两个可乘矩阵的乘积矩阵的特征值关系的讨论
-矩阵的Kronecker乘积的性质与应用
摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。
那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。
本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker积进行介绍和必要的说明。
之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。
此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。
矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。
本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。
关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product doThis article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 ........................................................................ I Abstract ................................................................... II 第一章 矩阵的Kronecker 积 . (1)矩阵的Kronecker 积的定义 ................................................ 1 矩阵的Kronecker 积的性质 ................................................ 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 .......................................... 6 第三章 矩阵的拉直 (9)矩阵的拉直的定义 ......................................................... 9 矩阵的拉直的性质 ......................................................... 9 第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................... 11 矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................... 13 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 ........................................ 14 参考文献.................................................................... 16 致谢 .. (18)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章 矩阵的Kronecker 积矩阵的Kronecker 积的定义定义设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质： 性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211， 根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， 即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a Cb aC b a C b a C b a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 *， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 *，由*，*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 *， 由*，*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211， 则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f Df D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质 设矩阵m m C A ⨯∈可逆， 且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)， 故111)(---⊗=⊗B A B A .性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质和性质可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A=r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质和可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O O O I P P Q Q O O O I O O O I P P Q O O O I P Q O O O I P B A rss r s r 所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质和性质可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质，性质可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质和性质可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ， 由推论可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章 矩阵的拉直矩阵的拉直的定义定义 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质： 性质 设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵nm CB ⨯∈，k 和l 是常数，则(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA (=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T=[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵pn CX ⨯∈，矩阵qp CB ⨯∈，则→⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.→⊗=X B I Tm )(.3(AX +)→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程：AX+XB=F.第一步：将方程两边拉直，由推论可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ， 根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，， 解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质可以得到：∑=→→=⊗rk T kk F X B A 1)][(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. *设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ， 所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX 引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程两边拉直，由推论可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→00(()()(X X t X B I I A dt t X d T m n 由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= 这就是微分方程的解.