高考数学总复习 8-6 抛物线但因为测试 新人教B版

高考数学总复习 8-6 抛物线但因为测试 新人教B 版

1.(文)(2011·惠州调研)若抛物线y 2

＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 2

2

＝1的右焦点重合，则p 的

值为( )

A ．－2

B ．2

C ．－4

D ．4

[答案] D

[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p

2

＝2，∴p ＝4.

(理)(2011·东北三校联考)抛物线y 2

＝8x 的焦点到双曲线x 212－y 2

4

＝1的渐近线的距离为

( )

A ．1 B.3 C.

3

3

D.36

[答案] A

[解析] 抛物线y 2

＝8x 的焦点F(2,0)到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线y ＝±3

3

x 的距离d ＝

1.

2．(文)(2011·陕西文，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )

A ．y 2＝－8x

B ．y 2＝－4x

C ．y 2＝8x

D ．y 2＝4x

[答案] C

[解析] 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y 2＝8x.故选C.

(理)(2010·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )

A ．y 2＝－2x

B ．y 2＝－3

2x

C ．y 2＝4x

D ．y 2＝－4x [答案] D

[解析] 设过P(－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q(x ，y)，则PQ →

∥a ，

∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－

y)＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx 的焦点F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，∴m ＝－4，故选D.

3．(文)(2011·茂名一模)直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( )

A ．48

B ．56

C ．64

D ．72

[答案] A

[解析] 由题意不妨设A 在第一象限，联立y ＝x －3和y 2＝4x 可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x ＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S 梯形

APQB ＝

1

2

(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.

(理)(2011·石家庄模拟)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB||CD|

的值为( )

A ．16 B.116 C ．4 D.14

[答案] B

[解析] 由⎩⎪⎨⎪

⎧

3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y

得x 2－3x －4＝0，

∴x A ＝－1，x D ＝4，y A ＝1

4

，y D ＝4，

∵直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)． ∴|AF|＝y A ＋1＝5

4，|DF|＝y D ＋1＝5，

∴

|AB||CD|＝|AF|－1|DF|－1＝1

16

.故选B. 4．(2010·福州市质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )

A ．5

B ．8 C.17－1 D.5＋2

[答案] C

[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋

|PF|≥|CF|－1＝17－1.

5．(2010·福建福州)若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 、M(4,4)且与l 相切的圆共有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

[答案] C

[解析] 经过F 、M 的圆的圆心在线段FM 的垂直平分线上，设圆心为C ，则|CF|＝|CM|，又圆C 与l 相切，所以C 到l 距离等于|CF|，从而C 在抛物线y 2＝4x 上．

故圆心为FM 的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆． 6．(2011·湖北文，4)将两个顶点在抛物线y 2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )

A ．n ＝0

B ．n ＝1

C ．n ＝2

D ．n≥3 [答案] C

[解析] 由抛物线的对称性知，在抛物线上的两个顶点关于x 轴对称，所以过抛物线焦点F 作斜率为

33(或斜率为－3

3

)的直线与抛物线有两个不同交点，它们关于x 轴的对称点也在抛物线上，这样可得到两个正三角形．

7．(2010·延边州质检)抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 2

4＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛

物线方程为______．

[答案] y 2＝－45x

[解析] 由c 2＝9－4＝5得F(－5，0)， ∴抛物线方程为y 2＝－45x.

8．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.

[答案] 2

[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，

则⎩

⎪⎨⎪⎧

y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，

∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.

(理)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P 在抛物线y 2

＝－4x 上运动，则AP →·BP →

取得最小值时

的点P 的坐标是______．

[答案] (0,0)