限制性三体问题的探究

关于限制性三体问题的探究（河南大学物理与电子学院物理系中国·河南·开封475004）【摘要】本文主要研究限制性三体问题中的一种简化模型：两个固定恒星和一个小行星的运动。

并于开篇对非线性科学、三体问题的概述及其发展史作必要简介，篇中为该简化模型的数理推断、Matlab程序设计、分析与实现，收篇为研究心得总结。

【关键词】非线性，限制性，N体，三体，Matlab程序，运行轨迹。

第一部分引言一、关于非线性科学1.非线性科学作为科学的一个新分支，如量子力学和相对论一般，也将我们引向全新的思想，给予我们惊人的结果。

它的诞生，进一步宣布了牛顿的经典决定论的局限性。

它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。

2.非线性科学涵盖各种各样尺度的系统，涉及以任意速率运动的对象，这一事实丝毫不降低这一新学科的创新性，相反，恰恰说明它具有广泛的应用性。

从这一点来看，其实非线性科学的诞生和发展更有资格被称为科学的一场革命。

3.非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机和复杂系统。

而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的非线性。

二、三体问题（Three Body Problem）1.N体问题：N体问题即在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定的初始位置和速度的条件下，它们就会以一定的方式在空间中运动。

2.三体问题：三体问题是多体问题的一个特例。

最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动如下图。

在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。

如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。

按照经典力学，需要求解已知初始位置和初始速度条件下微分方程组。

研究表明，由于方程的非线性，在三体问题中会出现混沌现象。

3.三体问题的发展史a.研究起源在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，当时伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。

在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。

为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马(Pierre de Fermat)猜想，即代数方程xn+yn=zn 在n大于2时是没有整数解的；第二个就是N体问题的特例——三体问题。

值得一提的是，这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特也没有把他们列进他的问题清单。

但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。

费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1994年被美国普林斯顿大学(Princeton University)威尔斯(Andrew Wiles)最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了。

b.三体问题的研究方法三体问题由于三体问题不能严格求解，在研究天体运动时，只能根据实际情况采用各种近似的解法，研究三体问题的方法大致可分为3类：第一类是分析方法，其基本原理是把天体的坐标和速度展开为时间或其他小参数的级数形式的近似分析表达式，从而讨论天体的坐标或轨道要素随时间的变化；第二类是定性方法，采用微分方程的定性理论来研究长时间内三体运动的宏观规律和全局性质；第三类是数值方法，这是直接根据微分方程的计算方法得出天体在某些时刻的具体位置和速度。

这三类方法各有利弊，对新积分的探索和各类方法的改进是研究三体问题中很重要的课题。

c.三体问题之特殊情况三体问题主要有以下四种特殊情况：1、三星成一直线，边上两颗围绕当中一颗转。

2、三星成三角形，围绕三角形中心旋转。

3、两颗星围绕第三颗星旋转。

4、三个等质量的物体在一条8字形轨道上运动。

如图（a）d.限制性三体问题三体问题的特殊情况。

当所讨论的三个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略时，这样的三体问题称为限制性三体问题。

一般地把这个小质量的天体称为无限小质量体，或简称小天体；把两个大质量的天体称为有限质量体。

把小天体的质量看成无限小，就可不考虑它对两个有限质量体的吸引，也就是说，它不影响两个有限质量体的运动。

于是，对两个有限质量体的运动状态的讨论，仍为二体问题，其轨道就是以它们的质量中心为焦点的圆锥曲线。

根据圆锥曲线为圆、椭圆、抛物线和双曲线等四种不同情况﹐相应地限制性三体问题分四种类型：圆型限制性三体问题﹑椭圆型限制性三体问题﹑抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题。

