5.1角的概念的推广及其度量

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角的概念和弧度制

1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。

其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。

正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做旋转时形成的角(3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角的集合；第二象限角的集合第三象限角的集合；第四象限角的集合(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}(5)特殊角的集合：终边在轴上角的集合,轴线角终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。

(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：≈0.01745（rad）, ≈57.30°=57°18ˊ；(2)两个公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为，α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长：扇形面积：1．将化为的形式是（）．A． B．C． D．2．若，则角的终边所在的象限为（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．扇形的周长是，圆心角是弧度，则扇形面积是（）．A． B． C． D．4．若集合，，则集合为（）．A． B． C． D．5．若角与终边相同，则一定有（）．A． B．C． D．6．在到之间与终边相同的角是___________．7．如果是第三象限角，那么角的终边的位置如何？是哪个象限的角？8．已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．。

5.1 角的概念的推广

５.1 角的概念的推广5.1.1角的概念的推广一般地，平面内一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．在图５－１中，射线OA绕端点O按图示方向旋转，到OB位置停止，形成∠AOB．其中，射线OA的端点O称为角的顶点，射线OA、OB分别是旋转的初始位置和终止位置，称为角的始边和角的终边．钟表图图５－１图５－２观察手表的表针绕表盘中心旋转，表针从一个位置旋转另一个位置时，所形成的图形就是角．在图５－１中，射线OA按逆时针方向旋转；在图５－２中，表针按顺时针方向旋转．因此，在研究角时，需要考虑射线的旋转方向，为此，我们给出下面的定义．定义射线绕端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；射线没有作任何旋转时形成的角叫做零角．角可以用小写希腊字母ϕβα,γθ,,……等表示。

,角的概念经过这样推广以后，角就扩大为正角、负角和零角。

⑴⑵图５－３在图５－３⑴中，以射线OA为始边、射线OB为终边的角α就是一个正角；在图５－３⑵中，以射线OA为始边、射线OB为终边的角β就是一个负角。

由此可知，一个角的形成应包括两部分：角的大小和方向。

过去，我们讨论的角都是 0～360范围内的角，但是在实际生活中常会遇到其它的角。

例如，用扳手旋松螺母时是按逆时针方向旋转，旋松１周是720360角，旋松２周是角，……，而旋紧螺母时是按顺时针方向旋转，就形成了负角。

如图５－４所示，图５－４⑴表示正角 390=α，图５－４⑵、⑶分别表示负角 120-=β， 750-=γ 。

OAα=390BB⑴ ⑵ ⑶图５－４今后，我们经常在平面直角坐标系内研究角。

为此，通常使角的顶点与坐标系原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合。

于是，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。

例如，在图５－５⑴中的 30， 390， 330-角，都是第一象限角；在图５－５⑵中的 300， 60-角，都是第四象限角； 495角是第二象限角。

角的概念的推广概念

角的概念的推广概念角是数学中非常重要的概念，它是指由一个初始点出发，以一定的角度旋转后所形成的图形。

它可以帮助我们理解和描述事物之间的关系以及解决各种实际问题。

然而，角的概念可以进一步推广到更复杂的形式，从而应用于更广泛的领域。

首先，角可以分为几何角和平面角。

几何角是指由两条射线构成的图形，其中初始射线称为边，旋转的射线称为腿。

平面角则是指在一个平面上的角。

几何角和平面角可以相互转换，并且可以按照大小进行比较。

角的概念可以推广到三维空间中。

在三维空间中，角可以由两个非共线的向量构成，并且可以通过点乘和向量的模运算来计算角度。

三维空间中的角可以用来描述物体之间的关系，例如两个平面的夹角或者两个直线的夹角。

角的概念也可以推广到曲线上。

在曲线上，可以定义曲率角，它是指曲线在某一点上的切线与某一特定方向的夹角。

曲率角可以用来描述曲线的弯曲程度，例如在数学和物理学中常用来描述曲线运动的轨迹。

此外，角的概念还可以应用于三角函数中。

三角函数是以角作为自变量的函数，它们描述了角和直角三角形之间的关系。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们在数学和物理学中有广泛的应用，例如在解决三角形的边长和角度问题中。

