复变函数与积分变换重要例题
复变函数与积分变换试卷(答案)
一、填空题(每题3分，共30分)1. 设i z -=,则=)arg(z 2π-；2.i z -=1的指数式为i e 42π-；3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰c zdz i__ ； 4.函数iay x z f +=2)(在复平面内处处解析，那么实常=a ___2__；5. 幂级数∑∞=02n n n z 的收敛半径=R 21；6. 函数)1(1)(z z z f -=在圆环10<<z 内的洛朗展开式为...1132+++++z z z z ； 7. 积分=⎰=dz z z 1||tan __0______；8. i z -=是函数222)1()(+=z z z f 2 级极点； 9、221)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是t e e e t t i t i cos 2)1()1(---+-+或 ； 10.单位脉冲函数)3(-t δ的傅氏变换=-⎰+∞∞--dt e t t j ωδ)3(jw e 3-； 二、（本题12分）1、求21的所有值 解：1221Ln e =……………………………………………………………………..2分=)]21(arg 1[ln 2πk i e ++ （2,1,0±±=k ）…………………………… .…….2分 =)22sin()22cos(ππk i k + （2,1,0±±=k ）……………………2分2、解方程0cos =z 解：02cos =+=-iziz e e z …………………………………………………1分 即0=+-iz iz e e ，即12-=iz e设iy x z +=，则有)1(1122-⨯=-=+-xi y e所以 ππn x e y 22,12+==- (...2,1,0±±=n ) ……………….. 3分 所以有：ππn x y +==2,0 (...2,1,0±±=n ) 即ππn z +=2 (...2,1,0±±=n ) …………………2分三、. 将函数22)(ze zf z-=在圆环10<<z 内展开为洛朗级数。
《复变函数与积分变换》试题
南京信息工程大学试卷 学年 第 2学期 复变函数与积分变换 课程试卷本试卷共4页；考试时间 120 分钟；任课教师 ；出卷时间 年 月 系 电子信息工程（本科）专业 年级 班 学 号 姓名 得分一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） 0.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<= 8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,61t a dta e π==-⎰则___________.14.设2cos xz y =则dz= _______.15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分()()1.51ln 51dx x x ++⎰19.计算定积分I=220.a a x dx -⎰20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换(习题)
1. 设t 是实参数，则下列方程中表示圆周的是（ ）A 、(1)z i t =+B 、cos sin (0,0,)z a t b t a b a b =+>>≠C 、i z t t=+ D 、(0)it z a e b a =+≠2. i i 的辐角主值是（ ）A 、0B 、2π C 、2π- D 、π 3. 设210z z ++=，则1173z z z ++=( )A 、0B 、iC 、i -D 、1 4. 11(1)n i nn ∞=+∑的敛散性为（ ） A .发散 B .条件收敛 C .绝对收敛 D . 无法确定5．设C 是任意实常数，那么由调和函数22(,)v x y x xy y =+-确定的解析函数()f z u iv =+是（ ）A 、2122i z C ++B 、2122i z iC ++ C 、222i z C -+ D 、222i z iC -+ 6.(- )A 、无定义 B、等于3 C、是复数，其实部等于3 D、是复数，其模等于37. 若曲线C 为|z|=1的正向圆周，5()C dz z i π=-⎰（ ） A .i 12π B .1 C .0 D .π1. 在复数范围内，方程30z z +=的根的个数是 .2. 31z =的全部解是： ， ， .3. 复数()1Ln -的主值为 .4. ()()()()20142015201320142013201420152014i i z i i +-=+-，则=z _________ . 5. 若曲线C 为|z|=1的正向圆周，则3(2)C dz z =-⎰________. 6. 级数212!!n z z z n +++++在|z |<1时的和函数是________.7.若221()(1)f z z z =-，则Re [(),0]s f z =________. 1. 3232()m ()f z y nx y i x lxy =+++在全平面解析，求m n l 、、.（7分）2.计算积分arg CI zdz =⎰，其中C ：从原点到1+i 的直线段.（6分） 3. dz z ze z z⎰=-2||21（积分沿正向圆周进行）.（6分） 4. 3sin C z dz z ⎰（其中C 为正向圆周|z|=1）.（6分） 5. 求函数(,)2v x y xy =的共轭调和函数(,)u x y 和由它们构成的解析函数()f z ，使(0)1f =.（6分）1. 求函数0()sin f t t ω=的傅里叶变换.2. 在圆环1||z <<∞内将函数1()(1)f z z z =-展为洛朗级数.。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变化例题
复变函数与积分变化例题
首先,让我们来看一个关于复变函数及积分变化的具体例子.设z=x+y，其中x和y都是实数.为了计算积分变化，则先对此函数作积分变换，此时函数z可写作:
z=x+y=x+4xy-4x+4xy+y-4xy+6xy-4xy
左右两边做积分变换，即可得到:
∫zdx=∫(x+4xy-4x+4xy+y-4xy+6xy-4xy)dx
=x+2xy-2x+2xy+y/5-2xy/5+2xy/5-2xy/5+C
而上面的结果就是利用复变函数以及积分变换求得的函数值，可以通过复变函数对积分变换做出精确的计算.
