三个天体的运动，其中一个天体的质量可以变化。
它是一个复杂的问题，因为它涉及到三个天体的相互作用，而且这三个天体的质量可以变化。
变质量椭圆限制性三体问题的研究始于1767年，当时爱因斯坦和拉普拉斯研究了这个问题。
他们发现，当三个天体的质量可以变化时，它们的运动会受到椭圆限制，这就是变质量椭圆限制性三体问题的名称。
变质量椭圆限制性三体问题是指三个天体在发生相互作用的情况下，由于其中一个天体的质量发生变化，导致这三个天体的运动受到限制的问题。
这种问题常用于描述星系中的小行星、恒星和黑洞的运动，也可用于描述太阳系中的行星和小行星的运动。
变质量椭圆限制性三体问题的解决方法包括计算机模拟和数值解法。
通过对三体问题进行模拟或数值解，可以得到三体系统的运动轨迹、能量分布、角动量等物理量的变化规律。
这些信息对于研究星系动力学、小行星的演化规律、太阳系的组成结构等方面具有重要意义。
三体问题 的解释
三体问题三体问题是一个经典的力学问题，指的是在相互作用下的三个质点之间的运动。
该问题由牛顿在17世纪提出，并成为天体力学的代表问题之一。
通过研究三体问题，科学家们希望能够揭示宇宙的运动规律，并给人类对天空和宇宙的认识提供深刻的启示。
质点之间的相互作用三体问题的核心在于研究质点之间的相互作用。
假设有三个质点 A、B、C，它们之间存在引力或其他相互作用力。
根据牛顿第二定律 F = ma，每个质点所受到的合力等于质点质量与质点加速度的乘积，即 F = m * a。
质点 A 受到质点 B 和质点 C 的引力作用，质点 B 受到质点 A 和质点 C 的引力作用，而质点 C 受到质点 A 和质点 B 的引力作用。
三个质点之间的相互作用力同时影响着它们的运动状态。
简化的三体问题三体问题可以分为三个子问题来研究。
首先研究两个质点之间的相互作用，称为二体问题。
二体问题是较为简单的，可以通过解微分方程的方法得出解析解，例如开普勒行星运动定律。
在已知了二体问题的解析解的基础上，可以再引入第三个质点，研究三体问题。
然而，由于三体问题的复杂性，无法得到解析解，只能通过数值模拟的方法来研究。
三体问题的混沌性三体问题的混沌性使其成为一个极具挑战性的问题。
混沌性指的是系统对初值极其敏感，微小的初值变化可能会导致系统的演化产生巨大的不确定性。
在三体问题中，即使质点的初始位置和速度只有微小的差异，它们的运动轨迹也可能会产生巨大的差别。
这种混沌性使得三体问题的求解变得异常困难，无法通过简单的数学公式来描述。
科学家们通过计算机模拟和数值方法来研究三体问题，以期找到系统的规律和稳定解。
三体问题的应用尽管三体问题在数学上具有复杂性和困难性，但它在天体力学、航天科学等领域具有重要的应用价值。
在天体力学中，通过研究三体问题可以揭示行星、卫星等宇宙体系的运动规律，为航天器的轨道设计、星际飞行等提供理论基础。
在航天科学中，三体问题的研究对于航天器的轨迹规划和控制问题具有重要意义。
限制性三体问题及应用
方程表明m2相对m1的运动是以m1为焦点的 开普勒运动，而m1和m2相对质心O的运动 也分别是以O为焦点的开普勒运动。
以O为原点建立动坐标系，令x轴沿m1至m2的连线，z轴沿轨道平面法线， m1，m2在x轴上的坐标分别为a1和-a2（如图）。此坐标系随同m1,m2的圆轨 道运动而绕z轴旋转。角速度:
依据此前的假设，只讨论质点m在(m1,m2)的轨道平面xoy内运动的简单情形。 分别以ρ,ρ1, ρ2表示自点O, m1, m2指向点m的矢径。由叠加原理，m在m1,m2 的势场下，势函数表述为：
式中,
m受到的万有引力可表述为：
其动力学方程为：
以相对坐标系的相对倒数表述，得到动力学方程的标量形式： ρ 将
a
L1, L2, L3是由数学家欧拉推算出来的， L4, L5是 由拉格朗日推算出来得。但后来习惯上将这五 个点都称为拉格朗日点。 从Hill曲线上可以看 出， L1, L2, L3是不稳定平衡点，而L4, L5是稳定 的平衡点。
拉格朗日平衡点的证实
拉格朗日点的求解多少显得有点象数学游戏。但是，后来的发现却证实 了拉格朗日点的存在，并且发现这些点都具有非常重要的意义。
2 y 2 为质点m在坐标系内的 令 v x