在物理学中，角的概念也有广泛的应用。

例如，角动量是物体旋转运动的重要物理量，在刚体力学和量子力学中都有非常关键的作用。

角速度也是用来描述物体旋转运动的重要概念，它是物体单位时间内旋转的角度。

在计算机图形学和计算机游戏中，角的概念也有重要的应用。

例如，计算机游戏中的角色会随着玩家操作而改变角度，而计算机图形学中的三维模型也是由许多角所构成的。

因此，理解和运用角的概念对于计算机图形学和游戏开发非常关键。

总之，角是数学中的重要概念，它可以被推广到几何角、平面角、三维空间角、曲线上的角、三角函数中的角，甚至在物理学和计算机科学中有广泛的应用。

理解和掌握角的概念，可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。

初等数学§5-1角的概念的推广和弧度制

3、换算公式
1 ra d0.017r4a5d
180
1 ra 5 d .3 7 0 5 1 7 '8
6、弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；
角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数R之间建立一种一一对应的关系。
用弧度制表示角时，不能与角度制混用。
见书本第６页探究
思考6：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
l r
探究（二）：度与弧度的换算
思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
3602(ra)d 180 (rad)
思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？
⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角B
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始，射线的端
点O叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β= －150°，γ=660°，

角的概念的推广及其度量课件(共28张PPT)

探索研究角的概念推广之后，利用转角给出60°+90°与90°-
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形（图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB，还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且旋转量不超过一个周角，在现实生活中，有很多角的大小超过这个范围，例如，运动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概念推广到了任意角．
调动思维，探究新知在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？

5.1角的概念推广

【课题】5．1 角的概念推广【教学目标】知识目标：⑴了解角的概念推广的实际背景意义；⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．情感目标：（1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；（2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.【教学重点】终边相同角的概念．【教学难点】终边相同角的表示和确定．【教学设计】（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．【教学备品】教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间问题1游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？问题2用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角．归纳通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°:360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．质疑提问说明总结思考求解讨论交流理解引起学生的好奇心和求知欲生活实例有助于学生理解角的推广的意义10*动脑思考探索新知概念一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．（1）（2）类型说明仔细分析讲解关键点引导思考理解记忆结合图形讲解角的图形可以加入学生的举例明确角的过程行为行为意图间经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．表示除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠AOB”或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母α、β、γ、L来表示角．概念数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．如图所示，30°、390°、−330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，−120°是第三象限的角，−60°、300°都是第四象限的角．终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．强调引导展示强调明确领会观察理解类型完成角的推广象限角可以引导学生一步步自然得出强调特殊情况30*运用知识强化练习教材练习5.1.12．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：⑴ 60°；⑵−210°；⑶225°；⑷−300°．提问巡视指导思考动手求解交流反馈学习状态巩固知识40*动手操作实验观察用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征．演示操作动手操作由具体的。

角的概念的推广

角的概念的推广角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。

角的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解决实际问题。

本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。

一、角的定义和性质角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。

根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。

锐角指小于90度的角，直角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。

角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。

除了大小外，角还具有其他一些重要性质。

首先，两个角互为补角当且仅当它们的和为90度。

其次，两个角互为余角当且仅当它们的和为180度。

此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。

这些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。

二、角的推广应用1. 几何学中的角在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。

角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。

例如，我们可以通过计算多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的判定、多边形的内切圆问题等。

2. 物理学中的角角的概念在物理学中也有着广泛的应用。

例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。

在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。

此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。

3. 工程学中的角在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。

例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。

此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。

4. 地理学中的角在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。

例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。

这些信息对于导航和地图制作非常关键。

5. 计算机图形学中的角在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。

5.1 角的概念和弧度制

α
n
α
n
所在的
象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具若a是第k（k取1、2、3、4之一）象限的角，利用单位圆判断
, (n ∈ N * ) 是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n等
份，并从x正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、 α 3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k的区域就是角 , (n ∈ N * ) 终边所在的范围。
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5.1 角的概念和弧度制
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• 一. 角的概念
• 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋、角的概念的推广转到另一个位置所成的图形，叫做角。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。射线的端点叫做角的顶点。 • 2.角的分类角的分类：正角、负角、零角。角的分类 • 3.象限角的概念象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，象限角的概念角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
角所处象限，已知角所处象限，判断其若干倍或若干分之一的角所在的象限（或轴线）分之一的角所在的象限（或轴线） α （1）若角 α 是第二象限角，则① 是哪个象限角？ 2 α ② 2α 是哪个象限角？（2）已知 α 是第三象限角，则 3 是第几象限角? 【思路分析思路分析】对于（1），由a是第二象限角，可得到a角的范围，（思路分析即 k × 360° + 90° < α < k × 360° + 180° ，( k ∈ Z ) 进而可得到 α , 2α 2 的取值范围，再根据范围确定其象限即可；对于（2），同理由a α 是第三象限角，可得到a角的范围，进而可得的取值范围， 3 α α 再根据范围确定其所在象限。此外本题也可用几何法来确定 , 2 3 所在的象限。

