常微分方程复习习题集

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常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。

2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。

4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。

二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。

3、求方程的隐式解。

4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

王高雄版《常微分方程》习题解答2.3

习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1. 0)2()(2=-++dy y x dx y x 解： 1=∂∂yM，x N ∂∂=1 . 则xNy M ∂∂=∂∂ 所以此方程是恰当方程。

凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x 得：C y xy x =-+23312． 0)4()3(2=---dy x y dx x y解： 1=∂∂yM，1=∂∂x N . 则xNy M ∂∂=∂∂ . 所以此方程为恰当方程。

凑微分，0432=--+ydy dx x xdy ydx 得 C y xy x =+-2323． 0])(1[]1)([2222=--+--dy y x x y dx xy x y解： 3422)(2)()1)((2)(2y x xyy x y x y y x y y M -=-----=∂∂ 3422)(2)()(2)(2y x xyy x y x x y x x x N -=-----=∂∂ 则yNx M ∂∂=∂∂ .因此此方程是恰当方程。

x y x y x u 1)(22--=∂∂ （1） 22)(1y x x y y u --=∂∂ （2）对（1）做x 的积分，则)(1)(22y dx x dx y x y u ϕ+--=⎰⎰ =---yx y 2)(ln y x ϕ+ （3）对（3）做y 的积分，则dy y d y x y y x y y u )()(2)()1(22ϕ+--+---=∂∂ =dy y d y x y xy )()(222ϕ+-+- =22)(1y x x y -- 则11)(21)(2)(1)(2222222-=-+--=-----=y y x y xy x y y x xy y y x x y dy y d ϕ y y dy yy -=-=⎰ln )11()(ϕyx xyx y y x y xy y x y y y x y x y u --=--+-=-+---=ln ln ln ln 222 故此方程的通解为C yx xyx y =-+ln 4、 0)2(3)23(22232=+++dy y y x dx x xy解：xy yM12=∂∂，xy x N 12=∂∂ . xNy M ∂∂=∂∂ . 则此方程为恰当方程。

常微分方程计算题及答案

计算题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

高等数学题库常微分方程

高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。

2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。

3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。

4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。

5、 y y x 4='得通解为__________。

6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。

7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。

8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。

二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。

常微分方程张伟年习题答案

常微分方程张伟年习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中各种变化规律的方程。

张伟年是常微分方程领域的知名学者，他的习题集被广泛应用于数学教育中。

本文将针对张伟年常微分方程习题集中的一些题目进行解答，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。