再来看一个与复变函数及积分变化有关的例题，即：设z=xy，其中x与y都是实数.可用复变函数求解积分变换，则可得到:
int frac{1}{z} dz = int frac{1}{xy} dz = int
frac{sqrt{x}}{y} dx
tttttttttt+ int frac{sqrt{y}}{x} dy
tttttttttt
那么积分变换的结果就是：
ln|z|+C=ln|xy|+C=ln|x|+ln|y|+C
以上例题,都说明了复变函数的空间表示及其在计算积分变换时的有用性.
究其原因，复变函数是一种非常有效、非常强大的数学工具.它能够把复杂的变量压缩成一个函数，可以让人们更直观地看到函数的
变化规律，并且能够更有效地求解函数的积分变换问题.
例如，复变函数可以使用对函数变量的积分变换，从而求出函数性质的变化；复变函数也可以用来计算曲线的方程的值；复变函数还可以用来求解积分变换的值，以便更好地理解和处理实际问题。
另外，复变函数还可以应用于自然科学领域，比如物理系统和生物系统，以及更多方面的物理学。
复变函数与积分变换(专升本)
总分: 100分考试时间:分钟填空题1. |z-i|=|z-1|的图形是___(1)___ .(6分)(1).参考答案:线段i到1的垂直平分线判断题2. 若存在，则在处解析。
(6分)正确错误参考答案：错误解题思路：3. 解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。
(6分)正确错误参考答案：正确解题思路：4. 若和的偏导数连续，则可导。
(6分)正确错误参考答案：错误解题思路：5. 若是的奇点，则在处不可导。
(6分)正确错误参考答案：错误解题思路：单选题6. (cos+isin)3= 。
(5分)(A) cos(3)+isin(3)(B) cos(C) cos(3)+3isin(3)(D) cos参考答案：A7. 设z=x+iy，则下列函数为解析函数的是。
(6分)(A) f（z）=x2-y2+i2xy(B) f（z）=x-iy(C) f（z）=x+i2y(D) f（z）=2x+iy参考答案：A8. 在复平面上方程|z-1|+|z+1|=4表示。
(5分)(A) 直线(B) 圆周(C) 椭圆周(D) 抛物线参考答案：C9. 设，则的零点个数为。
(5分)(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3参考答案：C10. 关于函数，以下哪个说法是错误的。
(5分)(A) 它是有界函数(B) 它是周期函数(C) 它仅有实零点(D) 它是解析函数参考答案：A11. 。
(6分)(A)(B)(C)(D)参考答案：C12. arg。
(5分)(A) -(B) -+2,(k=0,±1,±2)(C)(D) +2,(k=0,±1,±2)参考答案：C13. ln(-4-3i)= 。
(6分)(A) ln5+i(-π+arctg)(B) ln5+i(π+arctg)(C) ln5+i(-π+arctg)(D) ln5+i(π+arctg)参考答案：A14. 2sini= 。
(5分)(A)(B)(C)(D)参考答案：C15. arg（-1+）= 。
复变函数与积分变换考试题库
三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。
三(8分) 解: 1)在2||1<<z 11000111111()()(()())()21222n nnn n n n n zzf z z z z z zz z +∞∞∞+====-=--=-+--∑∑∑-----4分 2) 在1|2|z <-<∞2111111()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2nn n f z z z z z z z z ∞+==+=+=+---+----+-∑--4分四．（8分） 求())2)(1(--=z z z z f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。
四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故]2,54[Re 25422i z z es i dx x x eizix+-++=++⎰∞+∞-π --------3分)2sin 2(cos 54))2((lim 222i ez z ei z i iziz -=+++--=+-→ππ --------6分故2cos 254Re 254cos 222edx x x edx x x x ixπ=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞- ---------8分五．（8分）计算积分dx x x x⎰∞+∞-++54cos 22。
五.(8分) 解: 22371()()Cf z d z ξξξξ++'=-⎰-------3分由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故 i Ci d i i f +='++=+-++=+'⎰1222|)173(2))1((173)1(ξξξπξξξξ)136(2i +-=π -------8分六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。
复变函数与积分变化例题
复变函数与积分变化例题
复变函数与积分变化例题
复变函数（Complex functions）是几何意义上的，一般用来在多个变量之间
有效地处理数学关系。
一般来说，复变函数由实数部分和虚数部分构成，主要是多变量的表达式的变换态，是指和变量的指数有关的式子。