5-1角的概念的推广

授课日期11.18——11.19 授课班级13101——13104 授课课时 2 授课形式新授授课章节名称5.1角的概念的推广使用教具教学目的1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．教学重点理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．教学难点任意角和终边相同的角的概念．更新、补充、删节内容课外作业P130习题4,5教学后记本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念板书设计角的概念的推广1任意角的概念 2 角的加减3终边相同的角环节教学内容师生互动设计意图复习导入1．复习初中学习过的角的定义．2．提出新问题：运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？师：初中学过的角的定义是什么？生：在平面内，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．师：如图：∠AOB=∠BOA=120 ，初中时的角不考虑旋转方向，只考虑旋转的绝对量而且角的范围在0~360°．复习旧知，使学生发现旧知识的局限性，激发学习新知识的兴趣．新课1．任意角的概念．（1）射线的旋转方向：逆时针方向——正角；顺时针方向——负角；没有旋转——零角．画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常称为转角．例如，∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°．（2）射线的旋转量：当射线绕端点旋转时，旋转量可以超过一个周角，形成任意大小的角.角的度数表示旋转量的大小．例如450°，－630°．2．角的加减运算．90°－30°教师画图说明正角，负角，零角，以及角的始边、终边.教师小结：由旋转方向的不同定义正负角，由旋转量的不同得到任意范围内的角．1．教师画图，学生说角的度数．2．学生练习：画出下列各角：（1）0，360°，720°，1 080°，－360°，－720°；（2）90°，450°，－270°，－630°．学生通过自己练习画图，深刻体会“旋转”两个字的含义，加深对任意角的概念的理解．AOB120°AOB－120°新课＝90°＋（－30°）＝60°．各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3．终边相同的角．所有与α终边相同的角构成的集合可记为S＝{x |x ＝α＋k·360°，k∈Z}．例1（1）写出与下列各角终边相同的角的集合．(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．解略．4．第几象限的角．在直角坐标系中讨论角时，通常使角的顶点和坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.这样角的大小和方向可确定终边在坐标系中的位置.这样放置的角，我们说它在坐标系中处于标准位置．处于标准位置的角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．例1（2）指出下列各角分别是第几象限的角．(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．例2写出终边在y轴上的角的集合．学生练习：求和并作图表示：30°＋45°，60°－180°．师：观察我们刚画过的角，（1）0，360°，720°，1080°，－360°，－720°；（2）90°，450°，－270°，－630°．思考：始边、终边相同的两个角的度数有什么关系？学生讨论后回答：终边相同的两个角的度数相差360°的整数倍．师：与30°始边、终边都相同的角有哪些？有多少个？它们能不能统一用一个集合来表示？得出结论．例1（1）由学生口答，教师给出规范的书写格式．例1（2）学生口答．讲解例2时，教师结合教材学生自己动手画图求和，加深对旋转变化的理解．将例1分解为两个小题，边讲边练，小步子，低台阶，学生容易消化吸收．例2难度较大，BAo60°90°C30°新课解终边在y轴正半轴上的一个角为90°，终边在y轴负半轴上的一个角为－90°，因此，终边在y轴正半轴和负半轴上的角的集合分别是S1＝{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}S2＝{α |α ＝－90°＋k·360°，k∈Z}所以终边在y轴上的角的集合为S1∪S2＝{α|α＝90°＋k ·360°，k∈Z}∪{α|α＝－90°＋k·360°，k∈Z}＝{α |α＝90°＋k ·180°，k∈Z}．模仿练习：写出终边在x轴上的角的集合．例3在0～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是第几象限的角？（1）－120°；（2）640°；（3）－950°．例4写出第一象限的角的集合．解在0～360°之间，第一象限的角的取值范围是0°＜α＜90°，所以第一象限角的集合是{α|k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k∈Z}．图示的平面直角坐标系，带领学生分析题意．师：角的终边落在y轴上包含哪两种情况？生：终边落在y轴正半轴上或者落在y轴负半轴上．师：90°的角终边落在y轴的正半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？－90°的角终边落在y轴的负半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？这两个集合的并集怎么求？例3引导学生画图解决，或者用计算器解答．教师结合平面直角坐标系讲解例4．学生分组练习：（1）写出第二象限角的集合；（2）写出第三象限角的集合；（3）写出第四象限角的集合．可增加判断题：使学生准确区分0～90°的角，锐角，小于90°的角，第一象限角．教师应详细讲解两个集合如何求并集．本模仿练习意在渗透B组练习的解题思路．小结1．任意角的概念．2．角的加减运算．3．终边相同的角的集合．4．象限角的概念．教师带领学生回顾本节课的知识脉络图．本节课概念众多，通过梳理脉络，帮助学生巩固知识．作业教材P127，练习A组第3、4题；练习B组第1、3题．巩固拓展．。

