勾股定理及逆定理的应用练习(含答案)

勾股定理的逆定理
1.如图所示,△ABC 中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC 的长等于( )
A.22
B.23
C. 6
D.
23
6
知识点：转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。

勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

答案：C
详细解答：作BC 边上的高AD,
△ ABC 中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30° 在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=3 在Rt △ACD 中，∠C=45°，AD=3,所以CD=AD=3， 利用勾股定理可得AC=6。

1．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，线段AB 长为（ ）。

A.2
B.3
C.4
D.33 答案：C
分析：欲求AB ，可由AB=BD+AD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD 和AD 。

或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，
求出AC 和BC 。

详细解答：在Rt △ACD 中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=3,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。

C
D
在Rt △ACB 中，∠A=60°，那么∠B=30°。

在Rt △BCD 中，∠B=30°，又已知CD=3,所以BC=23，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。

因此AB=BD+CD=3+1=4，
小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。

目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2
-BD 2
=AC 2
-AD 2
，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

2．已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2
－b 2c 2
=a 4
－b 4
，则它的形状为
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状
知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。

答案：D
详细解答：∵ a 2c 2
－b 2c 2
=a 4
－b 4
，∴左右两边因式分解得))(()(2
222222b a b a b a c -+=-
∴0))((2
2222=---b a c b a ∴022=-b a 或02
22=--b a c ，
即b a =或2
22b a c +=，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。

2．若△ABC 的三边a ，b ，c 满足(c-b)2
+︱a 2
-b 2
-c 2
︱=0，则△ABC 是（ ） （A ）等腰三角形
（B ）直角三角形
（C ）等腰直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 答案：C
详细解答：∵(c-b)2
+︱a 2
-b 2
-c 2
︱=0，∴c-b =0且a 2
-b 2
-c 2
=0 即b c =且2
22b a c +=，
所以三角形的形状为等腰直角三角形。

3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
知识点：勾股定理的逆定理
知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。

满足a 2
+b 2
=c 2
的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。

答案：C
详细解答：A 图和B 图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。

D 图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。

只有C 图中的两个三角形都是直角三角形。

3．在下列说法中是错误的（ ）
A ．在△ABC 中，2222
2AC m n mn m n =-+、BC=、AB=（m n 、为正整数，且m n >），则△ABC 为直角三角形.
B ．在△AB
C 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，则△ABC 为直角三角形. C ．在△ABC 中，若2
22c b a =-，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：12：13，则△ABC 为直角三角形. 答案：B
详细解答： 在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，那么最大角∠C ＝
007518012
5
=⨯ 不是直角三角形。

△ABC 三条边的比为a:b:c ＝5:12:13，则可设a ＝5k ，b ＝12k ，c ＝13k ，a 2
＋b 2
＝25k 2
＋144k 2
＝169k 2
，c 2
＝(13k)2
＝169k 2
，所以，a 2
＋b 2
＝c 2
，△ABC 是直角三角形．
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补；
B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等
D.如果a2=b2,那么a=b
知识点：互逆命题
知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设，那么这样的两个命题是互逆命题。

一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。

答案：C
详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然这是一个假命题。

4．下列命题的逆命题成立的是（）
a=（B）全等三角形的周长相等
（A）若a=b，则b
（C）同角（或等角）的余角相等（D）若a=0，则ab=0
答案：C
a=，则a=b。

不一定成立，也可能a=-b
详细解答：（A）的逆命题是：若b
（B）的逆命题是：周长相等的三角形全等。

不一定成立，两个三角形周长相等，形状不一定就相同。

（D）的逆命题是：若ab=0，则a=0。

不一定成立，也可能是b=0，而a≠0。

5．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，
离开港口2小时后，两船相距（）
A.25海里
B.30海里
C.35海里
D.40海里
知识点：勾股定理的实际应用题
知识点的描述：求距离或某个长度是很常见的实际应用题，这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题，通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中，利用勾股定理求出线段的长度，从而解决实际问题。

答案：D
详细解答：画出答题图，由题意知，三角形ABC是直角三角形，
AC=32海里，AB=24海里，
根据勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600，
A
B
C
所以BC=40（海里）
5．有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）
A ．cm 41
B ．cm 34
C ．cm 50
D ．cm 35 答案：C
详细解答：画出如图所示的木箱图，图中AD 的长度就是能放入的细木条的最大长度，由题意知CB=5cm 、CA=4cm 、BD=3cm 在Rt △ACB 中，AC 和BC 是直角边，AB 是斜边，AB 2
=AC 2
+CB 2
=41, 在Rt △ADB 中，AB 和BD 是直角边，AD 是斜边，AD 2
=AB 2
+BD 2
=41+9=50,所以AD=()cm 50
6．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上答案都不对 知识点：网格问题，勾股定理和逆定理
知识点的描述：网格问题是常见的问题，解决这种问题要充分的利用正方形网格。

勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 答案：A
详细解答：把△ABC 的各边分别放在不同的直角三角形中，给出必须的点的名称，画出图形。