例 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社..[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社..[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社..[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社..[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.（重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社..[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社..[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社..[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社..[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社..[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社..[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社..[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社..（重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社..[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社..[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社..[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社..[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社..[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.（重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社..[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社..[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社..[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.（重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社..[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社..[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社..[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社..[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社..[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社..[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社..[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社..致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵特征值是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的特征向量密切相关，给出了矩阵在某些方面的重要信息。
本文将探讨矩阵特征值的一些基本性质，包括其定义、性质、计算方法以及应用等方面。
一、矩阵特征值的定义给定一个$n$阶方阵$A$，如果存在一个常数$\lambda$以及非零向量$x$，使得下式成立：$A x = \lambda x$则称$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，而$x$则是对应的特征向量。
特别地，如果$x$可以选成单位向量，则称之为规范化特征向量。
1. 特征值的数量等于矩阵的阶数，且特征值可以存在重复。
2. 特征值和矩阵的行列式有以下关系：其中$I$是$n$阶单位矩阵。
$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \sum_{i=1}^n \lambda_i$其中$\lambda_i$表示矩阵$A$的第$i$个特征值。
4. 矩阵的特征向量线性无关。
5. 如果矩阵是可对角化的，则其特征向量构成矩阵的一组基。
6. 矩阵的特征值具有可乘性，即：1. 求解特征值的通常方法是通过计算矩阵的特征多项式的根，即通过求解以下方程组：2. 特殊情况下，例如矩阵为三角矩阵或对称矩阵时，特征值可以更加容易地求解。
矩阵特征值是线性代数中一个极其重要的概念，它在众多领域中都有重要的应用，例如：1. 信号处理与图像处理领域中，利用矩阵特征值进行信号与图像的压缩、噪声去除等处理。
2. 机器学习中，利用矩阵特征值进行降维、分类、聚类等操作。
3. 物理学中，矩阵特征值被广泛应用于量子力学、波动问题、振动问题等领域。
4. 工程与应用数学中，矩阵特征值被应用于控制系统分析与设计、特征提取、优化问题等领域。
总之，矩阵特征值在数理学科以及众多应用领域中都具有广泛的应用，其重要性显而易见。
因此，对于矩阵特征值的认识和掌握将对于我们深入理解许多数学和工程问题非常有帮助。
_矩阵的Kronecker乘积的性质与应用
矩阵Kronecker乘积的性质与应用摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。
那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。
本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。
之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。
此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。
矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。
本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。
关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 .................................................................................................................................................. I Abstract ........................................................................................................................................... II 第一章 矩阵的Kronecker 积 (1)1.1 矩阵的Kronecker 积的定义 ........................................................................................... 1 1.2 矩阵的Kronecker 积的性质 ........................................................................................... 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 ...................................................................................... 