两个可乘矩阵的乘积矩阵的特征值关系的讨论

两个可乘矩阵的乘积矩阵的特征值关系的讨论

作者：郑昌红

来源：《科教导刊》2010年第27期

摘要本文主要证明了两个可乘矩阵Am€譶与Bn€譵的乘积矩阵AB与BA的特征值的关系,先从A与B均为n阶方阵,且至少有一个矩阵可逆时的特殊情况出发,然后推广到一般的阶方阵,可以得到A与B均为n阶方阵时,AB与BA有相同的特征值;最后根据前面讨论的结论,得出更一般地情况,得到m阶方阵AB与n阶方阵BA的非零特征值全部相同,而零特征值的重数相差|n-m|。

中图分类号:O17文献标识码:A

由方阵乘积的行列式,我们知道,当A与B均为n阶方阵时,有|AB| = |BA| = |A|·|B|,若A与B 为n阶对称矩阵,则|AB - E| = |(AB-E)T| = |BTAT - E| = |BA - E|,所以AB与BA有相同的特征值;A若B与均为n阶方阵,且至少有一个矩阵可逆,不妨设矩阵A可逆,则|AB - E| = |A-1| |AB - E| |A| = |A-1(AB - E)A| = |BA-E|。这时我们可以看到,AB与BA有相同的特征值;那么一般地,A与B均为n阶方阵时,|AB - E|与|BA - E|是否相等呢?若相等,则AB与BA有相同特征值;更一般地,若A与B不是方阵,设A为m€譶矩阵,B为n€譵矩阵,则A与B可乘。那么m阶方阵AB与n

阶方阵BA的特征值有什么关系呢?

首先我们讨论A与B均为n阶方阵时的情况。

A与B至少有一个矩阵可逆时,显然AB与BA有相同的特征值;

若A与B均不可逆,设是AB的一个特征值,下面我们可以证明也是BA的特征值。分两种情况讨论:

(1) 当≠0时:因为是AB的特征值,所以存在非零向量x使得AB·x = x,这里Bx≠0,否则x = A·Bx = 0(x≠0)= 0,这与≠0矛盾。两边同时左乘矩阵B,有B·AB·x = B·x (BA)·Bx =Bx ,而Bx≠0是非零向量,这说明Bx是矩阵BA的对应于特征值的特征向量,即也是BA的特征值。

(2)因为A与B均不可逆,所以AB与BA均不可逆,则 = 0即是AB的特征值,也是BA的特征值。所以是AB的一个特征值,也是BA的特征值。

现在的问题是这两个矩阵的特征值的重数是否相等?即|E - AB| = |E - BA|是否成立呢?

设R(A) = r

所以:|E - AB| = |E - BA|,即A与B均为n阶方阵时,AB与BA有相同的特征值。更一般地,当A与B都不是方阵时,设A为m€譶矩阵,B为n€譵矩阵,则阶方阵AB与阶方阵BA的特征值有什么关系呢?

不妨设n>m,令,

则

则|Bn€譵·Am€譶 - En| =

= |B1A1 - Em| |-En-m| = (-)n-m|B1A1 - Em|

由于A1和B1均为m阶方阵,所以由上述方阵的结论可以得到:|Bn€譵·Am€譶 - En| = (-)n-m|B1A1 - Em| = (-)n-m|A1B1 - Em|,又因为Bn€譵·Am€譶 = A1B1,所以,|BA - En| =(-)n-m|AB - Em|所以m阶方阵AB与n阶方阵BA的非零特征值全部相同,而零特征值的重数相差|n-m|。

例已知ai = 0,求实对称矩阵

的n个特征值。

(下转第71页)(上接第60页)

解:令,则C = AB,且

由上面的结论可知:|E - AB| = n-2|E - BA|,所以的特征值为:1 = … = n-2 = 0, n-1 = ai2, n = n

参考文献

[1]吴传生,王卫华.经济数学-线性代数.高等教育出版社,2004.

[2]王莲花.矩阵AB与BA的特征值问题及其应用[J].大学数学,2007(3).