二次函数抛物线型问题

1. （2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下列函数关系式：61t 5h 2

+--=）（，则小球距离地面的最大高度是（ ）

A ．1米

B ．5米

C ．6米

D ．7米 【答案】C 【思路分析】在二次函数61t 5h 2+--=）（中，顶点坐标为（1,6）

，∵a=-5<0，∴当t=1时，h 取得最大值6.∴小球距离地面的最大高度是6米。

【方法规律】在二次函数顶点式2

()y a x h k =-+中，顶点坐标为（h ，k ）。当a>0时，开口向上，当x h =时，y 取得最小值k ；当a<0时，开口向下，当x h =时，y 取得最大值k 。

【易错点分析】不能够正确的应用二次函数的顶点式，将其化成一般式，再计算，从而引起计算性的错误。

【关键词】二次函数、最大值

【推荐指数】★★☆☆☆

【题型】常规题，好题，易错题

2. （2011株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )

A ．4米

B ．3米

C ．2米

D ．1米

【答案】A

【思路分析】直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为22

44(1)04444(1)

ac b a -⨯-⨯-==⨯-. 【方法规律】在二次函数求最值的问题，一般是直接代入顶点公式计算即可．

【易错点分析】弄不清在函数解析式中a 、b 、c 的值各是什么，造成计算错误．

【关键词】二次函数的最值 【难度】★★☆☆☆

3. （2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为

了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）

A ．50m

B ．100m

C ．160m

D ．200m

【答案】C

【思路分析】建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a x 2＋05，将（1，0）代入得a ＝－05，所以抛物线的解析式为y ＝－0.5x 2＋0.5，分别将x ＝0.2和0.6代入，求得y 值为048，032，所以一个防护栏需不锈钢支柱长为2（048＋032）＝16，所以则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为16×100＝160

【方法规律】先计算一个抛物线左边或右边需要不锈钢支柱的长度，根据抛物线的对称性来解

【易错点分析】1、不能正确求出抛物线的解析式；2、不能利用抛物线的对称性

【关键词】抛物线 【难度】★★★☆☆ 【题型】好题

4. （2011广西梧州，11，3分）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线21b c 4y x x =-++的一部分，其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是（ ） A ． 21

3144y x x =-++ B ．213144

y x x =-+- C ．213144y x x =--+ D ．21

3

144y x x =---

【答案】A

【思路分析】根据出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，

所以A ，B 两点坐标分别为（4，0），（0，1），在抛物线抛物线y ＝－14

x 2＋bx ＋c 上．将A

（4，0），（0，1）代入抛物线解析式，得c ＝1，b ＝43，故选A ． 【方法规律】首先把实际问题转化为二次函数的数学问题，求二次函数解析式，表达式中有几个待定系数，就需要几个点代入函数解析式，然后在接方程组，求出待定系数，从而求出函数解析式．

【易错点分析】一是不能数形结合看出点B 、点A ．坐标，二是计算错误．

【关键词】二次函数解析式 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题，易错题

5. （2011青海西宁，7，3分）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大

高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12

米，在如图3所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是

A ．y =﹣（x ﹣12 ）2+3

B ．y =﹣（x +12

）2+3 C ．y =﹣12（x ﹣12 ）2+3 D ．y =﹣12（x +12

）2+3 【答案】C

【思路分析】根据题意知，抛物线的顶点坐标为（12

，3）可设抛物线的解析式为1()32

y a x =-+，又抛物线经过点（0，0）代入可求得a=12-，所以抛物线的解析式为y =﹣12（x ﹣12

）2+3． 【方法规律】待定系数法求函数解析式．

【易错点分析】颠倒横纵坐标．

【关键词】待定系数法

【推荐指数】★☆☆☆☆

【题型】常规题

6. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h (m )关于运动时间t (s )的函数表

达式为h ＝at 2＋bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是

A ．第3秒

B ．第3.5秒

C ．第4.2秒

D ．第6.5秒

【答案】C

【思路分析】由题意知，当t ＝4时小球的高度最高，当t ＝3与t ＝5时小球高度相等，当t ＜4时，h 随t 的增大而增大；当t ＞4时，h 随t 的增大而减小，∴四个选项中，当t ＝

4.2时，小球高度最高．

【方法规律】本题考查二次函数图象的对称性，这类问题最好结合图象来解决．

【易错点分析】学生不易想到利用对称性来判断点的位置．

【关键词】二次函数

【推荐指数】★★★☆☆

【题型】常规题，新题，好题．

7. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h （m ）关于运动时间t （s ）的

函数表达式为h =at 2+bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）

A ．第3秒

B ．第3.5秒

C ．第4.2秒

D ．第6.5秒

【答案】C 【思路分析】由题意可知：h （2）=h （6），即4a +2b =36a +6b ，解得b =﹣8a ，函数h =at 2+bt 的对称轴t =﹣2b a

=4，故在t =4s 时，小球的高度最高，题中给的四个数据只有C 第4.2秒最接近4秒，故在第4.2秒时小球最高．故选C ．

【方法规律】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

【易错点分析】不能根据二次函数图象的对称性得到函数的性质

【关键词】二次函数的应用

【推荐指数】★★★☆☆

【题型】好题，难题．

8.

9.

8. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一

部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC =4米，点B 到水平面距离为2米，OC =8米．

(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

(2)为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省h /m

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