6 第三章 矩阵的拉直 . (9)3.1矩阵的拉直的定义 ............................................................................................................ 9 3.2矩阵的拉直的性质 ............................................................................................................ 9 第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................................................ 11 4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................................................. 13 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 .......................................................................... 14 参考文献......................................................................................................................................... 16 致谢 (18)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A 1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章 矩阵的Kronecker 积1.1 矩阵的Kronecker 积的定义定义1.1设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例1.1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.1.2 矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质： 性质1.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质1.2.2 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， 即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质1.2.3 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a C b aC b a C b a Cb a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111(1.1)*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 (1.2)*， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 (1.3)*，由(1.2)*，(1.3)*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 (1.4)*， 由(1.1)*，(1.4)*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质1.2.4 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质1.2.5设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211， 则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f D f D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质1.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈可逆， 且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)， 故111)(---⊗=⊗B A B A .性质1.2.7 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质1.2.8 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质1.2.7和性质1.2.5可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理2.2.2 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A =r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质1.2.5和1.2.6可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O OO I P P Q Q O O O I O OO I P P Q O O O I P Q O OO I P B A rssrsr所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理2.2.3 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质1.2.2和性质1.2.5可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论2.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理2.2.5 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质1.2.3，性质1.2.5可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论2.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例2.2 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质1.2.3和性质1.2.5可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理2.2.7 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理2.2.8 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ， 由推论2.2.4可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章 矩阵的拉直3.1矩阵的拉直的定义定义3.1 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.3.2矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质：性质 3.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵n m C B ⨯∈，k 和l 是常数，则)(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质3.2.2 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA )(=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T =[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质 3.2.3设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵p n C X ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则AXB →⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以AXB T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论3.