《备课参考》圆周角和直径的关系及圆内接四边形

3.4 圆周角和圆心角的关系

第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形

1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练

运用解决问题；(重点)

2．培养学生观察、分析及理解问题的

能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得

正确的学习方式．(难点)

一、情境导入

你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？

如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上

C处，依然把球传给了甲，你知道为什么

吗？你能用数学知识解释一下吗？

二、合作探究

探究点一：圆周角和直径的关系

【类型一】利用直径所对的圆周角是

直角求角的度数

如图，BD是⊙O的直径，∠CBD ＝30°，则∠A的度数为()

A．30°B．45°

C．60°D．75°

解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD ＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.

方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】作辅助线构造直角三角形

解决问题

如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点 C.若AB是⊙O 的直径，D是BC的中点．

(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；

(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？

解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理

求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线

性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求

出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求

解．

解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；

(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC 为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．

方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆

周角．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

探究点二：圆内接四边形

【类型一】圆内接四边形性质的运用

如图，四边形ABCD内接于⊙O，

点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝()

A．65°B．120°C．125°D．130°

解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.

方法总结：解决问题关键是掌握圆内接

四边形的对角互补这一性质．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课

堂达标训练”第7题

【类型二】圆内接四边形与圆周角的

综合

如图，在⊙O的内接四边形ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是() A．120°B．100°

C．80°D．60°

解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选 A.

方法总结：解决问题关键是掌握圆内接

四边形的对角互补和圆周角的性质．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课

堂达标训练”第8题

【类型三】圆内接四边形与垂径定理

的综合

如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB 于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.

解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知

AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.

证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF ⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.

方法总结：圆内接四边形的性质是沟通

角相等关系的重要依据．

【类型四】圆内接四边形、圆周角、

相似三角形和三角函数的综合

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD

︵

的中点，AC、BD交于点 E.

(1)求证：△CBE∽△CAB；

(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD 的值．

解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形

相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的

性质面积比等于相似比的平方，得出AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．

(1)证明：∵点C为BD

︵

的中点，∴∠DBC ＝∠BAC.在△CBE与△CAB中，∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB；

(2)解：连接OC交BD于F点，则OC 垂直平分BD.∵S△CBE∶S△CAB＝1∶4，△CBE ∽△CAB，∴AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，∴AC＝4EC，∴AE∶EC＝3∶1.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD∥OC，则AD∶FC＝AE∶EC＝3∶1.设FC＝a，则AD ＝3a.∵F为BD的中点，O为AB的中点，∴OF是△ABD的中位线，则OF＝

1

2

AD＝1.5a，∴OC＝OF＋FC＝1.5a＋a＝2.5a，则