2221直接开平方法解一元一次方程
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一元一次方程，即只含有一个未知数的一次方程，解法相对简单。
本文将介绍两种常见的解一元一次方程的方法：平衡法和代入法。
无论是哪种方法，我们都要通过逐步操作，达到将未知数解出的目的。
一、平衡法平衡法是一种常见、简单的解一元一次方程的方法。
通过反复利用等式两边的性质，逐步化简方程，直至将未知数解出。
步骤一：观察方程的形式，并将方程两边的式子按照符号和系数分开。
如下所示：ax + b = c其中，a、b、c为已知数，x为未知数。
步骤二：通过逐步的运算，将含有未知数的项放在方程等式的一侧，常数项放在另一侧。
如下所示：ax = c - b步骤三：继续运算，将未知数的系数化为1。
如下所示：x = (c - b) / a最后，我们得到了一元一次方程的解为 x = (c - b) / a。
二、代入法代入法是另一种解一元一次方程的常用方法。
通过先选取一个已知数，然后将其代入方程中，从而求解未知数。
步骤一：观察方程的形式，并选择一个已知数来代入方程。
如下所示：ax + b = c选择一个已知数m代入方程。
步骤二：将已知数代入方程，并化简运算。
如下所示：am + b = c步骤三：通过化简运算，得到未知数的值。
如下所示：am = c - bx = (c - b) / a最终，我们得到了一元一次方程的解为 x = (c - b) / a。
总结：通过平衡法和代入法，我们可以解决一元一次方程的问题。
在平衡法中，我们通过反复平衡两边的式子，逐步化简方程并求解未知数。
而代入法则是通过已知数的代入，直接求解未知数。
无论是哪种方法，只要根据方程的形式进行逐步运算，就能得到准确的解。
希望本文的介绍能够帮助您更好地理解一元一次方程的解法，并在实际应用中灵活运用。
在解题过程中，我们也可以根据具体情况选择合适的解法，以便更快地求解方程。
当然，除了这两种方法外，还存在其他解一元一次方程的方法，读者可以进一步学习和探索。
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一元一次方程是代数学中最基本的方程形式，它包含一个未知数和一次项，如下所示：ax + b = 0。
解一元一次方程的目标是找到满足方程的未知数的值。
在本文中，我们将介绍两种解一元一次方程的常用方法：平衡法和代入法。
1. 平衡法平衡法是一种基于等式性质的解题方法。
具体步骤如下：（1）将方程化简为标准形式ax + b = 0，确保等号左边只有一个未知数，右边只有一个常数项。
（2）通过逆运算，将b移至等号右边，得到等式ax = -b。
（3）通过除以系数a，消去未知数的系数，得到未知数的解x。
举个例子，假设我们要解方程3x + 2 = 5。
按照平衡法的步骤，首先将方程化简为标准形式，得到3x = 3。
然后将常数项2移至等号右边，得到3x = -2。
最后，除以系数3，得到未知数的解x = -2/3。
2. 代入法代入法是一种基于代入等式的性质的解题方法。
它的思路是将已知的等式代入方程中，从而得到未知数的值。
具体步骤如下：（1）将已知的等式解为一个变量的表达式。
（2）将该表达式代入方程中，使方程只包含一个未知数。
（3）通过整理方程，得到未知数的解。
举个例子，假设我们要解方程2x + 1 = x + 4。
按照代入法的步骤，首先解等式x = 3。
然后将该表达式代入方程中，得到2(3) + 1 = 3 + 4。
通过计算，我们得到等式7 = 7。
由此可见，方程成立。
因此，未知数的解为x = 3。
总结：解一元一次方程的方法有很多种，平衡法和代入法只是其中的两种常用方法。
通过这两种方法，我们可以准确地计算出方程的解。
然而，需要注意的是，有些方程可能没有解或者有无限多个解。
在解题过程中，我们需要仔细观察方程的特点，并选择适合的解题方法来求解。
通过不断练习和熟悉解题方法，我们可以更加熟练地解决一元一次方程的问题。
21.2 解一元二次方程(直接开平方法)(教学设计)
章节名称21.2 解一元二次方程（直接开平方法）编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1)利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程。
2)利用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。
过程与方法:回顾平方根的知识，通过对实际生活中的问题列出一元二次方程，通过整理并求解的过程，让学生初步掌握利用直接开平方解一元二次方程（形如：x2＝p(p≥0）的方法，再通过数学转换的方法，将一个一元二次方程（形如：(mx＋n)2＝p(p≥0)）“降次”为两个一元一次方程，这样就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。
情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程。
教学难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程。
板书设计21.2 解一元一次方程（直接开平方法）一般地，对于方程x2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根p2xpx1-==，；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。
教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【课前回顾】师：求下列各数的平方根 1）169 2）8125生：1）±135[多媒体展示][课前回顾]对于方程x2=p，1）当p= 4时，求方程的解？2）当p= 0时, 求方程的解？3）当p=-4时, 方程有解吗?为什么?师：尝试求解方程？生：1）x1=2, x2=﹣22）x1=x2=03）无解，当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无解【情景导入】[多媒体展示][情景引入]一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?师：列出方程，观察方程的样式，解方程求出棱长？生：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，则列出方程为：10×6x2=1500 ，化简整理，得x2=25，据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5。
一元一次方程开平方法
一元一次方程开平方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊一元一次方程开平方法。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多数学难题的锁呢！咱先说说一元一次方程，这就好比是一条笔直的路，我们要找到它的终点。
而开平方法呢，就是我们走在路上的特别技巧。
你想想看，就好像我们要打开一个神秘的箱子，一元一次方程就是那个箱子，开平方法就是打开箱子的诀窍。
比如说，给你一个方程像x²=4，那我们就知道，x 可能是 2，也可能是-2 呀，这多有意思！很多人可能会觉得，哎呀，数学好难啊，这些方程啥的太头疼了。