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.XB →⊗=X B I Tm )(.3(AX +XB )→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程： AX+XB=F .第一步：将方程两边拉直，由推论3.2.4可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1) 第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.1)有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例4.1 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ， 根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，， 解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质3.2.3可以得到：∑=→→=⊗rk T kkF X B A1)][(. (4.2)第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.2)有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例4.2 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义3.1可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例4.3 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. (4.3)*设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入(4.3)*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ， 所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.3)引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质1.2.5可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程(4.3)两边拉直，由推论3.2.4可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→0)0()()()(X X t X B I I A dt t X d T m n (4.4)由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= (4.5) 这就是微分方程(4.3)的解.例4.4 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.6)已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由(4.5)式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即(4.6)的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社.2014.1.[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社.2012.5.[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社.2012.10.[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社.2015.3.[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.2005.4（2012.12重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（2014.6重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社.2015.8.[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社.2015.1.[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社.2013.8.[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社.2012.2.[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社.2014.8.[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社.2015.5.[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社.2014.7.[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社.2006.11.（2015.2重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社.2014.10.[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社.2013.4.[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社.2014.8.[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社.2012.10.[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社.2014.9.[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.2012.1（2012.7重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社.2013.7.[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社.2013.8.[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社.2014.5.[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.2013.2（2013.11重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社.2014.1.[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，2014.7.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社.2012.8.[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社.2012.8.[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社.2014.6.[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社.2013.10.[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社.1995.8.[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社.2007.8.[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社.2011.8.致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。
矩阵相乘的特征值分解
矩阵相乘的特征值分解1. 介绍矩阵相乘是线性代数中的重要概念，而特征值分解是矩阵分析中的一种重要方法。
本文将探讨矩阵相乘的特征值分解，包括其定义、性质、计算方法以及在实际应用中的意义。
2. 矩阵相乘的定义矩阵相乘是指将两个矩阵按照一定的规则进行乘法运算得到一个新的矩阵的操作。
设有两个矩阵A和B，A的维度为m×n，B的维度为n×p，那么A与B的乘积C的维度为m×p。
矩阵相乘的定义如下：C(i,j) = Σ(A(i,k) * B(k,j))，其中k的取值范围为1到n。
