数字信号处理部分习题标准答案1

(5 (8 3n))
( 3+3n))
3
x(n2
2n 1)
(6 (n2 (5 (n2
2n 1)) u((n2 2n 1))
2n 1) 6)
(n2 (n2
2n 5) u(n2 2n 4)
2n 7) ；n2
2n 7
0
整理得： n 1 2 2或n 1 2 2；即：n 2或n 1
1.5 判断下列序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
当| g(n) | 时，输出有界，系统为稳定系统；
当| g(n) | 时，输出无界，系统为不稳定系统；
n
（2） T [ x(n)]
x(k )
k n0
系统为：线性、时变、非因果、不稳定
（3）T[x(n)] ex(n)
系统为：非线性、时不变、因果、稳定
（4）T[x(n2 )]
系统为：线性、时不变、因果、不稳定
解： x(n) (6 n) u(n 6) ；n 6 (5 n)
x(4 n) (6 (4 n)) u((4 n) 6) (2 n) u( n 2) ；n 2
(5 (4 n))
(1 n)
1 / 10
数字信号处理及应用作业解答
x(8 3n) (6 (8 3n)) u((8 3n) 6) ( 2 3n)) u(2 3n) ；n 2
4 / 10
数字信号处理及应用作业解答
解：（1） y1(0) 1时，
(a) 设 x1(n) δ(n),
i)
向 n>0 处递推，按 y1(n) ay1(n 1) x1(n)
y1(1) ay1(0) x1(1) a
y1(2) ay1(1) x1(2) a2
...
y1(n) ay1(n 1) x1(n) an
（1） x(n) （2） y(n)
分析：
Asin 3 πn 4
Asin(3 n 4
B cos 1 πn ，A、B 是常数； 5
π ) ，A 是常数。 4
序列为 x(n) Acos(ω0n ψ) 或 x(n) Asin(ω0n ψ) 时，不一定是周期序列，
当 2π / ω0 为整数时，周期是 2π / ω0
因而 y3( 1)
1 a [ y3(0) x3(0)]
0
1 y3( 2) a [ y3( 1) x3( 1)] 0
1 y3( 3) a [ y3( 2) x3( 2)] 0
...
y3 (n)
1 a
[
y3
(n
1)
x3 (n
1)]
0
综合 i),ii)可知： y3(n) an 1(a 1)u(n 1) δ(n)
n
（2） T [ x(n)]
x(k )
k n0
（3）T[x(n)] ex(n)
（4）T[x(n2 )]
（5）T[x(n)] x2 (n)
解：（1）T[x(n)] g(n)x(n)
T [ax1(n) bx2(n)] g (n)[ax1(n) bx2(n)] ag (n)x1(n) abx2(n) aT [x1(n)] bT [x2(n)] 满足叠加原理，是线性系统。
i)
向 n>0 处递推，按 y2 (n) ay2 (n 1) x2 (n)
y2 (1) ay2 (0) x2 (1) 1
y2 (2) ay2 (1) x2(2) a
...
y2 (n) ay2 (n 1) x2 (n) an 1
y2 (n) an 1, n 1
8 / 10
ii)
向 n<0 处递推，将原方程加以变换
当 2π P 有理数时，P，Q 为互素的整数，则周期为 P ω0 Q
当 2π / ω0 为无理数时，非周期序列
解：（1） x(n) Asin 3 πn 4
考虑
A sin
3 4
πn
，其
2π
/
ω0
考虑
B
cos
1 5
πn
，其
2π
/
ω0
B cos 1 πn ，A、B 是常数； 5
2π 8 ，周期为 8 3π 3 4
0
y1( 3)
1 a
[
y1
(
2)
x1( 2)]
0
...
