分式方程和无理方程

所以 4x 5 2x a ，2x 5 a
所以 x 5 a 0 且 5 a 1
2
2
解得 a 5 且 a 7
方
1.在分式方程两边同乘以最简公分母，
法 提
可把分式方程化为整式方程
炼
2.换元可以使解方程的过程变得简便
3. 解分式方程时应注意检验
一化二解三检验
解得 x 4
或
x 3 2
经检验，x 4 是原方程的根，
x 3 是增根.
2
典
例6（2）解方程 2x 2x 1 5
型
例
此题也可令 2x 1 t (t 0)
题
转化为 t 的一元二次方程
t 2 1 t 5 即 t 2 t 6 0 求解.
解得 t 3 或 t 2 （舍去）
3、解分式方程的注意点
在解分式方程后都必需检验,这是因为从分式 方程到整式方程的转化有时不是等价的.
例3（1） 解方程
7 5 x2 x
典 型 例
解： 两边同乘以最简公分母 x(x 2) 题
得 7x 5(x 2)
解得 x 5 经检验， x 5 是原方程的解.
例3（2） 解方程
即 2x 1 3 解得 x 4
典
例7 解方程 3x 2 x 3 3
型
例
解： 移项得 3x 2 3 x 3
题
两边平方，整理得 3 x 3 7 x
再两边平方，化简得 x2 23x 22 0
解得 x1 1, x2 22 经检验 x1 1 为原方程的根，
新高一数学
高次方程、分式方程、 无理方程的解法
内容概况
两边同乘以最简公分母、
分式方程
换元
整式方程
两边平方、换元
无理方程
有理方程
二、分式方程的解法
百度文库
知
1、什么是分式方程
识 要
分母中含有未知数的方程叫分式方程. 点
2、分式方程的解法
我们可通过将方程两边同乘以最简公分母 或者换元将分式方程转化为整式方程.
三、无理方程的解法
知
1、什么是无理方程
识 要
根号内含有未知数的方程叫无理方程. 点
2、无理方程的解法
我们可通过将方程两边平方或者换元 将无理方程转化为有理方程.
3、解无理方程的注意点
在解无理方程后必需检验,这是因为从无理 方程到有理方程的转化有时不是等价的.
典
例6（1）解方程 x 7 x 1
方
法
1. 移项，平方可把无理方程化为有理方程
提 炼
2.换元可以使解方程的过程变得简便
3.解无理方程时应注意检验
一化二解三检验
课 堂 小
1.三种方程高次、分式、无理方程的解法 结 2.一个方法——换元 3.一个思想——等价转化的数学思想
3, x4
3
经检验 以上均为原方程的根.
换元可以使运算变得简便
例5 已知关于 x 的方程
典 型
x 1 x 2 2x a 的解为负数
x 2 x 1 (x 2)( x 1)
例 题
求实数 a 的范围.
解： 左边通分
4x 5 2x a (x 2)( x 1) (x 2)( x 1)
型
例
解：令 x2 5x 1 t (t 0)
题
则原方程化为 3t 2 2t 5 0
解得
t1
1, t2


5 3
（舍去）
所以 x2 5x 1 1
解得 x1 5, x2 0 经检验 x1 5, x2 0 都是原方程的根.
通过换元可将原方程化为关于 t 的一元二次方程.
使最简公分母值为零的根
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后的,根所.得所的以根我是们·整解·式分·方式·程方的程根时一,而定不要是·代分·入式·最方·简程 公分母检验
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程.
型
例
x 7 (x 1)2 *
题
解：

x

7

0

x

1

0
解得 x 2 （ x 3 为增根 ）
此题也可先解出方程*的根， 再代回原方程检验.
典
例6（2）解方程 2x 2x 1 5
型
例
解：移项， 2x 1 2x 5
题
两边平方，化简得 2x2 11x 12 0
2 2 1

t
原方程可化为
t 3 2 t
题
即 t 2 2t 3 0
解得 t1 3, t2 1
所以
x2 2x
2 2 1

3
或
x2 2x
2 2 1

1
典
即 7x2 1 0 或 x2 3 0
型 例
题
解得
x1
7 7
,
x2

7 7
,
x3


2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
一化二解三检验
例4 解方程
x2 2 2x2 1

3(2x2 1) x2 2

2
典 型 例
解： 令
x2 2x
x2 22 是增根. 方程一边出现两个根号时要先移项.
解无理方程的思路是：
无理 方程
去根号
有理 方程
解无理方程的一般步骤
1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先 移项，再平方
2、解这个有理方程.
3、把有理方程的解代入原方程检验
4、写出原方程的根.
一化二解三检验
典
例8 解方程 3x2 15x 2 x2 5x 1 2
5x 2 3 x2 x x 1
典 型 例
解：两边同乘以最简公分母 x2 x
题
得 (5x 2)( x 1) 3(x2 x)
化简为 (x 1)2 0
解得 x 1
为什么会产 生增根？
经检验 x 1 是增根，原方程无解.
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不·适·合·于·原·方·程·的·根·.