二次函数抛物线型问题

1. （2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满

足下列函数关系式：61t 5h 2

+--=）（

，则小球距离地面的最大高度是（ ） A ．1米 B ．5米

C ．6米

D ．7米 【答案】C 【思路分析】在二次函数61t 5h 2+--=）（中，顶点坐标为（1,6），∵a=-5<0，∴当t=1

时，h 取得最大值6.∴小球距离地面的最大高度是6米。

【方法规律】在二次函数顶点式2

()y a x h k =-+中，顶点坐标为（h ，k ）。当a>0时，开口向上，当x h =时，y 取得最小值k ；当a<0时，开口向下，当x h =时，y 取得最大值k 。

【易错点分析】不能够正确的应用二次函数的顶点式，将其化成一般式，再计算，从而引起计算性的错误。

【关键词】二次函数、最大值

【推荐指数】★★☆☆☆

【题型】常规题，好题，易错题

2. （2011株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )

A ．4米

B ．3米

C ．2米

D ．1米

【答案】A

【思路分析】直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为22

44(1)04444(1)

ac b a -?-?-==?-. 【方法规律】在二次函数求最值的问题，一般是直接代入顶点公式计算即可．

【易错点分析】弄不清在函数解析式中a 、b 、c 的值各是什么，造成计算错误．

【关键词】二次函数的最值 【难度】★★☆☆☆

3. （2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为

了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）

A ．50m

B ．100m

C ．160m

D ．200m

【答案】C

【思路分析】建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a x 2＋05，将（1，0）代入得a ＝－05，所以抛物线的解析式为y ＝－0.5x 2＋0.5，分别将x ＝0.2和0.6代入，求得y 值为048，032，所以一个防护栏需不锈钢支柱长为2（048＋032）＝16，所以则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为16×100＝160

【方法规律】先计算一个抛物线左边或右边需要不锈钢支柱的长度，根据抛物线的对称性来解

【易错点分析】1、不能正确求出抛物线的解析式；2、不能利用抛物线的对称性

【关键词】抛物线 【难度】★★★☆☆ 【题型】好题

4. （2011广西梧州，11，3分）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线21b c 4

y x x =-++的一部分，其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是（ ） A ． 21

3144y x x =-++ B ．213144

y x x =-+- C ．213144y x x =--+ D ．21

3

144y x x =---

【答案】A

【思路分析】根据出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，

所以A ，B 两点坐标分别为（4，0），（0，1），在抛物线抛物线y ＝－14

x 2＋bx ＋c 上．将A

（4，0），（0，1）代入抛物线解析式，得c ＝1，b ＝4

3，故选A ． 【方法规律】首先把实际问题转化为二次函数的数学问题，求二次函数解析式，表达式中有几个待定系数，就需要几个点代入函数解析式，然后在接方程组，求出待定系数，从而求出函数解析式．

【易错点分析】一是不能数形结合看出点B 、点A ．坐标，二是计算错误．

【关键词】二次函数解析式 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题，易错题

5. （2011青海西宁，7，3分）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大

高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12

米，在如图3所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是

A ．y =﹣（x ﹣12 ）2+3

B ．y =﹣（x +12

）2+3 C ．y =﹣12（x ﹣12 ）2+3 D ．y =﹣12（x +12

）2+3

【答案】C 【思路分析】根据题意知，抛物线的顶点坐标为（12

，3）可设抛物线的解析式为1()32

y a x =-+，又抛物线经过点（0，0）代入可求得a=12-，所以抛物线的解析式为y =﹣12（x ﹣12

）2+3． 【方法规律】待定系数法求函数解析式．

【易错点分析】颠倒横纵坐标．

【关键词】待定系数法

【推荐指数】★☆☆☆☆

【题型】常规题

6. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h (m )关于运动时间t (s )的函数表

达式为h ＝at 2＋bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是

A ．第3秒

B ．第3.5秒

C ．第4.2秒

D ．第6.5秒

【答案】C

【思路分析】由题意知，当t ＝4时小球的高度最高，当t ＝3与t ＝5时小球高度相等，当t ＜4时，h 随t 的增大而增大；当t ＞4时，h 随t 的增大而减小，∴四个选项中，当t ＝