5.1任意角和弧度制PPT课件(人教版)

理论迁移例1 在0°～360°范围内，找出
与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
－950°12′=129°48′－360°× 3 第二象限角.
小结
1、角的定义
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
2、任意角的概念负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？
我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角。即零角的始边和终边重合。
思考3：度量一个角的大小,既要考虑旋转方向,
o
x
思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°,405°,210°, -200°, －450°分别是第几象限的角？
y
y
y
y
210°
x
x
o
－50° o 405°
x o
x o
－200°
4×-3176700°o+=3300°o+（--54）××33660°0o+30o
……，
……，
相差360o的整数倍
思考3：所有与30°角终边相同的角，连同－ 30°角在内，可构成一个集合S，
你能用描述法表示集合S吗？
S={β|β= 30° ＋k·360°, k∈Z}
思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？

角的概念的推广高一知识点

角的概念的推广高一知识点角是我们在几何学中经常遇到的概念之一，它在高一阶段具有重要的地位。

本文将对角的概念进行推广，探讨其在不同领域的应用，并结合例子进行解释。

首先，我们来回顾一下角的基本定义。

在几何学中，角是由两条射线公共端点而形成的图形部分。

通常，我们以大写字母来表示一个角，如∠ABC，其中A和C是两条射线共有的端点，B是这两条射线之间的点。

角的度量通常使用度（°）作为单位。

一个完整的角度是360°，这意味着角度的度量在360°之内。

此外，一个直角角度是90°，一个钝角是大于90°但小于180°的角，一个锐角是小于90°的角。

因此，角的度量不仅可以用来描述角的大小，还可以用来分类角。

在实际生活中，角的概念广泛应用于不同的领域。

其中一个示例是建筑设计。

建筑师在设计房屋时需要考虑建筑物之间的角度关系，以达到美观和结构稳定的目的。

例如，在两个相邻房屋之间形成的夹角可能会影响采光和通风。

因此，建筑师会根据角的度量和分类来进行合理的布局和设计。

另一个领域是自然科学，尤其是物理学。

角的概念与物体的运动和力学有关。

例如，在机械学中，轴承的角度对于机器的运转非常重要。

若角度超出了工作范围，机器可能会发生故障。

此外，在热学中，角的度量被用来描述物体受热时的变化。

了解角的度量有助于预测物体的热膨胀和冷缩，从而在工程设计中起到重要的作用。

除了在实际领域中的应用，角的概念还在数学中起着重要的作用。

角度的概念是几何学的基础，也是其他几何概念的重要组成部分。

例如，三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和三角形的关系。

正弦、余弦和正切等三角函数都是通过角的度量来定义的，它们在数学和物理中有广泛的应用。

此外，角的概念也在计算机科学中扮演着重要的角色。

计算机图形学、计算机视觉等领域都需要通过角来计算和描述物体的位置、姿态和运动。

例如，计算机游戏中的三维模型运动，物体的旋转等都涉及到角的概念。

第五章三角函数5.1角的概念的推广及其度量

三、解答题；
7.已知，且为第二象限的角，求的值
8.已知求（
9.化简（为第四象限角）
5.2.2同面三角函数的基本关系式（二）
一、选择题：
1、若 sin tan <0,则角是（）.
A、第二象限角B、第三象限角C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角
2、已知tan ,则sin 等于（）.
A、- B、 C、 D、-
一、选择题：
1.y=co s x是（）
A.周期为2 的偶函数B.周期为2 的奇函数
C.周期为的偶函数D.周期为的奇函数
2.函数y=co s x ,x 的图像对称轴是（）
A. x=0 B. x= C. x=2 D. y=
3.下列图像不是余弦函数y= co s的图像是（）
4.下列关系式正确的是（）
A. co s B. < <co s
二.填空题：
5.已知，，则 =；
6.已知，且，则 =；
7. ； =。
三.解答题：
8.求适合下列条件的角。
（1）；
（2）。
9.求值：在内求解
（1）；
（2）
10.求适合下列条件的角
（1）
（2）
5.3.3已知三角函数值求角（二）
一.选择题：
1.已知，且，则等于（）
A. B. C. D.
C. <co s < D. <co s <
二、填空题：
5.函数y=co s x ,x 图像上的五个关键点的坐标是；
6.y=co s的定义域为，最小正周期为，在上的单调增区间为
三、简答题：
7．用五点法作出函数在的简图，并简述如何由函数的图象平移得到函数的图象。