积分变换（Integral transformation）是指积分运算可以改变复复变函数在
某一点一定区域上的性质，使其可以从原部分变换到另一个部分，从而得到不同的表示。
举个例子，我们可以把复复变函数f(x,y)用积分变换变成F(u,v)，它的定义
域会从x, y的定义域变成u,v的定义域，二者的表示方式：
f(x,y) =（1+xy^2）/（x^2+y^2）
F(u,v) = （1+uv^2）/（u^2+v^2）
这个例子显示了怎样用积分变换从复复变函数f(x,y)变换到另一个复变函数
F(u,v)。
积分变换是一种对复变函数的有效变换，可以在一定区域上获得更透彻的理解。
在数学中，它用来帮助我们有效地将复复变函数变换到另一种表达式，方便我们使用有效的方法来理解和分析问题，从而得到更有价值的结果。
复变函数与积分变换答案-第2章解析函数
11 27、第二章 解析函数习题详解1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(-,+) 内连续；2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1在定义域-, 3,3, +内连续。
- 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。
4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ；5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。
1在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz3) f 3 (z )= 22、w = z2u =x 2-y 2v = 2 xy u =x 2 -4，把直线C :y =2映射成:u =x -4v = 4 xvx = ，代入第一个式子，4u =3、1zw = = = z zzx - iy22,x + yv =x 22 x + y-y 22 x + y把直线C :x =1映射成，:vu =v =1 1+y 2-y 1+y 21-u u 2u= (1- u ) u v 2 + u 22)w = z 3，像域为0arg w 26、i arg z 在负实轴上与原点处不连续， 处不连续。
f (z +z )- f (z )z →0z= limz →0(z +z )2zy 2 = 1 -1 = u为一个圆周。
uz 2-(z +z )2z 2(z +z )2z 2 -z 2 -2z z -z 22= lim = lim = - 。
z →0 z z →0z 2(z +z )2zz 38、(1) f (z ) =5-3z +5z 2，在(-,+)内解析，且导数为 f (z ) = -3+10z ；12、(1) z =e 1-2i =ecos -i sin=-ei ；1222) f (z )=1 1 1z 4 -1 (z 2 -1)(z 2 +1) (z -1)(z +1)(z +i )(z -i )在(-,+)内除z =1,5z +431 1 5 3) f (z )= z +4,在(-,+)内除z = - 3外解析， f (z )=1+ 2 =1+ 52z + 32 2 2z +32 2(2z +3)且导数为： f(z )= 1(2z +3)-2(-2)=-5 (2z +3)29、(1) f (z )=Im z = y 在z 平面上的点点不可导，不解析(因柯西-黎曼条件不满足)；2) f (z )= z 4 ，在平面上的点解析。
复变函数与积分变换试题
复变函数与积分变换试题本试题分两部分，第一部分为选择题，1 页至3 页，第二部分为非选择题，4 页至8 页，共 8 页；选择题 40 分，非选择题 60 分，满分 100 分，考试时间 150 分钟。
第一部分 选择题一、单项选择题(本大题共20 小题，每小题2 分，共40 分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
复数z =16- 8 i 的辐角为( )25 25D ．2k+4,k =0,1,7．函数w =z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz,0| z | 2 映射成 W 平面上的区域( )2A ．0<argz,0|w | 4 B ． 0<argz ,0|w | 42C ． 0<argz,0|w | 2D ． 0<argz,0|w | 28．若函数 f(z)在正向简单闭曲线 C 所包围的区域 D 内解析，在 C 上连续，且 z=a 为 D 内任 一点，n 为正整数，则积分c (z -f (a z ))n +1等于(9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分c (z -d i z)n +1等于(2． 3．4．5． 6． A ． arctan 1 B ．-arctan 1 22 方程 Rez 2 =1所表示的平面曲线为( ) A ． 圆 B ．直线复数z = -3(cos ,-isin )的三角表示式为 44A ． - 3(cos ,＋isin ) 44C ． 3(cos ,＋isin ) 设 z=cosi ，则( ) A ．Imz=0 B ．Rez=π复数e 3+i 对应的点在( A ．第一象限 设 w=Ln(1-I),则 Imw 等于( A ．－4B ．第二象限)C ．π-arctan 1 2D ．π+arctan 1 2C ．椭圆D ．双曲线B ．D． C ．C ． 443(cos , －isin)55 44 - 3(cos, －isin)|z|=0 第三象限 D ．argz=πD ．第四象限B ．2k －4,k =0,1,1．