4.2时，小球高度最高．

【方法规律】本题考查二次函数图象的对称性，这类问题最好结合图象来解决．

【易错点分析】学生不易想到利用对称性来判断点的位置．

【关键词】二次函数

【推荐指数】★★★☆☆

【题型】常规题，新题，好题．

7. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h （m ）关于运动时间t （s ）的

函数表达式为h =at 2+bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相

等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）

A ．第3秒

B ．第3.5秒

C ．第4.2秒

D ．第6.5秒

【答案】C 【思路分析】由题意可知：h （2）=h （6），即4a +2b =36a +6b ，解得b =﹣8a ，函数h =at 2+bt

的对称轴t =﹣2b a

=4，故在t =4s 时，小球的高度最高，题中给的四个数据只有C 第4.2秒最接近4秒，故在第4.2秒时小球最高．故选C ．

【方法规律】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

【易错点分析】不能根据二次函数图象的对称性得到函数的性质

【关键词】二次函数的应用

【推荐指数】★★★☆☆

【题型】好题，难题．

8.

9.

8. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一

部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC =4米，点B 到水平面距离为2米，OC =8米．

(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

(2)为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省h /m

t /s O 2 6

（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3)为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P

之间的距离是多少？（请写出求解过程）

【解】（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，……………1分设抛物线的函数解析式为y＝ax2，………………2分

由题意知点A的坐标为（4，8），且点A在抛物线上．………………3分

所以8=a×42，解得a=1

2

，故所求抛物线的函数解析式为2

1

2

y x

=．………………4分

（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，………………5分则点A、D关于OC对称．

连接BD交OC于点P，则点P即为所求．………………6分

（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，

所以点B的坐标为（2，2）．………………7分

又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（－4，8）．………………8分设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9分

则有

22

48

k b

k b

+=

?

?

-+=

?

………………10分

解得k=－1，b=4．

故直线BD的函数解析式为 y=－x+4．………………11分

把x=0代入y=－x+4，得点P的坐标为（0，4）．

两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．………………12分

【思路分析】(1)以点O为原点，OC为y轴的正半轴建立坐标系，则可以设二次函数的解析式为y＝ax2，同时易确定A点的坐标为(4，8)，代入即可求出二次函数的解析式．(2)由用料最省，可确定点A关于y轴的对称点D，连结对称点D和点B，连线与y轴的交点就是点P的位置．(3)用待定系数法求出直线BD的解析式，把x＝0代入求得的解析式，求出点P的坐标，即求出O、P之间的距离．

【方法规律】建立适当的坐标系时，可以以顶点为原点，对称轴为y轴，则二次函数的解析式为最简单的y＝ax2的形式，求解析式较为方便．

两个点在直线的同侧，在直线上求一个点到两个点的距离之和最小，确定动点的方法是轴对称．

【易错点分析】确定点P位置时，不能联系轴对称知识是导致错误的最根本原因．【关键词】二次函数，一次函数，待定系数法，轴对称

【推荐指数】★★★★★

【题型】新题，好题，难题，压轴题

16. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的

一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC=4O 米，点B 到水平面距离为2米，OC=8米。

（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）

（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）

【解】（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系

设抛物线的函数解析式为2y ax =,

由题意知点A 的坐标为（4，8）。且点A 在抛物线上，

所以8=a×24，解得a=12,故所求抛物线的函数解析式为212

y x = （2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,

则点A 、D 关于OC 对称。

连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求。

（3）由题意知点B 的横坐标为2，且点B 在抛物线上，

所以点B 的坐标为（2，2）

又知点A 的坐标为（4，8），所以点D 的坐标为（-4，8）

设直线BD 的函数解析式为 y=kx+b ，

则有2248k b k b +=??-+=?

解得k=-1,b=4.

