高考数学总复习 8-6 抛物线但因为测试新人教B版

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高考数学总复习 10-6 排列与组合(理)但因为测试新人教B版

高考数学总复习 10-6 排列与组合(理)但因为测试新人教B版1.(2011·福州三中月考)某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A．120B．84C．52D．48[答案] C[解析]间接法：C38－C34＝52种．2．(2011·成都模拟)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有()A．20种B．30种C．40种D．60种[答案] A[解析]分三类：甲在周一，共有A24种排法；甲在周二，共有A23种排法；甲在周三，共有A22种排法；∴A24＋A23＋A22＝20.3．(2011·沧州模拟)10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2个站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为() A．C27A55B．C27A22C．C27A25D．C27A35[答案] C[解析]从后排抽2人的方法种数是C27；前排的排列方法种数是A25，由分步计数原理知不同调整方法种数是C27A25.4．(2011·广东揭阳模拟)一个汽车牌照号码共有五位，某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有() A．180种B．360种C．720种D．960种[答案] D[解析]按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位各有4种选法，因此该车主的车牌号码可选的所有可能情况共有A 15·A 13·A 14·A 14·A 14＝960种，故选D.5.(2011·柳州模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．12种[答案] D[解析] 先涂三棱锥P －ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C 13×C 12×C 11C 12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．6．(2011·菏泽模拟)从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8[答案] D[解析] 当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8. 当公比为3时，等比数列可为1、3、9. 当公比为32时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．7．(2011·昆明模拟)将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有________．[答案] 24种[解析] 将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C 24A 33种分配方案，其中甲同学分配到A 班共有C 23A 22＋C 13A 22种方案．因此满足条件的不同方案共有C 24A 33－C 23A 22－C 13A 22＝24(种)．8.有6个大小不同的数按如图的形式随机排列，设第一行的数为M1，第二、三行中的最大数分别为M2、M3，则满足M1<M2<M3的所有排列的个数是________．[答案]240[解析]设6个数按从小到大顺序依次为a1、a2、a3、a4、a5、a6.据题设条件知M3＝a6，可依第二行最大数M2分类讨论．①若M2＝a5，有排法C14·C13·A22·A33＝144种．②若M2＝a4，则a5必在第三行有排法C13·C12·A22A33＝72种．③若M2＝a3，则a4、a5都在第三行有排法C12·A22A33＝24种，据条件知M2不能小于a3.∴满足题设条件的所有不同排列的个数为144＋72＋24＝240个．9．在空间直角坐标系O－xyz中有8个点：P1(1,1,1)、P2(－1,1,1)、…、P7(－1，－1，－1)、P8(1，－1，－1)(每个点的横、纵、竖坐标都是1或－1)，以其中4个点为顶点的三棱锥一共有________个(用数字作答)．[答案]58[解析]这8个点构成正方体的8个顶点，此题即转化成以正方体的8个顶点中的4个点为顶点的三棱锥一共有多少个，则共有三棱锥C14C34＋(C24C24－2×4－2)＋C34C14＝58个．[点评]用间接法求解更简便些，从正方体的8个顶点中任取4个，有不同取法C48种，其中这四点共面的(6个对角面、6个表面)共12个，∴这样的三棱锥有C48－12＝58个．10．(2011·苏州调研)某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？[解析]根据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C23A24种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案．由分类加法计数原理可知共有C23A24＋A34＝60(种)方案.11.(2011·广东广州综合测试)将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为()A．96 B．114C．128 D．136[答案] B[解析]若某一学校的最少人数是1,2,3,4,5，则各有7,5,4,2,1种不同的分组方案．故不同的分配方法种数是(7＋5＋4＋2＋1)A33＝19×6＝114.12．(2011·甘肃兰州高手诊断)某位高三学生要参加高校自主招生考试，现从6所高校中选择3所报考，其中两所学校的考试时间相同．则该学生不同的报名方法种数是() A．12 B．15C．16 D．20[答案] C[解析]若该考生不选择两所考试时间相同的学校，有C34＝4种报名方法；若该考生选择两所考试时间相同的学校之一，有C24C12＝12种报名方法，故共有4＋12＝16种不同的报名方法．13.(2010·天津理)如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种[答案] B[解析]当涂四色时，先排A、E、D为A34，再从B、F、C三点选一个涂第四种颜色，如B，再F，若F与C同色，则涂C有2种方法，若F与C异色则只有一种方法，故A34A13 (2＋1)＝216种．当涂三色时，先排A、E、D为C34A33，再排B有2种，F、C各为一种，故C34A33×2＝48，故共有216＋48＝264种，故选B.14.(2010·洛阳模拟)一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有()A．6种B．8种C．36种D．48种[答案] D[解析]如图所示，三个区域按参观的先后次序共有A23种参观方法，对于每一种参观次序，每一个植物园都有2类参观路径，∴共有不同参观路线2×2×2×A23＝48种．15．(2010·重庆一中)为配合即将开幕的2010年上海世博会，某大学拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初选，2名男同学，4名女同学成为了候选人，每位候选人当选正式队员的机会是相等的．(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率．(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．[解析]从2男4女共6名同学中选取4人，不同选法共有C46＝15种，(1)恰有1名男同学当选的情况有C12·C34＝8种，∴所求概率P＝815.(2)当选的4名同学中至少有3名女同学的情况有C34C12＋C44＝9种，∴所求概率P＝9 15＝35. 16．(2011·深圳模拟)用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)被4整除； (2)比21034大的偶数；(3)左起第二、四位是奇数的偶数．[解析] (1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分为两类：当末两位数是20、40、04时，其排列数为3A 33＝18，当末两位数是12、24、32时，其排列数为3A 12·A 22＝12.故满足条件的五位数共有18＋12＝30(个)．(2)①当末位数字是0时，首位数字可以为2或3或4，满足条件的数共有3×A 33＝18个． ②当末位数字是2时，首位数字可以为3或4，满足条件的数共有2×A 33＝12个． ③当末位数字是4时，首位数字是3的有A 33＝6个，首位数字是2时，有3个，共有9个．综上知，比21034大的偶数共有18＋12＋9＝39个． (3)方法一：可分为两类：末位数是0，有A 22·A 22＝4(个)；末位数是2或4，有A 22·A 12＝4(个)；故共有A 22·A 22＋A 22·A 12＝8(个)．方法二：第二、四位从奇数1,3中取，有A 22个；首位从2,4中取，有A 12个；余下的排在剩下的两位，有A 22个，故共有A 22A 12A 22＝8(个)．1．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28[答案] C[解析] 分两类计算，C 22C 17＋C 12C 27＝49，故选C.2．(2010·安徽芜湖一中)从编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10个球中，任取5个球，则这5个球的编号之和为偶数的概率是( )A.16B.13C.12D.23[答案] C[解析] 从10个球中选5个有C 510种选法，取出的5个球编号之和为偶数的取法有：1偶4奇C 15C 45，3偶2奇C 35C 25，5偶C 55，∴所求概率P ＝C 15C 45＋C 35C 25＋C 55C 510＝12. 10个球的编号5奇5偶，从中任取5个，编号之和为奇数的与编号之和为偶数的一样多，∴P ＝12.3．定义整数集合A 与B 的运算A *B 如下：A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B ，且x ＋y 为偶数}，若A ＝{－1,0,1}，B ＝{1,2,3,4}，则集合A *B 中的元素个数为( )[来源:]A ．12B ．6C ．4D ．2[答案] B[解析] x ＝－1时，y ＝1,3；x ＝0时，y ＝2,4；x ＝1时，y ＝1,3.故选B.4．(2010·全国Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种[答案] B[解析] 先从三个信封中选取一个放数字1,2，有C 13种选法，再从3,4,5,6中选取两个放入一个信封中，则剩下的两个数字在另一个信封中，有放法C 24种，∴共有不同放法，C 13·C 24＝18种．5．(2011·广西桂林调研考试)从9名学生中选出4人参加辨论比赛，其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法的种数为( )A ．36B ．96C ．63D ．51[答案] D[解析] 若甲、乙、丙三人均入选，只需再从其余的6人中任选1人即可，有C 16种选法，若甲、乙、丙三人中只有2人入选，有C 23种方法，然后再从其余的6人中任选2人即可，有C 26种选法，所以一共有C 16＋C 23C 26＝51种选法．6．若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b 、c ，且满足b ≤4≤c ，则这样的三角形有( )A ．10个B ．14个C ．15个D ．21个[答案] A[解析]当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c ＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．选A.[点评]注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．7．(2010·绵阳市模拟)某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…，19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是()A．16 B．21C．24 D．90[答案] B[解析]由题意知5号和14号在所选4人中，且在同一组，故再从其余志愿者中选2人，如果5号和14号是编号较大的一组，则另二人只能从编号为1至4号的志愿者中选取，有C24种方法；如果5号和14号是编号较小的一组，则另二人只能从15至20号中选，有C26种选法，∴不同选法共有C24＋C26＝21种．8．身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有()A．48种B．72种C．78种D．84种[答案] A[解析]解法一：两种穿相同颜色衣服的人相邻的排法有A33A22A22＝24种，只有一种穿相同颜色衣服的人相邻的排法有2(A44A22－24)＝48，则穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有A55－24－48＝48，故选A.解法二：按穿兰衣服的两人站位分有以下6类：对于①②⑤⑥排上穿黄衣服的两人都只有两类方法．第③类中排上穿黄衣服的两人只有一类方法．第④类中排上穿黄衣服的两人有三类方法．对于上述每一类安排方法，五人的不同站法共有A22A22＝4种，∴共有不同排法(4×2＋1＋3)×4＝48种．。

