洛伦兹变换的详细推导

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第三节 洛伦兹变换式

教学内容:

1. 洛伦兹变换式的推导;

2. 狭义相对论的时空观:同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓; 重点难点:

狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求:

1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导;

2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念;

3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。

三、洛伦兹坐标变换的推导

()()⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧--='='='--='

222

11c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨

-'+'='='=-'+'=2

22

11c v c x v t t z z y y c v t v x x

据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。

1. 时空坐标间的变换关系

作为一条公设,我们认为时间和空间都是均匀的,因此时空坐标间的变换必须是线性的。

对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ,y ,z ,t )、(x ',y ',z ',t '),因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动,显然有y '=y , z '=z 。

在S 系中观察S 系的原点,x =0;在S '系中观察该点,

x '=-v t ',即x '+v t '=0。因此x =x '+v t '。

在任意的一个空间点上,可以设:x =k (x '+v t '),k 是—比例常数。

同样地可得到:x '=k '(x -v t )= k '(x +(-v )t )

根据相对性原理,惯性系S 系和S '系等价,上面两个等式的形式就应该相同(除正、负号),所以k =k '。

2. 由光速不变原理可求出常数k

设光信号在S 系和S '系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进,那么在任一瞬时t (或t '),光信号到达点在S 系和S '系中的坐标分别是:x =c t , x '=c t ',则:

t t c x x '='2

()()()()t v t c vt ct k t v x vt x k '+'-='+'-=22

()222v c t t k -'=

由由此此得得到

()22211

c v v c c k -=

-=。。

这样,就得到

()

2

1c v vt x x --=

',

()

2

1c v t v x x -'+'=

。由上面二式,消去x '

得到()

2

21c v c vx t t --=

';若消去x 得到()

2

21c v c x v t t -'+'=

,综合以上结果,

就得到 洛仑兹变换, 或 洛仑兹反变换

()()⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧--='='='--='

222

11c v c vx t t z z y y c v vt x x ()()⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧

-'+'='='=-+'=222

11c v c x v t t z z y y c v vt x x

可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。

3. 讨论

(1)可以证明,在洛仑兹变换下,麦克斯韦方程组是不变的,而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象,而牛顿力学不适用描述高速现象,故它有一定的适用范围。

(2)当|v /c |<<1时,洛仑兹变换就成为伽利略变换,亦即后者是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形—低速极限。

四、相对论速度变换公式

洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系,根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。

设物体在S 、S '系中的的速度分别为()z y

x

u u

u ,,,

()

z y x u u u ''',,,根据洛仑兹变

换式可得:

()()()()()2

22111c v dt

v u c v dt v dt dx c v vdt

dx x d x --=--=--=

'

()

()

()

2

2

2

2111c v c vu dt c v c vdx dt t d x --=

--=

'

因此:

()()

(

)

()

2

2

2111c v c vu dt c v dt v u t d x d x x ----=

'',即:

2

1c vu v

u u x x x --=

'

因y '=y , z '=z ,有d y '=d y , d z '=d z 则

()

()

22

11c v c vu dt dy

t d y d x --='',即

()22

11c vu c v u u x y y --=

'。同理:()2

2

11c vu c v u u x z z --='

因此得相对论的速度变换公式:

2

1c vu v

u u x x x --=

'、

()2

2

11c vu c v u u x y y --=

'、

()

2

2

11c vu c v u u x z z --='

其逆变换为:

21c u v v u u x x x '++'=、

()2

2

11c u v c v u u x y y '+-'=、

()2

2

11c u v c v u u x z z '+-'=。

讨论

(1)当速度u 、v 远小于光速c 时,即在非相对论极限下,相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式v

u u x x -='。

(2)利用速度变换公式,可证明光速在任何惯性系中都是c 。

证明:设S '系中观察者测得沿x ' 方向传播的一光信号的光速为c ,在S 系中的观察者

测得该光信号的速度为:c c vc v c u x =++=2

1,即光信号在S 系和S '系中都相同。

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