但其实啊，只要你掌握了方法，就会发现它就跟玩游戏一样有趣。
一元一次方程开平方法不就是这样嘛，它能让那些看起来复杂的式子变得清晰明了。
咱举个例子哈，假如有个方程是(2x-1)²=9，那我们就可以把它想象成一个小怪兽，而开平方法就是我们打败小怪兽的武器。
我们先把两边开平方，就得到2x-1=3 或者2x-1=-3。
然后再分别解这两个小方程，不就找到答案啦！这就好像你在黑暗中摸索，突然找到了一盏明灯，一下子就把路给照亮了。
一元一次方程开平方法就是这盏明灯呀！你再想想，生活中很多事情不也是这样嘛，只要我们找到了合适的方法，再难的问题都能迎刃而解。
就像你要解开一团乱麻，只要找到了线头，轻轻一拉，整个就都顺了。
所以啊，大家可别小瞧了这一元一次方程开平方法，它可是我们数学世界里的好帮手呢！当你掌握了它，再去看那些方程，就会觉得它们也没那么可怕啦，反而会有一种征服它们的成就感呢！总之呢，一元一次方程开平方法真的很重要，大家一定要好好学，好好用。
相信我，一旦你掌握了，你就会发现数学的世界原来这么精彩，这么有趣！怎么样，是不是有点心动啦？那就赶紧去试试吧！。
1.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法(解析版)
1.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法考点一、直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.题型1：直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程2250x -=的解为（ ）A ．125x x ==B ．15=x ，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==【答案】B 【解析】【分析】先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：2250x -=，移项得：2=25x ，开平方得：15=x ，25x =﹣，故选B ．本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．2．若()222a =-，则a 是（ ）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．4【答案】C 【解析】【分析】先计算2(2)-，再用直接开平方法解一元二次方程即可．()2224a =-=Q 2a \=±故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．3．方程x 2- =0的根为_______．【答案】x=± 【解析】【分析】，得出x 2=8，利用直接开平方法即可求解．解： x 2- =0，∴x 2=8，∴x =±故答案为：x =±．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤．4．有关方程290x +=的解说法正确的是（ ）A ．有两不等实数根3和3-B ．有两个相等的实数根3C ．有两个相等的实数根3-D ．无实数根【答案】D【分析】利用直接开平方法求解即可．∵290x +=，∴290x =-<，∴该方程无实数解．故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．5．若方程()20ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则ba=_____．【答案】1【解析】【分析】利用直接开平方法得到x =，得到方程的两个根互为相反数，所以4380m m -+-=，解得3m =，则方程的两个根分别是1与1-1=，然后两边平方得到b a 的值．解：∵()20ax b ab =>，∴2b x a=，∴x =，∴方程的两个根互为相反数，∵方程2ax b =的两个根分别是4m -与38m -，∴4380m m -+-=，解得3m =，∴4341m -=-=-，383381m -=´-=，∴一元二次方程ax 2＝b 的两个根分别是1与1-，1=，∴1ba=．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如2x p =或()()20nx m p p +=³的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成2x p =的形式，那么可得x =()()20nx m p p +=³的形式，那么nx m +=6．解方程：（1）23270x -=； （2）2(5)360x --=；（3）21(2)62x -=； （4）()()4490+--=y y ．【答案】（1）123,3x x ==-；（2）1211,1x x ==-；（3）122,2x x ==-；（4）125,5y y ==-．【解析】【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．（1）23270x -=，2327x =，29x =，3x =±，即123,3x x ==-；（2）2(5)360x --=，2(5)36x -=，56x -=或56x -=-，11x =或1x =-，即1211,1x x ==-；（3）21(2)62x -=，2(2)12x -=，2x -=2x -=-，2x =或2x =-+，即122,2x x ==-；（4）()()4490+--=y y ，21690y --=，225y =，5y =±，即125,5y y ==-．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．7．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（ ）A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝23【答案】D 【解析】【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．解：由4（3x +1）2﹣1＝0得（3x +1）2＝14，所以3x +1＝±12，解得x ＝﹣16或x ＝﹣12，由3274y ﹣2＝0得y 3＝827，所以y ＝23，所以x ＝﹣16或﹣12，y ＝23．故选：D ．【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．82x = ）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x ==D ．12x x ==【答案】A 【解析】【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．2x =(23x =，利用直接开方法得：x解得120,x x ==故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．230x =－B ．2(14)0x =－－C ．220x =＋D ．22()12()x =－－【答案】C 【解析】【分析】方程整理后，判断即可得到结果230x =－移项得23x =，可用直接开平方法求解；2(10)4x -=－移项得2(14)x =－，可用直接开平方法求解；22()(12)4x ==－－，可用直接开平方法求解．