高考数学总复习 8-1 直线的方程与两条直线的位置关系但因为测试新人教B版

高考数学总复习 8-1 直线的方程与两条直线的位置关系但因为测试新人教B 版1.(2011·北京海淀模拟)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A. 13B ．－13C ．－32D. 23[答案] B[解析] 设P(x,1)，Q(7，y)， ∵PQ 的中点为(1，－1)，∴⎩⎨⎧x ＋72＝1y ＋12＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－3，∴P(－5,1)，Q(7，－3)，∴直线l 的斜率k PQ ＝－3－17－－5＝－13.2．(文)(2011·湛江市调研)如果直线ax ＋3y ＋1＝0与直线2x ＋2y －3＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．3B ．－13C ．－3 D.13[答案] C[解析] 由两直线垂直可得2a ＋3×2＝0，所以a ＝－3，故选C.(理)(2011·梅州模拟)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为( )A ．5B ．4C ．2D ．1[答案] C[解析] 由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a≠0， ∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab|＝|a ＋1a |＝|a|＋1|a|≥2.(当且仅当a ＝±1时取“＝”)．3．(文)(2011·辽宁沈阳二中检测)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线平行的充要条件是2a ＝a 2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a ＝±2.故a ＝2是直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行的充分不必要条件．[点评] 如果适合p 的集合是A ，适合q 的集合是B ，若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件，若B 是A 的真子集，则p 是q 的必要不充分条件．(理)(2011·东营模拟)已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] l 1∥l 2时，an －bm ＝0，an －bm ＝0时⇒/ l 1∥l 2，故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件．4．(文)(2011·烟台模拟)点P(－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5) D ．(4，－3) [答案] B[解析] x ＝2－4＝－2，y ＝2－(－3)＝5，故选B.(理)(2011·皖南八校第三次联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －5＝0 [答案] C[解析] 由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0，选C.[点评] 可由点的对称特征及特值法求解．设所求直线上任一点P(x ，y)，P 关于x ＝1对称的点P 1(2－x ，y)在直线2x －y ＋1＝0上，∴2(2－x)－y ＋1＝0，∴2x ＋y －5＝0.5．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如下图所示，那么( )A ．b>0，d<0，a<cB ．b>0，d<0，a>cC ．b<0，d>0，a>cD ．b<0，d>0，a<c[答案] C[解析] 由题意知l 1：y ＝－1a x －ba，⎩⎨⎧－1a>0，－ba <0，，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<0，b<0.l 2：y ＝－1c x －dc，由上图知⎩⎨⎧－1c>0，－dc >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧c<0，d>0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋b ＝0，x ＋cy ＋d ＝0，得(a －c)y ＝d －b ，交点在第一象限，所以y ＝d －ba －c >0，因为d －b>0，所以a>c ，故选C.[点评] 由直线的位置提供直线的斜率、在y 轴上的截距和两直线交点的信息，将这些信息用数学表达式表达出来即可解决问题．6．(2011·安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点P(2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] C[解析] 设过点P(2,1)的直线方程为x a ＋yb ＝1，则2a ＋1b ＝1，即2b ＋a ＝ab ，又S ＝12|a||b|＝4，即|ab|＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋a ＝ab ，|ab|＝8，解得a 、b 有三组解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2，⎩⎨⎧ a ＝－4－42b ＝－2＋22或⎩⎨⎧a ＝42－4b ＝－2－22. 所以所求直线共有3条，故选C.7．(2011·宁夏银川一中月考)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________．[答案] －2或1[解析] 令x ＝0得y ＝2＋a ，令y ＝0得x ＝a ＋2a ，由条件知2＋a ＝a ＋2a，∴a ＝－2或1.8．(文)设点A(1,0)，B(－1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．[答案] [－2,2][解析] 当直线过A 点时，b ＝2，当直线过B 点时，b ＝－2，∴－2≤b≤2.(理)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤[解析] 求得两平行线间的距离为2，则m 与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m 的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.9．(2011·大连模拟)已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________．[答案] 3[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入直线方程解得m ＝3.[点评] 还可利用k AB ⊥k l 求解，或AB →为l 的法向量，则AB →∥a ，a ＝(1,2)，或先求AB 中点纵坐标y 0，利用AB 的中点在直线上求出其横坐标x 0再求m.10．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝02m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7m ＝1，∴当m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P(1，－1)． (2)l 1∥l 2⇔m 2＝8m ≠n －1，得：m ＝4，n≠－2，或m ＝－4，n≠2. (3)l 1⊥l 2⇔m×2＋8×m ＝0， ∴m ＝0，则l 1：8y ＋n ＝0. 又l 1在y 轴上的截距为－1，则n ＝8.[点评] 讨论l 1∥l 2时要排除两直线重合的情况．处理l 1⊥l 2时，利用l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0可避免对斜率存在是否的讨论.11.(文)(2011·西安八校联考)已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A(3,2)，B(a ，－1)，且直线l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[答案] B[解析] 依题意知，直线l 的斜率为k ＝tan 3π4＝－1，则直线l 1的斜率为1，于是有2＋13－a ＝1，∴a ＝0，又直线l 2与l 1平行，∴1＝－2b ，∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2，选B.(理)直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1,0)，且l 2的倾斜角是l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为( )A ．y ＝6x ＋1B ．y ＝6(x －1)C ．y ＝34(x －1)D ．y ＝－34(x －1)[答案] D[解析] 设直线l 1的倾斜角为α，则由tanα＝3可求出直线l 2的斜率k ＝tan2α＝2tanα1－tan 2α＝－34，再由l 2过点(1,0)可得直线方程为y ＝－34(x －1)，故选D.[点评] 由l 2过点(1,0)排除A ，由l 1的斜率k 1＝3>1知，其倾斜角大于45°，从而直线l 2的倾斜角大于90°，斜率为负值，排除B 、C ，选D.12．(2011·广州二测)一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y －6＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋2y －9＝0[答案] B[解析] 取直线2x －y ＋2＝0上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B(a ，b)，则⎩⎨⎧a 2＋b ＋22－5＝0b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝5，∴B(3,5)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4，∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P(1,4)，∴反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0，故选B.13．(文)若三直线l ：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )A.32 B ．－2 C.32和－1 D.32、－1和－12[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P(－1，－2)，若P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12.此时三条直线交于一点； k ＝32时，直线l 1与l 3平行． k ＝－1时，直线l 2与l 3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k≠－12，32和－1.(理)(2011·北京文，8)已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] A[解析] 因为|AB|＝22，要使三角形面积是2，则C 点到直线AB 的距离为 2.直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，设C 点所在的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，所以d ＝|m ＋2|2＝2，解得m ＝0或m ＝－4，所以C 点的轨迹为x ＋y ＝0，或x ＋y －4＝0.又因为点C 在函数y ＝x 2的图象上，x ＋y ＝0，和x ＋y －4＝0与y ＝x 2分别有两个交点．故这样的点共有4个．[点评] 可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判定．14．(文)已知两条直线l 1：(3＋m)x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m)y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？[解析] (1)当m ＝－5时，显然l 1与l 2相交；当m≠－5时，两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m 4，k 2＝－25＋m，它们在y 轴上的截距分别为 b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m .由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m ，即m≠－7，且m≠－1.∴当m≠－7，且m≠－1时，l 1与l 2相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m，得m ＝－7.∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行．(3)由k 1k 2＝－1，得－3＋m 4·(－25＋m )＝－1，m ＝－133.∴当m ＝－133时，l 1与l 2垂直．(理)(2011·青岛模拟)已知三点A(5，－1)、B(1,1)、C(2，m)，分别求满足下列条件的m值．(1)三点构成直角三角形ABC ； (2)A 、B 、C 三点共线．[解析] (1)若角A 为直角，则A C ⊥AB ， ∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若角B 为直角，则AB ⊥BC ， ∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若角C 为直角，则AC ⊥BC ， ∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2，综上可知，m ＝－7，或m ＝3，或m ＝±2. (2)方法一：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)， ∴k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－1＋m3，由k AB ＝k AC ，得－12＝－1＋m 3，即m ＝12.∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法二：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)， ∴AB →＝(－4,2)，AC →＝(－3，m ＋1)，由AB →＝λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝－3λ2＝λ m ＋1 ，得λ＝43，m ＝12，∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法三：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)， ∴|AB|＝25，|BC|＝m 2－2m ＋2，|AC|＝m 2＋2m ＋10.由三点横坐标可知，|BC|＋|AC|＝|AB|，即m 2－2m ＋2＋m 2＋2m ＋10＝25，m 2＋2m ＋10＝－m 2－2m ＋2＋25，两边平方，得5·m 2－2m ＋2＝3－m ，两边平方，得4m 2－4m ＋1＝0，∴m ＝12，经验证m ＝12符合题意，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法四：点A(5，－1)与B(1,1)确定的直线方程为x ＋2y －3＝0，将C(2，m)的坐标代入得m ＝12，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．15．(文)(2011·西安模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程． (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a≠－1)．由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0.∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1 ≥0，a －2≤0.∴a≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]．(理)过点A(3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC|＝2|AB|，求直线l 的方程．[解析] 当k 不存在时B(3,0)，C(3,6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为：y ＋1＝k(x －3) 令y ＝0得B(3＋1k，0)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y ＋1＝k x －3 得C 点横坐标x c ＝1＋3k k －2若|BC|＝2|AB|则|x B －x C |＝2|x A －x B | ∴|1＋3k k －2－1k －3|＝2|1k |∴1＋3k k －2－1k－3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k解得k ＝－32或k ＝14∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.1．函数y ＝asinx －bcosx 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°[答案] D[分析] 由函数的对称轴方程可以得到a 、b 的关系式，进而可求得直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ，再由k ＝t anα可求倾斜角α.[解析] 令f(x)＝asinx －bcosx ， ∵f(x)的一条对称轴为x ＝π4，∴f(0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，∴ab＝－1. ∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.2．若三直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12＝0相交于一点，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D. 12[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P(－1，－2)，P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，∴k ＝－12.3．曲线y ＝k|x|及y ＝x ＋k(k>0)能围成三角形，则k 的取值范围是( ) A ．0<k<1 B ．0<k≤1 C ．k>1 D ．k≥1[答案] C[解析] 数形结合法．在同一坐标系中作出两函数的图象，可见k≤1时围不成三角形，k>1时能围成三角形．4．(2011·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)，当x<0时，f(x)>1，方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )[答案] C[解析] ∵x<0时，a x >1，∴0<a<1. 则直线y ＝ax ＋1a的斜率0<a<1，在y 轴上的截距1a>1.故选C.5．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对边的边长，则直线xsinA ＋ay ＋c ＝0与bx －ysinB ＋sinC ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直[答案] C[解析] 由已知得a≠0，sinB≠0，所以两直线的斜率分别为k 1＝－sinA a ，k 2＝bsinB ，由正弦定理得：k 1·k 2＝－sinA a ·bsinB＝－1，所以两条直线垂直，故选C.6．(2011·深圳二月模拟)设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为___ _____．[答案] 2x －y ＋8＝0[解析] 由条件知l 1⊥l 3，∴kl 1＝2，∴tanα＝2，又l 2的倾斜角为2α，tan2α＝－43，∴l 2：y ＝－43x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，得P(－3,2)，又P 在l 1上，∴l 1：2x －y ＋8＝0.7．(2011·苏北四市二调)已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R)，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝____________.[答案] 13[解析] 两条直线垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0，对于本题而言就是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.。

高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)课件新人教B版

2 12 － 4× 6× 5 30 2 |AB|＝ 1＋－ 2 · ＝ . 6 3
点评： 1.点差法的一个基本步骤是：点 A(x1， y1)， B(x2，y2)都在圆锥曲线 f(x· y)＝0 上， ∴f(x1，y1)＝0， f(x2， y2)＝ 0，两式相减 f(x1，y1)－f(x2，y2)＝ 0，然后变形构造 y2－ y1 出及 x1＋ x2 和 y1＋y2，再结合已知条件求解． x2－ x1
1 y＝ 3x－3 x＝6， (2)解方程组 1 22 ，得 5 y＝－ x－ y＝－ . 3 9 2 所以直线 l1 和 l1、 l2 与
Ax＋ By＋ C＝ 0 2．解方程组 fx， y＝ 0
时，若消去 y，得到
关于 x 的方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0，这时要考虑 a＝0 和 a≠ 0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除 a≠ 0，Δ＝ 0 外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点．上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为 0，即只能得到一个一次方程．
x2 y2 [例 1] P(1,1)为椭圆＋＝ 1 内的一定点，过 P 点 4 2 引一弦，与椭圆相交于 A、B 两点，且 P 恰好为弦 AB 的中点，如图所示，求弦 AB 所在的直线方程及弦 AB 的长度．
解析：设弦 AB 所在的直线方程为 y－ 1＝ k(x－ 1)， A、B 两点坐标分别为 (x1， y1)， (x2，y2)，则
2．中点弦问题除了用点差法外，求弦长时应注意是 → → 否过焦点，遇到 AO⊥BO 的情况，常用AO· BO＝ x1x2＋ y1y2＝ 0 解决，有时中点弦问题还可以利用对称、特例法解决．