C ．4 A ． 2i f (n +1) (a ) (n +1)!2i B ．2i f (a )n !C ．2if (n ) (a )D ． 2n!i f (n )(a )dz A ． 1 B ．2πi C ．0 D ．12iz=-1是函数(z co +t 1)z 4 的( )（n + 1）!幂极数n =（1 n （2+n ）1!）!z n 的收敛半径为（B ．e z dz,其中C 为正向圆周｜z|= 5C ．z dz,其中C 为正向圆周｜z|=1 c sinzD ．coszdz,其中C 为正向圆周｜z|= 2cz-1映射w =z 2 + 2z 下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（下列映射中，把角形域0argz保角映射成单位圆内部|w|<1的为（10．11．12．13．14． 15． 16． 17． 18． 19．20．设 C 为正向圆周|z|=1，则积分 dz 等于（ ） c | z | A ．0 B ．2πi C ．2π设函数 f （z ）=z e d，则 f （z ）等于（ ）D ．－2πA ．ze z + e z +1B ．ze z +e z -1C ．- ze z + e z -1D ．ze z - e z +1设积分路线 C 是帖为 z=-1到 z=1 的上半单位圆周， A ．2 +i B ． 2- i C ． z + 1 则 z +21 c z 2 -2- idz 等于（ D ． -2 +i的收敛区域为（ ）A ．0|z| + B ． |z| + C ． 0 |z| -1 D ．|z| 1sin （z - ）z = 是函数 f （z ）= 3的（3 3z-A ． 一阶极点B ．可去奇点C ． 一阶零点D ．本性奇点A ． 3 阶极点B ．4 阶极点C ．5 阶极点D ．6 阶极点A ． 0B ．1C ．2D ． ＋设 Q (z )在点 z=0 处解析，f(z) = Q(z) z(z-1),则 Res[f(z),0]等于(A ． Q （0）B ．－Q （0）下列积分中，积分值不为零的是（ ） A ．（z 3 +2z +3）dz,其中C 为正向圆周｜z-1|=2 C ．Q ′（0） D ． －Q ′（0）A ．|z +1|12B ．|z +1|12 C ．| z | 12D ．|z|12z 4 + 1 A ．w = z z 4+-11z 4－1B ．w = B w = z 44z 4－i C ．w =C w =z 4＋iD ．4 z 4 + i w =44幂级数 n-1第二部分非选择题(共60 分)二、填空题(本大题共 10 空，每空 2 分，共 30 分) 不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一)1．一、填空(3 分×10)1．ln(-1- 3 i ) 的模 .幅角 。
2．-8i 的三个单根分别为： . . 。
3．Ln z 在的区域内连续。
4． f ( z ) = z 的解极域为： 。
5． f (z ) = x 2 - y 2 + 2xyi 的导数 f (z ) =。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是： 。
9．若F () =F [f (t )].则 f (t )= F -1 f [()] 。
10．若f (t )满足拉氏积分存在条件.则 L [f (t )]=二、(10 分)-1x 2+ 1 y 2.求函数u (x ,y )使函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )为解析函数.且 f (0)=0。
、(10 分)应用留数的相关定理计算dz|z |=2 z 6(z -1)(z -3)四、计算积分(5 分×2)dz |z |=2 z ( z - 1)6． Re ssin 3z ,0 z 3已知v (x , y ) =2．c(z co-s i z)3 C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。
五、(10 分)求函数f ( z) =z(z1-i)在以下各圆环内的罗朗展式。
1．0 | z - i | 12．1 | z - i | +六、证明以下命题：(5 分×2)(1)(t - t )与e-iwt o构成一对傅氏变换对。
+(2)+e-i t dt=2()-x + y + z = 1七、(10分)应用拉氏变换求方程组x + y+z = 0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y + 4z = 0y(t)。
八、(10 分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）= 2i [-1+1] =02 分）一、1． 3. 8.二、解： 2 4 - ln 2 2 + 2. arctg 3 + 2k9 ln 2Z 不取原点和负实轴 角形域映为角形域 v u = - x = - x y 2. 2i 3 -i 、解： 四、 4. 空集 5. 2z 6． 1 +9. 1 +F ()e i d 2 -v =y =y f (z )=i - x + y +xy +c 7.将常形域映为角形域 10. 0+f (t )e -st dt ∵f (0)=0 c =0 ∴ f (z ) = xy - ( x - y ) = - ( x 2原式=(2 分) 2i Re s k =1 42 分)= -2i Re s k =3 Re sRe s,3z 6(z -1)(z -3),z 6(z -1)(z -3)u ∴ u = xy + c x 3 分） - y + 2xyi ) = z 6(z -1)(z -3) kz 6(z -1)(z -3) k(2分)3612= （2分）Re s 5 分） -2i z 2 2 分）z 3 z 1 = 0 z 2 =3 z 4 =1 = 1∴原式=(2分) 2i3 62=-36 i21．