首先，我们来看一个典型的常微分方程习题：求解方程 dy/dx = x^2 - 1。

为了求解这个方程，我们可以使用分离变量的方法。

将方程重写为 dy = (x^2 - 1)dx，然后对两边同时积分，得到∫dy = ∫(x^2 - 1)dx。

对右侧积分得到∫(x^2 - 1)dx = (1/3)x^3 - x + C，其中C为积分常数。

对左侧积分得到∫dy = y + C'，其中C'为另一个积分常数。

将上述结果代入原方程，得到 y + C' = (1/3)x^3 - x + C。

整理后可得 y =(1/3)x^3 - x + (C - C')。

这样，我们就求解出了原方程的通解。

需要注意的是，由于常微分方程的解不唯一，所以我们得到的是一个通解，其中包含了无穷多个特解。

接下来，我们来看一个稍微复杂一些的习题：求解方程 d^2y/dx^2 + 2dy/dx +y = sin(x)。

这是一个二阶常微分方程，我们可以使用特征根法来求解。

首先，我们设 y =e^mx，代入原方程得到 m^2e^mx + 2me^mx + e^mx = sin(x)。

化简后得到 (m^2 + 2m + 1)e^mx = sin(x)。

由于 e^mx 不为零，所以我们可以将方程改写为 m^2 + 2m + 1 = sin(x)/e^mx。

观察到方程左侧是一个完全平方，我们可以将其写成(m + 1)^2 = sin(x)/e^mx。

接下来，我们需要解这个二次方程。

将右侧的 sin(x)/e^mx 写成复数形式，得到sin(x)/e^mx = (1/2i)(e^ix - e^-ix)。

高等数学2习题集

第七章常微分方程第一节微分方程的基本概念（01）1. 判断题(1)2xy Ce = (C 为任意常数)是2y x ′=的特解。

(2)3()y y ′=是二阶微分方程。

*(3)微分方程的通解包含了所有特解。

(4)若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。

(5)微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。

2. 填空题(1)微分方程(6)0x y dx dy −+=的阶数是。

(2)积分曲线212()xy c c x e =+中满足00x y ==,01x y =′=的曲线是。

(3)函数221ec x c y +=(21,c c 为任意常数)是微分方程02=−′−′′y y y 的。

（解、通解、特解）3. 试求以下函数为通解的微分方程。

(1)221C x C y +=（其中21,C C 为任意常数）(2)xx e C eC y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）4. 验证函数Cy x=是微分方程0xy y ′+=的通解，并求满足11x y ==的特解。