3. 特征值分解的定义特征值分解是将一个方阵分解为特征值和特征向量的乘积的过程。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，其中λ是A的特征值，x是对应的特征向量，则A可以被特征值和特征向量的乘积表示为：A = PDP^(-1)其中P是由A的特征向量组成的矩阵，D是由A的特征值组成的对角矩阵。
4. 特征值分解的性质特征值分解具有以下性质：•方阵A可逆当且仅当其所有特征值都不为零。
•如果A是实对称矩阵，则其特征值都是实数。
•如果A是正定矩阵，则其特征值都大于零。
•如果A是对称矩阵，则其特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。
5. 特征值分解的计算方法特征值分解的计算方法有多种，常用的方法包括幂法、反幂法和QR方法等。
这些方法利用矩阵的特征值和特征向量的性质，通过迭代计算逼近矩阵的特征值和特征向量。
5.1 幂法幂法是一种迭代计算特征值和特征向量的方法。
其基本思想是通过迭代计算矩阵A的幂次向量序列，然后取序列中的向量的模长逼近最大特征值，并将向量归一化得到对应的特征向量。
5.2 反幂法反幂法是幂法的一种变形，用于计算矩阵A的最小特征值和对应的特征向量。
反幂法的基本思想是通过迭代计算矩阵A的逆的幂次向量序列，然后取序列中的向量的模长逼近最小特征值的倒数，并将向量归一化得到对应的特征向量。
矩阵乘积的特征值与特征向量
矩阵乘积的特征值与特征向量概述矩阵乘积是线性代数中的一个基本概念。
矩阵乘积的本质是将两个矩阵进行运算，得到一个新的矩阵。
在实际应用中，矩阵乘积常用于求解线性方程组、做图像处理和计算机视觉等领域。
特征值和特征向量则是矩阵乘积中的另一个基本概念。
特征值可以描述矩阵在某个轴上的伸缩因子，而特征向量则描述了矩阵在该轴上的变化方向。
本文将着眼于矩阵乘积的特征值与特征向量，介绍它们的计算方法和应用场景。
特征值的定义与计算定义：设A为n阶矩阵，$\\lambda$为一个数，如果存在n维非零向量$\\boldsymbol{x}$使得$A\\boldsymbol{x}=\\lambda\\boldsymbol{x}$，则称$\\lambda$是A 的特征值，$\\boldsymbol{x}$是A的对应于特征值$\\lambda$的特征向量。
计算方法：特征值的计算通常采用特征方程的方式，即通过求解$A\\boldsymbol{x}=\\lambda\\boldsymbol{x}$变形得到$det(A-\\lambda I)=0$的解集，该解集就是矩阵A的所有特征值组成的集合。
其中$det(A-\\lambda I)$是$A-\\lambda I$的行列式，即：$$\\det(A-\\lambda I)=\\begin{vmatrix}a_{11}-\\lambda&a_{12}&\\cdots&a_{1n}\\\\a_{21}&a_{22}-\\lambda&\\cdots&a_{2n}\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\ \a_{n1}&a_{n2}&\\cdots&a_{nn}-\\lambda\\end{vmatrix}$$此时求解方程$\\det(A-\\lambda I)=0$即可得到矩阵A的所有特征值。
矩阵相乘 行列式-概述说明以及解释
矩阵相乘行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述矩阵相乘和行列式是线性代数中非常重要的概念。
矩阵相乘是将两个矩阵按照一定顺序相乘得到一个新的矩阵的运算，而行列式则是一个矩阵的一个标量值，用于判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的性质。
本文将深入探讨矩阵相乘和行列式的定义、性质以及它们之间的关系，旨在帮助读者更深入理解和应用这两个重要的概念。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，我们将介绍矩阵相乘和行列式的基本概念，并阐述本文的目的和意义。
在正文部分，我们将详细讨论矩阵相乘和行列式的原理和计算方法，以及它们之间的关系。
我们将介绍如何进行矩阵相乘运算，以及如何计算一个矩阵的行列式。
我们还将讨论矩阵相乘和行列式在数学和其他领域中的重要性。
最后，在结论部分，我们将总结矩阵相乘和行列式的重要性，并探讨它们在不同应用领域中的作用。
我们还将展望未来，在哪些领域矩阵相乘和行列式可能会有更广泛的应用。
1.3 目的：本文的目的在于探讨矩阵相乘和行列式的概念和性质，通过深入理解这两个数学概念之间的关系，帮助读者更好地理解和运用矩阵运算以及行列式计算。
具体来说，我们的目的包括但不限于以下几点：- 解释矩阵相乘和行列式的定义和计算方法；- 探讨矩阵相乘和行列式在数学和实际应用中的重要性；- 分析矩阵相乘和行列式之间的关系，包括它们的性质和特点；- 提供矩阵相乘和行列式在实际问题中的具体应用案例；- 展望未来矩阵相乘和行列式研究的发展方向和可能应用领域。
通过本文的阐述，读者将能够更深入地理解矩阵相乘和行列式的概念和重要性，以及它们在数学理论和实际应用中的价值和意义，从而为进一步学习和研究提供基础和启发。
2.正文2.1 矩阵相乘矩阵相乘是线性代数中非常重要的运算之一。
在进行矩阵相乘时，我们需要满足两个矩阵的维度匹配规则，即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
如果我们有一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B相乘，那么它们的乘积将会是一个m×p的矩阵。
矩阵的基本运算与特征值特征向量
矩阵的基本运算与特征值特征向量矩阵是现代线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
本文将介绍矩阵的基本运算，包括加法、乘法和转置，并详细解释特征值与特征向量的概念及其在矩阵分析中的应用。
一、矩阵的基本运算矩阵加法是指将两个矩阵的相应元素进行相加，得到一个新的矩阵。
例如，对于两个m行n列的矩阵A和B，它们的和记作C=A+B，其中C的第i行第j列元素等于A的第i行第j列元素与B的第i行第j列元素之和。
矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作C=AB，其中C 的第i行第j列元素等于A的第i行元素与B的第j列元素依次相乘再求和。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
例如，对于一个m行n列的矩阵A，它的转置记作AT，其中AT的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素。
二、特征值与特征向量在矩阵分析中，特征值与特征向量是矩阵的重要性质，能够揭示矩阵的结构和性质。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是A的一个特征值，x就是对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的求解过程可以通过方程(A-kI)x=0来实现，其中I为单位矩阵。
通过求解这个齐次线性方程组，可以得到特征值k以及对应的特征向量x。
特征值和特征向量在矩阵的应用中有着广泛的应用，例如在图像处理、信号处理和机器学习等领域中，它们被用于降维、数据压缩、特征提取等任务上。
三、矩阵的应用举例1. 线性变换矩阵可以用于描述线性变换，例如平移、旋转和缩放等操作。
通过将变换矩阵作用于向量，可以实现对向量的变换。
2. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，它存在一个逆矩阵A-1，满足A-1A=AA-1=I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵的求解可以通过行列式和伴随矩阵的方法来实现。
3. 特征值分解对于一个对称矩阵A，可以进行特征值分解，即将A表示为特征值和特征向量的形式，A=PΛP-1，其中P为特征向量的矩阵，Λ为特征值的对角矩阵。
矩阵相乘 特征值
矩阵相乘特征值矩阵相乘和特征值是线性代数中重要的概念，其理解和掌握对研究线性代数、应用数学和微分方程等课程都至关重要。
矩阵相乘是在多维空间中，对两个矩阵进行相应元素相乘，再按照相加法求和的一种运算方式，而特征值是矩阵的一个重要参数，代表着矩阵的特性及其作用。
首先，我们来了解矩阵相乘的概念。
矩阵相乘是将两个矩阵（通常称为矩阵A和矩阵B）作相应元素之间的乘积运算，并将所有元素之和相加，从而得出一个新矩阵（称为矩阵C）。
其运算原理可以表示为：A*B=C=(a11*b11+a21*b12+a31*b13+…+an1*bn2+…+anm*bmn) 从上述公式可以看出，矩阵A的第一行元素乘以矩阵B的第一列元素，然后将所有元素之积相加，得到矩阵C的第一个元素，依次类推，就可以得到新矩阵C的所有元素。