故选C.【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键10．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（ ）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数【答案】A 【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a ≥0，再进行整理即可．解：∵方程y 2＝﹣a 有实数根，∴﹣a ≥0（平方具有非负性），∴a ≤0；故选：A ．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a ≥0．11．有下列方程：①x 2-2x=0；②9x 2-25=0；③(2x-1)2=1；④21(x 3)273+=．其中能用直接开平方法做的是( )A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②③④【答案】C 【解析】【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果．①x 2-2x=0，因式分解法；②9x 2-25=0，直接开平方法；③(2x-1)2=1，直接开平方法；④21(x 3)273+=，直接开平方法，则能用直接开平方法做的是②③④.故选:C.【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键.12．方程 x 2=（x ﹣1）0 的解为（ ）A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=0【答案】A 【解析】【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x 2=1，确定x 的值即可.∵(x-1)0有意义，∴x-1≠0，即x≠1，∵x 2=（x ﹣1）0∴x 2=1，即x=±1∴x=-1.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.13．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（ ）.A ．0m >B ．7m …C ．7m >D ．任意实数【答案】B 【解析】【分析】根据70-³m 时方程有实数解，可求出m 的取值范围．由题意可知70-³m 时方程有实数解，解不等式得7m …，故选B ．【点睛】形如()2+m =a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．14．已知方程()200ax c a +=¹有实数根，则a 与c 的关系是（ ）.A ．0c =B ．0c =或a 、c 异号C ．0c =或a 、c 同号D ．c 是a 的整数倍【答案】B 【解析】【分析】将原方程化为2a=c-x 的形式，根据2x 0³可判断出正确答案．原方程可化为2a=c -x ，∵2x 0³，∴c0a -³时方程才有实数解．当c=0时，20=x 有实数根；当a 、c 异号时，c0a -³，方程有实数解．故选B ．【点睛】形如2=a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．题型3：直接开平方法解一元二次方程的复合型15．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C 【解析】【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．16．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（ ）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x ==D ．1217,3x x =-=【答案】B 【解析】【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．解：移项，得224(21)25(1)x x -=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x -=±+，即2(21)5(1)x x -=+或2(21)5(1)x x -=-+，解得：17x =-，213x =-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．17．解方程：（1）21(2)602y +-=；（2）22(4)(52)x x -=-．【答案】（1）122,2y y =-=--；（2）121,3x x ==．【解析】【分析】（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可；（2）利用直接开平方法求解即可．解：（1）21(2)602y +-=，整理，得2(2)12y +=．∴2y +=±即122,2y y ==-；（2）22(4)(52)x x -=-Q ，4(52)x x \-=±-，∴452x x -=-或()452x x -=--，解得：121,3x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．题型3：一元二次方程的根的概念深入理解18．一元二次方程2251440t -=的根与249(1)25x -=的根（ ）A ．都相等B ．都不相等C ．有一个根相等D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解.2251440t -=，214425t =，∴125t =±；249(1)25x -=，715x -=±，∴1125x =，225x =-；∴两个方程有一个相等的根125.故选C.【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式19．关于x 的方程(x+a)2 =b(b>0)的根是（ ）A ．-aB ．C ．当b≥0时，D ．当a≥0时，【答案】A【解析】【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．∵b>0，∴两边直接开平方,得：∴-a ，故选A【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则20．形如2()(0)ax b p a +=¹的方程，下列说法错误的是（ ）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D【解析】【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ³时，原方程的根为x =故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次21．方程4160x -=的根的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】移项得416x ==24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题．