「精选」人教版最新高中数学高考总复习抛物线习题及详解及参考答案-精选文档

高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p ＝4.2．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF 2， ∴这个圆与y 轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ② ①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p 2，∵k AB ＝1，∴，p ＝2∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线x 29－y 24＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝4xC ．y 2＝41313xD ．y 2＝21313x[答案] C[解析] ∵双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，F 点坐标为(13，0)，设A 点坐标为(x ，y )，则y ＝±23x ，由|AF |＝2⇒(x －13)2＋⎝⎛⎭⎫23x 2＝2⇒x ＝913，y ＝±613，代入y 2＝2px 得p ＝21313，所以抛物线方程为y 2＝41313x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A. 6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)[答案] D[解析] 如图，由题意可得，|OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMFS △AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 024，y 0，∴y024＋1＝3，解得y 0＝±22，∴y 024＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)，故选D.7．(2010·河北许昌调研)过点P (－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x[答案] D[解析] 设过P (－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q (x ，y )，则PQ →∥a ，∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y )＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx 的焦点F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，∴m ＝－4，故选D.8．已知mn ≠0，则方程是mx 2＋ny 2＝1与mx ＋ny 2＝0在同一坐标系内的图形可能是()[答案] A[解析] 若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－mn x 应开口向左，故排除C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－mnx 应开口向右，排除B ，选A.9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43[答案] D[解析] ∵F A →＝－4FB →，∴|F A →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－4)和点B (t,0)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧x 2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt －4，代入①整理得，2x 2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t 2－32<0，∴t >22或t <－22，故选B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝12y 相切的直线与抛物线切点为M (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， ∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)， ∴x 0＝±2，∴y 0＝4，∴切线方程为y －4＝±42x －8，令y ＝0得x ＝±22，即t ＝±22，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－22或t >22. 二、填空题11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|F A |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝t 2，|MA |＝t ＋32，∵|AM |＝|QN |，∴3－t ＋32＝p －t 2，∴p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF |＋12|AF |＝p2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32. 13．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．[答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知， ⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＋|BB 1|＝|AB |，|AA 1|－|BB 1|＝22|AB |，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＝2＋24|AB ||BB 1|＝2－24|AB |，∴|AA 1||BB 1|＝3＋22，即|F A ||FB |＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 过A 、B 、P 作准线的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋CD →)，点C在x 轴上移动．(1)求B 点的轨迹E 的方程；(2)过点F ⎝⎛⎭⎫0，－14的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若FH →＝12HG →，求直线l 的方程．[解析] (1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2，∴2x 0·y 0－x 0＝－1，于是x 02＝2y 0① M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)，所以M 是BC 的中点，可得 ⎩⎨⎧x 0＋x 2＝0y ＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ②y 0＝y2③ 把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)． (2)点F ⎝⎛⎭⎫0，－14，设满足条件的直线l 方程为： y ＝kx －14，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －14y ＝x 2消去y 得，x 2－kx ＋14＝0.Δ＝k 2－1>0⇒k 2>1，∵FH →＝12HG →，即⎝⎛⎭⎫x 1，y 1＋14＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴x 1＝12x 2－12x 1⇒3x 1＝x 2.∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝14，∴k ＝±233，故满足条件的直线有两条，方程为：8x ＋43y ＋3＝0和8x －43y －3＝0. 16．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)由题意得：(x －1)2＋y 2－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)． ∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )y 2＝4x，得ky 2－4y －4km ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4. ∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[点评] (1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .(理)已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝4，求直线AB 的方程．(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．[解析] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2 (k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ＋4k 2，x 1x 2＝4k 2.y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－8k.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝4k 2－8k ＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1±2.又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－12，∴k ＝－1＋2，∴直线AB 的方程为(2－1)x －y －2＝0.(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝2k ＋2k 2，y 0＝kx 0－2＝2k， ∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k ＋2k 2. 令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k 2＝2k 2＋2k ＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋32.又由k >－12且k ≠0得1k <－2，或1k>0，∴n >2⎝⎛⎭⎫0＋122＋32＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)． 17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0) (1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得 y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4① 直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)即y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎫x －y 224 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43，精选文档可编辑修改11 直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.从而y 2－y 1＝±(4m )2－4×4＝±437，故4y 2－y 1＝±37因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －192＋y 2＝49. (理)(2010·揭阳市模考)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连结CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.精选文档可编辑修改12法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，根据题意知，x 12＋y 12＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2，∴4x 2＝x 12＋2x 1x 2＋x 22,4y 2＝y 12＋2y 1y 2＋y 22故4x 2＋4y 2＝(x 12＋y 12)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x 2－x ＋y 2＝4得，x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。

(广东专用)高考数学总复习第八章第八节抛物线文课件人教版

【解析】 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程 1 1 15 为 y＝－，设 M(x，y)，则 y＋＝1，∴y＝ . 16 16 16
【答案】 B
2．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，
则抛物线的方程是(
A．y2＝－8x C．y2＝－4x
)
B．y2＝8x D．y2＝4x
【答案】 (1)C (2)D,
(1)直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于 A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( A．y2＝12x C．y2＝6x ) B．y2＝8x D．y2＝4x
(2)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B 在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

2．抛物线y2＝2px(p＞0)上任一点M(x1，y1)到焦点F的距离|MF|与坐标x1有何关系？
p 【提示】抛物线 y ＝2px 的准线方程是 x＝－，根据抛物线的 2
2
p 定义知|MF|＝x1＋ . 2
1．(教材改编题)若抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( 17 A. 16 15 B. 16 ) 7 C. 8 D．0
【思路点拨】 (1)根据圆C与圆外切、和直线相切，得到点C到点的距离，到直线的距离，再根据抛物线的定义可求得结论．
(2)利用抛物线定义，将|PM|转化为到焦点的距离，再数形结合求解．
【尝试解答】 (1)设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点 (0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线． 1 (2)设抛物线的焦点为 F，则|PF|＝|PM|＋， 2 1 1 ∴|PM|＝|PF|－，∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－， 2 2 7 将 x＝代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 7， 2 ∵ 7＜4，∴点 A 在抛物线的外部， ∴当 P、A、F 三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值， 1 7 12 ∵F( ，0)，∴|AF|＝－＋4－02＝5， 2 2 2 1 9 ∴|PA|＋|PM|有最小值 5－＝ . 2 2 【答案】 (1)A (2)C,

高考数学总复习 8-6 抛物线课件新人教B版

答案：x2＝12y
抛物线的几何性质
(2)直线 l 与抛物线无公共点，求抛物线上的点到 l 的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与 l 平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便．
抛物线的定义
[例 1] 已知点 P 为抛物线 y2＝ 2x 上的动点，点P在 7 y 轴上的射影是 M，点 A 的坐标是 A( ， 4)，则 |PA|＋ |PM| 2 的最小值是( 11 A. 2 9 C. 2 ) B． 4 D． 5
2 2
1 1 由条件知＝ 1，∴ a＝ . 4a 4
答案：A
(2011· 山西省忻州市联考 )点 M(5,3)到抛物线 x2＝ ay(a>0) 的准线的距离为 6 ，则抛物线的方程是 ____ ____．
a 解析：抛物线 x ＝ ay 的准线方程为 y＝－， 4
2
a 由题意得 3－(－ )＝ 6，∴ a＝ 12，∴ x2＝ 12y. 4
(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向 . 1 (3)焦点的非零坐标是一次项系数的 . 4
解题技巧 1．由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．抓准抛物线的开口方向及 p 的几何意义是准确迅速求解的关键．
标准方程
x2＝ 2py(p>0)
x2＝－ 2py(p>0)
图形
范围准线方程焦点性质对称性顶点离心率焦半径
y≥ 0，x∈ R p y＝－ 2
p F0， 2
y≤ 0， x∈R p y＝ 2
p F0，－ 2

2020版高中数学第二章抛物线的几何性质(第1课时)抛物线的几何性质学案新人教B版

第1课时抛物线的几何性质学习目标 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的几何性质知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1．椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形．( × ) 2．抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关．( × ) 3．抛物线只有一条对称轴和一个顶点．( √ ) 4．抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关．( √ )题型一由抛物线的几何性质求标准方程例1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0.直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m ，所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4，所以12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 2·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 B解析因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以点A 的坐标为(2p,2p )，同理可得B (2p ，－2p )，所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.反思感悟把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程．解 ∵椭圆x 29＋y 216＝1的短轴所在直线为x 轴，∴抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，设⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＝5，∴a ＝±20. ∴抛物线的方程为y 2＝20x 或y 2＝－20x . 题型二抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5. 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.引申探究本例中，若A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1. 解由抛物线定义|AA 1|＝|AF |，得∠AA 1F ＝∠AFA 1，又AA 1∥x 轴， ∴∠OFA 1＝∠AA 1F ， ∴∠OFA 1＝∠AFA 1，同理得∠OFB 1＝∠BFB 1，∴∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝90°，即∠A 1FB 1＝90°. 反思感悟 (1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x 1＋x 2即可．跟踪训练2 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0解析因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意．所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＝6，解得k＝±1.所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8x D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，24 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24 答案 B解析由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以P 点的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24，故选B.3．已知过抛物线y 2＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |的值为________．答案 10解析由y 2＝8x ，得p ＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由焦点弦公式得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2×x 1＋x 22＋4＝2×3＋4＝10.4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．符合抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________．(要求填写合适条件的序号) 答案 ②⑤解析由抛物线方程y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上，所以②符合．又因为它的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，所以⑤也符合．而①显然不符合，通过计算可知③，④不合题意．所以应填②⑤.5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y .(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，可得p2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x .1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的焦点坐标和准线方程分别为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫14a ，0，x ＝－14aB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，0，x ＝14aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，y ＝－14a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14a ，y ＝14a答案 C解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1ay ，∴其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，点P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．48 答案 C解析由题意知|AB |＝2p ，则S △ABP ＝12×2p ×p ＝p 2，又∵2p ＝12，∴p ＝6，S △ABP ＝62＝36.3．抛物线C 1：y 2＝2x 的焦点为F 1，抛物线C 2：x 2＝12y 的焦点为F 2，则过F 1且与直线F 1F 2垂直的直线l 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．4x －y －2＝0 D ．4x －3y －2＝0答案 C解析由题意知，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 所以直线F 1F 2的斜率为－14，则直线l 的斜率为4.故直线l 的方程为y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即4x －y －2＝0.4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝10，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝2x C ．y 2＝8x D ．y 2＝6x答案 C解析设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝3，即x 1＋x 2＝6.又|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝10，即p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .5．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，点A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( ) A ．43B ．8C ．83D ．16 答案 B解析抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，焦点F (2,0)，设A (－2，y 0)，k AF ＝y 0－0－2－2＝－3，则y 0＝43，∴P (x 0,43)，将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝8x ， (43)2＝8x 0，得x 0＝6.由抛物线定义可知|PF |＝|PA |＝x 0＋p 2＝6＋42＝8.6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3答案 C解析设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1，)(x 2，y 2)．∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，消去y ，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ， ∴|AB |＝212＋32＝12.7．直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A ，B 两点，O 为抛物线顶点，OA ⊥OB ，则b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点题点答案 D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝x ＋b 代入y ＝12x 2，化简可得x 2－2x －2b ＝0，故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，所以y 1y 2＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2. 又OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即－2b ＋b 2＝0，则b ＝2或b ＝0，经检验当b ＝0时，不符合题意，故b ＝2. 二、填空题8．设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝________. 答案 13解析设P (x,12)，代入y 2＝16x ，得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.9．抛物线y ＝116x 2的焦点与双曲线y 23－x2m ＝1的上焦点重合，则m ＝________.答案 13解析抛物线y ＝116x 2可化为x 2＝16y ，则其焦点为(0,4)，∴3＋m ＝16，则m ＝13.10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |＝3，则|BF |＝________. 答案 32解析由题意知F (1,0)，且AB 与x 轴不垂直，则由|AF |＝3，知x A ＝2.设l AB ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x A ·x B ＝1，故x B ＝12，故|BF |＝x B ＋1＝32.11．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是________．答案 48 3解析设一个顶点为(x,2x )，则tan30°＝2x x ＝33，∴x ＝12.∴S ＝12×12×83＝48 3.三、解答题12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．解设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3.∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得 8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 13．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |； (2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．解 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )(x ≥0)，则|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13. ∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x ＝0时，|PA |min ＝23，故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为 d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32 ＝y 0－2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.14．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，点F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 C解析 M 到准线的距离大于p ，即y 0＋2＞4，∴y 0＞2.15．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →·PF →＝0.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上除去原点外的不同三点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)时，求点B 的坐标．解 (1)设N (x ，y )，由MN →＝2MP →，得点P 为线段MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x,0)， ∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.由PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，得y 2＝4x . 即点N 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)由抛物线的定义，知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，|DF |＝x 3＋1，∵|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，∴2x 2＋2＝x 1＋1＋x 3＋1，即x 2＝x 1＋x 32. ∵线段AD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32，y 1＋y 32，且线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)， ∴线段AD 的垂直平分线的斜率为k ＝y 1＋y 32－0x 1＋x 32－3. 又k AD ＝y 3－y 1x 3－x 1，∴y 3－y 1x 3－x 1·y 1＋y 3x 1＋x 3－6＝－1，即4x 3－4x 1x 23－x 21－x 3－x 1＝－1. ∵x 1≠x 3，∴x 1＋x 3＝2，又x 2＝x 1＋x 32，∴x 2＝1.∵点B 在抛物线上，∴B (1,2)或B (1，－2)．。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-6抛物线学案理含解析北师大版

