水文学 水文统计基本原理与方法
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工程水文学第四章 水文统计基本方法
反应系列 总水平
定义模比系数： 则：
Ki
xi x
1
1 n
n i 1
Ki
K1 K2 Kn n
⒉ 均方差σ、变差系数Cv：
反映系列中各变量值集中或离散的程度
n
(xi x)2
i1
n
Cv
n
(Ki 1)2
i 1
n
例4-2： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
⒊偏态系数（Cs）: 反映系列在均值两边对称程度
n
( Ki 1)3
Cs i1 nCv3
正态曲线或正态分布： 密度函数：
密度曲线：
例4-3：计算系列的统计参数均值、变差系数、 偏态系数。
样本 1 2 3 4 5
系列 300 200 185 165 150
例如:
T 1 1 P
当某一洪水的频率为P=1%时，则T=100年，称此洪
水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100
年会遇到一次。
对于p=80%的枯水流量，则 T=5 年，称作以五年一
遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样的
流量平均5年会遇到一次。说明具有80%的可靠程度。
第五节 P—Ⅲ型分布参数估计
经验频率 （5） 9.1 18.2 27.3 36.4 45.5 54.5 63.6 72.7 81.8 90.9
某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线
二、理论频率曲线： 1、皮尔逊Ⅲ型分布曲线（ P-Ⅲ)
一端有限，一端无限 的不对称单峰曲线
形状、尺度和 位置参数
可以推证：
4 CS2
水质工程学2 水文统计基本原理与方法
3.1.3 总体与样本
3.1.3
总体与样本 (collectivity and sample) :
有 限 总 体 无限 样本
容量无限 容量一定
容 量
● ●
水文特征值系列的总体是无限的。 样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映 出总体的特征。
概率与频率
3.1.4 概率与频率(Probability and frequency)
频率 P=50% 时的 x 值，有 x50%.
示意图
均方差
2.离散程度特征参数
（1）均方差
▵ 描述概率分布离散趋势的特征参数。随机变量分布越分散， 均方差越大；分布越集中，均方差越小。 ▵ 限于比较均值相同的系列。 ☆ 总体的
☆ 样本的
总
x x 样
n 2 i 1 i
K
3 n
n
i
i 1
i
1
3 V
3
（3-16）
n C
i
Cs
(x
x)
3
3
(n 3)
(K
1)
3
3
（3-17）
(n 3)C v
Cs影响形状图
当Cs>0，密度曲线峰顶在均值的左边，叫做左偏或正偏。 当Cs<0，密度曲线峰顶在均值的右边，叫做右偏或负偏。 当Cs=0，密度曲线峰顶在均值处，叫做对称分布或正态分布。 ◇ 水文现象大多属于正偏，Cs>0。
n 1
引入模比系数 对于总体
k i 1
i 1 n 2 n
xi Ki x
对于样本
Cv
Cv
n
ki2 n
水文统计基本原理与方法
51
41 40 42
72
58 56 60
102
82 80 85
162
130 126 134
由表中可见，当n＝100时，CS的误差在40～126%之间。 水文资料一般都很短（n＜100），按矩法公式算得的CS值， 抽样误差太大。
3.3 经验频率曲线与理论频率曲线
一、经验频率及其计算公式 1.经验频率 用根据水文实测系列 ( 样本 ) 计算出来的 频率分布近似代替总体概率分布，这种意义 上的累积频率称为经验(累积)频率。
81 32
皮尔逊Ⅲ型分布参数矩法估计的均方误公式：
X
n
2n 1 3 2 cs 4 3 2 CS 2C V C S 4
绝 对 误 差
Cv
Cv 2n
6
2 1 2cv
Cs
n
(1
3 5 2 4 CS CS 2 16
81 33
样本参数的均方误（相对误差，%）
81 24
3.2 统计参数与抽样误差
一、统计参数 概率分布曲线完整地刻画了随机变量的变化规
律。但随机变量特别是水文随机变量，其概率分
布的确定是十分困难的。实际上，我们有时仅需
要知道它的一些数字特征即统计参数就足够了。
水文水利计算中常用离散特征参数 ( 均值、均方 差、变差系数、偏态系数等)。
81 25
古典概率表达式
k P ( A) n
古典概率满足“随机等可能，独立同分布”。 古典概率通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发 生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无 需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。
81 11
第二章 水文统计基本原理与方法
则，降雨量落在900和500mm的可能性为： 60%-15% = 45%
三、累积频率和重现期 1、累积频率 等量或超量值的累积频数m与总观测次数 S之比，以P（x≥xi）表示。 例：某桥位处测得40年最高水位资料，如表， 求水位H≥25m的累积频率。
解：当水位H＝25m时，W=25% P=25+5=30% 表明：若水位为25m时对桥梁会有威胁， 则高于25m的水位对桥梁都会有威胁，其发生 的可能性应为P=30％。 工程上习惯把累积频率简称为频率。
经验频率曲线的特点 ① 当n→∞时，经验频率曲线将越来越光滑， 且接近于理论频率曲线，对于水文变量分布线型 的选择具有借鉴作用； ② 经验频率曲线计算工作量小，绘制简单， 查用方便； ③ 经验频率曲线外延比较盲目，误差较大， 往往难以满足设计上的需要。因为在水文计算中， 常需推求P=1％、0.1%、0.01%相应的水文变量 值。 ④ 不能求出统计参数，难以进行参数的地 区综合，无法解决无实测水文资料的小流域的水 文计算问题。
• 频率是经验值，概率是理论值； • 可以通过实测样本的频率分析来推论事件 总体概率特性； • 样本容量越大，结果越准确； • 对于水文现象，只能采用有限的多年实测 水文资料组成样本系列，推求频率作为概 率的近似值。
二、随机变量的概率分布
