线性代数期末考试重点

也就是说当且仅当 k1, k2 , , km 都是零时才能使（Ⅲ）式成立，则
1, 2 , , m 线性无
关。
主要结论：
（ 1）向量组 1 , 2 , , m 线性相关 齐次线性方程组有非零解 A =（ 1, 2 , , m ）的秩小于 m ；
同样线性无关 仅有零解 R( A) m
它所构成的矩阵
（ 2）n 个 n 维向量 1 a11, a12, , a1n ， 2 ( a21 , a22 , , a 2n )
n (an1 , an 2 , a nn ) 线性
相关
a11 a12 行列式 a21 a22
a1n a2n 0 ，线性无关
行列式 0
an 1 an 2
a nn
（ 3）m个 n 维向量，当维数 n m 时，向量组一定线性相关。特别地，
n 1个 n 维向
量必线性相关；
（ 4）若向量组 A： 1, 2 , , m 线性相关 向量组 B: 1, 2 , , m , m 1 一定线性相关；
3．矩阵的多项式设 ( x) a0 a1 x
an x n ，A 为 n 阶方阵，则
( A) a0E a1 A
an An 称为 A 的 n 次多项式。
对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：
（ 1）如果 A P P 1 ，则 ( A) a0 E a1 A
an An
Pa0 EP 1 Pa1 P 1
Pan nP 1 = P ( ) P 1
A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积；
A 的列（行）向量组线性无关；
A 的所有的特征值均不等于零 求法：①伴随矩阵法： A 1 1 A*
A
②初等变换法： A, E 初等行变换
E, A 1 或 A E
初等列变换
E A 1 ， E 是单位矩阵
性质：（1）矩阵 A 可逆，则 A 的逆矩阵是唯一的
（2）设 A 是 n 阶矩阵，则有下列结论①若 A 可逆，则 A 1 也可逆，且 ( A 1) 1 A
《线性代数》的主要知识点
第一部分
行列式
概念：
1． n 阶行列式展开式的特点：①共有 n! 项，正负各半；
②每项有 n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列； ③每一项的符号为 ( 1) (行） （列） 2． 元素的余子式以及代数余子式 A ij ( 1)i j M ij
3． 行列式的性质
计算方法：
1． 对角线法则
（ 2）若
diag (a1, a2 , an ) ，则 ( ) diag ( (a1), (a2 ), (an ))
4．逆矩阵： n 阶矩阵 A, B ，若 AB BA E ，则 A,B 互为逆矩阵。
n 阶矩阵 A 可逆 A 0；
r ( A) n （或表示为 R( A) n ）即 A 为满秩矩阵；
A 与 E 等价；
可以由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向
量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价。记为： （ 1, 2 , , s ） 主要结论：
（ 1, 2, , m ）≌
（ 1）矩阵 A 与 B 若行等价，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价；
若矩阵 A 与 B 若列等价，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价
反之，向量组 B 若线性无关 向量组 A 线性无关
或叙述为：整体无关，则任意部分无关；只要有一部分相关，则整体相关；
（ 5）若向量组 A： 1, 2 , , m 线性无关，而向量组 B: 1 , 2 , , m , 线性相关
必能由向量组 A 线性表示，且表达式唯一
（ 6）若 r 维向量组 1, 2 , , m 线性无关， 则在每一个向量上再添加 n r 个分量所得
（ 2）向量组 A 中任意 r 1个向量（如果 A 中有 r 1个向量的话）都是线性相关的
那么称 1, 2 , , r 是向量组 A 的一个最大（极大）线性无关部分组 条件（ 2）也可以改为：向量组 A 中任意一个向量都可以由 1 , 2 , , r 线性表示，
结论 :
①一个向量组的极大无关组是它的线性无关部分组中个数最多的那一个
（ 2）向量组 B： b1, b2 , bl 能由向量组 A: a1, a2, am 线性表示
B=AK 方程 AX=B有解
R(A) R(A,B)
存在矩阵 K，使得