在Rt △BCD 中， CD=1，DB=8，那么CB 2
=CD 2
+BD 2
=65， 在Rt △ACE 中， AE=2，CE=3，那么AC 2
=AE 2
+CE 2
=13， 在Rt △ABF 中， AF=6，BF=4，那么AB 2
=AF 2
+BF 2
=52， 所以，在△ABC 中， AC 2
+AB 2
=13+52=65，
又CB 2
=65，所以，AC 2
+AB 2
= CB 2
，根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC 是直角三角形
A
C
B
D
D
C
A
6．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积是 ( ) A.25 B.12.5 C. 9 D.8.5 答案：B 详细解答：S 四边形EFGH
=S ABCD -S △DEF -S △CFG -S △BGH -S △AEH
=5×5-21×1×2-21×3×3-21×2×3-2
1
×2×4=12.5 7.如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四边形ABCD 的面积.（ ）
A. 36
B. 25
C. 24
D. 30
知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：A
分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形. 详细解答：连接AC ，在Rt △ABC 中，
AC 2
=AB 2
＋BC 2
=32
＋42
=25， ∴ AC=5. 在△ACD 中，∵ AC 2
＋CD 2
=25＋122
=169，
又∵ AD 2
=132
=169，
∴ AC 2
＋CD 2
=AD 2
，∴ ∠ACD=90°． 故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =
2
1
AB ·BC ＋2
1
AC ·CD =
21×3×4＋2
1
×5×12=6＋30=36. 7．在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，CD ＝5，DA ＝4，∠B ＝90°，那么四边形ABCD 的面积是( )。

A. 10
B. 56+
C. 45+
D. 65- 答案：B
详细解答：连接AC ，在Rt △ABC 中，AB ＝2，，BC ＝5
所以222AC AB BC =+＝22＋2
)5(＝9
所以AC ＝3
又因为2222
3425AC AD +=+=，22525CD ==
所以2
2
AC AD +=2
CD 所以∠CAD ＝90° 所以
ABC ACD
ABCD S S S △△四边形＝＋＝
21×2×5＋2
1
×3×4＝56+ 8.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

那么四边形ABCD 的面积是( )。

A. 24 B. 36 C. 18 D. 20
知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：C
详细解答：如图，作DE ∥AB ，连结BD ，可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）；
所以DE=AB=4，BE=AD=3，EC=BC-EB=6-3=3； 在△DEC 中，EC=3；DE=4，CD=5，
3、4、5勾股数，所以△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ；
利用梯形面积公式可得：四边形ABCD 的面积是2
1
（3+6）×4=18
8．已知，△ABC 中，AB 中，AB ＝17cm ，BC ＝16cm ，BC 边上的中线AD ＝15cm ，求AC 得( )。

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
A
B
C
D
A
B
C
D
E
答案：C
详细解答：如图，∵AD 是BC 边上的中线，BC ＝16cm
∴BD ＝8cm
∴在△ABD 中：AB ＝17cm ，AD ＝15cm ，BD ＝8cm
则有：222
BD AD AB +=
∴∠ADB ＝90°
∴AD ⊥BC ，即∠ADC ＝90°
在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝15cm ，CD ＝8cm
根据勾股定理得：AC
＝17 （cm ）
9.已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2
=AD ·BD ，△ABC 是( )。

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 等边三角形
知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：A
详细解答：∵AC 2
=AD 2
+CD 2
，BC 2
=CD 2
+BD
2
∴AC 2
+BC 2
=AD 2
+2CD 2
+BD 2
又∵CD 2=AD ·BD
∴AC 2
+BC 2
=AD 2
+2AD ·BD+BD 2
=（AD+BD ）2
=AB 2
所以△ABC 是直角三角形。

9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求
得∠BPC 的度数（ ）． A. 115° B. 125° C. 135° D. 120° 答案：C
C
D A
B
C
D
详细解答：如答图，
将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合，即△APC ≌△BEC, ∴△PCE 为等腰Rt △，∴∠CPE=45°，PE 2
=PC 2
+CE 2
=8. 又∵PB 2
=1，BE 2
=9，
∴PE 2
+ PB 2
= BE 2
,则∠BPE=90°， ∴∠BPC=135°.
10．已知：如图正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，点F 在DC 上且DF ＝4
1
DC ，判断△BEF 为（ ）。

A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 不等边三角形
D. 等边三角形
知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

答案：A
详细解答： 设DF ＝a ，则DE ＝AE ＝2a ，CF ＝3a ，AB ＝BC ＝4a 。

在Rt △ABE 中，BE 2
＝AB 2
＋AE 2
＝（4a ）2
＋(2a)2
＝20a 2
在Rt △DEF 中，EF 2
＝DE 2
＋DF 2
＝（2a ）2
＋a 2
＝5a 2
在Rt △BCF 中，BF 2
＝BC 2
＋CF 2
＝（4a ）2
＋(3a)2
＝25a 2
所以BE 2
＋EF 2
＝BF 2 所以∠BEF ＝90°
所以△BEF 为直角三角形。

10．如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，AC ＝12，BC ＝5，CD ＝2
13。

△ABC 为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 答案：A
详细解答：
延长CD 到点E ，使得DE ＝CD ，连接AE
A
B
C
F D E
C
A
D B
∵CD
＝
2
13
，DE ＝CD ∴CE ＝13
∵在△ADE 和△BDC 中
∴△ADE ≌△BDC ∴AE ＝BC ＝5
在△AEC 中：AE ＝5，AC ＝12，CE ＝13 即2
2
2
AE AC CE ＋＝，∴∠EAC ＝90° ∵∠EAB ＝∠CBA
∴∠CAB ＋∠CBA ＝∠CAB ＋∠EAB ＝90° ∴∠ACB ＝90° ∴△ACB 为直角三角形
D
B
A。