1、对于离散型随机变量 随机变量的取某一可能值的机会有的 大有的小，即随机变量取值都有一定的概 率与之相对应，可表示为：
P ( X x1 ) P1 P ( X x 2 ) P2 P ( X x n ) Pn
上式中P1、P2、 … Pn 表示随机变量X 取值x1、 x2、 … xn 所对应的概率。
一般将这种对应关系称作随机变量的概 率分布规律，简称为分布律。可以用以下的 分布图形表示：
第四章 水文统计基本原理与方法 工程水文学
lim W(A) P(A)
n
五、概率的加法定理与乘法定理
1、概率的加法定理
互不相容（互斥）：P(A1+A2+…An)= P(A1)+P(A2)+……P(Ai)
非互斥事件 ： P(A1+A2)= P(A1)+P(A2)- P(A1A2)
式中：P(A1+A2+……An)为它们中任一个出现的概率
目估外延。 2、理论累积频率曲线
四．理论累积频率曲线
1.频率密度
正态分布：
1 ( x x )2 f ( x) exp 2 2 2
P
x
x
1 ( x x )2 exp dx 0.683 2 2 2
1 ( x x )2 P exp dx 0.997 2 x 3 2 2 1 ( x x )2 P exp dx 1 2 2 2
若求百年一遇的洪水
,m=1 ，得,n=99年。即
是说，在推求百年一遇的洪水时，至少需要99年的实测资料。
2.经验累积频率曲线绘制步骤
1)将实测水文特征值如水位、流量或降雨量不论年序，按大小 排序，对于洪水资或大于某特征值 x≥xi，的
例4-1：江河中出现的最高水位或最大流量，每年的实测值 各不相同，为互斥事件。某水文站观测到一河段50年的洪 水水位资料如下表4-2，求小于258m水位出现的频率。
水位高程Hi(m) 出现的频数 fi(年) 频率w(Hi)%
250 3 6
255 7 14
258 9 18
265 16 32
268 15 30
均系数表。后经雷布京等人的修正，成为专用水文计算表。
1961年中国科学院水文研究所又对此离均系数ФP计算表进行 修正扩展，加密点据，将ФP值补充到Cs=6.4。 x K p 1 pCv；xP KP x 理论累计频率曲线的坐标值：令 K
水文统计基本原理与方法课件
险评估和效益预测。
02 水文统计基本原理
概率论与数理统计基础
概率论基本概念
概率是描述随机事件发生可能性的数 学工具，包括概率空间、随机变量、 概率分布等。
数理统计基础
数理统计是研究如何从数据中获取有 用信息的方法论，包括参数估计、假 设检验、回归分析等。
水文数据的收集与整理
数据来源
水文数据主要来源于水文站观测、遥感监测、气象观测等多 种途径。
水文统计学的应用领域
01
02
03
04
水资源评估
通过对水文数据的统计分析， 评估和预测水资源量、水质和
供水能力。
水文预报
利用水文统计方法对未来水文 情势进行预测，为防洪抗旱提
供决策依据。
水环境管理
通过对水环境相关数据的统计 分析，评估水环境质量，制定
水环境保护和治理措施。
水利工程设计
在水利工程设计中，利用水文 统计数据和方法对工程进行风
河流流量变化规律研究
总结词
河流流量变化规律研究是水文统计中的重要 内容，通过对河流流量数据的收集、整理和 分析，可以了解河流流量的变化规律，为水 资源管理和水利工程提供科学依据。
详细描述
河流流量变化规律研究包括对河流流量数据 的收集、整理和统计分析。通过对河流流量 数据的分析，可以了解河流流量的变化规律 ，包括河流流量的季节性变化、年际变化和 长期变化趋势等。这些规律对于水资源管理 和水利工程具有重要的意义，可以帮助决策 者制定科学合理的水资源管理和水利工程规
划。
水质参数的统计分析
总结词
水质参数的统计分析是水文统计中的重要内容，通过对水质参数数据的收集、整理和分 析，可以了解水质的时空分布规律，为水资源保护和水环境治理提供科学依据。
02 水文统计基本原理
概率论与数理统计基础
概率论基本概念
概率是描述随机事件发生可能性的数 学工具，包括概率空间、随机变量、 概率分布等。
数理统计基础
数理统计是研究如何从数据中获取有 用信息的方法论，包括参数估计、假 设检验、回归分析等。
水文数据的收集与整理
数据来源
水文数据主要来源于水文站观测、遥感监测、气象观测等多 种途径。
水文统计学的应用领域
01
02
03
04
水资源评估
通过对水文数据的统计分析， 评估和预测水资源量、水质和
供水能力。
水文预报
利用水文统计方法对未来水文 情势进行预测，为防洪抗旱提
供决策依据。
水环境管理
通过对水环境相关数据的统计 分析，评估水环境质量，制定
水环境保护和治理措施。
水利工程设计
在水利工程设计中，利用水文 统计数据和方法对工程进行风
河流流量变化规律研究
总结词
河流流量变化规律研究是水文统计中的重要 内容，通过对河流流量数据的收集、整理和 分析，可以了解河流流量的变化规律，为水 资源管理和水利工程提供科学依据。
详细描述
河流流量变化规律研究包括对河流流量数据 的收集、整理和统计分析。通过对河流流量 数据的分析，可以了解河流流量的变化规律 ，包括河流流量的季节性变化、年际变化和 长期变化趋势等。这些规律对于水资源管理 和水利工程具有重要的意义，可以帮助决策 者制定科学合理的水资源管理和水利工程规
划。
水质参数的统计分析
总结词
水质参数的统计分析是水文统计中的重要内容，通过对水质参数数据的收集、整理和分 析，可以了解水质的时空分布规律，为水资源保护和水环境治理提供科学依据。
水文学PPT教案0917-第三章水文统计的基本原理与方法
概率运算定理
• 概率运算定律
I. 概率相加定理 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不
能发生，这类事件称为互斥事件； 概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发生的概率等于
各个事件发生的概率总和 【例】袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白 或黑求的概率是多少？
概率运算定理
用以表示随机试验结果的一个数量(事先是未知的)，由于它事 先不能确定，是随机的，称为随机变量。水文现象中的随机变量， 一般指某个水文特征值(如年径流量、年降雨量、洪峰流量等)。
它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字母 表示，记作X，而随机变量的可能取的值记作x，即：
X = x1, X = x2, X = xn 一般称之为随机系列或随机数列。