（ 3）向量组 A: a1 ,a2 , am 与向量组 B：b1,b2 , bl 等价 R( A) R( B) R( A, B) ，其中， A,B 是向量组构成的矩阵
n 阶可逆矩阵 Q ，使得 AQ B
③ A, B 等价
m 阶可逆矩阵 P ， n 阶可逆矩阵 Q ，使得 PAQ B
利用矩阵的初等变换解矩阵方程 AX B ， X A 1 B ，可以： (A B) 初等行变换 ( E A 1B) XA B ， X BA 1 ，可以： ( AT B T ) 初等行变换 ( E X T ) ，从而解出 X。 10．矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为 r (A )或R（A ）
9．矩阵的等价：如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与矩阵 B等
价。
且若矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与 B行等价；
若仅经过初等列变换，就称 A与B列等价。
设 A, B 为 m n 矩阵
① A 与 B 行等价
m 阶可逆矩阵 P ，使得 PA B
② A 与 B 列等价
A n 1 ② A*
A A 1 ③ ( A* ) 1
1 A ④ ( A* ) 1 ( A 1 )* 等
A
7．初等矩阵：由单位矩阵 E 经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。
三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：
（1） E(i, j ) （互换 E 的第 i 、 j 列）
（2） E(i( k)) （ E 的第 i 行乘以不为零的数 k ）
求法： A 初等行变换 行阶梯形矩阵 B， R（ A ）=B 的非零行的行数。
相关公式：①若 A 是 m n 矩阵，则 0 R(A) min{ n,m} ② R( AT ) R( A) ③ A ~ B R( A) = R(B) ④若设 A 为 m n 矩阵， Pm , Qn 均为可逆矩阵，则 r ( A) r ( PAQ ) ⑤，则 max{ R( A), R(B)} R( A, B) R( A) R( B)
（ 4）向量组 B： b1 ,b2 , bl 能由向量组 A: a1, a2, am 线性表示，则 R( b1 ,b2 , bl ) R( a1, a2 , am ) 3．线性相关与线性无关
对向量组 A： 1, 2 , , m ，如果存在不全为零的一组数 k1, k2 , , km ，使得：
k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组 A 是 线性相关 的，否则称为 线性无关 ，
ri kr j 第 j 行 k 倍加
到第 i 行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义
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矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换
矩阵的初等变换与初等矩阵的关系： 设 A是一个 m n 矩阵，则
① 对 A施行一次初等行变换，相当于在 A的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；
② 对 A施行一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵
初等矩阵的行列式分别是 -1 ， k,1 。
8．矩阵的初等变换：初等行变换 : 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
① 对调两行；记为 ri r j 对换第 i与 j 行 ② 以数 k 0 乘某一行中的所有元素；记为 ri k 第 i 行乘 k ③ 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去；记为
⑥若 A, B 均为 m n 矩阵，则 R(A B) R(A) R( B)
⑦ R( AB ) min( R( A), R( B)) ⑧若 Am n Bn t O ，则 R( A) R( B ) n
11．分块矩阵：主要记住：
（ 1）分块对角矩阵：设 A. 为 n 阶方程，若 A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子
① AT A ② A n A ③ AB A B