相对速度，能量积分为： v 2
V* E 2 m
V*为质点由m1和m2的引力场及 动坐标系的离心力场组成的相对势能: V * V
V 2 x 2 y x c c x V 2c x c2 y y y
1906年，德国天文学家马克思· 沃尔夫发现了一颗奇异的小行星。它的轨道与木星 相同，而不在通常所说火星轨道与木星轨道之间的小行星带里。最奇妙的是，它的 绕日运动周期与木星相同。从太阳看去，它总是在木星之前60°运转，不会与木星 贴近。天文学家沙利叶敏锐地意识到它可能 位于拉格朗日所求解的特解点上。果然，天 文学家很快就在木星之后60°的位置上，也 发现了小行星。迄今为止，在木星前后这两个 拉格朗日点上，已找到700颗小行星。 这就是著名的特洛伊群和希腊群小行星。 事实上，在任何双星系统、行星和太阳、 卫星和行星 的轨道面上，都存在5个拉格朗日 点。其中L1, L2, L3不稳定，而L4, L5是稳定的。 后来人们陆续发现，土卫三的L4和L5点有两个 小卫星，分别是土卫十三和土卫十四； 土卫四在L4点有一个卫星土卫十二。 更多的发现无可争议地证实了拉格朗日点 的存在。
限制性三体问题中两类特殊轨道的应用研究
限制性三体问题中两类特殊轨道的应用研究圆型限制性三体问题描述不计质量的第三体在两个相互绕圆轨道运行的大天体引力作用下的运动。
由于其具有一个运动积分和五个平动解,相空间结构相对简单,广泛的应用在天文学的各个领域,是天体力学中最为重要的模型之一。
本文分为两部分,分别从应用的角度研究了圆型限制性问题两类特殊轨道：发生Kozai效应的轨道和弹道捕获的轨道。
第一部分中,我们主要研究气体盘的引力和阻力对圆型限制性三体问题中得到的经典的Kozai效应的影响。
第二部分中,我们在圆型限制性三体问题框架下,研究了月球附近发生弹道捕获的区域-弱稳定边界的结构和性质。
如果第三体绕某个大天体运动,且其轨道平面和两个大天体平面存在比较大的倾角,则其偏心率将被周期性激发到很大的值,这种效应即为Kozai效应。
本文以大倾角双星系统中星子碰撞生长过程为背景,研究了气体盘的引力和阻力对Kozai效应的影响。
通过理论分析和数值模拟的方法,我们发现盘的引力一方面可以抑制系统内部区域的Kozai效应,而另一方面可以对Kozai效应起到增强的作用：倾角很小的系统中某些位置Kozai效应也可以发生,并且发生Kozai 效应星子的最大偏心偏心率可以激发大很高的值(-1)。
气体盘的阻力的最大作用是使发生Kozai效应的星子迅速内迁并堆积在系统内部,有利于行星形成。
另外本文在平面圆型限制性三体问题框架下研究了航天器被月球弹道捕获的轨道。
可以发生弹道捕获的区域可以用弱稳定的边界(Weak Stability Boundary, WSB)来描述。
我们发现弱稳定边界主要有五种类型,即：(1)和流形相关的边界,(2)和碰撞奇点相关的边界,(3)和l(θ)相切的轨道对应的边界,(4)零开普勒能量的轨道对应的边界。
(5)与“伪稳定轨道”相关的边界。
我们给出五种不同类型边界的分布特征。
其中弱稳定边界中心近圆形稳定结构的边界大多为和流形相关的边界,通过数值方法,我们发现月球附近稳定流形上的轨道的第一个近月点为弱稳定边界中心近圆形稳定结构的上界。
三体问题综述
－３０３－确之描述，惟此仅系特解或数字解，并非解析之普遍解。
此种特解及数字解祇能适用于某种特殊之起始条件，或仅在某一特定之时间内，始有效。
三体问题之普遍解，虽迄今尚未发现，但在较简单之特殊情形下，可以解析方法，求得令人相当满意之结果，此即所谓特殊三体问题。
假定质量为ｍ１及ｍ２之两质点，在其相互万有引力作用下共同环绕其质量中心作圆运动。
另有一质量为ｍ之质点，在ｍ１与ｍ２之万有引力场内运动。
吾人假定此第三质点之质量ｍ远小于ｍ１或ｍ２，因此其引力场甚微弱，故不致影响或干扰ｍ１及ｍ２之圆运动。
吾人更假定此第三质点ｍ之运动，仅限于ｍ１及ｍ２所在之平面内。
换言之，即三体皆在同一平面内运动，而此平面为ｍ１及ｍ２之圆运动所决定。
如此吾人乃得将此特殊三体问题，化简为一体问题，亦即ｍ在ｍ１及ｍ２共同之引力场内之运动。
则相应于旋转坐标系的运动方程有一个首次积分：式中ｖ为无限小质量体的速度，ｘ、ｙ为其坐标，ｃ为积分常数这就是著名的雅可比积分。