解：原式 = 2i Re s k =11 z (z -1),zk16(1-1)(1-3)z 2,0 z6 z z3 分) z 1=0z 2=1=0八、解：①定义； ②C-R 充要条件 Th ； ③v 为 u 的共扼函数 10 分1 +2)解：∵ 1+2()e -i t dw =e -i t2 -S （2）-（1）：∴Y (t )=1-12e t -12e -t =1-cht2．解： 原式 = cos z 2! z =i = i (- cos z ) = -i cos i = -ich 1 五、1．解：f ( z ) (1分)( z - i ) z - i + i 1分)(z 1-i ) 11 i 1+ z-iin =01分)z1- i1in - 1n = i (z -i )n -1 = i (z -i )n2 分）n =0 n =-12． 解： f (z )1分)=(z 1- i )i + ( z - i )1分）11+1 分）1 (z - i )2n =01 1=1n (z -1i )n +2n =0 i n -i n (z -i )n -2 (2 分) n =0六、1．+ +(t -t )e -i tdt = e--i t t =t =e -it3 分） ∴结论成立++e -i t dt = 2() -（2 分）sX (s )+Y (s )+sZ (s )= 1S (1)X (s )+sY (s )+Z (s ) = 0 （2） （3 分） Y (s )+4sZ (s ) = 0(3)∴ 2（ w ） 与 1 构成傅氏对七、解：∵∴Y (s )=s21-1s 2 -1= s - 2s -1+ s +13 分）=1=02 分）复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3 分×10)7．若 z 0为 f (z )的 m 级极点.则Re s [ f (z ),z ]=( )。
《复变函数与积分变换》习题册
第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变函数的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题1、若等式成立，则______, _______.))(()75(i y i x i i -+=-=x =y 2、设，则，(12)(35)13i x i y i ++-=-x =y =3、若，则1231iz i i+=--z =4、若，则(3)(25)2i i z i+-=Re z =5、若，则 421iz i i+=-+z =6、设，则 (2)(2)z i i =+-+arg z =7复数的三角表示式为 ，指数表示式为1z i =-。
8、复数的三角表示式为_________________，指数表示式为i z 212--=_________________.9、设,，则=_ _____.i z 21=i z -=12)(21z z Arg 10、设,则Rez=____________. 。
4i e 2z π=Im()z =z =11、.方程的根为_________________________________.0273=+z 12、一曲线的复数方程是，则此曲线的直角坐标方程为 2z i -=。
13、方程表示的曲线是__________________________.3)Im(=-z i 14、复变函数的实部_________,虚部_________.12+-=z z w =),(y x u =),(y x v 15、不等式所表示的区域是曲线的内部。
114z z -++<16=二、判断题（正确打√，错误打）⨯1、复数. ( )7613i i +>+2、若为纯虚数，则. ()z z z ≠3、若 为实常数，则 （ a a a =）4、复数0的辐角为0.5、在点连续的充分必要条件是在()f z u iv =+000iy x z +=(,),(,)u x y v x y 点连续。
复变函数与积分变换复习题(专升本)
《 复变函数与积分变换 》复习题（专升本）一、判断题1、cos z与sin z 在复平面内有界.( ) 2、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛.( )3、若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )4、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）. ( ) 5、若()f z 在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ()0Cf z dz . ( )6、若()f z 在0z 的某个邻域内可导，则函数()f z 在0z 解析. ( )7、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )8、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）. ( )9、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点. ( ) 10、若0lim ()zz f z 存在且有限，则0z 是函数()f z 的可去奇点. ( )二、选择题 1.arg 13i ( )A.