常微分方程复习习题集

《常微分方程》复习习题集

一． 求解下列一阶微分方程

1．

3(ln )0y

dx y x dy x

++= 2．tan sec dy

y x x dx

+= 3．tan dy y

x y x dx x

-=

4．

2(cos sin )dy

y y x x dx

+=- 5．222()2dy x dy y x

dx dx

=++ 6．(2)0y

y

e dx y xe

dy ---+=

7．

2(cos cos 2)dy

x y dx

= 8．2dy y x dx x

=- 9．()ln

dy x y

x

y x y dx x

+-=+ 10．

411

(12)33

dy y x y dx +=- 11．(2)0y y e dx x xy e dy -+= 12．(1)y y y e ''=-

13．(2)(2)0x y dx x y dy ++-= 14．

dy x

y e dx =+ 15．tan dy y y dx

x

x

-=

16．2

()0ydx y x dy -+= 17．22

()1y y '+=

二． 求解下列微分方程组

1. 234dx

x y dt

dy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dt

dy y x dt

dx

232 2. 5445dx

x y dt

dy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 4. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dt

dy y x dt

dx

2543 三． 求下列微分方程的通解

1. x y y xe -''+=

2. 65x

y y y e '''++=3. 33x

y y y y xe

-''''''+++=

4. 265x

y y y e '''++=四． 叙述“皮卡存在唯一性定理”，并求下列初值问题

1.

22,(0)0dy

x y y dx

=+= 2.

22, (0)0dy

x y y dx

=-= 的第三次近似解。

五． 对任意的0x 及满足条件300<

)3(-=y y dx

dy

的满足初值条件00()y x y =的解的最大存在区间。 六． 考虑微分方程

()0y q x y ''+=

（1）设()y x ϕ=与()y x ψ=是它的任意两个解，试证()x ϕ与()x ψ的朗斯基行列式恒等于一个常数；

（2）设已知方程有一个特解为x y e =，试求这方程的通解，并确定()q x 。