5. 设平面曲线在点(),M x y 处的切线斜率等于该点横坐标平方的2倍，写出该曲线所满足的微分方程。

6. 确定满足条件001,0x x y y ==′==的函数关系式()312xy C C x e =+中的参数。

第二节可分离变量的微分方程1. 求微分方程x yy e−′=的通解。

2. 求微分方程22()y xy y y ′′−=+的通解。

3. 求微分方程(1)()0x y dx y xy dy ++−=的通解。

4. 求微分方程22(1)20x y xy ′−+=满足条件01x y ==的特解。

5. 求微分方程221y x y xy ′=−+−满足条件01x y ==的特解。

6. 求微分方程1xyy x ′=−+满足条件02x y ==的特解。

第三节齐次方程（02）1. 求微分方程y xy x y′=+的通解。

马知恩周义仓编常微分方程定性与稳定性方法部分习题参考解答

马知恩周义仓编常微分⽅程定性与稳定性⽅法部分习题参考解答第⼀章基本定理1设有 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbx(t_0)=\bbx^0,\quad (t_0,\bbx^0)\in \bbR\times \bbR^n. \eex$$试证: 若 $\bbf\in C^1(G)$, 则在 $(t_0,\bbx^0)$ 的领域内, 此 Cauchy 问题的解存在惟⼀.证明: 由 $f\in C^1(G)$ 蕴含 $f\in C(G)$ 且在 $G$ 内适合 Lipschitz 条件知有结论.2试讨论下列⽅程解的存在区间:(1) $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=\frac{1}{x^2+y^2}}$;(2) $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=y(y-1)}$.解答:(1) 由 $\dps{\frac{\rd x}{\rd y}=x^2+y^2}$ 的解的存在区间有限知 $y$ 有界, ⽽由解的延拓定理, 原⽅程解的存在区间为 $\bbR$.(2) 直接求解有 $\dps{y=\frac{1}{1-\frac{y_0-1}{y_0}e^x}}$, ⽽a.当 $0\leq y_0\leq 1$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\bbR$;b.当 $y_0<0$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\dps{\sex{\ln\frac{y_0}{y_0-1},\infty}}$;c.当 $y_0>1$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\dps{\sex{-\infty,\ln\frac{y_0}{y_0-1}}}$.3 设有⼀阶微分⽅程式 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}. \eex$$ 试证: 过任⼀点 $(t_0,x_0)\in\bbR^2$ 的右⾏解的存在区间均为 $[t_0,+\infty)$.证明: 由 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}=\left\{\ba{ll} <0,&x>t,\\ >0,&x<t \ea\right. \eex$$ 知解在 $\sed{x>t}$ 内递减,在 $\sed{x<t}$ 内递增. 当 $x_0>t_0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR, t_0<x<x_0} \eex$$ 内应⽤解的延伸定理知解定与$\sed{x=t}$ 相交, 之后解递增, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x<t} \eex$$ 内应⽤延伸定理及⽐较定理即知结论.4设有⼀阶⽅程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=f(x)}$, 若 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 且当 $x\neq 0$ 时有 $xf(x)<0$. 求证过 $\forall\(t_0,x_0)\in\bbR^2$, Cauchy 问题的右⾏解均在 $[t_0,+\infty)$ 上存在, 且 $\dps{\lim_{t\to+\infty}x(t)=0}$.证明: 由题意, $$\bex f(x)\left\{\ba{ll} >0,&x<0,\\ <0,&x>0. \ea\right. \eex$$ ⽽由 $f$ 的连续性, $f(0)=0$. 于是当 $x_0=0$ 时,由解的唯⼀性知 $x=0$. 当 $x_0>0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,0<x<x_0} \eex$$ 内应⽤延伸定理及惟⼀性定理知 $x(t)$ 递减趋于 $0$. 当 $x_0<0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x_0<x<0} \eex$$ 内应⽤延伸定理及惟⼀性定理知 $x(t)$ 递增趋于 $0$.5若 $\bbf(t,\bbx)$ 在全空间 $\bbR\times\bbR^n$ 上连续且对 $\bbx$ 满⾜局部 Lipschitz 条件且 $$\bex \sen{\bbf(t,\bbx)}\leq L(r),\quad r=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},\quad \bbx=(x_1,\cdots,x_n)^T, \eex$$ 其中 $L(r)>0, r>0$, 且 $$\bee\label{1.5:1}\int_a^{+\infty}\frac{\rd r}{L(r)}=+\infty,\quad a>0. \eee$$ 试证: 对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in\bbR\times\bbR^n$, Cauchy 问题的解均可对 $t$ ⽆限延拓.证明: 由解的延伸定理, 仅须证明在任何有限区间 $-\infty<\alpha<t<\beta<+\infty$ 上, $\bbx(t)$ 有界. 