6．伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下的矩阵
A11 A21
A*
A12 A22
An1 An2 ，称为矩阵 A 的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同）
A1 n A2 n
Ann
伴随矩阵具有性质： AA* A* A A E
常见的公式有：① A*
②一个向量组的极大无关组不是唯一的
③向量组的任意一个极大无关组所含向量的个数是唯一确定的
④若向量组 1 , 2 , , s 线性无关，其极大无关组就是其本身 ⑤任一向量组和它的极大无关组等价 ⑥向量组 1, 2, , s 中任意两个极大无关组等价 5．向量组的秩：向量组 1, 2 , , s 中极大无关组所含向量的个数 r 称为向量组 A 的 秩。
22
mm
则向量 是向量组 A 的线性组合，也称向量 可以由向量组 A 线性表示
向量 能由向量组 A 线性表示 方程组 x1 1 x2 2
xm m
有解
矩阵 A=（ 1 , 2 , , m ）的秩等于矩阵 B=( 1, 2, , m ， ) 的秩
2．等价：设有两个向量组 A： 1, 2, , m 及 B： 1 , 2 , , s ，若 B 中的每个向量都
2． 行列式的按行（列）展开 ( 另有异乘变零定理 )
第二部分矩阵
1． 矩阵的乘积
注意：①不满足交换率（一般情况下 AB BA ）
②不满足消去率（由 AB=AC不能得出 B=C）
③由 AB=0不能得出 A=0或 B=0
④若 AB=BA，则称 A 与 B 是可换矩阵
2．矩阵的转置
满足的法则： (A B )T A T B T ， (kA) T kAT , ( AB) T B T AT
第三部分向量组
1． 线性组合：给定向量组 A： 1 , 2 , , m ，对于任意一组实数，称向量 k1 1 k2 2 km m 为向量组的一个线性组合， k1, k2 , , km 称为该线性组合的系数。
给定向量组 A： 1, 2 , , m 和向量 ，如果存在一组数 1, 2, , m ，使得
=11
BO
1 mn ab
AC
另有：（ 2）设有分块矩阵 H
，其中 A, B 分别为 m 阶、 n 阶可逆矩阵，则矩
OB
阵 H 可逆且 H 1 A 1 O
A 1CB 1 B1
（ 3）设有分块矩阵 H
AO ，其中 A, B 分别为 m 阶、 n 阶可逆矩阵，则
CB
矩阵 H 可逆且 H 1
A1
O
B 1CA 1 B 1
块，
其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方块，即
A1
A.
A2
As 其行列式与逆矩阵具有下述性质：
① A Ai A2 As
②若 Ai 0,(i 1,2, , s) ，则 A 0 ，故 A 可逆，并有 : A. 1
A1 1 A2 1
As 1
OA ③设 A 是 m 阶方阵 , B 是 n 阶方阵 ,, 且 A a , B b , 则
（3） E(ij ( k)) （把 E 的 j 行的 k 倍加到第 i 行上）
初等矩阵具有下述性质： 初等矩阵的转置仍为初等矩阵； 初等矩阵都是可逆矩阵， 其逆矩阵仍为初等矩阵且 E(i , j ) 1 E(i, j ) 、E[ i (k)] 1 E[ i( k 1)] 、E[ ij (k)] 1 E[i , j ( k )] ；
②若 A 可逆，则 AT 也可逆，且 ( AT ) 1 ( A 1) T
③若 A 可逆，数 k 0 ，则 kA 可逆，且 (kA) 1 1 A 1 k
④若 A.B 为同阶矩阵且均可逆，则 A.B 也可逆，且 ( AB ) 1
B 1A 1
5．方阵 A 的行列式：
满足下述运算规律（设 A, B 为 n 阶方阵， 为数）
到的 n 维向量组
1 1
,
2 1,
, m1也是线性无关的
（ 7）向量组 A： 1, 2, , m 线性相关 其中至少有一个向量是其余 m 1 个向量的
线性组合；线性无关 每一个向量都不能由其余向量线性表示。
（ 8）如果向量组 A： 1 , 2, , s 可由向量组 B: 1, 2 , , t 线性表示，并且 s t 向
量组 A： 1, 2, , s 线性相关；
（逆否命题 :A ： 1 , 2 , , s 线性无关且可由向量组 B 1, 2 , , t 线性表示 s t ） 4．最大（极大） 线性无关组： 设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量 1, 2 , , r ， 满足（ 1）向量组 A0 ： 1, 2 , , r 线性无关；