这两个函数能完整地描述随机变量的分布规律。
随机变量的概率分布
【例】 某站有62年的降水资料。分析年降水量的概率分布规律。
【解】 将62年降水量按大小每隔∆x=200mm划分为一组，统计各组值 出现的次数，计算各组值相应的频率、频率密度、累积次数、累积频率 的值。
表3.2 某站某年降水量分组频率计算表
所谓“概率预估”，即分析水文变量出现大过或小于某个数值 的可能性为多少
河川水文现象的特点
1. 多变和不完全重复性 水文现象在发生的时间和数值的大小上都具有随机性。
因此不能依靠短期的观测资料对今后的变化趋势做准确的判 断 2. 地区性
水文现象因地区不同而异。因此引用经验公式要注意其 地区特点 3. 周期性
n
n -1
P(AB) = P(A)· P(B / A) = a(a -1) n(n -1)
随机变量的概率分布
• 对于离散型随机变量：
水文统计基本原理与方法
1 T p
当考虑水库兴利调节,研究枯水问题时，设计频率P＞50％，则
1 T 1 p
·对于暴雨洪水（防洪，设计频率 P≤50%）
T
1 1 （年） P P ( x p )
三峡：P=0.01%，Q0.01%=91100m3 /s，指平均每 10000 年遇到
91100 m3 /s 的洪水 1 次洪峰流量
4-5 理论频率曲线
2、皮尔逊Ⅲ型分布
（2）皮尔逊Ⅲ型累积频率P的查算
水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取 值xp，也就是通过对密度曲线进行积分：
1 x a P Px x p x a e dx 0 x
（2）连续型随机变量 若某随机变量可以取得一个有限或无限区间内的任何数值，则 成为连续型随机变量。
4-3 随机变量及其概率分布
1、随机变量
（3）总体与样本 在数理统计中，把研究对象的个体集合成为总体。 从总体中随机抽取n个个体成为总体的一个随机样本，简称样 本。
4-3 随机变量及其概率分布
4-2 概率的基本概念和定理
1、事件
在概率论中，对随机现象的测验叫做随机试验，随机试验的结 果称为事件。事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件 三种。
2、概率
随机事件的概率计算公式：
P ( A) k n
式中：P（A）―在一定的条件组合下，出现随机事件A的概率 ； k― 有利于随机事件A的结果数 ； n― 在试验中所有可能出现的结果。
4-3 随机变量及其概率分布
2、随机变量的概率分布
F(x)=P(X≥x) 代表随机变量X大于等于某一取值x的概率。
在数学上称此曲线为分 布曲线，水文统计中常 称分布曲线为随机变量 的累积频率曲线，简称 频率曲线。
水文学第3章 水文统计的基本原理与方法
3．1．5 总体与样本
事件试验各种可能结果的全体称为 总体。 很多水文现象都是 无限总体。 从总体中随机抽取一部分系列，称抽样，抽取的这部分系 列称为一个 随机样本，简称 样本。
样本系列的长短，即样本中所含的项数的多少，称为 样本 容量 或样本大小。
§3．2 随机变量的概率分布及其统计参数
3．2．1 随机变量 若随机事件的每次试验结果可用一个数值 x 来表示，x 随试验 结果取不同的数值。在每次试验中，究竟出现那一个数值则是随机 的，但取得某一数值具有一定的概率，这种变量称为 随机变量。 如果在某一随机变量相邻两数值之间，不存在中间数值，这种 随机变量称为 离散型随机变量（掷骰字）。
频率是一个抽象的数理统计术语，不易为一般人所理解。
有时用“重现期”来更直观地描述“频率”一词。所谓重现 期是事件重复出现的平均间隔时间，即平均隔多少时间出现一次， 或说多少时间遇到一次。 当研究暴雨洪水问题(所取的p< 50％)时，采用 T=1/p
T——重现期，以年计，表示大于、等于xm的随机变量平 均 T 年重现一次； p——频率，以小数或百分数计。 例:某洪水的频率为p＝1％，则此洪水的重现期T=1/1％=100年 ，称此洪水为百年一遇的洪水，表示大于等于这样的洪水平均 100年出现一次。
x Cv C
S
n Cv 3 2 1 2C Cs 2Cv Cs 4 2n
2 v
6 2 5 (1 Cs2 Cs4 ) n 3 16
公式右边各项均为总体的统计参数，计算是仍用样本的统计参 数代替。抽样误差的大小，随样本的容量n、Cv、Cs的大小而变， 样本容量越大，对总体的代表性越好，其抽样误差也越小）。 当样本容量不大时直接计算Cs的误差很大（计算偏差系数Cs的 均方差公式中包含Cs的高次方）。 例：n=100，Cv=0.1∽1.0，Cs=2Cv，
第五章水文统计的基本知识及方法
第五章水文统计的基本知识及方法研究内容：主要有频率计算与相关分析。
频率计算，包括随机变量及其概率分布、水文频率曲线、适线法等；相关分析，包括简相关与复相关。
研究目的：研究河川径流的统计规律，预估径流的变化趋势，以满足水利水电工程规划、设计、施工和运行管理的需要。
第一节概述概率论与数理统计是一门研究客观事物偶然性（随机性）规律的学科。
由于水文现象一般都具有偶然性的特点，所以，可以用数理统计的原理和方法分析研究它的变化规律。
这种方法称为水文统计法。
工程水文计算中运用水文统计法，不仅合理，而且是必要的。
例如，流域开发，首先要搞清未来河流水量的多少；设计拦河坝、堤防工程需要知道未来时期当地洪水的大小。
这些都要求对未来长期的径流形势做出估计。
如果所建工程计划使用100年，那么就要对未来100年的径流形势做出估计。
但是，由于影响径流的因素众多，难以基于必然现象的规律，应用成因分析法对径流做出这样长期的时序定量预报，而只能基于统计规律，运用数理统计方法对径流做出概率预估，以满足工程设计的需要。
第二节概率的基本概念一、试验和事件在概率论中, 对随机现象的测验叫做随机试验,随机试验的特点是限定条件，重复做。
随机试验的结果称为事件。
根据事件发生的可能性，事件可以分为三类：1、必然事件：在一定试验条件下，试验结果中必然会发生的事件；2、不可能事件：在一定试验条件下，试验结果中决不会发生的事件；3、随机事件：在一定试验条件下，试验结果中可能发生也可能不发生的事件。
二、概率随机事件出现的可能性或机率叫概率。
随机事件A发生的概率用P(A)表示，以百分数计。
显然，必然事件概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率介于0和1之间。
如果某试验可能发生的结果总数是有限的，并且所有结果出现的可能性是相等的，称之为古典概型事件。