为此, 令 $y(t)=\sen{\bbx(t)}$,则 $$\beex \bea \frac{\rd y(t)}{\rd t}&=2\bbx(t)\cdot\frac{\rd \bbx(t)}{\rd t} =2\bbx(t)\cdot \bbf(t,\bbx(t)),\\\sev{\frac{\rd y(t)}{\rd t}} &\leq 2\sqrt{y(t)}\cdot L\sex{\sqrt{y(t)}},\\ \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}}&\leq \rd t,\\ \int_\alpha^\beta \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}} &\leq \int_\alpha^\beta \rd t=\beta-\alpha. \eea \eeex$$ 这与\eqref{1.5:1} ⽭盾 (事实上, 当 $\alpha,\beta\gg 1$, $|\alpha-\beta|\ll 1$ 时, 不等式右端可任意⼩, ⽽不等式左端有积分发散知可⼤于某⼀正常数).6设有微分⽅程 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx), \eex$$ $\bbf\in C(G\subset \bbR\times\bbR^n)$, 试证: 若对$\forall\ (t_0,\bbx^0)\in G$, Cauchy 问题的解都存在唯⼀, 则解必对初值连续依赖.证明: 参考[家⾥蹲⼤学数学杂志第134期, 常微分⽅程习题集, 第1600页].7 试在定理 1.1 的假设下, 利⽤ Gronwall 引理直接证明解对初始时刻 $t_0$ 的连续依赖性.证明: 参考定理 1.7 的证明.8 设有⼀阶 Cauchy 问题 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=x^2+(y+1)^2,\quad y(0)=0. \eex$$ 试利⽤⽐较定理证明, 若设解的右⾏饱和区间为 $[0,\beta)$, 则 $\dps{\frac{\pi}{4}\leq \beta\leq 1}$.证明: 仅须注意到当 $0\leq x\leq 1$ 时, $$\bex (y+1)^2\leq x^2+(y+1)^2\leq 1+(y+1)^2. \eex$$ 再利⽤⽐较定理即知结论.第⼆章动⼒系统的基本知识1试证明: $\Omega_P=\vno$ 的充要条件是 $L_P^+$ 趋于⽆穷.证明: $\ra$ ⽤反证法. 若 $L_P^+$ 不趋于⽆穷, 则 $$\bex \exists\ M>0, t_n\nearrow +\infty,\st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)}\leq M. \eex$$ 由 Weierstrass 定理, $$\bex \exists\ \sed{t_n'}\subset \sed{t_n},\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q,\eex$$ ⽽ $Q\in \Omega_P$, 这是⼀个⽭盾. $\la$ 亦⽤反证法. 若 $\Omega_P\neq \vno$, ⽽设 $Q\in \Omega_P$, 则 $$\bex\exists\ t_n\nearrow+\infty,\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q. \eex$$ 这与 $L_P^+$ 趋于⽆穷⽭盾.2试证明: 若 $\Omega_P$ 仅含惟⼀奇点 $P^*$, 则当 $t\to+\infty$ 时必有 $L_P^+$ 趋向于 $P^*$.证明: ⽤反证法. 设 $$\bee\label{2.2:1} \exists\ \ve_0>0,\ t_n\nearrow+\infty, \st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)-P^*}\geq\ve_0. \eee$$ 则(1)若 $\sed{t_n}$ 有有界的⼦列, 则适当抽取⼦列 $\sed{t_n'}$ 后有 $$\bex \mbox{ $\varphi$}(P,t_n')\to Q. \eex$$ 于是 $Q\in\Omega_P=\sed{P^*}$. 这与 \eqref{2.2:1} ⽭盾.(2)若 $\sed{t_n}$ ⽆有界的⼦列, 则 $\dps{\lim_{n\to\infty}\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)=\infty}$, ⽽ $\infty\in\Omega_P=\sed{P^*}$, ⼜是⼀个⽭盾.3试证明: 若 $\Omega_P$ 有界且 $\Omega_P$ ⾮闭轨, 则 $\forall\ R\in \Omega_P$, $\Omega_R$ 与 $A_R$ 必均为奇点.证明: ⽤反证法证明 $\Omega_R$ 为奇点集, $A_R$ 为奇点集类似可证. 设 $\Omega_R$ 含有常点. 由 $R\in \Omega_P$ 及$\Omega_P$ 为不变集知 $L_R\subset \Omega_Q$. 于是按引理 2.3, $L_R$ 为闭轨线, $L_R=\Omega_R\subset \Omega_P$. 这与 $\Omega_P$ ⾮闭轨⽭盾.4试证明: ⼀系统的圈闭奇点的集合是⼀闭集.证明: 全体奇点的集合为 $$\bex \sed{\bbx^*\in G; \bbf(\bbx^*)=\mbox{ $0$}}. \eex$$ 由 $\bbf$ 的连续性即知结论.5 若 $L_P^+$ 有界且 $\Omega_P$ 仅由奇点构成, 能否断定 $\Omega_P$ 仅含⼀个奇点?解答: 不能断定. 仅能说 $\Omega_P$ 为由奇点构成的连通闭集或闭轨线.6 设 $O(0,0)$ 是⼀平⾯⾃治系统的惟⼀奇点, 且是稳定的, 全平⾯没有闭轨线. 试证: (1) 此系统的任⼀轨线必负向⽆界; (2) 任⼀有界的正半轨闭进⼊奇点 $O$.证明:(1) ⽤反证法. 若有⼀轨线负向有界, 则在定理 2.8 中, 由全平⾯没有闭轨线知 (3),(4) 不成⽴; 由 $O$ 为惟⼀奇点知 (1),(2),(5) 不成⽴. 这是⼀个⽭盾.(2) 对有界正半轨⽽⾔, 定理 2.8 中仅有 (1),(2),(5) 可能成⽴. 若 (1),(2) 成⽴, 则结论已证; ⽽由全平⾯没有闭轨线知 (5) 不成⽴.第三章稳定性理论1 讨论⽅程 $$\bee\label{3.1:1} \sedd{\ba{ll}\frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-a^2\sin x_1\ea} \eee$$ 零解的稳定性.解答: 选取 $$\bex V(\bbx)=\frac{x_2^2}{2}+a^2(1-\cos x_1), \eex$$ 则 $V$ 在原点的⼀邻域内是正定的, 且沿 \eqref{3.1:1} 的轨线有 $$\bex \dot V(\bbx)=V_{x_1}x_1'+V_{x_2}x_2'=0. \eex$$ 由此, 零解是稳定的, 但不是渐近稳定的.2 证明⽅程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-x+x^2}$ 的零解是指数渐近稳定的, 但不是全局渐近稳定的.