解：∵4160x -=∴416x ==24，∴x=±2，∴方程4160x -=的根是x=±2.故选B.【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法22．若()222225a b +-=，则22a b +的值为( )A ．7B ．-3C ．7或-3D ．21【答案】A【解析】【分析】把()222225a b +-=两边开方得到a 2+b 2-2=±5，然后根据非负数的性质确定22a b +的值．解：∵()222225a b +-=，∴a 2+b 2-2=±5，∴a 2+b 2=7或a 2+b 2=-3（舍去），即a 2+b 2的值为7．故选A ．【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．题型7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充23．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=×=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444n n n i i i i i +=×=×=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++L 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据()41444nn n i i i i i +=×=×=，424341,,1n n n i i i i ++=-=-=，化简各式即可求解．解：依题意有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-=×=-=-==-=，∵2022÷4＝505…2，∴2022i =21i =-∴234202*********i i i i i i ++++++L ＝−1−i ＋1＋i ＋…＋1＋i −1＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．一、单选题1．方程()2690x +-=的两个根是（ ）A ．13x =，29x =B ．13x =-，29x =C ．13x =，29x =-D ．13x =-，29x =-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：()2690x +-=，()269x +=，63x \+=±，123,9x x \=-=-，故选：D ．A ．0k ³B ．0h ³C ．0hk >D ．0k <【答案】A 【分析】根据平方的非负性即可求解．【解析】解：()20x h +³Q ，0k \³．故选：A ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解直接开平方法的条件是解题的关键．5．已知()22230aa x x ---+=是关于x 的一元二次方程，那么a 的值为（ ）A ．2±B ．2C ．2-D ．以上选项都不对【答案】C【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【解析】解：∵()22230aa x x ---+=是关于x 的一元二次方程，∴222,20a a -=-¹，解得2a =-，故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键．6．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【解析】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：【解析】∵根据题意可得：420420a b c a b c ++=ìí-+=î①②，①－②＝40b =，得0b =，①＋②＝820a c +=，∴解得：0b =，4c a =-．将a 、b 、c 代入原方程()200ax bx c a ++=¹可得，∵240ax bx a +-=，240ax a -=24ax a=∴2x =±故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，联立关于a 、b 、c 的方程组，由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键．二、填空题11．方程240x -=的根是______．【答案】12x =-，22x =【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：240x -=，24x =，∴2x =±，即12x =-，22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．12．方程()219x +=的根是_____．【答案】1224x x ==-，【分析】两边开方，然后解关于x 的一元一次方程．【解析】解：由原方程，得13x +=±．＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．两边开平方，得63x +=第二步所以3x =- 第三步“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．【答案】(1)-1；(2)二 ；正确的解答过程，见解析【分析】（1）利用平方差公式展开，合并同类项即可；（2）根据直接开平方法求解即可．【解析】（1）解：2(1)(1)+--m m m 221m m =--=-1；（2）解：第二步开始出现错误；正确解答过程：移项，得（x +6）2=9，两边开平方，得x +6=3或x +6=-3，解得x 1=-3，x 2=-9，故答案为：二．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．嘉嘉和琪琪用图中的A 、B 、C 、D 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按A B C D ®®®的顺序运算，则琪琪列式计算得：222[(23)(3)2](152)(17)289+´--=--=-=．（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B ®®®的顺序运算，请列式并计算结果；。
一元二次方程及其解法直接开平方法—知识讲解
一元二次方程及其解法直接开平方法—知识讲解一、一元二次方程的定义二、一元二次方程的解法之直接开平方法直接开平方法是一种求解一元二次方程的常用方法，它的基本思想是将方程变形为一个完全平方的形式，然后通过对等式两边进行平方根运算，得到方程的解。
具体的解题步骤如下：步骤一：将一元二次方程化为完全平方的形式首先将一元二次方程的形式写成(a x^2 + bx) + c = 0的形式，然后根据平方差公式将左侧的前两项变形为一个完全平方。
例如，设一元二次方程为2x^2+5x+3=0，首先将方程的形式写成(2x^2+5x)+3=0。
然后根据平方差公式，(2x^2+5x)可以变形为(√2x+√3)^2的形式，即(2x^2+5x)=(√2x+√3)^2步骤二：对等式两边进行平方根运算将方程的两边进行平方根运算，得到√(2x^2+5x)=±√(√2x+√3)。