第六节抛物线命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现．本节主要考查考生的转化与化归思想的运用，提升考生数学运算、直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第181页知识点一抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上．•温馨提醒•抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．1．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．4个〖解析〗设P（x1，y1），则|PF|＝x1＋2＝5，y21＝8x1，所以x1＝3，y1＝±26．故满足条件的点P有两个．〖答案〗C2．（易错题）设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_________．〖解析〗抛物线y2＝8x的准线方程x＝－2，因为点P到y轴的距离为4，所以点P到准线的距离为6，由抛物线定义知点P到焦点的距离为6．〖答案〗6知识点二抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px（p >0）y 2＝－2px （p >0）x 2＝2py （p >0）x 2＝－2py （p >0）p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O （0，0）对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1续表准线方程 x ＝－p2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P （x 0，y 0）） |PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p 2• 温馨提醒 •抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的弦，若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则：（1）x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2．（2）弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α（α为弦AB 的倾斜角）．（3）以弦AB 为直径的圆与准线相切．（4）通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p ．1．（易错题）抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为（）A ．14B ．－14C ．4D ．－4〖解析〗由题意知抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以准线方程y ＝－14a ＝1，解得a ＝－14．〖答案〗B2．过点P （－2，3）的抛物线的标准方程是（） A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y〖解析〗设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P （－2，3），解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y ．〖答案〗A3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝_________．〖解析〗抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），准线方程为x ＝－1．根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．〖答案〗8授课提示：对应学生用书第182页题型一抛物线的标准方程及几何性质1．（2021·宜春联考）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 是抛物线C 上一点，圆M 与y 轴相切，且被直线x ＝p 2截得的弦长为2p ，若|MF |＝52，则抛物线的方程为（）A ．y 2＝4xB ．y 2＝2xC ．y 2＝8xD ．y 2＝x〖解析〗设圆M 与y 轴相切于点N ，直线x ＝p2与圆M 交于A ，B 两点，如图所示，设M （x 0，y 0），则|MN |＝|MA |＝|MB |＝x 0，|AB |＝2p ，所以⎝⎛⎭⎫22p 2＋⎝⎛⎭⎫x 0－p 22＝x 20，解得x 0＝34p ，由抛物线的定义知，|MF |＝x 0＋p 2，因为|MF |＝52，所以52＝34p ＋12p ，即p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ．〖答案〗A2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝（） A ．72B ．52C ．3D ．2〖解析〗因为FP →＝4FQ →，所以|PQ ||PF |＝34．如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34．所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3．〖答案〗C3．（2021·辽宁五校联考）抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为（） A ．22B ． 2C ．322D ．3 2〖解析〗如图所示，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F （1，0），因为∠MNF 为直角，点E 为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN ⊥l ，E ⎝⎛⎭⎫12，2，所以N （－1，2），M （0，22），所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为322．〖答案〗C4．（2020·高考全国卷Ⅲ）设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（） A ．⎝⎛⎭⎫14，0 B ．⎝⎛⎭⎫12，0 C ．（1，0）D ．（2，0）〖解析〗法一：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．可得出直线x ＝2与抛物线的两交点的坐标分别为（2，2p ），（2，－2p ）．不妨设D （2，2p ），E （2，－2p ），则OD →＝（2，2p ），OE →＝（2，－2p ）．又∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0．法二：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．∵OD ⊥OE ，∴D ，E 两点横、纵坐标的绝对值相等．不妨设点D （2，2），将点D 的坐标代入C ：y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，故C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0．〖答案〗B1．求抛物线方程的三个注意点（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．（3）要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 2．运用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．题型二抛物线的定义及应用与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等．常见的命题角度有：（1）焦点与定点距离之和最小问题；（2）点与准线的距离之和最小问题；（3）焦点弦中距离之和最小问题．〖例1〗（2021·赣州模拟）若点A 的坐标为（3，2），F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为（） A ．（0，0） B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．（1，2）D ．（2，2）〖解析〗过M 点作准线的垂线，垂足是N （图略），则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M （2，2）．〖答案〗 D考法（二）点与准线的距离之和最小问题〖例2〗（2021·邢台摸底）已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：（x ＋1）2＋（y －5）2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是_________．〖解析〗依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1（图略），则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C （－1，5）到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5．〖答案〗 5考法（三）焦点弦中距离之和最小问题〖例3〗已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为_________．〖解析〗由题意知F （1，0），|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值，依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2．〖答案〗 2与抛物线有关的最值问题的两个转化策略（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．〖题组突破〗1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是_________．〖解析〗由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为（1，0），则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2．〖答案〗22．（2021·上海虹口区模拟）已知点M （20，40），抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ．若对于抛物线上的任意点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于_________．〖解析〗过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，则|PF |＝|PD |．根据点M 与抛物线的位置分类讨论，当点M （20，40）位于抛物线内时，如图（1），|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |．当点M ，P ，D 共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p ＝42．当点M （20，40）位于抛物线外时，如图（2），当点P ，M ，F 共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为41，得402＋⎝⎛⎭⎫20－p 22＝41，解得p ＝22或58．当p ＝58时，y 2＝116x ，点M （20，40）在抛物线内，故舍去．综上，p ＝42或22．〖答案〗42或22题型三直线与抛物线的位置关系〖例〗（2019·高考全国卷Ⅲ）已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．〖解析〗（1）证明：设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A （x 1，y 1），则x 21＝2y 1．因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1．整理得2tx 1－2y 1＋1＝0．设B （x 2，y 2），同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0．所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12．（2）由（1）得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12．由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0．于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t （x 1＋x 2）＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2（t 2＋1）．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1．因此，四边形ADBE 的面积 S ＝12|AB |（d 1＋d 2）＝（t 2＋3）t 2＋1．设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12．因为EM →⊥AB →，而EM →＝（t ，t 2－2），AB →与向量（1，t ）平行，所以t ＋（t 2－2）t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1．当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝42．因此，四边形ADBE 的面积为3或42．直线与抛物线相交问题处理规律（1）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．（2）对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图像结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．（3）对于抛物线x 2＝2py的切线问题，常结合导数的几何意义求解切线的斜率．由y ＝x 22p得k＝y ′＝x 0p．〖对点训练〗设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．〖解析〗（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1．（2）由y ＝x 24，得y ′＝x 2．设M （x 3，y 3），由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M （2，1）．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N （2，2＋m ），|MN |＝|m ＋1|．将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0．当Δ＝16（m ＋1）＞0，即m ＞－1时，x 1，2＝2±2m ＋1．从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）．由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2（m ＋1），解得m＝7．所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7．抛物线几何性质应用中的核心素养直观想象——抛物线几何性质的创新应用〖例〗（2021·合肥调研）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交C 于点A ，B ，AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为（） A ．22 B ．2 3 C ．±2 2D ．±2 3〖解析〗法一：由题意知k ≠0，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2p ky －p 2＝0．不妨设A （x 1，y 1）（x 1＞0，y 1＞0），B （x 2，y 2），因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2．又y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－22p ，x 2＝p 4，所以k AB ＝－22p －0p 4－p 2＝22．根据对称性可得直线AB 的斜率为±22．法二：如图，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，E ，设直线AB 交准线于M ，由抛物线的定义知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BE |，结合AF →＝2FB →，知|BE |＝12|AD |＝13|AB |，则BE 为△AMD 的中位线，所以|AB |＝|BM |，所以|BE |＝13|BM |，所以|ME |＝|BM |2－|BE |2＝22|BE |，所以tan ∠MBE ＝|ME ||BE |＝22，即此时直线AB 的斜率为22，根据对称性可得直线AB 的斜率为±22．〖答案〗 C求解此类问题有两种方法：一是利用条件坐标化解决，注意几何性质的运用；二是数形结合充分利用平面几何性质，结合定义转化求解，注意向量的工具作用．〖对点训练〗（2021·惠州调研）已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C相交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN |＝（）A ．58B ．12C ．38D ．1 〖解析〗法一：因为抛物线C ：y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18，抛物线C 的准线方程为y ＝－18．如图，过点M 作抛物线准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，则MA ∥OF ，所以|MA ||OF |＝|MN ||FN |．因为2FM →＝MN →，所以|MA |＝23×18＝112，|MF |＝|MB |＝112＋18＝524，|FN |＝3|FM |＝58．法二：因为抛物线y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18．设N （x 0，0），则由2FM →＝MN →，可得M ⎝⎛⎭⎫13x 0，112，代入抛物线方程，得112＝2⎝⎛⎭⎫13x 02，解得x 20＝38，则|FN |＝|ON |2＋|OF |2＝ 38＋164＝58．〖答案〗A。

2021版新高考数学一轮复习第八章8.6利用空间向量证明空间中的位置关系课件新人教B版

22
4.因为α∥β,所以v∥u,所以
x 1
1 y
2， 1
x 4,
所以
y
1， 4
所以x+y= 15.
4
2
答案: 15
4
【规律方法】 1.证明线面平行的常用方法:(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面.(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行.(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 2.证明面面平行常用的方法:(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面.(2)证明两个平面的法向量平行.(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.
【解析】(1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0), C(-4,2,0),P(0,0,4).于是 AP =(0,3,4), BC =(-8,0,0),所以 AP ·BC =(0,3,4)· (-8,0,0)=0, 所以 AP ⊥ BC ,即AP⊥BC.
A1M=AN= 2a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ( )
3
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M在EF上,且 AM∥平面BDE,则M点的坐标为 ( )
A.(1,1,1)
B.( 2 ， 2 ，1) 33
C.( 2 ， 2 ，1)? 22
3.选C.建系如图,则A( 2 , 2 ,0),B(0, 2 ,0),D( 2 ,0,0),
E(0,0,1),设M(a,a,1),则 AM =(a- 2 ,a- 2 ,1),可求出平面BDE的一个法向

高考数学一轮复习 8.6抛物线精品学案新人教版

8.6 抛物线【高考新动向】 1．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。

（2）理解数形结合的思想。

（3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。

2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。

（2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。

有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。

【考纲全景透析】 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

注：当定点F 在定直线l 时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线。

标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =-> 22(0)x py p =>图形性质对称轴 x 轴x 轴y 轴y 轴焦点坐标 (,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F - (0,)2p F 准线方程 2p x =-2p x =2p y =2p y =-焦半径 0||2p PF x =+0||2p PF x =-+0||2p PF y =-+0||2p PF y =+范围 0x ≥0x ≤0y ≤ 0y ≥顶点 (0,0)O(0,0)O离心率e1e = 1e =【热点难点全析】（一）抛物线的定义及应用 ※相关链接※1．抛物线的离心率e =1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。

2．焦半径它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。

※例题解析※〖例〗已知抛物线C 的对称轴与y 轴平行，顶点到原点的距离为5。

若将抛物线C 向上平移3个单位，则在x 轴上截得的线段长为原抛物线C 在x 轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C 向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C 的方程。