角的概念的推广及其度量

勤能补拙重在坚持难在慎独高一数学学案时间：编辑人：温梅【学习目标】1.理解弧度制的概念以及弧长公式。

2.理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系。

3.掌握角度制与弧度制的换算。

【课前预习案】1.角度制定义：把一个圆周等分，则其中一份所对的圆心角是。

2.复习初中时所学的“弧长与扇形的面积公式”L= , S= = .【课堂学习案】1.弧度制(1)定义：弧长等于的弧所对的叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做 .(2)任意角的弧度数与实数都是对应关系：正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是 ,零角的弧度数是 .2.角度与弧度的换算1°＝ rad≈ rad， 1 rad＝( )≈°＝．平角＝°＝ rad，周角= °＝ rad，[题后反思](4)有关扇形公式弧度制角度制角的弧度数公式/弧长公式扇形面积公式1.若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( )．A．40π cm2B．80π cm2C．40cm2D．80cm22. 已知圆心角所对的弧长为2，这处圆心角所夹的扇形面积为（）．A. B. C. D.3. 若一圆的半径为5厘米，则60°圆心角所对的弧长为；4.若半径为10厘米的圆中，30°圆心角所对应的扇形面积为；例7 将下列各角度与弧度互化（1）（2）（3）（4）（5）（6）三、【课堂总结】知识体系建构1. 想一想角的概念我们学习了什么2.想一想角的度量我们学习了什么公式[达标检测]1. 完成《高考总复习》第56～59页能力训练题及高考回顾题；2.选择性的完成课本及练习册相应类型题；。