在实际的应用中，我们可以利用矩阵相乘求解一些复杂的数学问题，例如解决二元一次方程，例如：2x+5y=73x+2y=8可以将上述两个方程分别表示为：A=[2, 5], B=[7]，A=[3, 2], B=[8]，可以通过矩阵相乘得到AB=[10, -3]。
因此可以得到x=2, y=-1的解。
接下来，我们来了解一下特征值的含义。
特征值是矩阵的一个重要参数，表征矩阵的特征及其作用。
通常，特征值被定义为矩阵本身（称为特征矩阵）乘以某个复数（称为特征根）时，可以得到矩阵的元素，称为特征值。
如果特征根是实数，则称为实特征值；如果特征根是复数，则称为复特征值。
例如，对于矩阵A=[2, 3; 4, 5]，其特征矩阵为λI=[λ, 0; 0,]，特征根为λ。
此时，当λI=A时，λ的值即为特征值。
同样的道理，可以求解任意一个m*n的矩阵的特征值。
最后，让我们来看一下矩阵相乘和特征值有什么应用。
矩阵相乘是在线性代数中一种常用的技术，可以用来解决多元一次方程组、求解矩阵的逆以及计算行列式等问题。
特征值则可以用来分析矩阵的性质，例如使用特征值判断矩阵是否可逆，根据特征值的正负性，可以判断矩阵内部数据的变化情况，进而可以预测数据的未来变化，为决策者提供优化决策依据。
关于矩阵乘积的探究1
关于矩阵乘积的探究摘要: 本文给出了一般矩阵乘积、Hadamard 乘积及Kronecker 乘积的定义，证明了它们的一些运算性质，并介绍了它们的各方面应用等。
对矩阵乘积的定义及各方面有了更深的理解。
关键词:一般矩阵乘积 Hadamard 乘积 Kronecker 乘积 运算性质 应用 正文:引言初学矩阵，总会对它的乘法定义感到奇怪，它其中不仅包含了乘法，更有加法的运算。
这样定义到底是为了什么？又有什么价值？有其他不同定义的乘法吗？而下文便介绍了解一些关于矩阵乘法的一些性质应用，以及其他乘法的优劣。
一、一般矩阵乘积1.定义：设 nmkj sn ik b B a A )(,)(==那么矩阵smij c C )(=。
其中，∑==+⋯++=nk kjik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 称为A 和B 的乘积，记为C=AB2. 运算性质： 1）结合律矩阵的乘法适合结合律，设mrkl nm jk sn ij c C b B a A )(,)(,)(=== ，我们证明)()(BC A C AB = 令nrjl sm ik w BC W v AB V )(,)(====，其中).,...,2,1(1m i b a v nj jk ij ik ==∑=).,...,2,1(1m j c b w mk kl jk jl ==∑=因为 VC C AB =)( 中VC 的第i 行第l 列元素为klm k nj jk ij kl m k n j jk ij klmk ik c b a c b a c v∑∑∑∑∑=======11111)(而A （BC ）=AW 中AW 的第i 行第l 列元素为kln j mk jk ij kl n j m k jk ij jlnj ij c b a c b a wa ∑∑∑∑∑=======11111)(由于双重连加号可以交换次序，所以两式的结果是一样的，这就证明了结合律。
矩阵运算与特征值问题解答
矩阵运算与特征值问题解答矩阵运算与特征值是线性代数中的重要概念，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本运算法则，并详细解答特征值问题。
1. 矩阵的基本运算法则矩阵是由元素按照行和列排列而成的矩形阵列。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法、数乘和矩阵乘法。
1.1 矩阵的加法和减法设有两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A + B，差记作A - B。
矩阵的加法和减法满足以下运算法则：•加法法则：若A、B、C是同阶矩阵，则(A + B) + C = A + (B + C)。
•减法法则：若A、B、C是同阶矩阵，则(A - B) - C = A - (B + C)。
•交换律：若A和B是同阶矩阵，则A + B = B + A，A - B ≠ B - A。
1.2 矩阵的数乘设有一个矩阵A，它的数乘记作kA，其中k是一个实数或复数。
矩阵的数乘满足以下运算法则：•结合律：若k和l是任意实数或复数，A是任意矩阵，则(kl)A = k(lA)。
•分配律：若k和l是任意实数或复数，A和B是任意矩阵，则(k + l)A = kA + lA。
•分配律：若k是任意实数或复数，A和B是任意矩阵，则k(A + B) = kA + kB。
1.3 矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。
两个矩阵的乘法满足以下运算法则：•结合律：若A、B、C是满足乘法要求的矩阵，则(AB)C = A(BC)。
•乘法分配律：若A、B和C是满足乘法要求的矩阵，则A(B + C) = AB + AC。
•乘法分配律：若A、B和C是满足乘法要求的矩阵，则(A + B)C = AC + BC。
•乘法不满足交换律：通常情况下，AB ≠ BA。
2. 特征值与特征向量对于一个n x n的矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得满足以下关系式：Ax = λx其中，λ是一个常数，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量对于矩阵的性质分析和计算具有重要意义。
矩阵相乘 特征值
矩阵相乘特征值矩阵乘法是数学中重要的基本运算，是一种常见的线性代数方法。
在数学中，矩阵乘法用于描述两个矩阵的乘积。
它的定义指的是在线性代数中，两个矩阵的乘积，就是第一个矩阵的行乘以第二个矩阵的列，最终得到的新的矩阵是其乘积。
矩阵乘法的一个重要的概念是特征值，也称为特征根、特征数或特征值。
特征值可以用来确定矩阵的特性。
概括地说，矩阵特征值是矩阵相乘所产生的特性值。
在数学中，特征值可以用一般化的矩阵方法来表示，即X=A*X，其中A是一个n*n的矩阵，X是一个n*1的矩阵。
特征值可以被看作是某种形式的数据结构，它可以用来描述矩阵的性质，表示矩阵的一些重要特性，这些特性可以通过特征值的值大小来表示。
比如，可以使用特征值来衡量一个矩阵的非对称程度，或者使用特征值来分析某一种特定的矩阵变换，比如对角变换之类的变换。
矩阵相乘与特征值在多种应用中都有重要作用。
比如，在信号处理中，可以使用矩阵乘法来实现低频滤波、滤波器设计等功能，这些功能都可以用特征值来衡量；在机器学习中，特征值可以用来衡量给定数据集的泛化能力，从而帮助机器学习进行性能分析及预测；在统计学中，特征值可以用来衡量数据集中某项变量的重要性，从而帮助统计学家筛选有价值的数据变量，并进行正确的统计推断。
矩阵相乘与特征值一般是相互独立的，因此，在求特征值的时候，我们一般不会进行矩阵相乘。
但在求解特征值的矩阵表示形式时，可以使用到矩阵乘法。
一般来说，若要求矩阵的特征值，首先要确定矩阵A的特征方程是AX=Xλ，其中A是一个n*n的矩阵，X是一个n*1的矩阵，λ是一个特征值。
因此，矩阵乘法与特征值是相关联的，可以使用矩阵乘法来求特征值，从而确定矩阵的特性。
由于矩阵乘法与特征值是相关联的，因此求解特征值也可以利用矩阵乘法。
具体来说，要求矩阵A的特征值，首先要求矩阵A的特征向量，即使用矩阵乘法将矩阵A乘以特征向量X，得到的AX与X的模的大小相等，这时，矩阵A的特征值就是X的特征值。
矩阵特征值分解及其在几何中的应用
矩阵特征值分解及其在几何中的应用矩阵是数学中的一个重要概念，它可以用于描述矢量空间中的线性变换。
而在矩阵的运算中，特征值分解是一种常见的方法，它可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的形式，这种分解不仅在数学上有重要的应用，而且在几何学、物理学等领域也有广泛的应用。
矩阵特征值分解的定义矩阵特征值分解是指将一个 n×n 的矩阵 A 分解为以下两个部分的乘积形式：A = PΛP^-1其中，Λ 是一个 n×n 的对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵 A 的特征值；P 是一个 n×n 的可逆矩阵，每一列都是矩阵 A 的一个特征向量；P^-1 表示 P 的逆矩阵。
矩阵特征值分解的意义矩阵特征值分解的意义在于，通过分解可以将矩阵 A 看作是由特征向量和特征值构成的线性组合。
这种分解可以提供关于矩阵结构的重要信息，例如矩阵的对称性、矩阵的奇异性等，从而帮助我们更好地理解矩阵在各种领域中的应用。
矩阵特征值分解在几何中的应用矩阵特征值分解在几何学中有广泛的应用。
在三维空间中，我们可以通过特征值分解来研究椭球体的形状。