步骤三：解出方程的根对于√(2x^2+5x)=±√(√2x+√3)这个方程，我们可以分别求出右侧的正负情况下的根。
首先，我们假设√(2x^2+5x)=√(√2x+√3)，则√2x+√3=(2x^2+5x)。
将方程两边展开并整理，得到2x^2+3–(2x^2+5x)=0，即-5x+3=0。
解这个一元一次方程，我们可以得到x=3/5接下来，我们假设√(2x^2+5x)=-√(√2x+√3)，则√2x+√3=-(2x^2+5x)。
将方程两边展开并整理，得到2x^2+3+2x^2+5x=0，即4x^2+5x+3=0。
解这个一元二次方程，我们可以得到x=-1/2或x=-3/2因此，一元二次方程2x^2+5x+3=0的解为x=3/5，x=-1/2，或x=-3/2三、总结直接开平方法是一种求解一元二次方程的常用方法，其基本思想是将方程变形为一个完全平方的形式，然后通过对等式两边进行平方根运算，得到方程的解。
根据正负情况，可以得到方程的不同解。
这种方法简单直观，适用于一般的一元二次方程求解。
一元一次方程的概念与解法
一元一次方程的概念与解法一元一次方程，是指含有一个未知数的一次方程。
它的一般形式可以写作ax + b = 0，其中a、b为已知常数，x为未知数。
一元一次方程的解，就是使得该方程成立的未知数的值。
解一元一次方程的方法有很多种，下面将介绍几种常用的解法，并通过实例来加深理解。
1. 直接法直接法是最常用也是最基本的求解一元一次方程的方法。
通过逐步化简方程，将方程转化为x = c的形式，从而找到x的值。
例如，求解方程2x + 3 = 7。
解：首先，将方程化简，得到的形式为2x = 4。
接着，将方程两边同时除以2，得到x = 2。
最后，解得方程的解为x = 2。
2. 平衡法平衡法是一种通过移动式子中的项，使得方程两边平衡的解法。
例如，求解方程3x + 5 = 2x + 9。
解：首先，将方程化简，得到的形式为3x - 2x = 9 - 5。
接着，合并同类项，得到x = 4。
最后，解得方程的解为x = 4。
3. 消元法消元法是一种通过将方程中的某一项系数化为0，从而消去该项的解法。
例如，求解方程2x + 3 = 5x - 1。
解：首先，将方程移项，得到的形式为2x - 5x = -1 - 3。
接着，合并同类项，得到-3x = -4。
然后，将方程两边同时除以-3，得到x = 4/3。
最后，解得方程的解为x = 4/3。
以上是三种常用的一元一次方程解法，通过这些解法可以较为简单快速地求解一元一次方程。
在实际问题中，一元一次方程经常出现，它们的解可以帮助我们得到未知数的具体值，从而解决问题。
此外，有时方程可能无解或者有无限多个解。
当方程无解时，意味着方程左右两边无法通过任何变换相等，即方程组不成立。
当方程有无限多个解时，意味着方程左右两边可以通过变形相等，即方程组恒成立。
总结起来，一元一次方程的概念与解法是数学学习中的基础知识。
通过灵活运用直接法、平衡法和消元法等解法，我们可以解决一元一次方程相关的问题，提高数学解题的能力。
手把手教你解一元一次方程
手把手教你解一元一次方程一元一次方程是初等代数中最基础的方程类型之一，它的解法简单明了。
本文将给出一些具体的解题步骤，帮助读者轻松解答一元一次方程。
在开始之前，让我们先回顾一下一元一次方程的定义和特点。
一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程，其一般形式为ax+b=0，其中a和b为已知参数，x为未知数。
一元一次方程的解即为能够使方程等式成立的变量值。
下面将结合实例，手把手教你解一元一次方程。
例题一：解方程2x+3=7。
解法一：Step 1: 首先将方程转化成标准形式，即把常数移到方程右边，得到2x=7-3。
Step 2: 进一步进行计算，得到2x=4。
Step 3: 为了使方程等式成立，需要把2x化简成x，因此除以2，得到x=2。
所以方程2x+3=7的解为x=2。
解法二：Step 1: 从方程2x+3=7中，将3移到方程右边，得到2x=7-3。
Step 2: 进行计算，得到2x=4。
Step 3: 为了使方程等式成立，需要把2x化简成x，因此除以2，得到x=2。
所以方程2x+3=7的解为x=2。
例题二：解方程4x-5=11。
解法一：Step 1: 将方程转化为标准形式，得到4x=11+5。
Step 2: 进行计算，得到4x=16。
Step 3: 为了使方程等式成立，需要把4x化简成x，因此除以4，得到x=4。
所以方程4x-5=11的解为x=4。
解法二：Step 1: 将方程4x-5=11中的常数项5移到方程右边，得到4x=11+5。
Step 2: 进行计算，得到4x=16。
Step 3: 为了使方程等式成立，需要把4x化简成x，因此除以4，得到x=4。
所以方程4x-5=11的解为x=4。
通过以上的例题解析，我们可以总结出解一元一次方程的一般步骤：Step 1: 将方程转化为标准形式，即常数项移至方程右边。
Step 2: 进行计算，化简方程中的表达式。
Step 3: 通过除法或其他运算，化简方程，得到未知数的值。
【初中数学九年级上册人教版 第21章 一元二次方程说课稿】 直接开平方法解一元二次方程说课稿
《直接开平方法解一元二次方程》说课稿今天我说课的课题是《直接开平方法方法解一元二次方程》。
内容选自人教版教科书，数学九年级上册第22章一元一次方程第2节。
下面我从教材分析、教学目标的确定，教学重、难点的分析，教法、学法，教学过程几个方面对本节课的教学进行一个说明。
一、教材分析：一元二次方程的解法是本章的重点内容，直接开平方法一元二次方程解法的起始课，直接接开平方法是解一元二次方程的基础方法。
它的推导建立在平方根意义和开方运算的基础上，首先它配方法的基础，其次再求二次函数与X轴交点等问题中都必须用一元二次方程的解法。
同时，这一届教材的编写中突出体现了化归、类比等重要的数学思想方法。
因此这一届不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
为此，根据课标要求和学生实际情况，制定了如下的教学目标：二、教学目标：1．知识与技能（1）会用开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程．（2）能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍．2．过程与方法通过实例，使学生体会一元二次方程应用价值并意识到解一元二次方程的重要性，理解直接开平方法的数学依据，并能应用直接开平方法．让学生经历由简到繁过程，体验类比、化归、降次的数学思想方法，培养学生观察、分析、计算等思维能力及应用意识．3．情感态度与价值观通过学生对具体问题的思考、讨论、交流，最终得出结论的过程，培养学生的进取精神，让学生养成科学严谨的治学态度和应用所学知识解决问题的习惯．三、教学重点与教学难点的分析本节课是一元二次方程解法的起始课，教学重点是用直接开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程。
难点是不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化归”的转化方法与技巧．四、教法学法分析：1、教法：本节课采用启发式和自主探究式与交流讨论相结合的教学方式。
在教学中以启发学生进行探究的形式展开，利用已有的知识，利用学生已有的知识，让学生多交流，主动参与到教学活动中来，让学生处于主导地位。