1 y1(n) a [ y1(n 1) x1(n 1)] 0
综合 i),ii)可知： y1(n) anu(n)
(b) 设 x2 (n) δ(n 1),
i） 向 n>0 处递推，按 y2 (n) ay2 (n 1) x2 (n)
y2 (1) ay2 (0) x2 (1) a 1
（4） 3n u(n)
2 / 10
数字信号处理及应用作业解答
分析：
已 知 LSI 系 统 的 单 位 抽 样 响 应 ， 可 用 | h(n) | M
n
h(n) 0, n 0 来判定因果性。
来判定稳定性，用
解：（2） δ(n n0 ) ， 当 n0 0 时， n 0, h(n) δ(n n0) 0, 时，所以是因果系统 当 n0 0 时， n 0, h(n) δ(n n0) 0, 时，所以是非因果系统
数字信号处理及应用作业解答
数字信号处理部分习题解答
1.1 一个理想采样系统（如题 1.1 图所示），采样频率为 Ωs 8π ，采样后经理想低通滤 波器 G( jΩ) 还原
1/ 4 Ω 4π G( jΩ)
0 Ω 4π 今有两个输入， xa1(t) cos(2πt) ， xa2 (t) cos(5πt) ，问输出信号 ya1(t) ， ya2 (t) 有
综合 i),ii)可知： y2 (n) an 1u(n 1)
由(a),(b)结果可知，
x1(n)与x2 (n) 是移一位的关系，但 y1(n)与y2 (n) 不是移一位的关系，所以在 y(0) 0 条件
下，系统不是移不变系统。
c) 设 x3(n) δ(n) δ(n 1),
i） 向 n>0 处递推，按 y3(n) ay3(n 1) x3(n)
而 y1(n) anu(n) ， y2 (n) an 1(a 1)u(n 1) anu( n)
y3(n) y1(n) y2 (n)
所以系统在 y(0) 1 条件下不是线性系统。
（3）当 y1(0) 0 时，
7 / 10
数字信号处理及应用作业解答
(a) 设 x1(n) δ(n), 按 y1(n) ay1(n 1) x1(n)
数字信号处理及应用作业解答
1 y2 (n) a [ y2 (n 1) x2 (n 1)]
因而 y2 ( 1)
1 a
[
y2
(0)
x2 (0)]
0
y2 ( 2)
1 a
[
y2
(
1)
x2 ( 1)]
0
y2 ( 3)
1 a
[
y2
(
2)
x2 ( 2)]
0
...
1 y2 (n) a [ y2 (n 1) x2 (n 1)] 0
y2 (2) ay2 (1) x2(2) a(a 1)
y2 (3) ay2 (2) x2 (3) a2 (a 1)
...
y1(n) ay1(n 1) x1(n) an 1(a 1)
y2 (n) an 1(a 1), n 1
ii） 向 n<0 处递推，将原方程加以变换
1 y2 (n) a [ y2 (n 1) x2 (n 1)]
| h(n) |
δ(n n0 ) 1
n
n
，为稳定系统。
（4） 3n u(n)
n 0, h(n) 3nu(n) 0, 时，所以是因果系统
| h(n) |
3n u(n) lim (3n 1)
n
n
n
2
，为非稳定系统。
1.7 对于下列系统，试判断系统是否为：① 稳定；② 因果；③ 线性；④ 时不变系统。
（1）T[x(n)] g(n)x(n)
y3(1) ay3(0) x3(1) 1
y3(2) ay3(1) x3(2) a
y3(3) ay3(2) x3(3) a2
...
y3(n) ay3(n 1) x3(n) an 1
y3(n) an 1, n 1
ii） 向 n<0 处递推，将原方程加以变换
y3 (n)
1 a
[
y3
(n
1)
x3 (n
1)]
因而 y2 ( 1)
1 a [ y2 (0) x2 (0)]
a1
y2 ( 2)
1 a [ y2 ( 1)
x2 ( 1)]
a2
y2 ( 3)
1 a
[
y2
(
2)
x2 ( 2)]
a3
...
y2 (n)
1 a [ y2 (n 1) x2 (n 1)]
ห้องสมุดไป่ตู้
an
综合 i),ii)可知： y2 (n) an 1(a 1)u(n 1) anu( n)
因而 y3( 1)
1 a
[
y3
(0)
x3 (0)]
a1
y3( 2)
1 a
[
y3
(
1)
x3( 1)]
a2
9 / 10
数字信号处理及应用作业解答
1 y3( 3) a [ y3( 2) x3( 2)]
a3
...