在古典概型事件中，如果可能发生的结果总数为n，而事件A有其中的m个结果，则随机事件A发生的概率P(A)为：P(A)=m/n 5-1水文事件一般不能归为古典概型事件。
_水文学第三章水文统计基本原理与方法
（3）条件概率
【例】 某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.2所示，试确定 水位H≥2.0m和H≥2.7m的概率？
序号
1 2 3 4 5
∑
某站水位频率计算
表3.2
水位H（m） 频数f（a） 频率W（%） 累积频率P （%）
4.0
2
5
5
3.5
10
25
30
2.7
16
40
70
2.0
9
注意：累积频率是指多年平均出现的机会；重现期则是平均 若干年出现一次，而不是固定的周期。
**年一遇
3.2.5 设计标准
• 水文现象具有明显的地区性和随机性，因而无法用水文特 征值出现的量值为工程设计的标准。
• 主管部门根据工程的规模、工程在国民经济中的地位以及 工程失事后果等因素，在各种工程设计规范中规定各种水 文特征值的设计频率(或重现期)作为工程设计标准。各地 工程业务部门，根据当地实测的水文资料，通过水文分析 计算，求出对应于设计频率的水文特征值，作为工程设计 的依据。
• 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 • 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 • 样本容量：样本中所含随机变量的项数。
有的现象无法得到总体，例如水文现象。 水文统计：各种水文现象的调查和实测过程当作随机试验，
把已观测到的水文资料当作总体的一个随机样本 （样本应足够大，才能比较好的反应总体的近似情况），
一般认为资料系列越长，平丰枯水段齐全，其代表性越高。
• 检查资料的随机性； • 检查资料的独立性。
3. 2 频率和概率
3.2.1概率和频率
（1）频率 指在具体重复的实验中，某随机事件A出现的次数
【例】 某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.2所示，试确定 水位H≥2.0m和H≥2.7m的概率？
序号
1 2 3 4 5
∑
某站水位频率计算
表3.2
水位H（m） 频数f（a） 频率W（%） 累积频率P （%）
4.0
2
5
5
3.5
10
25
30
2.7
16
40
70
2.0
9
注意：累积频率是指多年平均出现的机会；重现期则是平均 若干年出现一次，而不是固定的周期。
**年一遇
3.2.5 设计标准
• 水文现象具有明显的地区性和随机性，因而无法用水文特 征值出现的量值为工程设计的标准。
• 主管部门根据工程的规模、工程在国民经济中的地位以及 工程失事后果等因素，在各种工程设计规范中规定各种水 文特征值的设计频率(或重现期)作为工程设计标准。各地 工程业务部门，根据当地实测的水文资料，通过水文分析 计算，求出对应于设计频率的水文特征值，作为工程设计 的依据。
• 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 • 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 • 样本容量：样本中所含随机变量的项数。
有的现象无法得到总体，例如水文现象。 水文统计：各种水文现象的调查和实测过程当作随机试验，
把已观测到的水文资料当作总体的一个随机样本 （样本应足够大，才能比较好的反应总体的近似情况），
一般认为资料系列越长，平丰枯水段齐全，其代表性越高。
• 检查资料的随机性； • 检查资料的独立性。
3. 2 频率和概率
3.2.1概率和频率
（1）频率 指在具体重复的实验中，某随机事件A出现的次数
第四章 水文统计基本原理与方法 工程水文学
求的安全率称设计频率标准。
§4-2经验累积频率曲线与理论累积 频率曲线
§4-2经验累积频率曲线与理论累积频率曲线
一、频率密度曲线与频率分布曲线
1.频率密度函数与分布函数
水文现象中的变量为连续型随机变量，其累积频率P(x≥xi)、
P(x≤xi)可以用一连续函数F(x)来表示，即P(x≥xi)=F(x)， F(x) 称该随机变量的分布函数。
例 4-2 ：某城市在不同河流上建有独立运行的两水泵站。 A 泵 站受到洪水淹没破坏的概率为 2%，B泵站破坏的概率为 5%，求 洪水期它们同时遭到破坏的概率有多大？
1 P( AB ) P( A) P( B ) 2% 5% 10000
六、累积频率与重现期
1. 累积频率 1）定义：一定范围内，水文特征值出现的总可能性即累积频率。 （累积频率可以预测多个水文特征值未来发生的概率。）
2、安全率：建筑物保持正常运转的可能性大小（即概率）称
为安全率，其值为1-P。
3、保证率：建筑物在n年内保持安全运转的可能性大小称之为 保证率，由概率的乘法定理，保证率为(1-P)n。 4、风险率：n年内安全运转遭到破坏的可能性的大小则称之为 风险率，为1-(1-P)n。 5、设计频率标准：国家根据工程的重要性和建筑物等级制定 的建筑物允许破坏率或要求的安全率。这一允许的破坏率或要
均系数表。后经雷布京等人的修正，成为专用水文计算表。
1961年中国科学院水文研究所又对此离均系数ФP计算表进行 修正扩展，加密点据，将ФP值补充到Cs=6.4。 x K p 1 pCv；xP KP x 理论累计频率曲线的坐标值：令 K
xP x(1 P Cv )
P与 xP一一对应。以x为纵坐标，P为横坐标，可绘出一条P~
第三章 水文统计基本原理与方法
P( A) m 1 n2
【例3-2】掷两个骰子，计算出现点数的概率。
解：掷两个骰子，可能结果总数为36，有限的。出 现哪一面都是等可能的，故为古典概型。
2
3
B=
P(B) =
4
:
:
12
1
36 2
36
3
P( B=1 ) = 0
36
1
36
3.1.4 频率（frequency）
（概率的统计定义）
设事件A在n次试验中出现了m次，则称
P( x x X x) P( X x) P( X x x) F ( x) F ( x x)
称随机变量X出现在区间[x，x+Δx）的平均概率
F ( x) F ( x x) x
为平均概率密度。
令 Δx → 0
lim F ( x) F ( x x) lim F ( x x) F ( x) F '( x)
x0
x
x0
x
记：
f ( x) F '( x) dF( x) dx