角的概念的推广知识点

角的概念的推广知识点角是几何学中的基本概念之一，广泛应用于我们的日常生活和许多领域。

角可以通过两条线段或射线的相交而形成，它具有独特的特征和属性。

在本文中，我们将探讨角的概念并介绍一些与角相关的推广知识点。

首先，我们来回顾一下角的定义。

在几何学中，角是由两条线段或射线的相交所形成的图形。

相交的两条线段或射线称为角的边，而相交点称为角的顶点。

角的大小用角度度量，常用度（°）来表示。

我们可以使用度数来衡量角的大小，例如，直角的度数为90°，而平角的度数为180°。

除了上述基本概念，我们还可以推广角的定义来研究更多复杂的问题。

例如，角心理解为平面中三个不共线的点形成的图形。

在这种情况下，我们可以通过连接角的顶点和任意两个角的边来形成一个角心。

另一个与角相关的推广知识点是角的类型。

角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。

锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°但小于180°的角，而平角是等于180°的角。

这些不同类型的角在现实生活中广泛应用，帮助我们理解和描述不同的几何形状和结构。

接下来，让我们来研究角的性质。

角具有许多有趣的性质和特征，这些性质有助于我们解决与角相关的问题。

例如，如果两个角的和等于一个直角，那么我们称这两个角为互补角。

同样，如果两个角的和等于180°，那么我们称这两个角为补角。

这些性质可以应用于角的度数计算和几何问题的解决。

除了以上内容，角还有一些与角度计量相关的重要概念。

例如，我们可以将角度单位进一步分为度、分和秒。

1度等于60分，1分等于60秒。

这些单位可用于精确测量角的大小。

另一个重要的概念是角度的转换。

我们可以将角度转换为弧度，以更方便地计算和应用。

这些概念使我们能够更准确地描述和测量角的属性。

最后，让我们思考一下角的应用领域。

角的概念和性质广泛应用于许多领域，如工程、建筑、天文学等。

5.1任意角及其度量教案

第5章三角比5．1任意角及其度量（1）【教学目标】通过一条射线绕着它的端点旋转，了解角的形成过程，然后推广到任意角.理解角的概念，理解任意角中正角和负角的意义.理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，能够准确判断出角的终边在平面直角坐标系中的位置.【教学重点】理解任意角、象限角、终边相同的角等概念.【教学难点】判断出角的终边在平面直角坐标系中的位置.【教学过程】1、角的概念角可以看作是平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形.我们以前学过的角，其大小都在0 到360之间，而在生活中还有其它的角. 我们定义，一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的，（如160 、520 ）；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的，（如200- ）；一条射线没有旋转时，形成的角叫做零角0α=.【问题】经过12分钟，时钟的分针转过的角是多少度？ 72-【说明】确定一个角的大小不仅要看始边、终边的位置，更要看角形成的过程2、象限角的概念在平面直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.当角的终边在坐标轴上时，认为这些角不属于任何象限.（称为轴线角）【问题】1. 在0 到360 之间，各象限角分别是什么范围？2. 判断下列角属于第几象限？ 160,200,520-解：这些角都属于第二象限，还可以发现这三个角的终边重合.3、终边相同的角的概念所有与角α终边重合的角的集合：{|360,}k k Z ββα=⋅+∈【例1】判断下列角属于哪个象限（1）200- （2）516 （3）2000解：（1）第二象限（2）第二象限（3）第三象限【例2】（1）写出与65- 角终边相同的角的集合 {|36065,k k Z αα=⋅-∈（2）写出终边与x 轴正半轴重合的角的集合、终边与x 轴负半轴重合的角的集合{|360,}k k Z αα=⋅∈ 、{|360180,}k k Z αα=⋅+∈（3）写出终边与y 轴正半轴重合的角的集合、终边与y 轴负半轴重合的角的集合{|36090,}k k Z αα=⋅+∈ 、{|360270,}k k Z αα=⋅+∈（4）写出第一象限角的集合 {|36036090,k k k Z αα⋅<<⋅+∈变式：写出第二、三、四象限角的集合{|36090360180,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈ ；{|360180360270,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈{|360270360360,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈【例3】（1）与1024 角终边重合的角中，最小的正角是_______，最大的负角是______；304 、56- （2）与576 角终边重合的角中，绝对值最小的角是______________144-思维拓展：1.已知α为第二象限角，则2α为第象限角. 第一、三象限已知α是第三象限的角，则2α为第象限角. 第二、四象限 2.（1）已知,αβ的终边关于x 轴对称，则,αβ的关系为；0360k αβ+=（2）已知,αβ的终边关于y 轴对称，则,αβ的关系为；00360180k αβ+=+（3）已知,αβ的终边关于原点对称，则,αβ的关系为；00360180k αβ-=+5.1任意角及其度量（2）【教学目标】1、了解弧度的概念，掌握弧度与角度的换算；2、建立起弧度度量角的感性认识.【教学重点】弧度制的理解与应用【教学难点】弧度制的感性认识【教学过程】这节课，我们研究如何度量角的大小.1、角度制.在平面几何中，我们把周角分成360等分，每一份叫做1度的角.这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制.回忆角度制下，圆心角为x 的扇形的弧长公式、面积公式：180r x l π=，3602r x S π=. 2、弧度制由于1 的圆心角所对的弧长为2360180r r l ππ==，x 的圆心角所对的弧长为180r l x π=⋅，由此得到180l x r π=，其中180π为定值，说明比值l r 仅与角的大小有关.因此，我们可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的大小.把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度,符号rad ，读作：弧度.一般地说，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么比值l r 就是角α的弧度数的绝对值，即||l rα=，α的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零. 3、弧度制与角度制的换算：由上述定义，x 的角其弧度数为180xπ弧度，所以 1的角其弧度数为180π弧度. 即1 =180π弧度，两边同除180π得1弧度=180π，两边同乘π得180 =π弧度.[说明]在进行角度制与弧度制互化时要抓住180π= 这个关键．【例1】将100 换算成弧度、将2.3弧度换算成角度（保留两位小数）解：59π弧度、131.78 快速回答：360 =____2π____弧度 90 =____2π____弧度 30 =____6π____弧度 45 =____4π____弧度 60 =____3π____弧度 120 =____23π____弧度 135 =____34π____弧度 150 =____56π____弧度32π弧度=__270 ___ 310π-弧度=__54- _ '6730 =___38π____弧度【例2】设扇形的圆心角为(02)ααπ<<，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，求证：（1）l r α= （2）212S r α= （3）12S lr = 【例3】（1）在扇形OAB 中，已知半径 8,12,OA cm AB cm ==求圆心角AOB ∠和扇形OAB 的面积解：32、248cm （2）已知3弧度的圆心角所对的弧长为9cm ，求此圆心角所夹的扇形面积. 解：2272cm 【例4】（1）把所有与角α终边重合的角的集合用弧度制表示解：{|2,}k k Z ββπα=+∈（2）把每个象限角的范围用弧度制表示：【例5】将下列各角写成2(02,)k k Z πααπ+≤<∈（1）245π （2）403π- （3）450 （4）310- 解：（1）445ππ+ （2）2143ππ-+ （3）22ππ+ （4）5218ππ-+ 【例6】用弧度制表示下列各集合（1）终边在x 轴上的角的集合 {|,}k k Z ααπ=∈（2）终边在y 轴上的角的集合 {|,}2k k Z πααπ=+∈（3）终边落在第一象限的角平分线上的角的集合 {|2,}4k k Z πααπ=+∈（4）终边落在第一、三象限的角平分线上的角的集合 {|,}4k k Z πααπ=+∈ 【例7】判断下列各角分别属于哪个象限（1）232π （2）4- （3）终边落在区间7(,3)2ππ--内解：（1）不属于任何象限（2）第二象限（3）第二象限。