当无限小质量体的速度为零时，上式就成为：如ｍ为宇宙飞船或火箭，ｍ１及ｍ２各表地球与月球，则此即一典型之应用实例。
为解决此问题，吾人可以ｍ１及ｍ２之质量中心为原点，而采取随ｍ１及ｍ２作圆运动之转动坐标系。
此坐标系之角速度，即ｍ１及ｍ２环绕其质量中心之角速度。
根据前述之两体问题之普遍解，此角速度之大小为ｍ１及ｍ２之相对运动所决定。
质点ｍ在此旋转坐标系内所受之力计有：一、ｍ１及ｍ２之引力，二、因旋转而引起之离心力，三、Ｃｏｒｉｏｌｉｓ氏力（科里奥利力）。
上述之离心力与Ｃｏｒｉｏｌｉｓ氏力，皆因坐标系之旋转而引起者，乃假力。
质点ｍ所受之力既已确定，则其运动可由牛三体问题综述李银山 辽阳职业技术学院 １１１０００在古典力学中，如两体间交互作用力为连心力，或在更普遍之情形下，如两体间之作用力满足牛顿第三定律（即作用力与反作用力，大小相等而方向相反），且所受外力各与其质量成正比，则此两体问题可化简成为两个一体问题，因而得到普遍解。
限制性三体问题中摄动运动方程的坐标系选择
限制性三体问题中摄动运动方程的坐标系选择沈欣和;王文磊;许雪晴;周永宏;廖新浩【摘要】针对限制性三体问题,分别选取以中心天体和摄动体质心为坐标原点的惯性系,及以中心天体为坐标原点的非惯性系,讨论了不同坐标系下天体运动轨道描述的异同.利用运动天体轨道能量E的大小,可以确定受摄运动方程采用椭圆轨道根数还是采用双曲线轨道根数进行描述.为此,推导出一个关于轨道半长径和偏心率满足的临界关系判别式.结果表明,在摄动天体质量较大的情况下,非惯性系中存在大量轨道,这些轨道在原惯性坐标系中是稳定的椭圆轨道,转换到非惯性系中后却无法用椭圆轨道根数进行描述.只能引入双曲线轨道根数来描述轨道,由此将产生非惯性系下摄动运动方程轨道根数类型选择问题.最后,指出选择雅可比坐标系可以避免上述问题,并推导出适用于任意运动区域的具有统一形式的摄动函数展开式.【期刊名称】《天文学进展》【年(卷),期】2018(036)004【总页数】10页(P405-414)【关键词】限制性三体问题;椭圆运动;雅可比坐标系;摄动运动方程【作者】沈欣和;王文磊;许雪晴;周永宏;廖新浩【作者单位】中国科学院大学,北京100049;中国科学院行星科学重点实验室,南京210008;中国科学院上海天文台,上海200030;中国科学院大学,北京100049;中国科学院行星科学重点实验室,南京210008;中国科学院上海天文台,上海200030;中国科学院行星科学重点实验室,南京210008;中国科学院上海天文台,上海200030;中国科学院大学,北京100049;中国科学院行星科学重点实验室,南京210008;中国科学院上海天文台,上海200030;中国科学院行星科学重点实验室,南京210008;中国科学院上海天文台,上海200030【正文语种】中文【中图分类】P1331 引言对自然界中一切运动的描述，都必须在某一特定的参考空间中进行，如果选用的参考系不同，对同一运动的描述也会不同。
三体运动问题引发的科学困境
三体运动问题引发的科学困境繁星无法超越引言北京时间9月24日15：45至16：30，知名数学家迈克尔·阿蒂亚（Sir Michael Francis Atiyah）爵士正在海德堡奖获得者论坛上做关于黎曼猜想的宣讲(阿蒂亚表示，这个证明现在还不完整，接下来还有很多后续问题要解，今天只是万里长征的第一步，不过，第一步也应该算是问题的一个解。
而他的同行大多不认可他的论文和解释)。
该猜想的证明，有着极其深远的数学意义：其揭示了素数的分布规律。
这个猜想最早可以追溯到1859 年。
而在1900年的第一次世界数学家大会上，二十世纪伟大的数学家希尔伯特David Hilbert在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，其中就包括了黎曼假设猜想（Riemann Hypothesis）(即费马大定理Fermat's Last Theorem考虑到1900年时费马大定理尚未被证明，特改为费尔马猜想)。
David Hilbert这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。