高考数学总复习 8-5 双曲线但因为测试新人教B版

高考数学总复习 8-5 双曲线但因为测试新人教B 版1.(文)(2011·烟台调研)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1[答案] B[解析] 椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由双曲线定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2| ＝2＋32＋1－2－32＋1 ＝8＋43－8－43＝22， ∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.(理)(2011·山东理，8)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 [答案] A[解析] 依题意：⊙C 方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心C(3,0)，半径r ＝2，∴双曲线的右焦点F 2为(3,0)，即c ＝3.又双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx±ay ＝0，∴|3b|a 2＋b2＝2，即b ＝2，∴a 2＝9－4＝5，故选A. 2．(文)(2011·巢湖质检)设双曲线y 2m －x 22＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 6 D ．2 2[答案] A[解析] 由条件知m ＋2＝4，∴m ＝2， ∴离心率e ＝22＝ 2.(理)(2011·浙江金华十校模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32 D.54[答案] B[解析] 因为椭圆的离心率e ＝32，即c a ＝32，也即a 2－b 2a 2＝34，所以b 2a 2＝14，则1＋b 2a 2＝54，即a 2＋b 2a 2＝54，则双曲线离心率e′＝c′a ＝52，故选B.3．(文)(2011·南昌一模)设F 为双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则|FN|－|FM||FA|的值为( )A.25B.52C.54D.45 [答案] D[解析] 对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意得F(－5,0)，A(5,0)，|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，所以|FN|－|FM|＝8，|FN|－|FM||FA|＝810＝45，选D.(理)(2011·新泰一中模拟)设P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)左支上的一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF 2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．外切C ．内切或外切D ．不相切[答案] A[解析] 如下图，取PF 2的中点M ，则2|OM|＝|F 1P|，且O 、M 为两圆圆心，OM 为圆心距．由双曲线定义可知|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即2|MF 2|－2|OM|＝2a ，∴|OM|＝|MF 2|－a ，即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．4．(文)(2011·青岛一检)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5[答案] B[解析] 如下图∵F 1、F 2为双曲线的左右焦点，∴F 1(－10，0)，F 2(10，0)，由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →|＝210，故选B.(理)(2011·湖南湘西联考)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB|＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20[答案] B[解析] 由已知，|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，又|AB|＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16.据双曲线定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9，故选B.5．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k<1B ．k>0C ．k≥0D ．k>1或k<－1[答案] A[解析] 由题意知(1＋k)(1－k)>0， ∴－1<k<1.6．(文)(2010·湖南长沙雅礼中学)过双曲线2x 2－y 2－2＝0的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 [答案] B[解析] 过双曲线右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若l ⊥x 轴，则|AB|＝4；若l 经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l 与双曲线两支各交于一点A 、B 时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.(理)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 [答案] D[解析] 直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k<－1. 7．(2011·辽宁大连模拟)若双曲线x 2a 2－y 29＝1(a>0)的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，则a的值为________．[答案] 2[解析] ∵焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±3a x ，又一条渐近线方程为32x ，∴a ＝2.8．(文)(2011·江西文，12)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________.[答案] 48 [解析] ∵16＋m4＝2， ∴m ＝48.(理)(2011·辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．[答案] 2[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1a 2＋b 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3，∴a ＝1，c ＝2，∴e ＝ca＝2.9．(文)(2011·长沙二模)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．[答案] x 216－y 29＝1[解析] 由已知得在椭圆中a ＝13，c ＝5，曲线C 2为双曲线，由此知道在双曲线中a ＝4，c ＝5，故双曲线中b ＝3，双曲线方程为x 216－y 29＝1.(理)(2011·宁波二模)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，O 为坐标原点．若以F 为圆心，FO 为半径的圆与双曲线C 的渐近线y ＝ba x 交于点A(不同于O 点)，则△OAF的面积为________．[答案] ab[解析] 因为右焦点F(c,0)到渐近线y ＝b a x ，即bx －ay ＝0的距离为|bc|a 2＋b 2＝b ，所以|OA|＝2a ，故△OAF 的面积为12×2a×b ＝ab.10．(文)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a>0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0①由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a<2且a≠1，又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a<2且a≠1，∴e>62且e≠ 2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)． ∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝512x 2， ∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960，∵a>0，∴a ＝1713.(理)(2011·江西理，20)P(x 0，y 0)(x 0≠±a)是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)上一点，M 、N分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．[解析] (1)点P(x 0，y 0)(x 0≠±a)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24，设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2y 3＝λy 1＋y 2 ①又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2， ② 又A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2，由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c)(x 2－c)＝－4x 1x 2＋5c(x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2 得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.11.(文)(2011·皖南八校联考)已知抛物线x 2＝43y 的准线过双曲线x 2m 2－y 2＝－1的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A.324B.3104C. 3D.33[答案] C[解析] 易知抛物线的焦点坐标为(0，3)，其准线方程为y ＝－3，∵双曲线x 2m 2－y 2＝－1的焦点坐标为(0，±m 2＋1)，∴m 2＋1＝3＝c 2，∴c ＝3， ∴双曲线的离心率为e ＝ca＝ 3.(理)(2011·山东潍坊一中期末)已知抛物线y 2＝2px(p>0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.5＋12B.3＋1C.2＋1D.22＋12[答案] C[解析] 由AF ⊥x 轴知点A 坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，代入双曲线方程中得，p 24a 2－p2b 2＝1，∵双曲线与抛物线焦点相同，∴c ＝p2，即p ＝2c ，又b 2＝c 2－a 2，∴4c 24a 2－4c 2c 2－a2＝1，由e ＝ca 代入整数得，e 4－6e 2＋1＝0，∵e>1，∴e 2＝3＋22，∴e ＝2＋1.12．(文)(2011·浙江文，9)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2[答案] C [解析]由已知双曲线渐近线为y ＝±2x.圆方程为x 2＋y 2＝a 2，则|AB|＝2a.不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ|＝13|AB|＝2a 3，∴|OP|＝a 3.则点P 坐标为(5a 15，25a15)，又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2225b2＝1. ①又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝a 2－5.②，解①②得⎩⎨⎧a 2＝112b 2＝12.故选C.(理)(2011·江西南昌调研)设圆C 的圆心在双曲线x 2a 2－y 22＝1(a>0)的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l ：x －3y ＝0截得的弦长等于2，则a ＝( )A.14B. 6C. 2 D ．2[答案] C[解析] 由条件知，圆心C(a 2＋2，0)，C 到渐近线y ＝2a x 的距离为d ＝2 a 2＋2 2＋a 2＝2为⊙C 的半径，又截得弦长为2，∴圆心C 到直线l ：x －3y ＝0的距离a 2＋22＝1，∴a 2＝2，∵a>0，∴a ＝ 2.13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y ＝0，若m 为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案] 79[解析] 由题意知双曲线方程可设为m 2x 2－y 2＝1，从而e ＝m 2＋1>3⇒m>22，故所求概率是79，故填79.14．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． [解析] (1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．所以kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.因为点(3，m)在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2.所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m|＝3，所以S △F 1MF 2＝6.15．(文)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P(0,4)的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合)，当PQ →＝λ1QA →＝λ2QB →，且λ1＋λ2＝－83时，求Q 点的坐标．[解析] (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴ba ＝3，解得a 2＝1，b 2＝3. ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)解：如下图所示，由题意知，直线l 的斜率k 存在且不等于零．设l 的方程为y ＝kx ＋4，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 Q(－4k ，0)．∵PQ →＝λ1QA →，∴(－4k ，－4)＝λ1(x 1＋4k，y 1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＝λ1x 1＋4k ，－4＝λ1y 1，即⎩⎨⎧x 1＝－4kλ1－4k，y 1＝－4λ1.∵A(x 1，y 1)在双曲线C 上， ∴16k 2(1＋λ1λ1)2－163λ21－1＝0. ∴16＋32λ1＋16λ21－163k 2－k 2λ21＝0. ∴(16－k 2)λ21＋32λ1＋16－163k 2＝0. 同理有(16－k 2)λ22＋32λ2＋16－163k 2＝0. 若16－k 2＝0，则直线l 过顶点，不合题意． ∴16－k 2≠0.∴λ1、λ2是二次方程(16－k 2)x 2＋32x ＋16－163k 2＝0的两根．∴λ1＋λ2＝32k 2－16＝－83.∴k 2＝4.此时Δ>0，∴k ＝±2. ∴所求点Q 的坐标为(±2,0)．(理)(2011·临沂模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝－62k 2＋36 1－3k 2＝36 1－k 2>0，∴k 2≠13且k 2<1 ①设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2由OA →·OB →>2得，x A x B ＋y A y B >2， x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k(x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3 ②由①②得13<k 2<1，∴33<k<1或－1<k<－33.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.1．(2011·天津文，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5[答案] B[解析] 由交点(－2，－1)得－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∴F(2,0)，又a ＋p2＝a ＋2＝4，∴a ＝2，双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，且过点(－2，－1)，∴a －2b ＝0，∴b ＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，2c ＝2 5.故选B.2．若椭圆x 2m 2＋y 2n 2(m>n>0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －a B.12(m －a) C ．m 2－a 2 D.12(m 2－a 2) [答案] C[解析] (|PF 1|＋|PF 2|)2＝4m 2，(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2， ∴|PF 1|·|PF 2|＝m 2－a 2.∴选C.3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分 [答案] D[解析] 延长F 1P 交QF 2于R ，则|QF 1|＝|QR|. ∵|QF 2|－|QF 1|＝2a ，∴|QF 2|－|QR|＝2a ＝|RF 2|，又|OP|＝12|RF 2|，∴|OP|＝a.4．(2011·广东揭阳市模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±32xC ．y ＝±33xD ．y ＝±3x [答案] D[解析] 依题意得双曲线的半焦距c ＝4，由e ＝ca ＝2⇒a ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝23，∵双曲线的焦点在x 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x.故选D.5．(2011·新课标全国理，7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 依题意：|AB|＝2b 2a ，∴2b 2a ＝2·2a ，即b 2a 2＝2， ∴e ＝1＋b 2a2＝3，选B.6．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x[答案] D[解析] 由题意c 2＝3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2， ∴m 2＝8n 2，∴双曲线渐近线的斜率k ＝±3|n|2|m|＝±34.方程为y ＝±34x.7．(2011·浙江杭州月考)双曲线x 2－y 2b2＝1的右焦点到双曲线一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．[答案]5[解析] 双曲线x 2－y 2b 2＝1的右焦点F(c,0)到渐近线bx ＋y ＝0的距离：|bc|b 2＋1＝b ＝2，又a ＝1.∴c 2＝a 2＋b 2＝5，c ＝ 5. ∴双曲线的离心率e ＝ca＝ 5.8．(2011·北京海淀期末)如下图，已知|AB|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为A ，B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3，…，n ，….利用这两组同心圆可以画出以A ，B 为焦点的双曲线，若其中经过点M ，N ，P 的双曲线的离心率分别记为e M ，e N ，e P ，则它们的大小关系是________(用“<”连接)．[答案] e M <e P <e N[解析] 由图知|AB|＝10，经过M ，N ，P 的双曲线的半焦距均为5，由|MB|－|MA|＝7知过点M 的双曲线实半轴长为72，同理可知过N ，P 的双曲线的实半轴长分别为1,2，因此可知e N >e P >e M .。