称为概率密度函数，简称密 度函数（density function）， 其图形称为密度曲线 （density curve）。
密度函数积分即为分 布函数：
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
(3 5)
分布函数（distribution function）的图形称为分 布曲线（density curve）， 水文学中称为频率曲线 （frequency curve）。
事件（X≥x） 的概率用P（X≥x）表示，它是随随机
变量X的取值x而变化的，所以P（X≥x）是x的函数，
称为随机变量X的分布函数（distribution function），
【例3-2】掷两个骰子，计算出现点数的概率。
解：掷两个骰子，可能结果总数为36，有限的。出 现哪一面都是等可能的，故为古典概型。
2
3
B=
P(B) =
4
:
:
12
1
36 2
36
3
P( B=1 ) = 0
36
1
36
3.1.4 频率（frequency）
（概率的统计定义）
设事件A在n次试验中出现了m次，则称
P( x x X x) P( X x) P( X x x) F ( x) F ( x x)
称随机变量X出现在区间[x，x+Δx）的平均概率
F ( x) F ( x x) x
为平均概率密度。
令 Δx → 0
lim F ( x) F ( x x) lim F ( x x) F ( x) F '( x)
x0
x
x0
x
记：
f ( x) F '( x) dF( x) dx
称为概率密度函数，简称密 度函数（density function）， 其图形称为密度曲线 （density curve）。
密度函数积分即为分 布函数：
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
(3 5)
分布函数（distribution function）的图形称为分 布曲线（density curve）， 水文学中称为频率曲线 （frequency curve）。
事件（X≥x） 的概率用P（X≥x）表示，它是随随机
变量X的取值x而变化的，所以P（X≥x）是x的函数，
称为随机变量X的分布函数（distribution function），
水文统计的基本原理与方法
二、三点试线法
从经验频率曲线上选择三 点，并据以选定理论频率 曲线上三个参数的方法
若取三点在同一曲线上，则应符合联立方程：
Q1 Q(1 1cv )
Q2 Q(1 2cv )
Q3 Q(1 3cv )
解得： Q Q31 Q13
1 3
cv
Q1 Q3
Q31 Q13
s 1 3 22 1 3
甲
x甲
5.0 10
0.50
cv乙
乙
x乙
5.0 1000
0.005
表明：甲系列的离散程度大于乙系列
我国降水量与径流量的变差系数，一般是南方小，北方 大；沿海小，内陆大；平原小，山区大。在0.2～1.5之间
（三）、偏差系数：衡量系列在均值两侧对称程度。
一般有经验关系：
cs (2 ~ 4)cv
三、皮尔逊III型曲线
试线法：由实测系列得到统计参数，根据理论频率 曲线公式算得设计流量得到的曲线与经验频率点 绘相结合选配合适理论频率曲线的方法。
包括试错试线法和三点试线法
采用假定的Cs值，适当调整
一、试错试线法：
均值和Cv值，使理论频率曲 线与经验点据很好的符合
例题：某水文站有1945～1968年共24年实测最大流量资料，见表， 试用试错试线法求合适的理论频率曲线及设计流量Q1％Q2％
解： 1、计算系列流量的经验频率Pi、Ki、Ki2见表
2、点绘经验频率曲线Pi－Ki
3、求理论频率曲线的两个参数
均值＝1500m3/s、Cv=0.51 4、假定Cs＝2Cv,根据公式计算见教材表10-7， 绘
制理论频率曲线（红线）
5、适线得出Cv＝0.6，Cs＝2.5Cv比较适合，可 以采用
第3章水文学统计基本原理与方法
的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需 要。
水文学统计基本原理与方法
3.1.2 事件 ➢ 随机试验：对随机现象的观测； ➢ 事件：随机试验的结果。包括：
1) 必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的事情。 2) 不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的事情。 3) 随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发生的事件。 3.1.3 总体、样本、样本容量 ➢ 随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗地讲，指在随 机试验中测量到的数量。对于水文现象而言，指某种水文特征值，如某 地区流域出口的年径流量和洪峰流量等。分： 1) 连续性随机变量，如水位、流量； 2) 离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。 ➢ 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 ➢ 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 ➢ 样本容量：样本中所汉随机变量的项数。
W ( A) m n
水文学统计基本原理与方法
(2)概率 概率是指随即事件在客观上出现的可能性，即该事件的发生率，亦称为
机率。根据事件出现的可能性是能够预先估计出来，可分为事先概率和事后 概率：
➢ 事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预先估计出来，如 1) 投硬币出现正面和反面的机率；
概率：2概) 率投是掷指骰随子即出事现件反某在应一客随个观机上点事出子件现的各的概种可结率能果性的。数可量分。为事先概率和事后概率。 ➢ 事后概率：随机事件出现的可能性不能在试验之前预先估计出来，必 须通过大量的重复试验之后才能估计出它出现的可能性。如： 1) 河流决堤的机率； 2) 河流出现大型污染事件的机率
少？
P(白)＝ 20 2 20 10 3
P(黑)＝ 10 1 20 10 3
水文学统计基本原理与方法
3.1.2 事件 ➢ 随机试验：对随机现象的观测； ➢ 事件：随机试验的结果。包括：