而在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：1.问题能被简明清楚的表达出来.2.问题的解决十分困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。
希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马猜想，代数方程在n≥ 3，时是没有非零整数解的；而第二个数学问题就是我们所要介绍的N体问题的特例------三体问题（Three-body Problem）刘慈欣的《三体》提到三体问题，很难绕开熟知的这个不得不说的科幻著作，《三体》:《三体》丛书在宏大的宇宙背景里，刘慈欣构想了一个十分特殊的反派“巢穴”：三颗恒星，一颗行星，恒星在彼此的引力下做无规则运动，行星被恒星吸引也进行难以预测的运动。
更准确的说，这应该是一种“限制性的”四体问题。
作为行星的第四颗星球，其质量和体积相对于三颗恒星几乎可以忽略不计。
然而，哪怕是可以把4颗星视作3颗星的简化物理模型，对于三体文明都是一个难解的谜题。
考虑一个主星有辐射作用的限制性三体问题
考虑一个主星有辐射作用的限制性三体问题
马剑波;刘林
【期刊名称】《南京大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2001(37)5
【摘要】在通常的限制性三体问题中 ,考虑一个主星m1 的辐射作用后 ,小天体m 的运动会有变化 ,但辐射作用与引力作用不同 ,其作用的大小与承受辐射压的客体的有效面质比有关 .当主星m1 辐射较强 ,小天体m的有效面质比较大时 ,这种辐射作用不可忽视 ,例如太阳光压对人造地球卫星运动的影响 .除此之外 ,如果另一主星m2 的有效面质比亦较大 ,则情况更复杂一些 .考虑运动小天体和另一主星m2 均受主星m1 辐射作用的情况 ,从严格的数字模型着手建立相应的基本方程 ,讨论辐射作用对质心旋转坐标系中积分的存在和平衡解的影响 .在主星m1辐射不是特别强和另一主星m2 的有效面质比不是很大的情况下。
【总页数】6页(P599-604)
【关键词】辐射压;限制性三体问题;平衡解;辐射作用;主星;天体运动;光压
【作者】马剑波;刘林
【作者单位】南京大学天文系
【正文语种】中文
【中图分类】P132.2
【相关文献】
1.强震作用下重力坝考虑辐射阻尼的一种简单模型 [J], 潘坚文;Chongmin Song;张楚汉
2.考虑一个主体有强辐射的限制性三体问题平动点的线性稳定性 [J], 舒斯会;李嫣
3.含辐射和扁率的圆型限制性三体问题的\r轨道稳定性研究 [J], 石绍伍;马大柱
4.考虑温压载荷耦合作用的储罐内爆破坏与辐射区域 [J], 芦烨;丁宇奇;王学勇;赵砚锋;卢宏;谢清;叶碧涛
5.考虑导热对流和辐射作用的轴对称收扩喷管壁温计算 [J], 刘友宏;李江宁;才娟因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
厉害了！《三体》中无解难题已被成功破解，曾困惑人类330年之久
厉害了！《三体》中无解难题已被成功破解，曾困惑人类330年之久趣味探索讯在科幻小说《三体》中，一个比地球人类文明先进得多的外星文明居住在4光年外半人马星座星系中，而这个星系由一颗行星和三颗恒星组成，由于三颗恒星的相互作用力，这颗行星轨迹十分复杂，而行星上三体人不是因为离恒星太远而被冻死，就是因为离恒星太近而被热死，但三体文明一直幸存了下来。
后来，这个星系终于出现了一段相对稳定时期，于是三体人科技在很短时间内得到飞速发展，但是还是无法解出三颗恒星的运行规律，最终他们决定远征太阳系殖民地球。
在现实世界中，三个天体间相互作用力真的有那么难解吗？众所周知，牛顿运动定律早在1687年就被著名物理学家牛顿所提出，该定律揭示了宇宙一切力学本质。
牛顿运动定律指出，每个作用力背后都有一个与之平等相反的反作用力。
虽然牛顿运动定律已经为人类对太阳系乃至整个宇宙天体运动规律的理解奠定了坚实基础，但是牛顿运动定律带来了一个悬而未决的问题一直困惑着科学家，长达330年之久，这个问题就是“三体难题”，即《三体》小说中所说无解的三体难题。
