第10章 结构动力学

FBFr

第十章

10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b)

EI 1=∞

EI

m

y

ϕ

分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，ϕ。 (c)

(d)

在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。

10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。

解：1）刚度法

该体系仅有一个自由度。

可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其

端部集度为..

ml a 。

取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3)

121233

I M m l a l l mal =⨯⨯⨯=

由动力荷载引起的力矩为：

()()2121

233

t t q l l q l ⋅⋅= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21

33

la k l c al ⋅

⋅+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得：

()

3 (322)

1393

t q l ka m a l l c a l ++= 整理得：()

.

..

33t q ka c a m a l l l

++= 2）力法

.

c

α

解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚

功方程为：() (20111)

0333

l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-⋅-⋅-⋅=⎰

则同样有：()

.

..

33t q ka c a m a

l l l

+

+=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为

c ，试建立体系自由振动时的运动方程。

解：

取DF 隔离体，

0F

M

=∑：

..

2220.2

3

22324

a

R a mx dx ka R ma ka αα

αα

⋅=+⇒=+⎰

取AE 隔离体：

0A M =∑

..

.

32220

430a

k mx dx ca ka Ra θαααα++++=⎰

将R 代入，整理得：

..

3

2

251504

R ma ka k θα

αα=+

+= 10-10 试建立图示各体系的运动方程。 (a)

解：（1）以支座B 处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。

(t )

..α

（2）画出p M 和1M 图（在B 点处作用一附加约束）

()324

t l M α-()

t p

M

3EI l

1

M

（3）列出刚度法方程

113EI

k l =，()..3124

p t m R l M α=-，1110p k R α+= 代入1p R 、11k 的值，整理得：()..43

2472t M EI

m l l αα+=

(b) 解：

11

=

21P =2

l

l

l m (t )

l 2

l

2

FBFr

1M 图 2M 图

试用柔度法解题

此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y 为坐标。 y 是由动力荷载()p t F 和惯性力矩I M 共同引起的。

11112()p t y M F δα=+

由图乘法：

3

21112233l l l EI EI δ=⋅=，312/252622248l l l l l l EI EI δ⎛⎫=⨯⋅+⋅=

⎪⎝⎭ 惯性力矩为..

m y l -，()3

3

..

5348p t l l y m y l F EI

EI ⎛⎫=

⋅-+ ⎪⎝⎭

经整理得，体系运动方程为：()..

335

16p t EI m y y F l

+=。

10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。 (a)

解：

2

1M 图

图乘得：3

1111225222223236a a a f a a a a EI EI

⎛⎫=⨯⨯⨯

⨯⨯+⨯⨯⨯

=

⎪⎝⎭ ω=

(b)

解：此体系为静定结构，内力容易求得。

在集中质量处施加垂直力P ，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为2

3

。 由此根据弯矩平衡可求得4

9

P k =

。 ω=

(c)

解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。

上简支梁柔度系数为()

3

32486l l EI EI =下简支梁柔度系数为396l EI

于是两者并联的柔度系数为3

3

1696

102l EI EI EI

l δ==+并，ω=

(d)

解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩

图如下。

水平支杆中力为

33013EI l

，即11

3

30

13EI

k l =。，ω=

l 2 l 2 l

2

l 2

2a

a

a