高考数学总复习 6-3 等比数列但因为测试新人教B版

高考数学总复习 6-3 等比数列但因为测试新人教B 版1.(2011·北京朝阳一模)已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和，若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 5的值是( )A.692B ．69C ．93D ．189[答案] C[解析] 由a 2a 4＝a 23＝144得a 3＝12(a 3＝－12舍去)，又a 1＝3，各项均为正数，则q ＝2. 所以S 5＝a 11－q 51－q ＝3× 1－32 1－2＝93.2．(2011·潍坊一中期末、湖南湘西联考)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12[答案] B[解析] ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1， ∴q 2－q －1＝0，∵q>0，∴q ＝5－12. ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q＝5＋12.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则数列{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192[答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意及等比数列的性质可知：a 5a 2＝27＝q 3，所以q ＝3，所以a 1＝a 2q ＝3，所以S 4＝3 1－341－3＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.8532B.3116C.158D.852[答案] B[解析] ∵9S 3＝S 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6， ∴8＝q 3，∴q ＝2， ∴a n ＝2n －1，∴1a n ＝(12)n －1，∴{1a n }的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B. 4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1、S 3、S 2成等差数列，则{a n }的公比等于( )A.1B.12C.－12D.1＋52[答案] C[解析] 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，得q ＝－12，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n －13D.22n －23[答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为1－22n 1－22＝22n －13，故选C.(理)(2011·泉州市质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16[答案] D [解析]a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1，即a 1·1－q 41－q ＝1，∴a 1＝q －1，又S n ＝15，即a 11－q n 1－q ＝15，∴q n ＝16，又∵q 4＝2，∴n ＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－ 32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.7．已知f(x)是一次函数，若f(3)＝5，且f(1)、f(2)、f(5)成等比数列，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)的值是________．[答案] 10000[解析] 设f(x)＝kx ＋b ，f(3)＝3k ＋b ＝5，由f(1)、f(2)、f(5)成等比数列得(2k ＋b)2＝(k ＋b)·(5k ＋b)，可得k ＝2，b ＝－1.∴f (n)＝2n －1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·安徽皖西四校联考)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n ＝________.[答案] n ＋1[解析] 设等差数列首项a 1，公差d ，则∵a 1、a 3、a 7成等比，∴a 23＝a 1a 7，∴(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋6d)，∴a 1＝2d ，又S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35，∴d ＝1，∴a 1＝2，∴a n ＝n ＋1.(理)(2010·浙江金华)如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1，a 2，…，a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．9．(2011·锦州模拟)在等比数列{a n }中，若公比q>1，且a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.[答案] 23[解析] ∵a 2a 8＝6，∴a 4a 6＝6，又∵a 4＋a 6＝5，且q>1，∴a 4＝2，a 6＝3， ∴a 5a 7＝a 4a 6＝23. 10．(文)(2011·大纲全国文，17)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .[解析] 设{a n }的公比为q ，由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝66a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝3(1)当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝a 1·q n －1＝3×2n －1S n ＝a 11－q n 1－q ＝3× 1－2n 1－2＝3×(2n －1)(2)当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝a 1·q n －1＝2×3n －1S n ＝a 11－q n 1－q ＝2× 1－3n 1－3＝3n －1.综上，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)或a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.(理)(2011·山东临沂一模)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＝32(1a 3＋1a 4)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，由已知得a 1＋a 1q ＝2(1a 1＋1a 1q )，a 1q 2＋a 1q 3＝32(1a 1q 2＋1a 1q3)．化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q q ＋1 ＝2 q ＋1 ，a 21q 5q ＋1 ＝32 q ＋1 ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1>0，q>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋(n －1)， ∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n －1)＝4n －14－1＋n n －1 2＝4n －13＋n n －1 2.11.(文)(2011·辽宁六校模考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3 B.S 5S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n[答案] D[解析] 数列{a n }为等比数列，由8a 2＋a 5＝0，知8a 2＋a 2q 3＝0，因为a 2≠0，所以q ＝－2，a 5a 3＝q 2＝4；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；a n ＋1a n ＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n，其值与n 有关，故选D. (理)(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )A.5－12 B.12 C.5－14D.5＋14[答案] A[解析] 设三内角A<B<C ， ∵sinA 、sinB 、sinC 成等比数列， ∴a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，∴⎝⎛⎭⎫a c 2＋ac －1＝0.∵a c >0，∴ac ＝5－12＝sinA ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2RsinA 、b ＝2RsinB 可知，a<b ⇔A<B ⇔sinA<sinB. 12．(文)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.(理)已知等比数列{a n }的公比q>0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( ) A ．S 4a 5<S 5a 4 B ．S 4a 5>S 5a 4 C ．S 4a 5＝S 5a 4 D ．不确定[答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q≠1且q>0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1)＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{a n }中，a 1>0，q>0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小．[解析] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5；当q>0且q≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q＝－q －1q 4<0，所以有S 3a 3<S 5a 5.综上可知有S 3a 3<S 5a 5.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3na 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A ．0<q<1B ．q>1C ．q> 2D ．1<q< 2[答案] B[解析] 由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3na 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q 2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n .又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S nT n >1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q>0，因此公比q 的取值范围是q>1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，n 的值等于( ) A ．8 B ．9 C ．8或9 D ．17[答案] C[解析] ∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又q ∈(0,1)，∴a 3>a 5， ∵a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n ，b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n 9－n 2，∴S n n ＝9－n2， ∴当n≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n>9时，S nn <0，∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．14．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n) ＝－n n ＋1 2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.15．(文)(2011·山东淄博一模)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝lna 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设数列{a n }的公比为q(q>1)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3 ＋a 3＋4 2＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1－6a 2＋a 3＝－7，⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q 2＝7，a 11－6q ＋q 2＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝lna 3n ＋1＝ln23n ＝3nln2，又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴{b n }是以b 1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n 3ln2＋3nln2 2＝3n n ＋1 l n22即T n ＝3n n ＋12ln2. (理)(2011·安庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项．[解析] (1)由已知得2a n ＋1＝a n ＋n ，又a 1＝12，∴a 2＝34，b 1＝a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又∵b n ＝a n ＋1－a n －1，∴b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1＋n ＋1 2－a n ＋n2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12. ∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1∴a n ＋1－a n ＝1－3×(12)n ＋1，∴a 2－a 1＝1－3×(12)2a 3－a 2＝1－3×(12)3……a n －a n －1＝1－3×(12)n各式相加得a n ＝n －1－3×[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]＋12＝n －12－3×14×[1－12n －1]1－12＝32n ＋n －2.1．(2010·常德市检测)已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n －1 B.13(4n －1) C.43(4n －1) D ．(2n －1)2[答案] B[解析] n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1， ∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1× 4n －1 4－1＝13(4n －1)．2．(2010·宁波市模拟)等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 由题意知，85q ＝170，∴q ＝2， ∴85＋170＝1×2n －12－1，∴n ＝8.3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.4．已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则a x ＋c y ＝________.[答案] 2[解析] 由条件知x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，c ＝bq ，a ＝bq ，∴a x ＋c y ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2b q b q＋b ＋2bqb ＋bq＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 5．已知{a n }是首项为a 1、公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 11－q 21－q ，S 4＝a 11－q 41－q， ∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q>0，∴q ＝12. (2)∵S n ＝a 11－q n 1－q＝2a 1－a 1⎝⎛⎭⎫12n －1，于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝⎛⎭⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0， ∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1. ∵b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋2⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列．所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列． 6．(2010·福建龙岩一模)已知数列{a n }和{b n }，数列{a n }的前n 项和记为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式．∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)2n .T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ，2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1，两式相减可得T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1＝231－2n－11－2＋(－2n＋5)×2n＋1－6＝(7－2n)×2n＋1－14.。

高考数学总复习 8-4 椭圆但因为测试新人教B版

高考数学总复习 8-4 椭圆但因为测试新人教B 版1.(文)(2011·东莞模拟)设P 是椭圆x 225＋y216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10[答案] D[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.(理)(2011·浙江五校联考)椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 [答案] B[解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16. 2．(文)(2011·岳阳月考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 [答案] C[解析] 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. (理)(2011·广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1、B 2，焦点为F 1、F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )A.22B.12C.32D ．以上都不是 [答案] A[解析] 画出草图(图略)，根据题意可得e ＝c a ＝cos45°＝22，故选A.3．“m>n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] ∵方程mx 2＋ny 2＝1，即x 21m ＋y 21n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴需有：⎩⎪⎨⎪⎧1m>01n >01m <1n，∴m>n>0，故互为充要条件．4．(文)(2011·抚顺六校检测)椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3[答案] B[分析] 条件MF 1→·MF 2→＝0，说明点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，点M 又在椭圆上，通过方程组可求得点M 的坐标，即可求出点M 到y 轴的距离．[解析] 椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，即|x|＝263，此即点M到y 轴的距离．[点评] 满足MF →·MB →＝0(其中A ，B 是平面上两个不同的定点)的动点M 的轨迹是以线段AB 为直径的圆．(理)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( )A.165 B ．3 C.163 D.253[答案] A[解析] F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4， ∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°. 设P(x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.5．(文)(2011·山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 [答案] D[解析] 2a ＝12，∴a ＝6，∵e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选D.(理)(2011·长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 [答案] A[解析] 由x 2＋y 2－2x －15＝0得，(x －1)2＋y 2＝16， ∴r ＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故选A.6．(文)(2011·银川二模)两个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是6，且a>b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 等于( ) A.32B.133C.53D.13[答案] C[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5a·b ＝6，又因为a>b ，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2，所以椭圆的半焦距为c ＝5，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝53，故选C.(理)(2011·杭州二检、江西七校联考)如下图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2；④c 1a 1<c 2a 2.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[答案] B[解析] 给出图形的题目，要充分利用图形提供的信息解题．∵P 点既在椭圆Ⅰ上，又在椭圆Ⅱ上，且F 是椭圆Ⅰ和Ⅱ的同一侧的焦点，∴|PF|＝a －c ，即a 1－c 1＝a 2－c 2，故②正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2得a 1－a 2＝c 1－c 2，c 1＝a 1－a 2＋c 2，∴c 1a 2－a 1c 2＝(a 1－a 2＋c 2)a 2－a 1c 2＝(a 1－a 2)a 2＋(a 2－a 1)c 2＝(a 1－a 2)(a 2－c 2)，又∵从图中可以看出，a 1>a 2，a 2>c 2，∴c 1a 2－a 1c 2>0，即c 1a 2>a 1c 2，故③正确，故选B.7．(文)(2011·南京模拟)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为________．[答案]53[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，在Rt △PF 1F 2中，tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴x ＝2a 3，∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴x 2＋4x 2＝4c 2， ∴209a 2＝4c 2，∴e ＝c a ＝53. (理)已知1m ＋2n ＝1(m>0，n>0)，则当mn 取得最小值时，椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率是________．[答案]32[解析] ∵m>0，n>0 ∴1＝1m ＋2n≥22mn， ∴mn≥8，当且仅当1m ＝2n，即n ＝2m 时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m mn ＝8，解得m ＝2，n ＝4. 即当m ＝2，n ＝4时，mn 取得最小值8， ∴离心率e ＝n 2－m 2n ＝32.8．(文)已知实数k 使函数y ＝coskx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k|≥2，∴－π≤k≤π，当0<k≤π且k≠3时，方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>0，b>0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤2|y|≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤2|y|≤3是一个矩形区域，如下图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3.因为0<a≤2,0<b≤3，所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.9．(2011·湖南长沙一中月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为_ _______．[答案]2[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x 22＋y 2＝0中整理得，3x 2＋4ax ＋2(a 2－1)＝0，由Δ＝16a 2－24(a 2－1)＝0得，a ＝±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝62，将y ＝x 代入x 22＋y 2＝1中得，x 1＝－63，x 2＝63，∴|AB|＝1＋1|63－(－63)|＝433， ∴S △ABC ＝12|AB|·d ＝12×433×62＝ 2.10．(文)(2010·新课标全国文)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．[解析] (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB|＋|BF 2|＝4，又2|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB|＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1. 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB|＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝－b 2＋b 22－－2b 21＋b 2＝8b 4＋b 22.解得b ＝22. (理)(2011·北京文，19)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．[解析] (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63，解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m.x 212＋y 24＝1得 4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)，则 x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2，此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2，所以|AB|＝32，此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝92.11.(文)(2011·安徽省皖北联考)椭圆x 249＋y224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．28[答案] C[解析] 椭圆的焦点坐标是(±5,0)，点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝25，代入椭圆方程得y 2＝24225，即|y|＝245，所以S △PF 1F 2＝12×10×245＝24，故选C.[点评] 关于焦点三角形的问题常用定义求解．由定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝14 (1)由△PF 1F 2为直角三角形及c ＝49－24＝5得|PF 1|2＋|PF 2|2＝100 (2)，(1)式两边平方与(2)式相减得：|PF 1|·|PF 2|＝48，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.(理)(2011·河北唐山市二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3 B. 3 C ．2 3 D ．2[答案] D[解析] 由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，所以4＝42－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4， PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos60°＝4×12＝2，故选D.12．(文)(2011·福建文，11)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|＝4：3：2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32[答案] A[解析] 设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t(t>0)，若Γ为椭圆，则离心率为e ＝3t 6t ＝12，若Γ为双曲线，则离心率为3t 2t ＝32.(理)(2011·许昌月考)已知双曲线x 2a 21－y 2b 2＝1与椭圆x 2a 22＋y 2b 2＝1的离心率互为倒数，其中a 1>0，a 2>b>0，那么以a 1、a 2、b 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] B [解析] 12＝e 21e 22＝c 21a 21·c 22a 22＝a 21＋b 2a 21·a 22－b 2a 22，则a 21a 22＝a 21a 22＋(a 22－a 21)b 2－b 4，所以a 22－a 21＝b 2，则以a 1、a 2、b 为边长的三角形是以a 2为斜边的直角三角形，故选B.13．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案]22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝12，即e ＝22. 14．(2011·北京模拟)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 ： 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a ：b ＝2：3c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P(x ，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x≤4.因为MP →＝(x －m ，y)，所以|MP →|2＝(x －m)2＋y 2＝(x －m)2＋12×⎝⎛⎭⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m)2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m≥4，解得m≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．15．(文)(2010·山东省实验中学)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P(0，m)，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围．[解析] (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4y ＝kx ＋m ，消去y 得， (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk)2－4(2－k 2)(m 2－4)>0由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2x 1·x 2＝m 2－42＋k2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m)，∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2x 1x 2＝－2x 22， ∴m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2又9m 2－4＝0时不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0得49<m 2<4，此时Δ>0 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. (理)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程． [解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1.又∵椭圆过点A(2,3)∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.设P(x ，y)为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等．即|3x －4y ＋6|5＝|x －2| ∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x) 即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k. 则直线AM 方程y －3＝k(x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0－2＝－1k y2－3＝x 0＋22－解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k 2)． ∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称， ∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0. 解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正， ∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0. 法三：∵A(2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)， ∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3) ＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．1．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12[答案] D[解析] S ＝12|OF|·|y 1－y 2|≤12|OF|·2b ＝12.2．(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N(2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM 是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． 3．若直线mx ＋ny ＝4和圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个[答案] B[解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4，∴点(m ，n)在圆内，又圆在椭圆内，∴点(m ，n)在椭圆内，故过点(m ，n)的直线与椭圆有两个交点．4．(2011·金华十校)方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF 1→＝DA →＋2DF 2→，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13 C.14 D.15[答案] D5．(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[答案] C[解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，中点M(x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得1－x 21＋x 2a 2＝2－y 12＋y 1b2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.故选C.6．(2011·江西理，14)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．[答案] x 25＋y 24＝1[解析] 点⎝⎛⎭⎫1，12在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线方程为x ＝1，一个切点为(1,0)，设另一条切线的方程为y ＝m(x －1)＋12，由|－m ＋12|1＋m 2＝1得m ＝－34，故另一条切线的方程为y ＝－34x ＋54代入圆的方程联立解得切点为⎝⎛⎭⎫35，45，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c ＝1，b ＝2，a ＝5，所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.[点评] 直接设另一条切线的切点为(m ，n)，解得切点坐标(35，45)更简便．。