证明: 解该微分⽅程有: $$\bex \ba{ccc} -\frac{1}{x^2}\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{1}{x}-1,&\frac{\rd y}{\rd t}=y-1\\sex{y=\frac{1}{x}},&\frac{\rd z}{\rd t}=-e^{-t}\ \sex{z=e^{-t}y},\\ z=e^{-t}+C,&y=Ce^t+1,&x=\frac{1}{1+Ce^t}. \ea \eex$$由此, 原微分⽅程的解为 $$\bex x=0,\mbox{ 或 }x(t)=\frac{1}{1+Ce^t}. \eex$$ 取初值 $(t_0,x_0),\ x_0\neq 0$, 有 $$\bexx(t,t_0,x_0)=\frac{x_0}{1+e^{t-t_0}(1-x_0)}. \eex$$ 故当 $|x_0|<1$ 时, $$\bex |x(t,t_0,x_0)|\leq \sev{\frac{1}{x_0}-1}e^{-(t-t_0)}. \eex$$ 这说明零解是指数渐近稳定的. 但由于从 $(t_0,1)$ 出发的解 $x(t,t_0,1)=1$ 不趋于零解, ⽽零解不是全局渐近稳定的.3 在相空间 $\bbR^n$ 中给出 $\dps{\frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\ \bbf(t,0)=0}$ 的零解稳定、渐近稳定、不稳定的⼏何解释.解答: 零解是稳定的 $\lra\ \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ P\in B_\delta,\ L_P^+\subset B_\ve$; 零解是渐进稳定的$\lra\ \exists\ U\ni O,\ \forall\ P\in U,\ L_P^+\to 0$; 零解是不稳定的 $\lra\ \exists\ \ve_0>0,\ \exists\ P_n\to0, \stL_{P_n}^+\bs B_\ve\neq \vno$.4判断下列系统零解的稳定性:(1) $\dps{\sedd{\ba{ll} \frac{\rd x_1}{\rd t}=mx_2+\alpha x_1(x_1^2+x_2^2),\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-mx_1+\alphax_2(x_1^2+x_2^2); \ea}}$;(2) $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}+\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^3+f(x)=0,}$ 其中 $xf(x)>0\ (x\neq 0), f(0)=0$;(3) $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}-\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^2sgn\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}+x=0}$.解答:(1) 取 $$\bex V=x_1^2+x_2^2, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $$\bex \dot V=2\alpha(x_1^2+x_2^2)\sedd{\ba{lll} \mbox{正定},&\alpha>0,\\ 0,&\alpha=0,\\ \mbox{负定},&\alpha<0. \ea} \eex$$ 于是当 $\alpha>0$ 时, 由定理 3.3, 零解是不稳定的; 当 $\alpha=0$ 时, 由定理 3.1, 定理是稳定的; 当 $\alpha<0$ 时, 由定理 3.1, 零解是渐近稳定的.(2) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=-x_2^3-f(x_1). \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_2^2}{2}+\int_0^{x_1}f(t)\rd t, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $\dot V=-x_2^4\leq 0.$再 $$\bex \sed{\bbx;\dot V(\bbx)=0}=\sed{0}, \eex$$ 我们据定理 3.2 知零解是渐近稳定的.(3) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=x_2^2sgn(x_2)-x_1. \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $\dot V=x_2^2|x_2|$是正定的. 我们据定理 3.3 知零解是不稳定的.5 若存在有⽆穷⼩上界的正定函数 $V(t,\bbx)$, 它沿着 $$\bex (3.3.1)\quad \frac{\rd\bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbf(t,0)=0 \eex$$ 解曲线的全导数 $\dot V(t,\bbx)$ 负定, 证明 (3.3.1) 的零解是渐近稳定的.证明: 仅须注意到存在正定函数 $W(x)$, $W_1(x)$ 使得 $$\bex W(\bbx)\leq V(t,\bbx)\leq W_1(\bbx). \eex$$ ⽽可仿照定理 3.1 的证明.6 讨论 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{g'(t)}{g(t)}x}$ 零解的稳定性, 其中 $\dps{g(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^4(t-n)^2}}$. 能否得到零解渐近稳定的结果? 为什么?解答: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{g(t_0)}{g(t)}, \eex$$ ⽽由 $$\bex |x(t)|\leq\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n\neq [t],[t]+1}\frac{1}{1+n^4(t-n)^2}} \leq \frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}} \eex$$ 知零解是稳定的; 由$$\bex |x(k)|=\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{1+\sum_{n\neq k}\frac{1}{n^4(k-n)^2}}\geq \frac{|x_0|}{g(t_0)} \eex$$ 知零解不是渐近稳定的.7证明 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-\frac{x}{t+1}}$ 的零解是渐近稳定的, 但不存在有⽆穷⼩上界的正定函数 $V(t,x)$, 使得 $\dotV(t,x)$ 负定 (该习题表明习题 5 中渐近稳定性定理中的条件不是必要的).证明: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{1+t}. \eex$$ ⽽零解是渐近稳定的.。