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，其表达式形式为：ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
解一元一次方程的常见方法有以下几种：试数法、平衡法和代入法。
本文将对这些解法进行详细介绍。
一、试数法试数法是一种较为简单直接的解法。
其基本思路是通过猜测未知数的值，将其代入方程中，判断是否满足等式，从而得到方程的解。
例如：解方程2x - 3 = 5。
我们可以尝试将x取值为4，代入方程得到2*4 - 3 = 5，运算后得到8 - 3 = 5，等式两边相等，因此x = 4是方程的解。
需要注意的是，试数法的有效性取决于方程的简单性，它适用于一些简单的方程，但对于复杂的方程来说，这种方法并不太实用。
二、平衡法平衡法是一种常用的解一元一次方程的方法。
其基本思路是通过恰当的运算将方程化简为一个简单的形式，从而求出未知数的值。
例如：解方程3x + 7 = 16。
我们可以通过平衡法来求解。
首先，我们将方程两边同时减去7，得到3x = 9。
然后，再将方程两边同时除以3，得到x = 3。
因此，方程的解为x = 3。
需要注意的是，在使用平衡法时，需要根据方程的具体情况进行适当的运算，将方程化为最简形式，从而得到准确的解。
三、代入法代入法是解一元一次方程的一种常用方法。
其基本思路是通过已知条件，将方程化简为一个只含有未知数的形式，从而求解未知数的值。
例如：解方程2(x - 3) = 4x + 1。
我们可以利用代入法来求解。
首先，我们将方程化简为2x - 6 = 4x+ 1。
然后，将方程两边同时减去2x，得到-6 = 2x + 1。
再将方程两边同时减去1，得到-7 = 2x。
最后，将方程两边同时除以2，得到x = -7/2。
因此，方程的解为x = -7/2。
需要注意的是，在使用代入法时，需要根据方程的具体形式，选择适合的代入方式，并结合已知条件进行化简，从而得到准确的解。
综上所述，解一元一次方程的方法主要包括试数法、平衡法和代入法。
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一元一次方程是数学中最基本的方程类型之一，它具有形如ax+b=0的一元一次方程可以通过多种方法求解。
本文将介绍一些常见的解法。
1. 直接解法直接解法是一种最常见且简单的解法，适用于形如ax+b=0的方程。
我们可以通过以下步骤求解：1.1 将方程转化为标准形式：ax=-b1.2 两边同时除以a，得到：x=-b/a1.3 得出方程的解：x=-b/a举例说明：例：2x+3=0将方程转化为标准形式：2x=-3两边同时除以2，得到：x=-3/2方程的解为：x=-3/22. 平移变量解法平移变量解法是一种通过平移变量的方法求解方程的解法，适用于形如ax+b=cx+d的方程。
我们可以通过以下步骤求解：2.1 将方程转化为标准形式：ax-cx=d-b2.2 合并同类项：(a-c)x=d-b2.3 将右侧常数项移到左侧：(a-c)x-(d-b)=02.4 得出方程的解：x=(d-b)/(a-c)举例说明：例：3x+4=2x+7将方程转化为标准形式：3x-2x=7-4合并同类项：x=3方程的解为：x=33. 系数分离解法系数分离解法适用于形如bx+c=ax的方程，其中a、b、c为常数。
我们可以通过以下步骤求解：3.1 将方程转化为标准形式：bx-ax=-c3.2 合并同类项：(b-a)x=-c3.3 将左侧的系数分离出来：x=(-c)/(b-a)举例说明：例：4x+6=2x-3将方程转化为标准形式：4x-2x=-3-6合并同类项：2x=-9将左侧的系数分离出来：x=(-9)/(2)方程的解为：x=(-9)/(2)4. 求平均值解法求平均值解法适用于形如(a+b)x=c的方程，其中a、b、c为常数。
我们可以通过以下步骤求解：4.1 将方程转化为标准形式：(a+b)x=c4.2 取左右两侧系数的平均值：[(a+b)/2]x=c/[(a+b)/2]4.3 取左右两侧系数的倒数：[(a+b)/2]x=[(a+b)/c]4.4 得出方程的解：x=[(a+b)/c]举例说明：例：(2+3)x=10取左右两侧系数的平均值：[(2+3)/2]x=10/[(2+3)/2]取左右两侧系数的倒数：[2.5]x=10/2.5方程的解为：x=4以上是一些常见的一元一次方程的解法，通过这些解法，我们可以轻松地求解各种形式的一元一次方程。
如何解一元一次方程
如何解一元一次方程在代数学中，一元一次方程是指只有一个未知数且次数为一的方程。
解一元一次方程的过程可以简单地分为两步：化简方程和求解未知数。
本文将详细介绍如何解一元一次方程。
一、化简方程解一元一次方程的第一步是化简方程，即将方程中的常数项和未知数项整理到一起，使得方程的形式更加简洁。
为了达到这个目的，我们可以运用以下几个步骤：1. 将方程中的常数项和未知数项分开。
常数项是指不含有未知数的常数，例如5或-2；未知数项是指含有未知数的项，例如3x或-4y。
2. 将所有的常数项合并。
将所有的常数项相加或相减，得到一个新的常数项。
例如，方程2x + 3y = 10中的常数项就是10。
3. 将所有的未知数项合并。
将所有的未知数项相加或相减，得到一个新的未知数项。
例如，方程2x + 3y = 10中的未知数项就是2x + 3y。
4. 将常数项和未知数项整理到一起。
用一个等号连接常数项和未知数项，得到方程的最简形式。
例如，方程2x + 3y = 10的最简形式就是2x + 3y = 10。
二、求解未知数化简方程后，我们需要求解方程中的未知数。
想要解一元一次方程，我们需要将未知数从方程中解出。
为了达到这个目的，我们可以运用以下几个步骤：1. 对未知数项进行运算，将未知数项化简为一个未知数。
例如，如果方程中的未知数项是2x，我们可以通过除以2来化简为x。
2. 对常数项进行运算，将常数项化简为一个具体的数值。
例如，如果方程中的常数项是10，我们可以直接得到它的数值为10。
3. 将运算结果代入方程，检验方程的等式是否成立。
将求解得到的未知数的数值代入原方程中，验证是否满足等式。
如果等式成立，即代表求解正确；如果等式不成立，即代表求解错误。
通过以上步骤，我们就可以成功解一元一次方程。
需要注意的是，一元一次方程可能存在唯一解、无解或无穷解三种情况，具体情况需要根据方程本身进行判断。
如果方程存在唯一解，那么我们可以通过上述方法求解出未知数的具体数值。
21.2.1解一元二次方程-直接开平方法(解析版)