1) 必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的事情。 2) 不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的事情。 3) 随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发生的事件。 3.1.3 总体、样本、样本容量 ➢ 随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗地讲，指在随 机试验中测量到的数量。对于水文现象而言，指某种水文特征值，如某 地区流域出口的年径流量和洪峰流量等。分： 1) 连续性随机变量，如水位、流量； 2) 离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。 ➢ 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 ➢ 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 ➢ 样本容量：样本中所汉随机变量的项数。
W ( A) m n
水文学统计基本原理与方法
(2)概率 概率是指随即事件在客观上出现的可能性，即该事件的发生率，亦称为
机率。根据事件出现的可能性是能够预先估计出来，可分为事先概率和事后 概率：
➢ 事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预先估计出来，如 1) 投硬币出现正面和反面的机率；
概率：2概) 率投是掷指骰随子即出事现件反某在应一客随个观机上点事出子件现的各的概种可结率能果性的。数可量分。为事先概率和事后概率。 ➢ 事后概率：随机事件出现的可能性不能在试验之前预先估计出来，必 须通过大量的重复试验之后才能估计出它出现的可能性。如： 1) 河流决堤的机率； 2) 河流出现大型污染事件的机率
少？
P(白)＝ 20 2 20 10 3
P(黑)＝ 10 1 20 10 3
第十章 水文统计的基本原理与方法
2013-7-10
§10.2.5 经验累积频率曲线的绘制与应用
（累积频率）
2013-7-10
2、经验累积频率曲线的外延
①、在普通格纸上外延，徒手目估延长， 任意性很大，难以规范化 ②、在海森机率格纸上外延，可使两端变 化有所展平，但仍难以解决规范化问题
2013-7-10
§10.3 理论累积频率曲线
（频率密度函数）
2013-7-10
0
)
a a a
d x
X
0
众
皮尔逊Ⅲ型曲线方程的符号含义
其中： ( ) x 1e x dx
0
y
xCv (4 C s2 ) a 2C s
xCv C s d b 2
b0 x 2 Cv2 2
1 2 d x Cv C s
m 100 % n 1
（简写）
3、海森公式：
P
2013-7-10
m 0.3 100 % n 0.4
m 0 .5 n
§10.2.5 经验累积频率 曲线的绘制与应用
1、计算步骤
1）、将实测资料按大到小的次序排列，统计各值的 频数 f i ； 2）、按维伯尔公式计算各实测值的累积频率 Pi ( x xi ); 3）、以Pi ( x xi )为横坐标，为 x i 纵坐标，点绘实测系 列的经验累积频率点据 ( Pi , xi ) ； 4）、通过( Pi , xi ) 各点的分布中心绘制一条光滑的曲 线，即经验累积频率曲线； 5）、选定设计频率 [ Pi ] ，在经验累积频率曲线上可 查得设计值 x P ；
②、 amin a0
x ③、 K x
2Cv a0 x (1 )0 Cs
§10.2.5 经验累积频率曲线的绘制与应用
（累积频率）
2013-7-10
2、经验累积频率曲线的外延
①、在普通格纸上外延，徒手目估延长， 任意性很大，难以规范化 ②、在海森机率格纸上外延，可使两端变 化有所展平，但仍难以解决规范化问题
2013-7-10
§10.3 理论累积频率曲线
（频率密度函数）
2013-7-10
0
)
a a a
d x
X
0
众
皮尔逊Ⅲ型曲线方程的符号含义
其中： ( ) x 1e x dx
0
y
xCv (4 C s2 ) a 2C s
xCv C s d b 2
b0 x 2 Cv2 2
1 2 d x Cv C s
m 100 % n 1
（简写）
3、海森公式：
P
2013-7-10
m 0.3 100 % n 0.4
m 0 .5 n
§10.2.5 经验累积频率 曲线的绘制与应用
1、计算步骤
1）、将实测资料按大到小的次序排列，统计各值的 频数 f i ； 2）、按维伯尔公式计算各实测值的累积频率 Pi ( x xi ); 3）、以Pi ( x xi )为横坐标，为 x i 纵坐标，点绘实测系 列的经验累积频率点据 ( Pi , xi ) ； 4）、通过( Pi , xi ) 各点的分布中心绘制一条光滑的曲 线，即经验累积频率曲线； 5）、选定设计频率 [ Pi ] ，在经验累积频率曲线上可 查得设计值 x P ；
②、 amin a0
x ③、 K x
2Cv a0 x (1 )0 Cs
第4章 水文统计的基本知识及方法
Cv = σ σ = E (X ) x
离差系数表示分布函数的相对离散程度；Cv越大，分布函 离差系数表示分布函数的相对离散程度；Cv越大， 越大 数越分散，反之亦然。 数越分散，反之亦然。
17/60
图4-8
例1：若系列1为5，10，15和系列2为1，10，19；计算均方差并比较 若系列1 10，15和系列 和系列2 10，19； 它们的离散程度。 它们的离散程度。 答案1 答案1：σ1＝4.08和σ2＝7.35 4.08和 例2：若序列1为5，10，15和序列2为995，1000，1005；计算变差系 10，15和序列 和序列2 995，1000，1005； 若序列1 数并比较它们的离散程度。 数并比较它们的离散程度。 答案2 答案2：EX1＝10，σ1＝4.08，Cv1=0.408和EX2＝1000， 10， 4.08， =0.408和 1000， σ2＝4.08，Cv2＝0.00408 4.08，
《工程水文学》 工程水文学》
1/60
第4章 水文统计的基本知识及方法
4.1 概述 4.2 概率的基本概念 4.3 随机变量及其概率分布 4.4 统计参数估算 4.5 现行水文频率计算方法——适线法 现行水文频率计算方法—— ——适线法 4.6 相关分析
2/60
4.1 概述
