数学:1.1.1变化率问题教案 (2)

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§1.1.1变化率问题

教学目标

1.理解平均变化率的概念;

2.了解平均变化率的几何意义;

3.会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;

教学难点:平均变化率的概念.

教学过程:

一.创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度

等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是3

3

4)(r r V π=

如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3

43)(π

V V r = 分析: 3

43)(π

V V r =, ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-

气球的平均膨胀率为

)/(62.00

1)

0()1(L dm r r ≈--

⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-

气球的平均膨胀率为

)/(16.01

2)

1()2(L dm r r ≈--

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考:当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?

1

212)

()(V V V r V r --

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平

h

t

均速v 度粗略地描述其运动状态?

思考计算:5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.40

5.0)

0()5.0(s m h h v =--=;

在21≤≤t 这段时间里,)/(2.81

2)

1()2(s m h h v -=--=

探究:计算运动员在49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: ⑴运动员在这段时间内使静止的吗?

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

探究过程:如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像,结合图形可知,)0()49

65

(

h h =,

所以)/(0049

65)0()4965

(

m s h h v =--=

, 虽然运动员在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ,但实际情况是运动员仍

然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (二)平均变化率概念:

1.上述问题中的变化率可用式子

1

212)

()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2

的平均变化率

2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)

3. 则平均变化率为

=

∆∆=∆∆x

f

x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212

思考:观察函数f (x )的图象 平均变化率

=

∆∆x

f

1212)()(x x x f x f --表示什么?

直线AB 的斜率

三.典例分析

例1.已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点

)2,1(y x B ∆+-∆+-,则

=∆∆x

y

. 解:)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-,

∴x x

x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2. 求2

x y =在0x x =附近的平均变化率。

x

x 2

O

y

y =f (x )

f (x 1)

f (x 2)

△x =

△y =f (x 2)-f (

x ) x

解:2

02

0)(x x x y -∆+=∆,所以x

x x x x y ∆-∆+=∆∆2

20)( x x x

x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02

0202022

所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02 四.课堂练习

1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 . 2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率. 3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P (1,1)和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线,求出当Δx =0.1时割线的斜率. 五.回顾总结

1.平均变化率的概念

2.函数在某点处附近的平均变化率 六.布置作业

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