人教版数学九年级上册同步练习21.2.1解一元二次方程-直接开平方法一．选择题（共12小题）1.方程2ax c =有实数根的条件是（ ）A. a≠0B. ac≠OC. ac≥OD. c a ≥O 【答案】D【解析】【分析】若方程ax 2=c 有解，那么a≠0，并且ac≥0，由此即可确定方程ax 2=c 有实数根的条件．【详解】∵ax 2=c ，若方程有解，∴a≠0，并且ac≥0， ∴0c a≥. 故选：D.【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程以及方程是否有解的问题，结合方程的形式和非负数的性质即可解决问题．2.对形如(x +m )2=n 的方程,下列说法正确的为( )A. 可用直接开平方法求得根xB. 当n ≥0时,x mC. 当n ≥0时,x mD. 当n ≥0时,x【答案】B【解析】【分析】解形如(x+m)2=n 的方程时，只有当n≥0时，方程有实数解.当n ＜0时，方程没有实数解.由此即可解答.【详解】(x +m )2=n （n≥0），x+m=∴x m.故选B.【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a （a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．3.方程（x﹣3）2=m2的解是（）A. x1=m，x2=﹣mB. x1=3+m，x2=3﹣mC. x1=3+m，x2=﹣3﹣mD. x1=3+m，x2=﹣3+m【答案】B【解析】【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．【详解】方程（x-3）2=m2，开方得：x-3=m或x-3=-m，解得：x1=3+m，x2=3-m，故选：B．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．4.下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（）①13x2=1；②（x﹣2）2=5；③14（x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x2+1；⑥y2﹣2y﹣3=0A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】直接开平方法必须具备两个条件：①方程的左边是一个完全平方式；②右边是非负数．根据这两个条件即可作出判断．【详解】①②③⑤都是或可变形为x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c，而这四种形式都可用直接开平方法，故选：D．【点睛】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．5.方程(x+2)2=9的适当的解法是A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法【答案】A【解析】试题分析：根据方程特征可知选用直接开平方法最简便。
一元一次方程求解
一元一次方程求解在代数学中，一元一次方程是指只含有一个未知数且最高次数为一次的方程。
解一元一次方程是数学中非常基础且重要的内容，因此我们有必要掌握解一元一次方程的方法。
一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0其中，a和b为已知常数，x为未知数。
为了求解方程，我们需要遵循以下步骤：步骤一：将一元一次方程的形式改写为标准形式。
标准形式为：ax = b这可以通过以下步骤实现：1.1 将方程中的常数项（即b）移到等号的右边。
1.2 如果方程中x的系数（即a）为1，则无需更改。
如果x的系数不为1，则将整个方程除以x的系数，以使x的系数变为1。
步骤二：将方程两侧同时乘以逆元素，以消除x系数。
逆元素是指两个数相乘得到单位元（通常为1）。
对于a ≠ 0 的情况，逆元素为1/a。
通过将方程两侧同时乘以1/a，可以使x系数变为1，简化方程的求解。
步骤三：计算方程的解。
将方程化简为x = b/a 的形式后，我们可以得到方程的解。
解释：一元一次方程的解即为使得方程等式成立的未知数的值。
对于一元一次方程，解可以分为无解、有唯一解和有无穷多解三种情况。
如果通过前面的步骤求得b/a ≠ 0，那么方程有唯一解，解为x = b/a。
如果通过前面的步骤求得b/a = 0，那么方程无解。
如果a = b = 0，则方程有无穷多解，在此情况下，任何实数都是方程的解。
示例一：解方程3x + 4 = 10。
首先，将方程改写为标准形式，得到3x = 6。
然后，将方程两侧同时乘以1/3，得到x = 2。
因此，方程3x + 4 = 10 的解为x = 2。
示例二：解方程5x - 7 = 3x + 1。
首先，将方程改写为标准形式，得到5x - 3x = 7 + 1，即2x = 8。
然后，将方程两侧同时乘以1/2，得到x = 4。
因此，方程5x - 7 = 3x + 1 的解为x = 4。
总结：在求解一元一次方程时，我们需要将方程改写为标准形式，然后消除x系数，最后计算解。
数学解一元一次方程的方法
数学解一元一次方程的方法数学解一元一次方程的方法【教案】一、引入在我们的日常生活中，我们经常会遇到各种各样的问题，而这些问题往往可以用数学方程来解决。
今天，我们要学习的就是解一元一次方程的方法，通过学习，我们将能够准确地求解方程，并找到问题的答案。
让我们一起来学习吧！二、知识点讲解1. 什么是一元一次方程？一元一次方程是指只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
一般的一元一次方程形式为：ax + b = 0，其中a和b为已知常数。
2. 解一元一次方程的基本步骤首先，我们来学习解一元一次方程的基本步骤：（1）将方程化简为ax = -b的形式；（2）通过除以a，解得x = -b/a。
三、例题演练现在，我们通过几个例子来练习解一元一次方程。
例题1：2x + 3 = 9首先，我们将方程化简为2x = 9 - 3。
然后，通过除以2，解得x = (9 - 3)/2，计算得x = 3。
例题2：3x - 5 = 7首先，我们将方程化简为3x = 7 + 5。
然后，通过除以3，解得x = (7 + 5)/3，计算得x = 4。
通过这两个例子，我们可以看出解一元一次方程的基本步骤是相同的，只是具体的计算过程不同。
四、练习题1. 解下列一元一次方程：（1）4x - 6 = 10（2）5x + 7 = 22（3）2x - 8 = 42. 用一元一次方程解决以下问题：小明的年龄加上5等于12，求小明的年龄是多少？答案：1. （1）x = (10 + 6)/4，计算得x = 4；（2）x = (22 - 7)/5，计算得x = 3；（3）x = (4 + 8)/2，计算得x = 6。
2. 设小明的年龄为x，则方程为x + 5 = 12。
化简方程为x = 12 - 5，计算得x = 7。
所以小明的年龄是7岁。
五、归纳总结通过本节课的学习，我们归纳总结了解一元一次方程的基本步骤：（1）将方程化简为ax = -b的形式；（2）通过除以a，解得x = -b/a。
22.2.1一元一次方程的解法--直接开平方法
1 3
无论m取何值，3m 52 0;
此方程无解。
3：解方程(5x＋6)2＝(6x＋5)2 解：∵ (5x＋6)是(6x＋5)2的平方根 两边直接开平方，得：5x＋6＝±(6x＋5)
即：5x＋6＝6x＋5，或 5x＋6＝－6x－5 ∴ x1 ＝1, x2＝－1
因此，若(ax＋b)2＝(cx＋d)2是一元二次方程，
1） x2=2
(√ )
2） p2 - 49=0
( √)
3） 6 x2=3
( √)
4) （5x+9）2+16=0
(×)
5) 121-(y+3) 2 =0
(√ )
选择上题中的一两个一元二次方程进行求解，在小
组中互批交流。
下面是一位同学解答的一道一元二次方程的具 体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具 体位置并帮他改正。
解： (1) 移项，得
（χ+1）2=4
∴ χ+1=±2 ∴ χ1=1，χ2=－3.