当一个天体围绕着恒星旋转时，科学家很容易用牛顿运动定律能计算出天体的运行轨迹，但当作用关系出现第三个天体后，一切都变得难以理解了，这是因为三个天体间距离会时近时远，它们之间会发生微妙的权斗关系，搞不好三个天体的运行轨迹会同时出现混乱，用传统的牛顿运动定律将变得“力不从心”，再也无法算出天体的运行轨迹了。
不过现在，一位名为尼古拉斯·斯通（Nicholas Stone）的科学家在三体难题方面有新发现，成功破解了《三体》中无解难题。
据了解，斯通是智利耶路撒冷希伯来大学物理研究所的天体物理学家，他认为不稳定的三体系统不会维持多久，很快会有一个天体出局，接下来二元系统将会慢慢地趋向于稳定，哪一个天体会被出局，它们关系什么时间破裂将是研究重点。
斯通并没有把三个天体间混乱看作是一种障碍，而是使用另一种传统数字方法来预测天体运行轨迹，预测结果竟然和计算机模拟结果非常接近，不过斯通一再强调，他们的方法并不能精确解决三体问题，但是对理解三体难题中的最后幸存者将至关重要，所以这也勉强算是一种解决方案，这项新研究发现已发表在《自然》杂志上。
三体探究性学习
三体探究性学习
在这个三体入侵的大环境下，很大一部分的故事是讲述人性。
并且都不是极端绝对的好坏，人性的弱点更是体现酣畅淋漓。
叶文洁的叛世是个开始，但她对于宇宙社会学的透露又帮助了人类，历史的原因将她逼上仇恨，到人生的尽头也有悔恨，人性尚存。
罗辑则是从沉迷爱情到成为孤独的守护人，由玩世不恭到沉稳。
程心虽然说是善良，散发着母爱但却是格外的自私。
用自己认为的尊重人权却使文明甚至失去存在的机会。
黑暗森林的背景将每一个人性的缺点都无限放大，称得上是人性之战。
虽然三体是一本硬科学科幻，但是却不乏文学色彩的增华。
人类的太空舰队被水滴击毁时的悲壮，太阳系跌落为二维，色彩缤纷却又悲惨绝望，还有云天明的童话，简直奇思妙想的科普知识。
使学习物理也产生了奇妙之处，这就是这本书不单单局限于情节而被无数人所拥读的原因了。
当然对我本身来说，是我对宇宙产生求知欲，也因此去查阅了爱因斯坦的统一场论。
改变的不仅是我的人生观和世界观，还有就是鼓励我对于未知的探索。
一本小说若可以使读者将其延生到真实生活中，改变一些什么，有一些对于人类的促进。
那么它就是可以被历史所保留下来的经典了。
给岁月以文明，而不是给文明以岁月。
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关于限制性三体问题的探究（河南大学物理与电子学院物理系中国·河南·开封475004）【摘要】本文主要研究限制性三体问题中的一种简化模型：两个固定恒星和一个小行星的运动。
并于开篇对非线性科学、三体问题的概述及其发展史作必要简介，篇中为该简化模型的数理推断、Matlab程序设计、分析与实现，收篇为研究心得总结。
【关键词】非线性，限制性，N体，三体，Matlab程序，运行轨迹。
第一部分引言一、关于非线性科学1.非线性科学作为科学的一个新分支，如量子力学和相对论一般，也将我们引向全新的思想，给予我们惊人的结果。
它的诞生，进一步宣布了牛顿的经典决定论的局限性。
它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。
2.非线性科学涵盖各种各样尺度的系统，涉及以任意速率运动的对象，这一事实丝毫不降低这一新学科的创新性，相反，恰恰说明它具有广泛的应用性。
从这一点来看，其实非线性科学的诞生和发展更有资格被称为科学的一场革命。
3.非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机和复杂系统。
而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的非线性。
二、三体问题（Three Body Problem）1.N体问题：N体问题即在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定的初始位置和速度的条件下，它们就会以一定的方式在空间中运动。
2.三体问题：三体问题是多体问题的一个特例。
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动如下图。