故直线BD 的函数解析式为 y=-x+4，

把x=0代入 y=-x+4，得点P 的坐标为（0，4）

两根支柱用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米。

【思路解析】问题一、建立适当的直角坐标系：以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系使的二次函数的解析式最简单。只要A 点的坐标即可求出函数的解析式。

问题二、求在OC 上一点到A 、B 两点距离之和最短，需做A 关于OC 的对称点D ，在连接对称点D 和另外一点B 与OC 的交点即为所求。

问题三、求O 、P 之间的距离就是直线DB 与y 轴交点纵坐标的长度，需要求出DB 的解析式。

【方法规律】本题为二次函数、几何作图相联系的一个问题，学生只有对这两部分掌握的比较好才能顺利完成，注意作图和坐标系的联系，还有坐标和线段长度的联系。

【易错点分析】本题的知识综合性强较强，建立合适的坐标系，作对称点，求一次函数的解析式，包括的知识点较多，学生会觉得应接不暇。

【关键词】直角坐标系，对称点，距离最短

【难度】★★★★☆

【题型】综合题，易错题，难题，压轴题

23．如图，?公园要建造圆形的喷水池，?在水池中央垂直水面处安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA=12.5米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，?水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流离OA距离为1?米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米？

23．解：以O为坐标原点，OA为y轴，建立平面直角坐标系，

设抛物线的顶点为B，?水流落水与x轴交点为C，

则A（0，1.25），B（1，2.25），C（x，0）．

设抛物线为y=a（x-1）2+2.25，

将点A代入，得a=-1，

当y=-1（x-1）2+2.25=0时，得x=-0.5（舍去），x=2.5，?

故水池半径至少要2.5米．

10．如图26-3-2所示，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．

（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上0.25m处出手，问：球出手时，他距离地面的高度是多少？

10．（1）顶点为（0，3.5），篮圈坐标为（1.5，3.05）．

设函数解析式为y=ax2+3.5?，代入（1.5，3.05）解得a=-0.2，

故篮球运行轨迹所在的抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5．

（2）当x=-2.5时，y=2.25．

故跳投时，距地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2m．

14．如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O 恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水柱形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处到达距水面最大高度2.25m．

（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少，?才能使喷出的水流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为 3.5m，要使水流不落到池

外，此时水流最大高度应达多少？（精确到0.1m）

14．（1）如图所示，建立坐标，设一条抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C，? 根据题意有A（0，1.25），B（1，2.25），设抛物线为y=a（x-1）2+2.25．

将点A坐标代入，得a=-1，

∴y=-（x-1）2+2.25．

令y=0，得x1=-0.5（舍去）．

x2=2.5．

∴水池的半径至少要2.5m．

（2）由于抛物线形状与（1）相同可设此抛物线为y=-（x+m）2+k，

再将点A（0，1.25）及点（3.5，0）代入，解方程组可求得m=-11

7

，k=3

141

196

≈3.7，

所以，此时水流最大高度达3.7m．

16．如图所示，?某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由

抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m，?抛物线可以用y=-1

32

x2+8表示．

（1）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离均为7m，它能否完全通过这个隧道？请说明理由．

（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由．

（3）为完全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？

16．（1）抛物线BCB的表达式为y=-1

32

x2+8．

x=2时，y=77

8

m>7m，所以汽车能完全通过．

（2）当x=4时，y=7.5m>7m，所以仍能安全通过．

（3）限高为7.2m 较适宜．（答案不唯一，符合情理即可）

∴D 点的坐标为（2，2）．

∵点P 在直线ED 上，故设P 点的坐标为（x ，2），

∵P 在抛物线上，

∴2=x 2-4x ， x=41682

±+=2±6． ∴P （2+6，2）或P （2-6，2）为所求．

15、（2009年甘肃庆阳）图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）

A ．22y x =-

B ．22y x =

C ．212y x =-

D ．212y x =

【关键词】二次函数的应用

【答案】C

图6（1） 图6（2）