一桶油漆可刷的面积为1500d m2 ，李林用
这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
列方程10 6x2 1500
由此可得x2 25
x 5，
检 测 与
2. 如果x2=121,那么x1=__________,x2=___________. 3. 如果3x2=18那么x1=__________,x2=___________.
评
4. 如果25x2-16=0那么x1=__________,x2=___________.
价 5. 如果x2=a(a≥0)那么 x1=__________,x2=___________. B 用直接开平方法解下列方程
一元一次方程的算法---直接开平方法(1)
解方程： 35 2 x
2
900
这种方法叫因式分解法，它的思路是：把一元二次 方程化为(ax+b)(cx+d)=0的形式，然后利用两个因式 相乘，至少有一个因式等于0，得到方程：ax+b=0, 或cx+d=0.
试试看
B
C
D
DBຫໍສະໝຸດ （3）方程有实数解。练习：
解方程：
小结：
1.2.1 因式分解法， 直接开平方法（1）
湖南省新邵县酿溪中学王军旗
学习目标
• 1 .知道解一元一次方程的基本思路是“降 次”----化二次为一次。 • 2. 能熟练地通过降次化一元二次方程为一 元一次方程。
复习：
x 1 2x 1 • 解方程： 1 1 2( x 3) 5 0, 2 2 3 解： 2 x 6 5 0, 1 去括号，得：
合并，得：2x 1 1 两边同除以2，得：x 2 2 两边同乘以6，得：3 x 1 2 2 x 1 6
去括号，得： 3x 3 4 x 2 6 合并得：7x 7, 两边同除以7, 得：x 1
解一元一次方程一般步骤：去分母，去括号，移项合 并同类项，未知数系数化“1”.
怎样解一元二次方程呢？
• 问题1.解方程： 35 2 x 900
2
回顾： 平方根 的平方根记作:____ 4 若x2 4, 那么x叫4的 _______,4
因此，x= 4 平方根 的平方根记作： 若x 2 a(a 0), 那么x叫a的 ______,a __ a x a 因此，x ____
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22.2.1 直接开平方法解一元一次方程
学习目标
1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程．
活动1、阅读教材第35页至第37页的部分，完成以下问题
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？
我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
计算：用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=8 （2）(2x－1)2=5 （3）x2+6x+9=2
（4）4m2－9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x－1)2－9=108
解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．
归纳：如果方程能化成的形式，那么可得
活动2 知识运用课堂训练
例1用直接开平方法解下列方程：
（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2－24n+16=11
练习：
（1）2x2－8=0 （2）9x2－5=3 （3）(x+6)2－9=0
（4）3(x－1)2－6=0 （5）x2－4x+4=5 （6）9x2+6x+1=4 （7）36x2－1=0 （8）4x2=81 （9）(x+5)2=25
（10）x2+2x+1=4
活动3 归纳内化
应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的．
活动4 课堂检测
一、选择题
1．若x2－4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=－2 C．p=－4，q=2 D．p=－4，q=－2 2．方程3x2+9=0的根为（）．
A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根
3．用配方法解方程x2－2
3
x+1=0正确的解法是（）．
A．（x－1
3
）2=
8
9
，x=
1
3
±
3
B．（x－1
3
）2=－
8
9
，原方程无解
C．（x－2
3
）2=
5
9
，x1=
2
3
+
3
，x2=
2
3
-
D．（x－2
3
）2=1，x1=
5
3
，x2=－
1
3
4若8x2－16=0，则x的值是_________．
5如果方程2（x－3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
活动5 拓展延伸
1．如果a、b b2－12b+36=0，那么ab的值是_______．
2．用直接开平方法解下列方程：
（1）（2－x）2－81＝0 （2）2（1－x）2－18＝0 （3）（2－x）2＝4 3．解关于x的方程（x+m）2=n．
4、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
5．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？。