具体来说，当我们将椭球体表示为 x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 的形式时，椭球体的形状可以由椭球体的主轴长度和方向所对应的特征值和特征向量求得。
这种方法不仅在计算机图形学中有广泛的应用，而且在天文学、地质学等领域中也有着重要的应用。
另外，特征值分解还可以用于计算矩阵的奇异值分解，这是一种广泛应用于图像处理和模式识别的技术。
例如，在图像压缩中，我们可以使用奇异值分解来减少图像中的数据量，以满足存储空间的限制。
同样的，这种方法在语音识别、数据挖掘等领域中也有广泛的应用。
总结矩阵特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的形式。
这种分解不仅在数学上有着重要的应用，而且在几何学、物理学等领域中也有广泛的应用。
通过特征值分解，我们可以研究各种领域中的诸多问题，例如椭球体的形状、图像压缩、语音识别等。
矩阵分解与特征值分解
矩阵分解与特征值分解矩阵分解和特征值分解是线性代数中重要的概念和技术，在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵分解和特征值分解的概念，讨论它们的性质和应用，并探讨它们之间的联系。
一、矩阵分解矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示为多个简单矩阵的乘积形式的过程。
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、Cholesky分解等。
这些分解方法可以大大简化矩阵运算的复杂性，提高算法的效率。
1. LU分解LU分解是将一个矩阵表示为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积形式。
通过LU分解，可以将线性方程组的求解问题转化为两个简单的方程组的求解问题，从而简化计算过程。
2. QR分解QR分解是将一个矩阵表示为正交矩阵和上三角矩阵的乘积形式。
QR分解广泛应用于最小二乘问题和特征值计算中，有助于提高计算的稳定性和精度。
3. Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵表示为一个下三角矩阵和其转置矩阵的乘积形式。
Cholesky分解常用于解决线性方程组的求解问题，具有较高的计算效率和稳定性。
二、特征值分解特征值分解是将一个矩阵表示为可逆矩阵和对角矩阵的乘积形式。
特征值分解在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
特征值分解可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。
对于一个n阶方阵A，特征值分解可以表示为A = PDP^-1，其中P是由A的特征向量组成的矩阵，D是由A的特征值组成的对角矩阵。
特征值表示了矩阵变换中的比例关系，特征向量表示了矩阵中不变方向。
通过特征值分解，我们可以了解矩阵的稳定性、收敛性以及系统的振动模式等信息。
三、矩阵分解与特征值分解的联系矩阵分解和特征值分解在一定程度上是相互关联的。
特征值分解可以被看作是一种矩阵分解的特殊形式，即将一个矩阵分解为其特征向量矩阵和对角矩阵的乘积。
一些矩阵分解方法可以被用于求解特征值和特征向量，例如QR分解和带平移的QR分解可以用于计算特征值和特征向量。
而特征值分解对于一些方阵具有特殊的性质，可以为矩阵分解提供一种基础和方法。
矩阵与矩阵的运算
矩阵与矩阵的运算矩阵是现代数学中的一个重要概念，也是线性代数的基础内容之一。
矩阵与矩阵的运算是研究线性代数中的一个重要分支。
本文将介绍矩阵与矩阵的加法、减法、数乘、乘法等运算，并探讨其基本性质。
一、矩阵加法矩阵加法是指两个矩阵对应元素相加的运算。
设有两个m×n矩阵A=(aij)和B=(bij)，它们的和A+B定义为C=(cij)，其中cij=aij+bij。
即C的第i行第j列的元素等于矩阵A和B对应位置的元素相加。
矩阵加法具有如下性质：1. 加法满足交换律，即A+B=B+A。
2. 加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。
3. 存在零矩阵0n×m，对任意矩阵A，有A+0n×m=0n×m+A=A，其中0n×m为全0矩阵。
二、矩阵减法矩阵减法是指两个矩阵对应元素相减的运算。
设有两个m×n矩阵A=(aij)和B=(bij)，它们的差A-B定义为D=(dij)，其中dij=aij-bij。
即D 的第i行第j列的元素等于矩阵A和B对应位置的元素相减。
矩阵减法与加法类似，满足交换律和结合律。
与矩阵加法不同的是，减法没有类似于零矩阵的元素。
三、数乘数乘是指实数与矩阵的相乘运算。
设有实数k和一个m×n矩阵A=(aij)，则k与A的乘积记为kA=(kaij)，即将A的每个元素乘以k。
数乘具有如下性质：1. 结合律，即(kl)A=k(lA)。
2. 数乘满足分配律，即(k+l)A=kA+lA。
3. 数乘满足分配律，即k(A+B)=kA+kB。
4. 数乘满足单位元律，即1A=A。
其中1为实数1。
四、矩阵乘法矩阵乘法是指两个矩阵之间的乘积运算。
设有一个m×n矩阵A=(aij)和一个n×p矩阵B=(bij)，则矩阵A和B的乘积定义为C=(cij)，其中cij=∑(aij×bij)，即C的第i行第j列的元素为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
正定矩阵与正定矩阵的乘积的特征值
正定矩阵与正定矩阵的乘积的特征值
正定矩阵与正定矩阵的乘积的特征值是一个数学问题，它与矩阵论和
线性代数息息相关。
在此，我将介绍正定矩阵和正定矩阵的乘积及其
特征值。
首先，我们来定义正定矩阵。
正定矩阵是指所有特征值都大于零的矩阵。
特征值是矩阵线性变换后的特殊数字，它描述了线性变换的特性
和性质。
正定矩阵在工程、科学和数学中有着广泛的应用，尤其在优
化问题和控制理论中经常被用到。
接下来，让我们来介绍正定矩阵的乘积。
两个正定矩阵的乘积也是一
个正定矩阵。
这个结论可以通过证明乘积矩阵的特征值大于零得出。
具体证明可以参考线性代数相关的教材或者学术论文。
最后，让我们来讨论正定矩阵与正定矩阵的乘积的特征值。
根据矩阵
特征值的性质，我们知道一个矩阵与它的伴随矩阵的特征值是相等的。
因此，正定矩阵的伴随矩阵依然是一个正定矩阵，它的特征值也是大
于零的。
正定矩阵的乘积矩阵的伴随矩阵等于它的因式矩阵的伴随矩
阵的乘积，因此，它的特征值也是大于零的。
综上所述，正定矩阵与正定矩阵的乘积的特征值是大于零的，这个结
论可以通过证明乘积矩阵的伴随矩阵的特征值大于零得出。
正定矩阵与正定矩阵的乘积在优化问题和控制理论中有着广泛的应用。
深入理解正定矩阵和正定矩阵的乘积的特征值，可以帮助我们更好地应用和理解它们在实际问题中的作用和优势。
矩阵相乘的特征值分解
矩阵相乘的特征值分解
摘要：
1.矩阵相乘的特征值分解的背景和基本概念
2.矩阵相乘的特征值分解的过程和步骤
3.矩阵相乘的特征值分解在实际应用中的优势和局限
4.结论和展望
正文：
矩阵相乘的特征值分解是一种在矩阵运算中广泛应用的方法，它能够将矩阵分解为特征值和特征向量的乘积，从而简化复杂的矩阵运算。
矩阵相乘的特征值分解的过程主要分为以下几个步骤：
首先，我们需要选取一个合适的矩阵，并计算其特征值和特征向量。
这一步通常需要利用线性代数中的相关知识，通过求解特征方程来得到特征值和特征向量。
其次，我们需要将矩阵分解为特征值和特征向量的乘积。
这一步通常需要利用矩阵的乘法性质，将矩阵的每一行或每一列分解为一个特征向量和一个特征值的乘积。
最后，我们可以利用矩阵相乘的特征值分解的结果，对矩阵进行相关的操作，如计算矩阵的行列式、迹、秩等。
矩阵相乘的特征值分解在实际应用中具有很多优势，例如可以简化矩阵运算、提高计算效率等。
然而，它也存在一些局限，例如对于非方阵或奇异矩阵，矩阵相乘的特征值分解可能无法进行或结果不唯一。
矩阵相乘的特征值分解
矩阵相乘的特征值分解一、矩阵特征值与特征向量的概念介绍在矩阵论中，特征值和特征向量是密切相关的概念。
给定一个n阶矩阵A，如果存在非零向量x和标量λ，使得Ax = λx，那么λ就称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中具有重要作用，它们可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
二、矩阵相乘的特征值分解原理矩阵相乘的特征值分解是指将一个矩阵分解为若干个特征值和对应的特征向量的乘积。
设A为一个n阶矩阵，λ为A的一个特征值，那么存在一个非零向量x，使得Ax = λx。
我们可以将这个等式扩展为：A(I - λE) = 0，其中I为n阶单位矩阵，E为n阶单位列向量。
通过求解这个方程，我们可以得到矩阵A的特征值和特征向量。
三、特征值分解在实际应用中的案例分享特征值分解在许多实际应用中具有重要作用，例如信号处理、图像处理和机器学习等领域。