水文现象 水文现象受多种因素影响，具有随机性，故为随机现象。 水文现象受多种因素影响，具有随机性，故为随机现象。 譬如： 譬如： • 同一距离用同一皮尺测多次，所得的结果彼此有差异； 同一距离用同一皮尺测多次，所得的结果彼此有差异； • 给定相同的降雨强度和降雨时间，在同一块场地上进行多次 给定相同的降雨强度和降雨时间， 人工降雨实验，每次所得结果彼此不同； 人工降雨实验，每次所得结果彼此不同； • 某水文站年平均流量每年都不相同。 某水文站年平均流量每年都不相同。 上述例子说明，在基本条件保持不变的情况下， 上述例子说明，在基本条件保持不变的情况下，多次试验 会获得不一致的结果。其原因是除主要条件外， 会获得不一致的结果。其原因是除主要条件外，还有许多次要 因素作用。 因素作用。 随机性规律需要用大量资料加以统计， 随机性规律需要用大量资料加以统计，以得到统计规律及 相应的数字特征，常采用概率论 数理统计进行研究 概率论和 进行研究。 相应的数字特征，常采用概率论和数理统计进行研究。
离差系数表示分布函数的相对离散程度；Cv越大，分布函 离差系数表示分布函数的相对离散程度；Cv越大， 越大 数越分散，反之亦然。 数越分散，反之亦然。
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图4-8
例1：若系列1为5，10，15和系列2为1，10，19；计算均方差并比较 若系列1 10，15和系列 和系列2 10，19； 它们的离散程度。 它们的离散程度。 答案1 答案1：σ1＝4.08和σ2＝7.35 4.08和 例2：若序列1为5，10，15和序列2为995，1000，1005；计算变差系 10，15和序列 和序列2 995，1000，1005； 若序列1 数并比较它们的离散程度。 数并比较它们的离散程度。 答案2 答案2：EX1＝10，σ1＝4.08，Cv1=0.408和EX2＝1000， 10， 4.08， =0.408和 1000， σ2＝4.08，Cv2＝0.00408 4.08，
《工程水文学》 工程水文学》
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第4章 水文统计的基本知识及方法
4.1 概述 4.2 概率的基本概念 4.3 随机变量及其概率分布 4.4 统计参数估算 4.5 现行水文频率计算方法——适线法 现行水文频率计算方法—— ——适线法 4.6 相关分析
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4.1 概述
水文现象 水文现象受多种因素影响，具有随机性，故为随机现象。 水文现象受多种因素影响，具有随机性，故为随机现象。 譬如： 譬如： • 同一距离用同一皮尺测多次，所得的结果彼此有差异； 同一距离用同一皮尺测多次，所得的结果彼此有差异； • 给定相同的降雨强度和降雨时间，在同一块场地上进行多次 给定相同的降雨强度和降雨时间， 人工降雨实验，每次所得结果彼此不同； 人工降雨实验，每次所得结果彼此不同； • 某水文站年平均流量每年都不相同。 某水文站年平均流量每年都不相同。 上述例子说明，在基本条件保持不变的情况下， 上述例子说明，在基本条件保持不变的情况下，多次试验 会获得不一致的结果。其原因是除主要条件外， 会获得不一致的结果。其原因是除主要条件外，还有许多次要 因素作用。 因素作用。 随机性规律需要用大量资料加以统计， 随机性规律需要用大量资料加以统计，以得到统计规律及 相应的数字特征，常采用概率论 数理统计进行研究 概率论和 进行研究。 相应的数字特征，常采用概率论和数理统计进行研究。
水文学 第3章水文统计基本原理与方法
r E X E( X )r
(r 1,2,...,n)
r=1时，一阶中心矩为0
r=2时， r=3时，
2 E X E ( X ) s
2
2
s Cv x
3 E X E( X )
3
3 Cs
s3
四、重现期与频率的关系 水文上常用“重现期”来代替“频率” 1 1. 当研究暴雨或洪水时（一般p≤50%） T P 例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则T=100年，称此 洪水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均 100年会遇到一次。 T 1 2. 当研究枯水或年径流时（一般p≥50%） 1 P 例如，对于p=90%的枯水流量，则T=10年，称此为十年 一遇枯水流量，表示小于等于这样的流量平均10年会 遇到一次。 在频率p≥50%时，工程上习惯于把设计频率叫做设计保 证率，即来水的可靠程度。十年一遇的枯水意思是平 均十年中可能有一年来水小于此枯水年的水量，说明 具有90%的可靠性。
p
f , C s d
该式包含 Cs、P与Φp的关系，查附录3， 由已知的Cs值，查表可得不同P的 Φp值，然 后利用已知的 和Cv值，通过下式即可求出 x 与各种P相应的xp值，从而可绘出理论频率曲 线。
X X (1 cV )
如何求
x
Cv Cs，在以后介绍。
例：某站年径流系列符合pⅢ型分布，已知该系 列的R=650mm，s=162.5mm，Cs =2Cv，试结合 下表计算设计保证率p=90%的设计年径流量。
二、权函数法 当样本容量较小时，用矩法估计的参数将 产生误差，其中尤以Cs的计算误差最大，为了 提高Cs的计算精度，马秀峰（1984）提出了权 函数法。
(r 1,2,...,n)
r=1时，一阶中心矩为0
r=2时， r=3时，
2 E X E ( X ) s
2
2
s Cv x
3 E X E( X )
3
3 Cs
s3
四、重现期与频率的关系 水文上常用“重现期”来代替“频率” 1 1. 当研究暴雨或洪水时（一般p≤50%） T P 例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则T=100年，称此 洪水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均 100年会遇到一次。 T 1 2. 当研究枯水或年径流时（一般p≥50%） 1 P 例如，对于p=90%的枯水流量，则T=10年，称此为十年 一遇枯水流量，表示小于等于这样的流量平均10年会 遇到一次。 在频率p≥50%时，工程上习惯于把设计频率叫做设计保 证率，即来水的可靠程度。十年一遇的枯水意思是平 均十年中可能有一年来水小于此枯水年的水量，说明 具有90%的可靠性。
p
f , C s d
该式包含 Cs、P与Φp的关系，查附录3， 由已知的Cs值，查表可得不同P的 Φp值，然 后利用已知的 和Cv值，通过下式即可求出 x 与各种P相应的xp值，从而可绘出理论频率曲 线。