-3π B.3πC.32π D.3n 2π+2 2.2z 在0z 复平面上( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z xyi ，则下列函数为解析函数的是( )A.22()2f z x y xyB.()f z x iyC. ()2f z x i yD.()2f z xiy4.0z 是3sin zz的极点，其阶数为( ) A.1 B.2 C.3D.45.整数0k 则Res[cot ,]z =（ ）A.1kB.0C.1kD.k6、设复数1cossin33z i ，则arg z（ ）A.-3B.6C.3D.237、2w z 将z 平面上的实轴映射为w 平面的（ ）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴8、下列说法正确的是（ ）A.ln z 的定义域为0zB.|sin |1zC.0zeD.3z 的定义域为全平面9、设C 为正向圆周||1z ，sin n Czdz z=2i ，则整数n 为（ ） A.-1 B. 0 C. 1 D. 210、设nn n a z 0n n n b z 和()n n n n a b z 的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ）A. 1R RB.12min{R ,R }RC. 2R RD.12min{R ,R }R三、填空题1、设11zi，则Im z__________。
复变函数与积分变换试题一
复变函数与积分变换试题一复变函数与积分变换试题一2012年10月一、选择题(每小题3分，共12分)1.(cos θ+i sin θ)3=( )A.cos(3θ)+i sin(3θ)B.cos 3sin 3θθi +C.cos(3θ)+3i sin(3θ)D.cos 3sin 33θθi + 2.下列集合为无界单连通区域的是( )A.Re(z-5i )2≥B.| z-5i |3≤C.| z-5i |>0D.Im(z-5i )<-13.下列选项中不属于cosz 性质的是( )A.cosz 以2π为周期B.cosz 是偶函数C.cosz 是有界函数D.cosz 在Z 平面解析4.Ln(-1)的主值是( )A.-2πiB.-πiC.πiD.2πi二、填空题(每空4分，共20分)1.设点i z 2121--=,则其辐角主值arg z (-π<arg z ≤π)为_______.2. 设y 是实数，则sin(iy)的模为________.3、设a>0，则Lna=________.4、设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件.5、方程z=t+i t(t 是实参数)给出的曲线为________.三、解答题（1-4每题10分，5题13分，6题15分，共68分）1.设z =231i -,求｜z ｜及Arg z . 2、求复数z=i+1 i -1的实部、虚部、模和辐角. 3、说明函数f(z)=|z|在z 平面上任何点都不解析.4、计算积分⎰c dz z ||，其中C 是上半单位圆周，起点为-1，终点为1.5、验证233),(xy x y x u -=是Z 平面上的调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，且满足i f =)0(.6、求dz z z c ⎰-14sin 2π之值，其中C:|z|=2.。
复变函数与积分变换经典考试例题整理
复变函数与积分变换经典例题整理目录复变函数与积分变换经典例题整理 (1)第一章例题 (2)第二章例题 (4)第三章例题 (12)第四章例题 (23)第五章例题 (29)第六章例题 (33)第一章例题例1.1 试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？（1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧；（2）倾角的直线；（3）双曲线。
解设，则因此（1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。
（2）在平面上对应的图形为：射线。
（3）因，故，在平面上对应的图形为：直线。
例1.2 设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0.证因在点连续，则，只要，就有特别，取，则由上面的不等式得因此，在邻域内就恒不为0。
例1.3设试证在原点无极限，从而在原点不连续。
证令变点，则从而（沿正实轴）而沿第一象限的平分角线，时，。
故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。
第二章例题例2.1 在平面上处处不可微证易知该函数在平面上处处连续。
但当时，极限不存在。
因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。
故处处不可微。
例 2.2 函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。
证因。
故但在时无极限，这是因让沿射线随而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。
例2.3 讨论的解析性解因, 故要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。
例2.4讨论的可微性和解析性解因, 故要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。
例2.5讨论的可微性和解析性，并求。
解因, 而在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。