微积分习题集带参考答案(3)

微积分习题集带参考答案一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

常微分方程_习题集(含答案)

《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是。

（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是。

（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是。

常微分方程试题库试卷库2

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（3０％）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。

有只含y 的积分因子的充要条件是_＿_____＿______。

２、______＿______称为黎卡提方程，它有积分因子＿_＿__＿_＿____＿_。

３、____＿＿＿_＿_______＿_称为伯努利方程,它有积分因子____＿＿___。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是____＿______＿＿＿__＿____＿____。

5、形如＿＿___＿_____＿＿__＿_＿_的方程称为欧拉方程。

6、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是____＿__＿_____＿＿__＿__＿____＿__＿。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为___＿__＿＿＿时,零解是稳定的,对应的奇点称为_＿＿____＿___。

二、计算题（6０%）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求exp Ａt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=5、求方程2dyx y dx =+经过（０，０)的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点，并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（1０%）1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(２)一、填空题 30％1、形如_＿____＿__＿_＿的方程,称为变量分离方程，这里．)().(y x f ϕ分别为x ．y的连续函数。

2、形如＿_＿___＿__＿___的方程，称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。

常微分方程试题库试卷库

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（）。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为x.y 的连续函数。

2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。

常微分方程期末试题复习资料

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的充分条件．4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

微分方程练习题

微分方程练习题一、选择题１、微分方程3+2=2x dx dy 的阶数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４２、微分方程6+3+2=′2x x y 的通解是（）ＡC x x x +6+3+223 Ｂ．C x x +23+323 Ｃ C x x x +6+23+3223 Ｄ．C x 23x 3223++ ３、微分方程0=4+′x y 的通解是（）Ａ．213++32c x c x Ｂ．c x +323 Ｃ． 213++2c x c x Ｄ．213++23c x c x 4、微分方程yx xy y dx dy 321++=是（ B ）.A 线性微分方程；B 可分离变量的微分方程；C 齐次微分方程；D 一阶线性非齐次微分方程. 5、微分方程 y 2dx －(1－x)dy=0是（ D ）微分方程。

A 一阶线性齐次B 一阶线性非齐次C 二阶线性齐次D 变量可分离6、下列各组函数中，是线性无关的是（）A 3x 与2xB 5sinx 与6sinxC sin2x 与cos2xD 2x 与23x7、微分方程06y y 5y =-'+''的通解是（）A x 26x 1e C eC +- B x 26x 1e C e C + C -x 26x 1e C e C +-D -x 26x 1e C e C +8、微分方程0y y 2y =+'+''的通解是（）A ()x21e x C C + B ()2x 21e x C C + C ()-x 21e x C C + D ()-2x 21e x C C +9、微分方程025y y 6y =+'-''的通解是（）A ()sin2x C cos2x C e 213x +B ()sin4xC cos4x C e 213x +C ()sin2x C cos2x C e 21-3x +D ()sin3x C cos3x C e 214x +10、下列函数是微分方程2x 5e6y y 5y -=+'-''的一个特解的是（） A 2x 5xe B 3x 5xe C 2x 5e D -2x 5xe二、填空题。