1 y3(n) a [ y3(n 1) x3(n 1)]
2π 1π
10 ，周期为 10
5
所以 x(n) 是周期序列，周期为 40
解：（2） y(n) Asin( 3 n π) ，A 是常数。 44
2π / ω0
2π 3
8 π 为无理数， y(n) 不是周期序列。 3
4
1.6 以下是系统的单位脉冲响应 h(n) ，试指出系统的因果性以及稳定性。
（2） δ(n n0 ) ， n0 0 或 n0 0
3 / 10
数字信号处理及应用作业解答
T[x(n m)] g(n)x(n m)
y(n m) g(n m)x(n m) T[x(n m)] 不是时不变系统 T[x(n)] g(n)x(n) ，因为系统的输出只取决于当前的输入，与未来输入无关，所以
是因果系统。
若 x(n) 有界，| x(n) | M , |T[x(n)]| | g(n)x(n) | M | g(n) |
y1(n) anu(n)
ii)
向 n<0 处递推，将原方程加以变换
y1(n 1) ay1(n) x1(n 1)
则 y1(n)
1 a [ y1(n 1) x1(n 1)]
5 / 10
数字信号处理及应用作业解答
因而 y1( 1)
1 a [ y1(0) x1(0)]
0
y1( 2)
1 a
[
y1(
1)
x1( 1)]
没有失真？为什么失真？
题 1.1 图
解：若要输出信号不失真，则抽样频率 fs 必须大于 2 倍信号频谱的最高频率 fM,即
fs
2fM
，所以 M

1 2
s
，根据奈奎斯特定理：
对 xa1(t) 而言， M =2������，而 Ωs 8π 〉2 M =4������，所以 ya1(t) 无失真，可以被还原。
因而 y1( 1)
1 a
[
y1
(0)
x1(0)]
a1
y1( 2)
1 a
[
y1
(
1)
x1( 1)]
a2
y1( 3)
1 a
[
y1
(
2)
x1( 2)]
a3
...
1 y1(n) a [ y1(n 1) x1(n 1)]
an
综合 i),ii)可知： y1(n) anu( n 1)
(b)设 x2 (n) δ(n 1),
对 xa2 (t) 而言，M =5������，而 Ωs 8π <2 M =10������，所以 ya1(t) 有失真，不可以被还原。
1.4 已知序列 x(n) (6 n)[x(n) u(n 6)]，画出下面序列的示意图。
（1） x(4 n)
（2） x(2n 3)
（3） x(8 3n)
（4） x(n2 2n 1)
由(a),(b)结果可知，
6 / 10
数字信号处理及应用作业解答
x1(n)与x2 (n) 是移一位的关系，但 y1(n)与y2 (n) 不是移一位的关系，所以在 y(0) 1 的条
件下，系统不是移不变系统。
（2） 设 x3(n) δ(n) δ(n 1),
i)
向 n>0 处递推，按 y3(n) ay3(n 1) x3(n)
i)
向 n>0 处递推，
y1(1) ay1(0) x1(1) 0
y1(2) ay1(1) x1(2) 0
...
y1(n) ay1(n 1) x1(n) 0
y1(n) 0, n 0
ii) 向 n<0 处递推，将原方程加以变换
y1(n 1) ay1(n) x1(n 1)
则 y1(n)
1 a [ y1(n 1) x1(n 1)]
y3(1) ay3(0) x3(1) a 1
y3(2) ay3(1) x3(2) a(a 1)
y3(3) ay3(2) x3(3) a2 (a 1)
...
y3(n) ay3(n 1) x3(n) an 1(a 1)
y3(n) an 1(a 1), n 1
ii)
向 n<0 处递推，将原方程加以变换
1 y3(n) a [ y3(n 1) x3(n 1)]
（5）T[x(n)] x2 (n)
系统为：非线性、时不变、因果、稳定
1.10 讨论一个输入为 x(n) 和输出为 y(n) 的系统，系统的输入和输出关系由下列性质决 定：① y(n) ay(n 1) x(n) ；② y(0) 1
（1）判断该系统是否为时不变的； （2）判断该系统是否为线性的；
（3）假设差分方程保持不变但 y(0) 0 ，（1）和（2）的答案是否改变？ 分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。