《角的概念的推广》说课稿

《角的概念的推广》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是《角的概念的推广》。

接下来，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“角的概念的推广”是高中数学必修 4 第一章“三角函数”中的重要内容。

在此之前，学生已经学习了角的基本概念，如锐角、直角和钝角等。

而本节课将角的概念进行推广，引入正角、负角和零角的概念，为后续学习三角函数的周期性、诱导公式等知识奠定了基础。

从教材的编排来看，本节课通过实际生活中的例子，如钟表指针的转动、车轮的旋转等，引导学生观察和思考角的变化，从而自然地引出角的概念的推广。

这样的编排既符合学生的认知规律，又能激发学生的学习兴趣。

二、学情分析授课对象是高一年级的学生，他们在初中阶段已经对角有了初步的认识，但对于角的概念的推广可能会感到抽象和难以理解。

然而，这个阶段的学生思维活跃，具有较强的好奇心和求知欲，已经具备了一定的观察、分析和抽象概括能力。

在教学过程中，要充分利用学生已有的知识和经验，通过实例引导、问题驱动等方式，帮助学生逐步理解和掌握角的概念的推广。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解正角、负角和零角的概念，掌握角的终边相同的角的表示方法。

（2）能够正确地画出给定角的终边，会进行角的度量与换算。

2、过程与方法目标（1）通过观察实例、分析问题，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

（2）经历角的概念推广的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生的数学素养。

四、教学重难点1、教学重点（1）正角、负角和零角的概念。

（2）终边相同的角的表示方法。

2、教学难点理解角的概念的推广，掌握终边相同的角的集合的表示。

五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习积极性和主动性。

弧度制教案(第一课时)