以信号处理为例，假设我们有一个n个观测值的信号数据矩阵X，我们希望将矩阵X分解为若干个特征值和对应的特征向量的乘积，这样就可以将原始信号分解为若干个不同频率的正交成分。
这种方法在信号处理中被称为信号分解或thon分解。
四、矩阵特征值分解的算法与计算方法常用的矩阵特征值分解算法有幂法、QR分解法和雅可比迭代法等。
这些算法的基本思想都是通过迭代求解矩阵A与它的特征向量的乘积，直到收敛为止。
在实际计算中，我们通常采用数值方法，如Arnoldi 迭代、Lanczos 算法等，以获得矩阵A的近似特征值和特征向量。
五、矩阵相乘特征值分解的优缺点分析矩阵相乘特征值分解的优点在于它可以将一个复杂的矩阵表示为若干个简单矩阵的乘积，从而降低问题的复杂度。
同时，矩阵相乘特征值分解在许多实际应用中具有较好的数值稳定性。
然而，它的缺点在于计算过程中可能存在矩阵不满秩的情况，导致计算结果不准确。
六、矩阵相乘特征值分解在机器学习中的应用在机器学习中，矩阵特征值分解被广泛应用于降维、矩阵分解和信号处理等领域。
矩阵分析与特征值问题
矩阵分析与特征值问题矩阵是线性代数中的重要概念之一，研究矩阵的性质和特征对于解决实际问题以及在科学研究中具有重要意义。
本文将围绕矩阵分析与特征值问题展开讨论。
一、矩阵的定义与基本运算矩阵是一个由m行和n列元素排列所构成的矩形数表，常用大写字母表示。
矩阵的元素可以是实数、复数或者其他数域中的元素。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]在矩阵中，元素按照行和列的顺序进行编号，a_ij表示位于第i行第j列的元素。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法和数乘。
矩阵的加法和减法遵循相同的规则，即对应位置的元素相加或相减。
数乘则是将矩阵的每个元素乘以一个常数。
二、矩阵的转置与共轭矩阵的转置是将矩阵的行变为列，列变为行。
例如，对于矩阵A，其转置记为A^T，即矩阵A的第i行第j列的元素转置后变为第j行第i列的元素。
矩阵的共轭是指将矩阵中每个元素取其共轭复数。
对于实数矩阵而言，其共轭等于自身。
例如，对于复数矩阵A，其共轭记为A^*，即矩阵A的第i行第j列的元素共轭为第j行第i列的元素的共轭。
三、矩阵乘法与特征值问题矩阵乘法是矩阵运算中的重要操作之一。
两个矩阵的乘积是将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列进行内积运算得到的。
例如，对于矩阵A和矩阵B的乘积C，其计算公式为：C = AB = [c11, c12, ..., c1n;c21, c22, ..., c2n;...cm1, cm2, ..., cmn]其中，c_ij表示矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积。
特征值问题是矩阵分析中的一个重要问题，它涉及到矩阵的特征值和特征向量。
对于矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ为实数，则称λ为A的一个特征值，x为对应的特征向量。
特征值问题的求解可以通过矩阵的特征多项式来实现。
首先，根据矩阵A的特征多项式P(λ) = |A - λI|，其中I为单位矩阵，求解方程P(λ) = 0，得到矩阵A的特征值。
克罗内克积的特征值
克罗内克积的特征值克罗内克积是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和图论中都有广泛的应用。
特征值是在矩阵运算中常常出现的一个概念，通过克罗内克积，我们可以方便地计算出合并后矩阵的特征值。
克罗内克积（Kronecker Product）克罗内克积是两个矩阵相乘的一种方式，也被称为张量积或叉积。
给定两个矩阵A和B，它们的克罗内克积记作A ⊗ B，它的结果是一个新的矩阵C。
C的维度等于A和B的维度的乘积，即C的行数等于A的行数乘以B的行数，列数等于A的列数乘以B的列数。
C中的每个元素是A和B对应位置元素的乘积。
例如，如果A是一个2x2的矩阵，B是一个3x3的矩阵，它们的克罗内克积C 就是一个6x6的矩阵。
数学表示A ⊗B = a11 * B, a12 * B, …, a1n * B a21 * B, a22 * B, …, a2n * B … am1 * B, am2 * B, …, amn * B其中，aij是A的元素，B是一个矩阵。
特征值（Eigenvalues）在线性代数中，特征值是对于一个n×n的矩阵A而言的标量λ，满足以下方程：A * v = λ * v其中v是一个非零向量。
换句话说，矩阵A作用于向量v上，得到的结果是v的一个数量级上的伸缩变换。
这个伸缩的倍数就是特征值。
特征值和特征向量的概念可以帮助我们理解线性变换对向量空间的影响。
它们在许多数学和实际问题中都有广泛的应用，例如图论、物理学、工程等领域。
计算特征值计算矩阵的特征值可以通过解特征值方程来实现。
给定一个矩阵A，我们需要找到满足以下条件的特征值λ和特征向量v：A * v = λ * v解这个方程可以得到特征值。
我们通常使用特征方程的形式来进行计算：det(A - λ * I) = 0其中，det表示行列式，A是一个n×n的矩阵，I是单位矩阵。
克罗内克积的特征值当我们对两个矩阵进行克罗内克积时，合并后的矩阵的特征值可以通过原始矩阵的特征值来计算。
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两个可乘矩阵的乘积矩阵的特征值关系的讨论
作者：郑昌红
来源：《科教导刊》2010年第27期
摘要本文主要证明了两个可乘矩阵Am€譶与Bn€譵的乘积矩阵AB与BA的特征值的关系,先从A与B均为n阶方阵,且至少有一个矩阵可逆时的特殊情况出发,然后推广到一般的阶方阵,可以得到A与B均为n阶方阵时,AB与BA有相同的特征值;最后根据前面讨论的结论,得出更一般地情况,得到m阶方阵AB与n阶方阵BA的非零特征值全部相同,而零特征值的重数相差|n-m|。
中图分类号:O17文献标识码:A
由方阵乘积的行列式,我们知道,当A与B均为n阶方阵时,有|AB| = |BA| = |A|·|B|,若A与B 为n阶对称矩阵,则|AB - E| = |(AB-E)T| = |BTAT - E| = |BA - E|,所以AB与BA有相同的特征值;A若B与均为n阶方阵,且至少有一个矩阵可逆,不妨设矩阵A可逆,则|AB - E| = |A-1| |AB - E| |A| = |A-1(AB - E)A| = |BA-E|。
这时我们可以看到,AB与BA有相同的特征值;那么一般地,A与B均为n阶方阵时,|AB - E|与|BA - E|是否相等呢?若相等,则AB与BA有相同特征值;更一般地,若A与B不是方阵,设A为m€譶矩阵,B为n€譵矩阵,则A与B可乘。
那么m阶方阵AB与n
阶方阵BA的特征值有什么关系呢?
首先我们讨论A与B均为n阶方阵时的情况。
A与B至少有一个矩阵可逆时,显然AB与BA有相同的特征值;
若A与B均不可逆,设是AB的一个特征值,下面我们可以证明也是BA的特征值。
分两种情况讨论:
(1) 当≠0时:因为是AB的特征值,所以存在非零向量x使得AB·x = x,这里Bx≠0,否则x = A·Bx = 0(x≠0)= 0,这与≠0矛盾。
两边同时左乘矩阵B,有B·AB·x = B·x (BA)·Bx =Bx ,而Bx≠0是非零向量,这说明Bx是矩阵BA的对应于特征值的特征向量,即也是BA的特征值。
(2)因为A与B均不可逆,所以AB与BA均不可逆,则 = 0即是AB的特征值,也是BA的特征值。
所以是AB的一个特征值,也是BA的特征值。
现在的问题是这两个矩阵的特征值的重数是否相等?即|E - AB| = |E - BA|是否成立呢?
设R(A) = r
所以:|E - AB| = |E - BA|,即A与B均为n阶方阵时,AB与BA有相同的特征值。
更一般地,当A与B都不是方阵时,设A为m€譶矩阵,B为n€譵矩阵,则阶方阵AB与阶方阵BA的特征值有什么关系呢?
不妨设n>m,令,
则
则|Bn€譵·Am€譶 - En| =
= |B1A1 - Em| |-En-m| = (-)n-m|B1A1 - Em|
由于A1和B1均为m阶方阵,所以由上述方阵的结论可以得到:|Bn€譵·Am€譶 - En| = (-)n-m|B1A1 - Em| = (-)n-m|A1B1 - Em|,又因为Bn€譵·Am€譶 = A1B1,所以,|BA - En| =(-)n-m|AB - Em|所以m阶方阵AB与n阶方阵BA的非零特征值全部相同,而零特征值的重数相差|n-m|。
例已知ai = 0,求实对称矩阵
的n个特征值。
(下转第71页)(上接第60页)
解:令,则C = AB,且
由上面的结论可知:|E - AB| = n-2|E - BA|,所以的特征值为:1 = … = n-2 = 0, n-1 = ai2, n = n
参考文献
[1]吴传生,王卫华.经济数学-线性代数.高等教育出版社,2004.
[2]王莲花.矩阵AB与BA的特征值问题及其应用[J].大学数学,2007(3).。