且。
例2.6 设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求之值。
解设，则由代入得解得：，从而。
例2.7 设则且的主值为。
例2.8 考查下列二函数有哪些支点(a)(b)解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即从而故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。
复变函数与积分变换练习册参考答案
分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。
⎛ 1+ z ⎞ 解：由直接验证可知原方程的根 z ≠ 1 。所以原方程可改写为 ⎜ ⎟ = 1。 ⎝ 1− z ⎠
令
5
ω=
1+ z ， ……………(1) 1− z
2π i 5
则 ω = 1 ， ……………………(2)
5
方程(2)的根为 ω = 1, e
(5) lim
z →1
zz + 2 z − z − 2 3 = 。 2 z2 −1 zz + 2 z − z − 2 ( z + 2)( z − 1) z +2 3 = lim = lim = 。 2 z →1 ( z − 1)( z + 1) z →1 z + 1 2 z −1
提示： lim
z →1
(1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 4sin 2
α
2
= 2sin
α
2
；因为当 0 < α < π 时，
sin α > 0 ， 1 − cos α > 0 ，则 arg z = arctan
= arctan(tan +i sin
π −α
2
)=
π −α
2 e
π −α i 2
sin α α = arctan(cot ) 1 − cos α 2
。
6、 ( 2)
=e
2 ln 2 − 2kπ
7、方程 sinh z = i 的解为 三、计算和证明 1、试证函数
1 在复平面上任何点都不解析。 z
利用 C-R 条件，即用解析的充要条件判别，即 u =
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解 令 z x iy, w u iv,
1
x iy
映射 w z z
u iv
x iy
x2
y2 ,
x
y
于是 u x x2 y2 , v y x2 y2 ,
圆周 z 2的参数方程为 :
x 2cos
0 2π
y 2sin ,
5
所以象的参数方程为
u
5
cos
2
v 3 sin ,
2
0 2π
u2
v2
表示 w 平面上的椭圆 :
1.
2
2
5 3
2 2
6
二、可导与解析
例1 证明函数f (z) x3 y3i仅在原点有导数.
证
lim
f (z)
f (0)
lim
x3 y3i
lim
x3 yi3
z0
z
(x,y)0 x iy (x,y)0 x iy
解法二 线积分法.
( x, y)
( x, y) v
v
因为 v(x, y) dv(x, y) C
dx dy C
(0,0)
(0,0) x
y
( x, y) u
u
dx dy C,
(0,0) y
x
( x, y)
所以 v( x, y) (0,0) (2 y x)dx (2x y)dy C
y2 x2
y2 x2
2d( xy) d
2
2
d 2xy
2
2
,
y2 x2 所以 v( x, y) 2xy C (C为任意常数)
22 z2
代入 f (z) u iv 得 f (z) (2 i) iC . 2
17
例2 已知 u(x, y) x3 6x2 y 3xy2 2y3
f (z) f (z0 ) x3 x03
z z0
x x0
3x02
(当x x0 )
若z沿路径 x x0 , 则
f
(z) z
f (z0 ) z0
iy3 iy03 i( y y0 )
3 y02
(当y y0 )
故除非x0 y0 0,否则f (z)的导数不存在.
8
例2 函数 f (z) ( x2 y2 x) i(2xy y2 ) 在何处 可导，何处解析.
例1 计算 czdz 的值，其中C为
1）沿从 (0,0) 到(1 ,1 ) 的线段：x t, y t,0 t 1; 2）沿从 (0,0) 到 (1,0) 的线段：C1 : x t, y 0,0 t 1, 与从 (1,0) 到 (1,1)的线段 C2 : x 1, y t,0 t 1 所接成的折线.
所以 v( x, y) (3x2 12xy 3 y2 )dy
3 x2 y 6 xy2 y3 g( x), v u 因为 , x y 所以 6xy 6 y2 g( x) (6x2 6xy 6 y2 )
g( x) 6x2 g( x) 6x2dx 2x3 C ,
19
求解析函数 f (z) u iv ,使符合条件 f (0) 0.
18
例2 已知 u( x , y ) x 3 6 x 2 y 3 xy 2 2 y 3 求解
析函数 f (z) u iv ,使符合条件 f (0) 0.
解 因为 v u 3x2 12xy 3 y2 , y x
C2 2 z i
i
26
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
dz C1 z
dz C2 2(z i)
1 2i 2i
2
i.
27
解法二 利用柯西积分公式
f1(z)
1 z2
1 在C1内解析 ,
f2(z)
1 z(z
i) 在C2内解析,
1
1
1
C z(z2 1) dz C1 z(z2 1) dz C2 z(z2 1) dz
lim ( x2 xyi y2 ) 0 用柯西黎曼方程
( x , y )0
故 f (z) 在z 0处的导数为0.