课题：5.1 角的概念的推广—弧度制（一）教学目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定义2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算3.熟记特殊角的弧度数教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系授课类型：新授课课时安排：1课时内容分析：讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.教学过程：一、复习引入：1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角⑵ “正角”与“负角”“0角”2．度量角的大小第一种单位制——角度制的定义初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180n rπ=3．探究 30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长,再计算弧长与半径的比. 结论：圆心角不变，则比值不变，因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制二、讲解新课：1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad,读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. ⑶角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径）⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π, '185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad三、讲解范例：例1 把'3067化成弧度解：∵⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例2 把rad π53化成度解：3318010855rad π=⨯=注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3rad ，sin π表示πrad 角的正弦；与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.例3用弧度制表示：1.终边在x 轴上的角的集合;2.终边在y 轴上的角的集合;3.终边在坐标轴上的角的集合. 解：1.终边在x 轴上的角的集合 1{|,}S k k Z ββπ==∈ 2.终边在y 轴上的角的集合 2{|,}2S k k Z πββπ==+∈3.终边在坐标轴上的角的集合 3{|,}2k S k Z πββ==∈ 四、课堂练习：1.下列各对角中终边相同的角是( )A.πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ） B.－3π和322πC.－97π和911πD. 9122320ππ和2.若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为，第一或第三象限角的集合为 .5.7弧度的角在第象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .7.求值：2cos4tan6cos6tan3tan3sinππππππ-+.8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B . 9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角. 参考答案：1.C2.C3.C4.｛α｜2kπ＜α＜2π＋2kπ，k ∈Z } ｛α｜kπ＜α＜2π＋kπ，k ∈Z ｝ 5.一 7－2π 6.3 7.2 8.A ∩B ＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝ 9.2411π五、小结 1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数六、课后作业：已知α是第二象限角，试求：(1)2α角所在的象限；(2)3α角所在的象限；(3)2α角所在范围. 解：(1)∵α是第二象限角,∴2π+2kπ<α<π+2kπ,k ∈Z ,即4π+kπ<2α<2π+kπ,k ∈Z .故当k =2m (m ∈Z )时，4π+2mπ<2α<2π+2mπ,因此，2α角是第一象限角；当k =2m +1(m ∈Z )时，45π+2mπ<2α<23π+2mπ,因此，2α角是第三象限角. 综上可知，2α角是第一或第三象限角.(2)同理可求得3α角所在范围为：6π+32kπ<3α<3π+32kπ,k ∈Z .可得，3α角是第一、第二或第四象限角. (3)同理可求得2α角所在范围为：π+4kπ<2α<2π+4kπ,k ∈Z . 可得，2α角是第三、第四或y 轴负半轴上的角.评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°<α<90°这个区间角，只是k =0时第一象限角的一种特殊情况.(2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以k 取不同值，讨论形如θ=α+32kπ(k ∈Z )所表示的角所在象限.(3)对于本例(3)，不能说2α只是第三、第四象限的角，因为2α也可为终边在y 轴负半轴上的角23π+4kπ(k ∈Z ),而此角不属于任何象限. 七、板书设计（略）八、课后记：。

5.1角的概念与推广

教学过程前期准备制作好教学设计，备好课程，对知识深入了解进行书本上的预习提前了解会更快吸收1天【新课导入】我们已经学过很多角，如：锐角、直角、钝角、平角和周角.这些角的范围都在0︒到360︒之间，但在现实生活中还有其他的角，如：钟摆摆动时，钟摆所形成的角、车轮旋转时轮辐条所形成的角……，这就需要我们推广角的概念.【双基讲解】1. 角的概念的推广：角可以看作由一条射线绕着其端点由初始位置(始边)旋转到终止位置(终边)所形成的.射线绕其端点按逆时针方向旋转所形成的角，叫做正角；射线绕其端点按顺时针方向旋转所形成的角，叫做负角；射线没有任何旋转时，也把它看成一个角，叫做零角.生活实例引入归纳类比引入新课。

教师根据概念细致讲解，理解角的含义与性质。

引发学生的好奇心调动学生的积极性。

体会角推导的过程。

数形结合深入理解角的概念。

5min15in想一想：轿车的方向盘逆时针旋转一圈半，轿车方向盘的旋转角为多少？如果顺时针旋转一圈半呢？ 2. 象限角的概念：由于实际问题的需要，我们对任意角作如下规定：在平面直角坐标系中，把角的顶点置于直角坐标系的原点，角的始边与x 轴的正半轴重合.角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角.注意：如果角的终边落在坐标轴上，那么这个角不属于任何象限.3.终边相同的角的集合：与角α终边相同的角(包括α)都可以表示成如下形式： ()360k k α︒+∈因此，与角α终边相同的角β的集合可表示为： {}360,k k ββα=︒+∈【示范例题】例1 分别写出与下列各角的终边相同的角的集合： (1) 30︒； (2) 135-︒.解 (1) 与30︒角的终边相同的角的集合是：引导学生思考，小组合作，理解概念。

加深对概念的理解与应用。

20m i n{}36030,k k ββ=︒+︒∈；(2) 与135-︒角的终边相同的角的集合是：{}360135,k k ββ=︒-︒∈.例2 设0360α︒≤<︒，下列各题中角A ,B 的终边与角α的终边重合，求角α.并在平面直角坐标系中作出角A ,B ，并判断它们属于哪个象限.(1) 820A =︒； (2) 740B =-︒. 解 (1) 360820k α︒+=︒.0360α︒≤<︒,2k ∴=.8202360100α=︒-⨯︒=︒. 角A 的图像如图所示.100︒是第二象限角，所以820︒角也是第二象限角. (2) 360740k α︒+=-︒.0360α︒≤<︒,3k ∴=-.7403360340α=-︒-⨯︒=︒. 角B 的图像如图所示.340︒是第四象限角，所以740-︒角也是第四象限角.例题讲解理解角的概念。