高考数学-求数列通项的特殊方法归纳猜想

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高考数学-求数列通项的特殊方法归纳猜想

归纳猜想:给出或求出了数列的前几项可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之.

例1、已知点的序列*

),0,(N n x A n n ∈,其中01=x ,)0(2>=a a x ,3A 是线段21A A 的中点,4A 是线段32A A 的中点,…,n A 是线段12--n n A A 的中点,…,⑴写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式(3≥n );⑵设n n n x x a -=+1,计算321,,a a a ,由此推测{}n a 的通项公式,并加以证明.

解:(1)∵ n A 是线段32--n n A A 的中点, ∴12

(3)2

n n n x x x n --+=≥;

(2)由题意,得a a x x a =-=-=0121,

21

23222

x x a x x x +=-=

-=2111()22x x a --=-,3234332x x a x x x +=-=-=3211

()24

x x a --=,

猜想*)()

2

1

(1

N n a a n n ∈-=-,下面用数学归纳法证明:

(1)当n=1时,a a =1显然成立;

(2)假设n=k 时命题成立,即*)()

2

1(1

N k a a k k ∈-=-,则当n=k+1时,

k k k k k k x x x x x a -+=

-=++++21121=k k k a x x 2

1)(211-=--+=1111

()()()222k k a a ---=-,

∴ 当n=k+1时命题也成立,故命题对任意*

N n ∈都成立.

练习:已知数列{}n a 满足189

a =

,122

8(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+

++,求通项n a .

答案:22425

a =

,34849a =

,48081

a =

,猜测22

(21)1(21)n n a n +-=

+,

(1)当1n =时,189

a =

,所以等式成立;

(2)假设当n k =时等式成立,即22

(21)1(21)

k k k a +-+=

, 1n k =+时等式也成立.

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