若小天体的初始位置和初始速度都在两个有限质量体的轨道平面上，则小天体将永远在运动。

而按限制性三体问题研究月球的运动，略去太阳轨道偏心率﹑太阳视差和月球轨道倾角，实际上这就是一种特殊的平面圆型限制性三体问题。

他得到的周期解，就是希尔月球运动理论的中间轨道。

在小行星运动理论中，常按椭圆型限制性三体问题进行讨论，脱罗央群小行星的运动就是太阳-木星-小行星所组成的椭圆型限制性三体问题的等边三角形解的一个实例。

布劳威尔还按椭圆型限制性三体问题来讨论小行星环的空隙。

抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题在天体力学中则用得很少。

人造天体出现后，限制性三体问题有了新的用途，常用于研究月球火箭和行星际飞行器运动的简化力学模型，见月球火箭运动理论和行星际飞行器运动理论)。

而本文则是对限制性三体问题中的最简模型：小天体（质量远远小于固定恒星质量）绕两固定恒星的运动进行了一些相关讨论与科学探究。

我们给出了其matlab程序设计及处理结果，并作了相应的理论分析与研究总结，希望读者能够仔细阅读体会，并提出您的宝贵意见，便于改进我们的工作。

第二部分数理推断及程序设计1.模型方程的导出首先将三维问题平面化，即把三维空间中的两大质量恒星固定在一维线上，这样该维线就与小天体共面，以M1与M2所在直线为ｘ轴，以M1M2线段中垂线为y轴建立平面直角坐标系：如下图所示：M1=M2=M，m3<<M;由牛顿万有引力定律（仅考虑万有引力，自转不考虑）可以得出：F1=GM1m3/[(x+1)^2+y^2];F2=GM2m3/[(x-1)^2+y^2];由于此计算归于无量纲数值运算，故可以假定GM=1以便于计算分析；所以得出：F1=m3/[(x+1)^2+y^2];F2=m3/[(x-1)^2+y^2];此时，有力的分解与合成对小天体（m3）进行受力分析；则具体过程如下：因为tanθ1=k1=y/(x+1);F1y=F1x*tanθ1;(F1x)^2+(F1y)^2=(F1)^2;故可以得出：F1x=m3(x+1)/[(x+1)^2+y^2]^1.5;F1y=m3y/[(x+1)^2+y^2]^1.5;同理，可以得出：F2x=m3(x-1)/[(x-1)^2+y^2]^1.5;F2y=m3y/[(x-1)^2+y^2]^1.5;由牛顿第二定律有X方向小天体所受合力：Fx=F1x+F2x=m3(x+1)/[(x+1)^2+y^2]^1.5+m3(x-1)/[(x-1)^2+y^2]^1.5; Y方向小天体所受合力：Fy=F1y+F2y=m3y/[(x+1)^2+y^2]^1.5+m3y/[(x-1)^2+y^2]^1.5;X方向小天体的加速度：ax=(x+1)/[(x+1)^2+y^2]^1.5+(x-1)/[(x-1)^2+y^2]^1.5;Y方向小天体的加速度：ay=y/[(x+1)^2+y^2]^1.5+y/[(x-1)^2+y^2]^1.5;可由迭代法导出:Vx(t+dt)=Vx(t)+ax*dt; (1)Vy(t+dt)=Vx(t)+ay*dt; (2)x(t+dt)=x(t)+Vx(t+dt)*dt; (3)y(t+dt)=y(t)+Vy(t+dt)*dt; (4)2.matlab程序设计下面则根据第一步的方程导出进行程序设计:打开matlab运行界面，首先建立.m文件，在编辑窗口中：令h=dt;Vx(1)=p,Vy(1)=q;x(1)=m,y(1)=n;运行次数为N;运用for语句结合1.中的(1)、(2)、(3)、(4)即可得出其程序：（取h=0.002,p=q=0.5,m=0.8,n=1.2，N=30000）>> h=0.002;>> vx(1)=0.5;>> vy(1)=0.5;>> x(1)=0.8;>> y(1)=1.2;>> for i=1:30000vx(i+1)=vx(i)-h*((x(i)+1)/((x(i)+1)^2+y(i)^2)^1.5+(x(i)-1)/((x(i)-1)^2+y(i) ^2)^1.5);vy(i+1)=vy(i)-h*(y(i)/((x(i)+1)^2+y(i)^2)^1.5+y(i)/((x(i)-1)^2+y(i)^2)^1.5 );x(i+1)=x(i)+vx(i+1)*h;y(i+1)=y(i)+vy(i+1)*h;line(y(i),x(i));end将程序在命令窗口（command window）中运行即得其处理图形：图（1）1>.改变运行次数使N=10000，h,p,q,m,n不变则其运动轨迹的路线就会更加清晰化：（2）(运行10000次的结果)2>.当h=0.003,N=10000；m,n,p,q不变时其运行结果如下：图（3）3>.而改变Vx，Vy时则会出现比较非常的结果：。