常微分方程辅导

常微分方程辅导〔填空题、选择题和解答题----比例是2：3：5。

〕第一章初等积分法一．根本类型：曲线的切线。

例1．曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的m 倍，且通过点),2(n p 。

分析：〔1〕这是一个具有根本应用型的一阶方程，它通过斜率与坐标之间的相关概念求解一阶方程。

〔2〕它考核的知识点是一阶微分方程的概念、解的几何形式，它的求解，这又是重点。

解：〔1〕设所求曲线的任意点坐标是),(y x ，依题意，,mx dx dy =积分有C x my +=22，〔2〕该曲线过点),2(n p ，有C mn +=4*2从而有，,2m n C -=故，所求曲线方程是22x my =+),2(m n -二．根本类型的求解（一）可别离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程。

〔一阶线性方程是重点〕1．〔1〕可别离变量方程)()(x g x f dx dy= 别离变量有 ,)()()()(00C dx x f x g dyor dx x f x g dy y y x x ⎰⎰⎰⎰+==〔2〕求解对称式,0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M由0)()(≠x P y N ，得,0)()()()(=+dy y N y Q dx x P x M 从而.)()()()(C dy y N y Q dx x P x M =+⎰⎰例2。

求解方程2211x y dx dy ++=。

分析：1）这是一个一阶可别离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解； 2）它考核的是求解一阶可别离变量方程这一知识点。

解：方程的通积分为,11122C x dxy dy ++=+⎰⎰即：如arctany=arctanx+C 1.解出y 得到通解y=tan(arctanx+C 1)。

例3．求方程y xy dxdyx-=的通解. 分析：1〕这是一个一阶可别离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解。

常微分方程练习题及答案

一、填空题。

1. 方程23210d xx dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 .3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为．9.可用变换将伯努利方程化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解.11.方程的待定特解可取的形式:12. 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+.3. 求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。

4．用比较系数法解方程. .5．求方程 sin y y x'=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解.8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求的通解10.若试求方程组的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设都是区间上的连续函数, 且是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 和没有共同的零点;(iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=.答案一.填空题。

微积分复习题集带参考答案

微积分习题集带参考答案一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。

2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。

4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。

二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。

3、求方程的隐式解。

4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题 2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是.2、方程的通解中含有任意常数的个数为.3、方程有积分因子的充要条件为.4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)共同零点．7、设是方程的通解，则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解 .9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是 .10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是 .二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解.（10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。

1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。

2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。

3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。

4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。

xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。

6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。

8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。

9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。

10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。

11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。

12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。

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《常微分方程》复习习题集
一．求解下列一阶微分方程
1．
3(ln )0y
dx y x dy x
++= 2．tan sec dy
y x x dx
+= 3．tan dy y
x y x dx x
-=
4．
2(cos sin )dy
y y x x dx
+=- 5．222()2dy x dy y x
dx dx
=++ 6．(2)0y
y
e dx y xe
dy ---+=
7．
2(cos cos 2)dy
x y dx
= 8．2dy y x dx x
=- 9．()ln
dy x y
x
y x y dx x
+-=+ 10．
411
(12)33
dy y x y dx +=- 11．(2)0y y e dx x xy e dy -+= 12．(1)y y y e ''=-
13．(2)(2)0x y dx x y dy ++-= 14．
dy x
y e dx =+ 15．tan dy y y dx
x
x
-=
16．2
()0ydx y x dy -+= 17．22
()1y y '+=
二．求解下列微分方程组
1. 234dx
x y dt
dy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dt
dy y x dt
dx
232 2. 5445dx
x y dt
dy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 4. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dt
dy y x dt
dx
2543 三．求下列微分方程的通解
1. x y y xe -''+=
2. 65x
y y y e '''++=3. 33x
y y y y xe
-''''''+++=
4. 265x
y y y e '''++=四．叙述“皮卡存在唯一性定理”，并求下列初值问题
1.
22,(0)0dy
x y y dx
=+= 2.
22, (0)0dy
x y y dx
=-= 的第三次近似解。

五．对任意的0x 及满足条件300<<y 的0y ，求方程
)3(-=y y dx
dy
的满足初值条件00()y x y =的解的最大存在区间。

六．考虑微分方程
()0y q x y ''+=
（1）设()y x ϕ=与()y x ψ=是它的任意两个解，试证()x ϕ与()x ψ的朗斯基行列式恒等于一个常数；
（2）设已知方程有一个特解为x y e =，试求这方程的通解，并确定()q x 。