量子力学第五章习题
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第五章 微扰理论
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知
()()0
ˆH
U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即
()2004ze U r r
πε=-
()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为
()2
04ze U r r
πε=-
在0r r <的区域, ()U r 可由下式
()r U r e Edr ∞
=-⎰
其中电场为
()
()
3023300000201
4,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε⎧=≤⎪⎪
=⎨
⎪>⎪
⎩
则有:
()()()()
2
2
3
2
000
22222
2200
033000000
1443848r r
r r r
r U r e Edr e Edr
Ze Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞
∞
=--=-
-
=---=--≤⎰⎰⎰
⎰
因此有微扰哈密顿量为
()()()()
222
200300
031ˆ220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ⎧⎛⎫--+
≤⎪ ⎪'=-=⎨⎝⎭⎪>⎩
其中s e =类氢原子基态的一级波函数为
()(
32
10010000032
02exp 2Zr
a R Y Z a Zr a Z e
a ψ-==-⎫=⎪⎭
按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为
()()()0
0*0011
11
100100
3
2222222000000ˆ1
31sin 4422Zr
r a s s E H H
d Z
e Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτϕθθπ
-''==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎰
⎰⎰⎰
00
3
222224300000
3
1
422Zr
Zr Zr r r r a a a s Z Ze e r dr e r dr e
rdr a r r ---⎛⎫⎛⎫
=--
-
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝
⎭
⎰⎰⎰ 完成上面的积分,需要作作三个形如0
b m y y e dy -⎰的积分,用分部积分法,得
00
00
22200
0222
2
000000022112222Zr Zr r a a y Zr Zr a a a e
rdr ye dy
Z a Zr a a a e e r Z a Z Z Z -
---⎛⎫= ⎪
⎝⎭
⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪
=-+-=-++⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭
⎰⎰
00
00
222233
22000
0000
23
2
2000000222222222222Zr Zr Zr
r a a a y Zr a a a Zr Zr e
r dr y e dy e Z Z a a a a a a e
r r Z Z Z Z ----
⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎢⎥==-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎢⎥⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩
⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎰⎰
00
002254400
025
00000000040002222224242412422424222Zr Zr
r a a y Zr a a e
r dr y e dy
Z a Zr Zr Zr Zr e Z a a a a a a a Z Z Z ---
⎛⎫= ⎪
⎝⎭
⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪=+--+++ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩
⎭
⎛⎫⎛⎫⎛=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰
000
2325
234
000000025
234
4320000
00000023412424222233324222Zr a Zr a a a a r r r r e Z Z Z a a a a a a r r r r e Z Z Z Z Z Z --⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
我们可以计算1
1E ,
00
0000
3
2321
22000010020025234432
000000000032340
203422222233312422222Zr a s Zr a Zr a a a a a Z E Ze e r r a r Z Z Z Z a a a a a a r r r r e r Z Z Z Z Z Z a e Z ---⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=--+++⎢⎥
⎨ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎪⎣⎦
⎩⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-- ⎝00
200022
2
2
200
022323
0000022333332222Zr a s
s
a a r Z Z a a a Z Ze e Ze r Zr Z r r Z r a -⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪++⎢⎥⎬
⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎣⎦⎭⎛⎫⎛⎫=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.
氢原子的半径约为13~10r cm -, 而80~10a
a cm Z -=.所以有
52135
10821010~110r a r e e a ------=≈≈ 于是
022223222212522001
003333
00000
4314311222232525r
r
s s s s s a s Ze Ze Ze r Ze Ze r r E e
r dr r Ze r a r r r a r r a -⎡⎤⎛⎫⎡⎤=--+=-++=⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎣⎦⎰