X X (1 cV )
如何求
x
Cv Cs，在以后介绍。
例：某站年径流系列符合pⅢ型分布，已知该系 列的R=650mm，s=162.5mm，Cs =2Cv，试结合 下表计算设计保证率p=90%的设计年径流量。
二、权函数法 当样本容量较小时，用矩法估计的参数将 产生误差，其中尤以Cs的计算误差最大，为了 提高Cs的计算精度，马秀峰（1984）提出了权 函数法。
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PE
全球多年平均降 水量等于多年平 均蒸发量，为 1130mm
2.2.2 水文观测与水文资料的收集
一、降水
形式： 雨、雪、霰、雹、露、霜等 特征要素： 降水量（mm) 降水历时(min，h，d) 降水强度(mm/h，mm/d) 降水面积(km2) 暴雨中心
与降水有关的气象因素 降水发生在大气中的对流层，对流层是地球大 气中最底的一层。
Pc R Ec Sc
若以海洋为研究对象，其水量平衡方程为：
Po R Eo So
△Sc——大陆在研究时段内蓄水量的变化量 △So——海洋在研究时段内蓄水量的变化量 对多年平均情况， △Sc 、△So 趋于零。所以：
Pc R E c
合并得：
Po R E o
Pc Po E c E o 或
1.2 水文现象基本规律及其研究方法
1、水文现象基本规律 （1）确定性规律 （2）随机性规律 （3）地区性规律 2、基本研究方法 （1）成因分析法 （2）数理统计法 （3）地区综合法
1.3 水文科学的发展
第二章
2.1 河流与流域
河流与径流
一、河流 （一）河流的形成与分段 定义：接纳地面径流和地下径流的天然泄水通道。 河谷、河槽或河床。 上游、下游、左岸、右岸。 分段：沿水流方向，自高向低可分为河源、上游、 中游、下游和河口五段。
（二）河流的基本特征 1. 河流的长度 自河源沿主河道至河口的距离称为河 长（km）。 2. 河流的断面： 横断面 中泓线 纵断面
3. 河道纵比降： 任意河段两端（水面 或水底）的高差△h称为落 差，单位河长的落差称为河 道纵比降。 水面比降、河底比降
二、流域 （一）流域 定义：供给河流地面和地下径流的集水区域， 即分水线所包围的区域 分水线（分水岭） 闭合流域。、非闭合流域
水文循环也是水资源具有再生性的原因。
（二）地球上的水量平衡 水量平衡原理：在水文循环过程中，对任一区 域、任一时段进入水量与输出水量之差额必等于 其蓄水量的变化量。 水量平衡方程：
I O S
I、O——给定时段内输入、输出该地区的总水量 △S——时段内区域蓄水量的变化量，可正可负。
若以地球的整个大陆作为研究范围，其水量平衡方程为：
（二）流域基本特征 流域面积（F，km2） 河网密度（∑L/F，km/km2） 流域长度（L）和平均宽度（M） 流域形状系数（M/L） （扇状流域、羽状流域） 流域平均高度和平均坡度 流域自然地理特征 （位置、气候、下垫面）
2.2径流及其形成过程
2.2.1、水文循环与水量平衡 （一）自然界的水文循环 定义：地球上以液态、固态和气态的形式分布于海 洋、陆地、大气和生物机体中的水体构成了地球上 的水圈。水圈中的各种水体通过不断蒸发、水汽输 送、凝结降落、下渗、地面和地下径流的往复循环 过程，称为水文循环。 水文循环的范围贯穿整个水圈，向上延伸到10km左 右，下至地表以下平均1km深处。
水文循环的4各主要环节：蒸发、降水、下渗和 径流 大循环：海陆之间的水分交换过程，又称为外循环。 小循环：海洋上蒸发的水汽在海洋上空凝结后，以 降水的形式落到海洋里，或陆地上的水经蒸发凝结 又降落到陆地上，又称为内循环。前者称为海洋小 循环，后者称为陆地小循环。 水文循环是地球上最重要、最活跃的物质循环之 一。正是由于自然界的水文循环，才形成永无终止 千变万化的水文现象。
对流层的特点： 1. 气温随高度的增加而降低 2. 具有强烈的上升和下降的气流 3. 受地表差异影响，对流层温度、湿度水平分布 不均匀。 对流层又可分三部分：下层（地面-1.5km） 中层（1.5km-6km） 上层（6km-对流层顶部）
地形雨
锋面雨
气旋雨 （1）温带气旋雨
（2）热带气旋雨
流域平均降雨量的计算方法 1.算术平均法： 条件：流域内雨量站分布较均匀、地形起 伏变化不大
n P P P 1 n P 1 2 Pi n n i 1
2. 垂直平分法（泰森多边形法）
条件：流域雨量站分布不太均匀，为了更好地反 映各站在计算流域平均雨量中的作用。 假设：流域各处的雨量可由与其距离最近的雨量 站代表。
（二）雷达探测 气象雷达是利用云、雨、雪等对无 线电波的反射现象来发现目标的。 有效范围：40～200km。 （三）气象卫星云图 极轨卫星 地球静止卫星：可见光云图
红外云图
影响我国降水（暴雨）的主要天气系统
高空槽 锋面气旋 低涡 切变线 静止锋 锋区与降雨 副热带高压 热带风暴（台风）
降雨的时程变化描述方法 降雨强度过程曲线：以雨强为纵坐标，时间为横坐标 而点绘出的一次降雨的时段平均降雨强度过程线。 累计降雨过程曲线：降雨强度过程曲线随时间积分而 得出的曲线。
水
内 容：
文
学
绪论 河流与径流 水文统计基本原理与方法 设计洪水流量与水位计算 桥涵孔径设计 桥下河床冲刷计算
第一章
1.1水文学研究内容
绪 论
1、定义 水文学是研究自然界中各种水体（江河、湖泊、海洋、冰川 等）形成、分布、变化、运动、相互转化和与环境相互作用 的一门科学 2、研究内容 水文测验和资料整编与发布 水文实验研究 水文分析与计算 水文预报 水文地理 河流的冲刷与泥沙淤泥计算 其他
降水量观测
（一）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ测法
1. 雨量器
分辨率0.1mm。 两段制观测，即每 日8时及20时各观测 一次。雨季增加观 测段次。 每日8时至次日8 时降水量为当日降 水量。
2. 自计式 （1）虹吸式
分辨率：0.1mm 降雨强度适用 范围： 0.01～4.0mm/min
（2）翻斗式
分辨率：0.1mm 降雨强度适用 范围： 4.0mm/min以内 （3）称重式 记录降水时全部降 水的重量。优点在于能 够记录雪、冰雹及雨雪 混合降水。
n P1 f1 P2 f 2 ... Pn f n fi P Pi F F i 1
3. 等雨量线法 条件：当流域地形变化较大，而雨量站分布较密， 能结合地形变化绘制等雨量线时。
1 P F
Pi f i