再证其他处的导数不存 在.
7
f (z) f (z0 ) x3 iy3 x03 iy03
z z0
( x iy) ( x0 iy0 )
若z沿路径 y y0 , 则
4
2
2
例1 在映射 w z2 下求下列平面点集在 w 平面
上的象 : (2) 双曲线 x2 y2 4;
解 令 z x iy, w u iv,
则 u iv x2 y2 2 xyi, u x2 y2 ,
x2 y2 4 u 4,
y
v
wz2
2 o 2
x
o
4u
平行于 v 轴的直线.
21
例1 计算 czdz 的值，其中C为
1）沿从 (0,0) 到(1 ,1 ) 的线段：x t, y t,0 t 1;
2）沿从 (0,0) 到 (1,0) 的线段：C1 : x t, y 0,0 t 1, 与从 (1,0) 到 (1,1)的线段 C2 : x 1, y t,0 t 1
f1(z)
ez z2 1在C1内解析,
f2(z)
ez z(z
i) 在C2内解析,
因此由柯西积分公式得
29
ez
ez
ez
dz
dz
dz
C z(z2 1)
C1 z(z2 1)
C2 z(z2 1)
ez (z2 1)
ez z(z i)
C1
dz
dz
z
C2 z i
2i f1(0) 2if2(i)
( x,0)
( x,0)
(2 y x)dx (2x y)dy
(0,0)
(0,0)
( x, y)
( x, y)
(2 y x)dx (2x y)dy C
( x,0)
( x,0)
15
x
y
[ 0 (2 y x)dx]y0 [ 0 (2 x y)dy]xx C
x
y
0 (0 x)dx 0 (2x y)dy C
9
例2 函数 f (z) ( x2 y2 x) i(2xy y2 ) 在何处 可导，何处解析. 解 u( x, y) x2 y2 x, ux 2 x 1, uy 2 y;
v( x, y) 2 xy y2 , vx 2 y ,vy 2 x 2 y; 1
当且仅当 y 时， ux vy , uy vx . 2 1
故 a 1, b 3, c 3.
11
例4
讨论函数
f
(z)
e
1 z2
,
z
0
在原点的可导性.
0 , z 0
解 函数沿 z x 趋于0时,
f (0) lim
f (z)
f
(0)
lim
1
1
e x2
0
z0 z 0
x0 x
当 z 沿正虚轴 z iy 趋于0时，有
lim
f (z)
f (0) lim
故
u ay3 bx2 y, v x3 cxy2
u 2bxy, v 2cxy, v 3x2 cy2 , u 3ay2 bx2 ,
x
y
x
y
u v u v
由于 f (z) 解析，所以
,
x y y x
即 2bxy 2cxy b c,
3ay2 bx2 3 x2 cy2 3a c,b 3
C2 z(z2 1)
25
解法一 利用柯西-古萨基本定理及重要公式
1 11 1 1 1
z(z2 1) z 2 z i 2 z i
由柯西-古萨基本定理有
y
C
11
dz 0,
C1 2 z i
11
C2
i
dz 0,
C1 2 z i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
1 (z2 1)
1 [z(z i)]
C1
dz
dz
z
C2 z i
2i f1(0) 2if2(i)
2i
2i
1
i.
2
28
ez
(2)
在C内有两个奇点z 0及z i分别
z(z2 1)
以z 0及z i 为圆心,以1 4为半径作圆C1及C2 ,则
由复合闭路定理有
ez
ez
ez
C z(z2 1) dz C1 z(z2 1) dz C2 z(z2 1)dz
v u (2 y x) 2 y x,
x y x2
得 v (2 y x)dx 2xy 2 g( y),
v 2x g( y).
y
v u 又 2x y.
y x
13
比较两式可得 : 2x g( y) 2x y, 故 g( y) y.
即 因此
y2
g( y) ydy 2 C.
《复变函数与积分变换》
N
总复习
P
y
授课教师S ：郭鹏 z x
1
一、映射
例1 在映射 w z2 下求下列平面点集在 w 平面
上的象 :
π
(1) 线段 0 r 2, ;
4
解 设 z rei ,
y
w ei ,
v
wz2
则 r 2 , 2 , o
x
o
u
π
π
故线段 0 r 2, 映射为 0 4, ,
故 f (z) 仅在直线 y 上可导. 2 1
由解析函数的定义知 , f (z) 在直线 y 上处处 2