高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)但因为测试新人教B版

高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)但因为测试新人教B 版1.(2011·宁波十校联考)已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2[答案] C[解析] 设A (x 1,3－x 21)，B (x 2,3－x 22)，由于A 、B 关于直线x ＋y ＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 22－33－x 21＝－x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝－2，设直线AB 的斜率为k AB ， ∴|AB |＝1＋k 2AB |x 1－x 2|＝3 2.故选C.2．(2011·南昌检测(二))过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13[答案] B[解析] 记|F 1F 2|＝2c ，则|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，所以椭圆的离心率为|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33，选B. 3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0[答案] A[解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在x ≥1上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.4．(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45 B.35 C ．－35D ．－45[答案] D[解析] 方法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，不妨设A 在x 轴上方， ∴A (4,4)，B (1，－2)，∵F 点坐标为(1,0)，∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝－85×2＝－45.方法二：同上求得A (4,4)，B (1，－2)，|AB |＝35，|AF |＝5，|BF |＝2，由余弦定理知，cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22·|AF |·|BF |＝－45.5．(2011·台州二模)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2[答案] C[解析] 由题意设直线l 的方程为y ＝3(x －p 2)，即x ＝y 3＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px中，整理得3y 2－2py －3p 2＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＝3p ，y B ＝－33p ，所以|AF ||BF |＝|y Ay B|＝3. 6．(2011·海南一模)若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b2[答案] B[解析] 解法一(直接法)：设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)，则B (－x 1，－y 1)，k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－b 2a 2x 20＋b 2－－b 2a 2x 21＋b 2x 20－x 21 ＝－b 2a2.解法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A (a,0)，B (－a,0)，M (0，b )，可得k AM ·k BM＝－b 2a2.7．(2010·吉林省调研)已知过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] (1，2)[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即b a <1，∴c 2－a 2a 2<1，∴c 2a 2<2，即e 2<2，∵e >1，∴1<e < 2.8．(2010·安徽安庆联考)设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为2－1的点P 的个数为________．[答案] 3[解析] 设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ＋b ，代入x 2＋y 24＝1中消去y 得，8x 2＋4bx ＋b 2－4＝0，由Δ＝16b 2－32(b 2－4)＝0得，b ＝±22，显见y ＝2x ＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A (－1,0)，B (0,2)， ∵直线y ＝2x ＋22与l 距离d ＝22－25，∴欲使S △ABP ＝12|AB |·h ＝52h ＝2－1，须使h ＝22－25，∵d ＝h ，∴直线y ＝2x ＋22与椭圆切点，及y ＝2x ＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P 有3个．9．(2011·海南五校联考)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________. [答案] 30°[解析] 作NH 垂直于准线于H ，由抛物线的定义得 |NH |＝|NF |， ∴|NH ||MN |＝|NF ||MN |＝32＝sin ∠HMN ，得∠HMN ＝60°， ∴∠NMF ＝90°－60°＝30°.10．(2011·安徽模拟)点A 、B 分别为椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解析] (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1x ＋6 x －4 ＋y 2＝0消去y 得，2x 2＋9x －18＝0，∴x ＝32或x ＝－6由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝52 3所以点P 的坐标是(32，523)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是 |m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得：m ＝2∵椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离是d ， ∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15，由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时d 取最小值15.11.(2011·新课标全国文，9)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48[答案] C[解析] 设抛物线为y 2＝2px ，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线x ＝－p2，由|AB |＝2p ＝12，知p ＝6，所以F 到准线距离为6，所以三角形面积为S ＝12×12×6＝36.12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，则椭圆的离心率e 等于( )A.－1＋52B.－1＋32C.12D.32 [答案] A[解析] 如上图，F 2(c,0)把x ＝c 代入椭圆x 2a 2＋y 2a 2＝1得A (c ，b 2a )．由OA →·OB →＝0结合图形分析得 |OF 2|＝|AF 2|，即c ＝b 2a⇒b 2＝ac ⇒a 2－c 2＝ac⇒(c a )2＋ca －1＝0⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝5－12.13．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4]C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10][答案] D[解析] 过点A (0，－2)作曲线C ：y ＝2x 2的切线，设方程为y ＝kx －2，代入y ＝2x 2得，2x 2－kx ＋2＝0，令Δ＝k 2－16＝0得k ＝±4，当k ＝4时，切线为l ，∵B 点在直线x ＝3上运动，直线y ＝4x －2与x ＝3的交点为M (3,10)，当点B (3，a )满足a ≤10时，视线不被曲线C 挡住，故选D.14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中A (0，－b )，B (a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P 、Q ，点M 为线段PQ 的中点．若点M 在直线x ＝－2上的射影为N ，满足PN →·QN →＝0，且|PQ →|＝10，求直线l 的方程．[解析] (1)依题意有⎩⎨⎧ca＝2，ab a 2＋b2＝32，a 2＋b 2＝c 2.解得a ＝1，b ＝3，c ＝2.所以，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)当直线l ⊥x 轴时，|PQ →|＝6，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1 x >0y ＝k x －2得， (3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0. ① 因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k 2≠0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 1、x 2是方程①的两个正根，于是有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 2k 2－3>0，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3>0，Δ＝4k 22－4 3－k 2－4k 2－3 >0，所以k 2>3. ②因为PN →·QN →＝0，则PN ⊥QN ，又M 为PQ 的中点，|PQ →|＝10，所以|PM |＝|MN |＝|MQ |＝12|PQ |＝5. 又|MN |＝x 0＋2＝5，∴x 0＝3，而x 0＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3＝3，∴k 2＝9，解得k ＝±3.∵k ＝±3满足②式，∴k ＝±3符合题意．所以直线l 的方程为y ＝±3(x －2)．即3x －y －6＝0或3x ＋y －6＝0.15．(2010·北京崇文区)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；(3)在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知，椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b ＝c ＝1，a ＝ 2.所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)右焦点F (1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2y ＝x －1得，3y 2＋2y －1＝0，解得y 1＝－1，y 2＝13.∴S △POQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|＝23.(3)假设在线段OF 上存在点M (m,0)(0<m <1)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2y ＝k x －1 可得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．其中x 2－x 1≠0以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形⇔(MP →＋MQ →)⊥PQ →⇔(MP →＋MQ →)·PQ →＝0⇔(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )＋k (y 1＋y 2)＝0 ⇔⎝⎛⎭⎫4k 21＋2k 2－2m ＋k 2⎝⎛⎭⎫4k21＋2k 2－2＝0 ⇔2k 2－(2＋4k 2)m ＝0⇔m ＝k 21＋2k 2(k ≠0)．∴0<m <12.1．(2010·安徽江南十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，左、右焦点为F 1、F 2，直线AF 2与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆内存在动点P ，使|PF 1|，|PO |，|PF 2|成等比数列(O 为坐标原点)，求PF 1→·PF 2→的取值范围．[解析] (1)圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0化为(x －3)2＋(y －1)2＝3，则圆M 的圆心为M (3,1)，半径r ＝ 3.由A (0,1)，F 2(c,0)，(c ＝a 2－1)，得直线AF 2： xc＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0，由直线AF 2与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1＝3，解得c ＝2或c ＝－2(舍去)．则a 2＝c 2＋1＝3，故椭圆C 的方程为：x 23＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设P (x ，y )，由题意知|PO |2＝|PF 1|·|PF 2|，即(x 2＋y 2)2＝x ＋22＋y 2·x －22＋y 2，化简得：x 2－y 2＝1，则x 2＝y 2＋1≥1.因为点P 在椭圆内，故x 23＋y 2<1，即x 23＋x 2－1<1，∴x 2<32，∴1≤x 2<32，又PF 1→·PF 2→＝x 2－2＋y 2＝2x 2－3， ∴－1≤PF 1→·PF 2→<32.2．(2010·广州市质检)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．[解析] (1)设点P (x ，y )，依题意有，x －22＋y 2|x －22|＝22，整理得x 24＋y 22＝1，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， ∴6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6. 当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立．故|MN |的最小值为2 6.3．(2011·浙江文，22)如下图，设P 是抛物线C 1：x 2＝y 上的动点，过点P 做圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1的两条切线，交直线l ：y ＝－3于A ，B ，两点.(1)求圆C 2的圆心M 到抛物线C 1准线的距离．(2)是否存在点P ，使线段AB 被抛物线C 1在点P 处的切线平分，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为抛物线C 1的准线方程为：y ＝－14，所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为：|－14－(－3)|＝114. (2)设点P 的坐标为(x 0，x 20)，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D ，再设A ，B ，D 的横坐标分别为x A ，x B ，x D ；过点P (x 0，x 20)的抛物线C 1的切线方程为：y －x 20＝2x 0(x －x 0) ①当x 0＝1时，过点P (1,1)与圆C 2的切线P A 为：y －1＝158(x －1)，可得x A ＝－1715，x B ＝1，x D ＝－1，x A ＋x B ≠2x D . 当x 0＝－1时，过点P (－1,1)与圆C 2的切线PB 为：y －1＝－158(x ＋1)，可得x A ＝－1，x B ＝1715，x D＝1，x A ＋x B ≠2x D . 所以x 20－1≠0.设切线P A ，PB 的斜率为k 1，k 2，则P A ：y －x 20＝k 1(x －x 0)， ②PB ：y －x 20＝k 2(x －x 0)， ③将y ＝－3分别代入①，②，③得x D ＝x 20－32x 0(x 0≠0)； x A ＝x 0－x 20＋3k 1，x B ＝x 0－x 20＋3k 2(k 1，k 2≠0) 从而x A ＋x B ＝2x 0－(x 20＋3)(1k 1＋1k 2) 又|－x 0k 1＋x 21＋3|k 21＋1＝1 即(x 20－1)k 21－2(x 20＋3)x 0k 1＋(x 20＋3)2－1＝0.同理，(x 20－1)k 22－2(x 20＋3)x 0k 2＋(x 20＋3)2－1＝0所以k 1，k 2是方程(x 20－1)k 2－2(x 20＋3)x 0k ＋(x 20＋3)2－1＝0的两个不相等的根，从而k 1＋k 2＝2 3＋x 20x 0x 20－1， k 1·k 2＝3＋x 202－1x 20－1，因为x A ＋x B ＝2x D .所以2x 0－(x 20＋3)(1k 1＋1k 2)＝x 20－3x 0，即1k 1＋1k 2＝1x 0. 从而2 3＋x 20x 0x 20＋3 2－1＝1x 0，进而得，x 40＝8，x 0＝±48. 综上所述，存在点P 满足题意，点P 坐标为(±48，22)．。