在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。
如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。
按照经典力学，需要求解已知初始位置和初始速度条件下微分方程组。
研究表明，由于方程的非线性，在三体问题中会出现混沌现象。
3.三体问题的发展史a.研究起源在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，当时伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。
在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。
为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马(Pierre de Fermat)猜想，即代数方程xn+yn=zn 在n大于2时是没有整数解的；第二个就是N体问题的特例——三体问题。
值得一提的是，这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特也没有把他们列进他的问题清单。
但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。
费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1994年被美国普林斯顿大学(Princeton University)威尔斯(Andrew Wiles)最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了。
b.三体问题的研究方法三体问题由于三体问题不能严格求解，在研究天体运动时，只能根据实际情况采用各种近似的解法，研究三体问题的方法大致可分为3类：第一类是分析方法，其基本原理是把天体的坐标和速度展开为时间或其他小参数的级数形式的近似分析表达式，从而讨论天体的坐标或轨道要素随时间的变化；第二类是定性方法，采用微分方程的定性理论来研究长时间内三体运动的宏观规律和全局性质；第三类是数值方法，这是直接根据微分方程的计算方法得出天体在某些时刻的具体位置和速度。
这三类方法各有利弊，对新积分的探索和各类方法的改进是研究三体问题中很重要的课题。
c.三体问题之特殊情况三体问题主要有以下四种特殊情况：1、三星成一直线，边上两颗围绕当中一颗转。
2、三星成三角形，围绕三角形中心旋转。
3、两颗星围绕第三颗星旋转。
4、三个等质量的物体在一条8字形轨道上运动。
如图（a）d.限制性三体问题三体问题的特殊情况。
当所讨论的三个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略时，这样的三体问题称为限制性三体问题。
一般地把这个小质量的天体称为无限小质量体，或简称小天体；把两个大质量的天体称为有限质量体。
把小天体的质量看成无限小，就可不考虑它对两个有限质量体的吸引，也就是说，它不影响两个有限质量体的运动。
于是，对两个有限质量体的运动状态的讨论，仍为二体问题，其轨道就是以它们的质量中心为焦点的圆锥曲线。
根据圆锥曲线为圆、椭圆、抛物线和双曲线等四种不同情况﹐相应地限制性三体问题分四种类型：圆型限制性三体问题﹑椭圆型限制性三体问题﹑抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题。
若小天体的初始位置和初始速度都在两个有限质量体的轨道平面上，则小天体将永远在运动。
而按限制性三体问题研究月球的运动，略去太阳轨道偏心率﹑太阳视差和月球轨道倾角，实际上这就是一种特殊的平面圆型限制性三体问题。
他得到的周期解，就是希尔月球运动理论的中间轨道。
在小行星运动理论中，常按椭圆型限制性三体问题进行讨论，脱罗央群小行星的运动就是太阳-木星-小行星所组成的椭圆型限制性三体问题的等边三角形解的一个实例。
布劳威尔还按椭圆型限制性三体问题来讨论小行星环的空隙。
抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题在天体力学中则用得很少。
人造天体出现后，限制性三体问题有了新的用途，常用于研究月球火箭和行星际飞行器运动的简化力学模型，见月球火箭运动理论和行星际飞行器运动理论)。
而本文则是对限制性三体问题中的最简模型：小天体（质量远远小于固定恒星质量）绕两固定恒星的运动进行了一些相关讨论与科学探究。
我们给出了其matlab程序设计及处理结果，并作了相应的理论分析与研究总结，希望读者能够仔细阅读体会，并提出您的宝贵意见，便于改进我们的工作。
第二部分数理推断及程序设计1.模型方程的导出首先将三维问题平面化，即把三维空间中的两大质量恒星固定在一维线上，这样该维线就与小天体共面，以M1与M2所在直线为ｘ轴，以M1M2线段中垂线为y轴建立平面直角坐标系：如下图所示：M1=M2=M，m3<<M;由牛顿万有引力定律（仅考虑万有引力，自转不考虑）可以得出：F1=GM1m3/[(x+1)^2+y^2];F2=GM2m3/[(x-1)^2+y^2];由于此计算归于无量纲数值运算，故可以假定GM=1以便于计算分析；所以得出：F1=m3/[(x+1)^2+y^2];F2=m3/[(x-1)^2+y^2];此时，有力的分解与合成对小天体（m3）进行受力分析；则具体过程如下：因为tanθ1=k1=y/(x+1);F1y=F1x*tanθ1;(F1x)^2+(F1y)^2=(F1)^2;故可以得出：F1x=m3(x+1)/[(x+1)^2+y^2]^1.5;F1y=m3y/[(x+1)^2+y^2]^1.5;同理，可以得出：F2x=m3(x-1)/[(x-1)^2+y^2]^1.5;F2y=m3y/[(x-1)^2+y^2]^1.5;由牛顿第二定律有X方向小天体所受合力：Fx=F1x+F2x=m3(x+1)/[(x+1)^2+y^2]^1.5+m3(x-1)/[(x-1)^2+y^2]^1.5; Y方向小天体所受合力：Fy=F1y+F2y=m3y/[(x+1)^2+y^2]^1.5+m3y/[(x-1)^2+y^2]^1.5;X方向小天体的加速度：ax=(x+1)/[(x+1)^2+y^2]^1.5+(x-1)/[(x-1)^2+y^2]^1.5;Y方向小天体的加速度：ay=y/[(x+1)^2+y^2]^1.5+y/[(x-1)^2+y^2]^1.5;可由迭代法导出:Vx(t+dt)=Vx(t)+ax*dt; (1)Vy(t+dt)=Vx(t)+ay*dt; (2)x(t+dt)=x(t)+Vx(t+dt)*dt; (3)y(t+dt)=y(t)+Vy(t+dt)*dt; (4)2.matlab程序设计下面则根据第一步的方程导出进行程序设计:打开matlab运行界面，首先建立.m文件，在编辑窗口中：令h=dt;Vx(1)=p,Vy(1)=q;x(1)=m,y(1)=n;运行次数为N;运用for语句结合1.中的(1)、(2)、(3)、(4)即可得出其程序：（取h=0.002,p=q=0.5,m=0.8,n=1.2，N=30000）>> h=0.002;>> vx(1)=0.5;>> vy(1)=0.5;>> x(1)=0.8;>> y(1)=1.2;>> for i=1:30000vx(i+1)=vx(i)-h*((x(i)+1)/((x(i)+1)^2+y(i)^2)^1.5+(x(i)-1)/((x(i)-1)^2+y(i) ^2)^1.5);vy(i+1)=vy(i)-h*(y(i)/((x(i)+1)^2+y(i)^2)^1.5+y(i)/((x(i)-1)^2+y(i)^2)^1.5 );x(i+1)=x(i)+vx(i+1)*h;y(i+1)=y(i)+vy(i+1)*h;line(y(i),x(i));end将程序在命令窗口（command window）中运行即得其处理图形：图（1）1>.改变运行次数使N=10000，h,p,q,m,n不变则其运动轨迹的路线就会更加清晰化：（2）(运行10000次的结果)2>.当h=0.003,N=10000；m,n,p,q不变时其运行结果如下：图（3）3>.而改变Vx，Vy时则会出现比较非常的结果：。