九年级一元二次方程专题复习.doc

一元二次方程专题复习

【知识回顾】

1.灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的-•般形式：做2+bx + c = 0(dH0)

四种解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，公式法:

(戸一4必$0)

注意：(1) 一定要注意QHO，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进;

(2)掌握一元二次方程求根公式的推导；

(3)主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次” •

2.根的判别式及应用(A = &2-4ac)：

(1)一元二次方程ax2 +加+ c = 0(a工0)根的情况：

①当A>0时，方程有两个不相等的实数根；

②当△ = ()时，方程有两个相等的实数根；

③当时，方程无实数根.

(2)判定一元二次方程根的情况；

(3)确定字母的值或取值范围。

3.根与系数的关系(韦达定理)的应用：

b c

韦达定理:如一元二次方程ax1 +Z?x + c = 0(«^0)的两根为,则西+无=——，占•匕=— a ~ a

适用题型：(1)已知一根求另一•根及未知系数；

(2)求与方程的根有关的代数式的值；

(3)己知两根求作方程；

(4)已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号：(西,召是方程两根)；

(6)题冃给出两根Z间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根

是/?/△的两直角边求斜边等悄况.

注意：(1 ) %]2 + =(X] + 兀2)~ — 2兀]• X,

(2) (x, -x2)2 = (Xj +x2)2 -4^ -x2；x} -x2 =+x2)2 -4x, -x 2

A>0

（3）①方程有两正根，贝iJ0；

-x2 > 0

A>0

②方程有两负根，贝IJ西+兀；

x l-x2>0

[A>0

③方程冇一正一负两根，贝叽“

[x A -x2 < 0

[A>0

④方程一根人于1,另一根小于1,贝几仃 .、八

[（x, — l）（x2 -l）<0

（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时, 一•般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以西,吃为根的一元二次方程为X2-U.十兀2）兀+西*2 =0 ；求字母系数的值时，需使二次项系数QH0，同时满足△》（）；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根Z和坷+乞，两根Z积旺的代数式的形式，整体代入。

4.用配方法解一元二次方程的配方步骤：

例：用配方法解4X2-6X+1=0

3 1

第一步，将二次项系数化为1： x2--x + l = 0,（两边同除以4）

2 4

第二步，移项：x2--x = --

2 4

第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：兀2_?兀+（丄）2=_丄+（?）2

2 4 4 4

3 5

第四步，完全平方：（兀—2）2=丄

416

笫五步，直接开平方：X ———±-^- , HP ： Xj =+ -^― + —, ——4-—

4 4 | 4 4 ~ 4 4

5.一元二次方程的应用：解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程。最后还要注意求出的未知数的值，是否符合实际意义。

【中考考点】①利用一元二次方程的意义解决问题；

②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）；

③考杳配方法（主要结合函数的顶点式来研究）；

④一元二次方程的解法；

⑤一元二次方程根的近似值；

⑥建立一元二次方程模型解决问题；

⑦利用根的判别式求方程屮字母系数的值和利用根与系数关系求代数式的值；

⑧与一元二次方程相关的探索或说理题；

⑨与其他知识结合，综合解决问题。

一元二次方程的定义与解法

＞【要点、考点聚焦】

1.加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式or? + bjc + c = O(d HO)；

2.熟练地应用不同的方法解方程；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；并体会“降幕法”在解方程

中的含义.(其屮配方法很重要)

＞【课前热身】

1.当€/=___________ 时，方程ax2 +3x4-1 = 0是一元二次方程.

2.已知x = l是方程#+妙+ 2 = 0的一个根，则方程的另一根为___________ .

3.一元二次方程x(x-\) = x的解是____________ .

4.若关于兀的一元二次方程祇2+^+ C =0(G H0),一rid + b + c = O,则方程必有一根为_____________ ・

5.用配方法解方程X2-4X +2=0,则下列配方正确的是( )

A. (x —2尸=2

B. (X +2)2=2

C. (x-2)2=-2

D. (x-2)2=6

＞【典型例题解析】

1、关于兀的一元二次方程(or-l)(or-2)=〒-2兀+ 6中，求。的取值范围.

2、己知：关于兀的方程x2-6% + m2-3m-5 = 0的一个根是-1,求方程的另一个根及加的值。

3、用配方法解方程:2X2-X-1=0

＞【考点训练】

1、关于兀的一元二次方程（a-l）x2+x + a2-\ = 0的一个根是0,则d的值为（）

A. 1

B. — 1

C. 1 或一1

D.—

2

2、解方程3（12%-1）2=4（12X-1）的最适当的方法（

）

A.直接开平方法

B.配方法

C.因式分解法

D.公式法

3、若a-b + c = 0,贝ij一元二次方程“+bx + c = 0有一根是（）

A. 2

B. 1

C. 0

D. -1

4、_____________ 当k 时，伙2一9庆+仗_5）兀_3 = 0不是关于兀的一元二次方程.

5、_______________________________________________________ 已知方程3/- 2尤+ 1 = 4,贝I」代数式12X2-8X +3= _________________________________________________ ・

6、解下列方程:

（1）（乂一1）~=4; （2）x~ — 2x— 3 = 0 （3）2t~ — 7t — 4 = 0（用配方法）

一元二次方程根的判别式

＞【要点、考点聚焦】

1.一元二次方程做$ +以+ C = 0（67 H 0）根的情况与△的关系；

2.一元二次方程根的判别式的性质反用也成立_,即己知空］情况:可以得到一个等響不等式,从血确定系数的

值或取值范围'〜匕切记：不要忽略d 一

＞【课前热身】

1.若关于X的一元二次方程x2-2x+l = 0有实数根，则加的取值范围是（）

A. m＜ 1

B.加＜1且加HO

C. m C1

D. m W1且加HO

2.一元二次方程X2-2X-1 = 0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

3.已知关于兀的一元二次方程x2+4x + m-l = 0 .请你为加选取一个合适的整数，当加= _______________ 时，得