高考数学总复习 2-6 幂函数与函数的图象变换但因为测试新人教B版

3．(文)(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()
[答案]B
[解析]y＝x2为偶函数，对应②；y＝定义域x≥0，对应③；y＝x－1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3与y＝均为奇函数，但y＝x3比y＝增长率大，故①对应y＝x3.
(理)给出以下几个幂函数fi(x)(i＝1,2,3,4)，其中f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝，f4(x)＝.若gi(x)＝fi(x)＋3x(i＝1,2,3,4)．则能使函数gi(x)有两个零点的幂函数有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[答案]B
[解析]函数gi(x)的零点就是方程gi(x)＝0的根，亦即方程fi(x)＋3x＝0的根，也就是函数fi(x)与y＝－3x的图象的交点，作出函数fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，可知只有f2(x)的图象与y＝－3x的图象有两个不同的交点，故能使gi(x)有两个零点的幂函数只有f2(x)，选B.
故a:b:c:d＝1:(－6):5:(－8)．
9．若f(x)＝在区间(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是________．
[答案]a>－1
[解析]f(x)＝＝＝a＋.
∵f(x)在( －∞，1)上为减函数，
∴a＋1>0，∴a>－1.
10．如图所示，函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
C．a>c>bD．c>a>b
[答案]C
[解析]a＝ b＝＝ c＝＝显然有log23.4>log2>log2，由对数函数、指数函数单调性，有a>c>b，故选C.
5．(文)幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的“区域”是()

高考数学总复习 8-6 抛物线但因为测试新人教B版

高考数学总复习 8-6 抛物线但因为测试新人教B 版1.(文)(·惠州调研)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p ＝4.(理)(·东北三校联考)抛物线y 2＝8x的焦点到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线的距离为( )A ．1 B.3 C.33D.36[答案] A [解析] 抛物线y 2＝8x的焦点F(2,0)到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线y ＝±33x 的距离d ＝1.2．(文)(·陕西文，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x[答案] C[解析] 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y 2＝8x.故选C.(理)(·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x [答案] D[解析] 设过P(－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q(x ，y)，则PQ →∥a ，∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y)＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx 的焦点F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，∴m ＝－4，故选D.3．(文)(·茂名一模)直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( )A ．48B ．56C ．64D ．72[答案] A[解析] 由题意不妨设A 在第一象限，联立y ＝x －3和y 2＝4x 可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x ＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S 梯形APQB ＝12(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.(理)(·石家庄模拟)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB||CD|的值为( )A ．16 B.116 C ．4 D.14[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，y A ＝14，y D ＝4，∵直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)． ∴|AF|＝y A ＋1＝54，|DF|＝y D ＋1＝5，∴|AB||CD|＝|AF|－1|DF|－1＝116.故选B. 4．(·福州市质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1 D.5＋2[答案] C[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.5．(·福建福州)若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 、M(4,4)且与l 相切的圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] 经过F 、M 的圆的圆心在线段FM 的垂直平分线上，设圆心为C ，则|CF|＝|CM|，又圆C 与l 相切，所以C 到l 距离等于|CF|，从而C 在抛物线y 2＝4x 上．故圆心为FM 的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆． 6．(·湖北文，4)将两个顶点在抛物线y 2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n≥3 [答案] C[解析] 由抛物线的对称性知，在抛物线上的两个顶点关于x 轴对称，所以过抛物线焦点F 作斜率为33(或斜率为－33)的直线与抛物线有两个不同交点，它们关于x 轴的对称点也在抛物线上，这样可得到两个正三角形．7．(·延边州质检)抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为______．[答案] y 2＝－45x[解析] 由c 2＝9－4＝5得F(－5，0)， ∴抛物线方程为y 2＝－45x.8．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．9．(文)(·湖南六校联考)AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，若|AB|＝4，则AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离为________．[答案] 94[解析] 由题可知|AB|＝4，所以A 、B 两点分别到准线x ＝－14的距离之和为4，所以AB 的中点到准线x ＝－14的距离为2，所以AB 的中点到直线x ＝－12的距离为2＋14＝94.(理)(·黑龙江哈期末)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，则AB 的长为________．[答案] 10[解析] 2p ＝8，∴p2＝2，∴E 到抛物线准线的距离为5，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×5＝10.10．(文)(·福建文，18)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A. (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b x 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0(*) ∵直线l 与抛物线相切∴△＝(－4)2－4×(－4b)＝0 (*) ∴b ＝－1(2)由(1)知b ＝－1，方程(*)为x 2－4x ＋4＝0 解得x ＝2，代入x 2＝4y 中得，y ＝1，∴A(2,1) ∵圆A 与抛物线准线y ＝－1相切∴r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.(理)(·韶关月考)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F(0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ.[解析] (1)解：依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y. (2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设AB ：y ＝kx ＋2.A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0， ∴x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y′＝14x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ.11.(文)(·温州模拟)已知d 为抛物线y ＝2px 2(p>0)的焦点到准线的距离，则pd 等于( ) A.12p 2 B ．p 2 C.12 D.14[答案] D[解析] 抛物线方程可化为x 2＝12p y ，∴d ＝14p ，则pd ＝14，故选D.(理)(·山东文，9)设M(x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] 设圆的半径为r ，因为F(0,2)是圆心，抛物线C 的准线方程y ＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>4.又因为点M(x 0，y 0)为抛物线x 2＝8y 上一点，所以有x 20＝8y 0.又点M(x 0，y 0)在圆x 2＋(y －2)2＝r 2上．所以x 20＋(y 0－2)2＝r 2>16，所以8y 0＋(y 0－2)2>16，即有y 20＋4y 0－12>0，解得y 0>2或y 0<－6(舍)，∴y 0>2.故选C.12．(文)(·山东文)已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2②①－②得y 21－y 22＝2p(x 1－x 2)，∴k AB＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p 2， ∵k AB ＝1，∴p ＝2，∴y 2＝4x ， ∴准线方程为：x ＝－1，故选B.(理)(·山东济宁一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( )A.125B.19 C.15 D.13[答案] B[解析] 根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x. 把M(1，m)代入y 2＝16x 得m ＝4，即M(1,4)．在双曲线x 2a －y 2＝1中，A(－a ，0)，则k AM ＝41＋a ＝1a. 解得a ＝19.13．(·台州二检)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 必与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] A[解析] 因为|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而可知∠MPN ＝90°，故①正确，②错误；令直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入抛物线方程可得y 2－2py＋p 2＝0，Δ＝0，所以直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误．14．(·烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．[答案] 4 3 [解析]建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A ，由题意可知A(4，－2)，故可求得抛物线的方程为y ＝－18x 2，设水面上升后交点为B ，则点B 的纵坐标为－32，代入抛物线方程y ＝－18x 2可求出B 点的横坐标为23，所以水面宽为43米．15．(文)已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x ，y)满足PA →·PB →＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD(O 为原点)． [解析] (1)由题意可得PA →·PB →＝(－x ，－2－y)·(－x,4－y)＝y 2－8，化简得x 2＝2y.(2)证明：将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中得， x 2＝2(x ＋2)．整理得x 2－2x －4＝0，可知Δ＝4＋16＝20>0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4. ∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2，∴y 1·y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4. ∴k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1，∴OC ⊥OD.(理)(·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． [解析] (1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x 中得， y 2－4ty －4＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t(y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线方程y 2＝4x ，消去x 得 y 2－4ty －4b ＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋b)(ty 2＋b)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt(y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b.令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点．1．(·辽宁理)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF|＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16[答案] B [解析]解法1：如上图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF|＝4，∴|AB|＝43，即P 点的纵坐标为43，∴(43)2＝8x ，∴x ＝6，∴|PA|＝8，∴|PF|＝8，故选B.解法2：设A(－2，y)，∵F(2,0)，∴k AF ＝y－4＝－3， ∴y ＝43，∴y p ＝4 3 ∵P在抛物线上，∴y 2p ＝8x p ，∴x p ＝y 2p8＝6由抛物线定义可得|PF|＝|PA|＝x p －x A ＝6－(－2)＝8 故选B.2．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83[答案] A[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n m ＝2m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝14n ＝34.∴mn ＝316.故选A.[点评] 解决这类问题一定要抓准各种曲线的基本量及其关系．3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716[答案] A[解析] 直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 1的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F(1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2，故选A.4．(·大连一模)已知抛物线x 2＝4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点A(3,2)，则|PA|＋|PM|的最小值为________．[答案]10－1[解析] 设d 为点P 到准线y ＝－1的距离，F 为抛物线的焦点，由抛物线定义及数形结合得，|PA|＋|PM|＝d －1＋|PA|＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝10－1.5．(·南京调研)已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为________．[答案] 4[解析] 由M 向抛物线的准线作垂线，垂足为B ，则|MF|＝|MB|，圆心C(4,1)，显然当B 、M 、A 、C 在同一条直线上时，|MA|＋|MF|取最小值，且(|MA|＋|MF|)min ＝|BC|－1＝5－1＝4.6．(·德州模拟)P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是________．[答案] 5[解析] 两圆的圆心A(－4,0)，B(4,0)恰好为双曲线的焦点，由双曲线的定义知，||PA|－|PB||＝2，∴|PM|－|PN|≤||PA|－|PB||＋2＋1＝5.11 / 11 7．(·中山模拟)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b<2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M(－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y.(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y′＝12x ， ∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。

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