复化求积公式
复化求积公式
h[ 2
f ( x0 )
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
Tn
h 2
[
f
(
x0
)
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
计算方法
2.复化辛浦生公式
计算方法
在每个小区间[xk1, xk ]上应用辛浦生公式得：
xk
xk 1
则
f
b
( x)dx h[ f 6
计算方法
在 每 个 小 区 间[ xk1, xk ]上 应 用 梯 形 公 式 得 ：
xk xk 1
f ( x)dx
h 2
[
f
(
xk1
)
f ( xk )]
则
b
n
f (x)dx =
xk f (x)dx
a
k 1 xk1
n k 1
h[ f 2
(xk1)
f
(xk )]
计算方法
x0 x1 x2 x3
2
三、区间逐次分半求积法
计算方法
复化求积公式可有效提高计算精度，但对给定 的误差限，如何确定节点的个数，即[a,b]应多少等 份？由截断误差可以估计步长的取值情况，但需要 给出各阶导数的最大值，这往往是比较困难的，且 估计值往往偏大.
接下来，我们将考虑步长的更为实用的选取方 法.
计算方法
若用Tn及T2n分别表示将[a, b]n等分及2n等分的复化 梯形公式，则
f(x) 1 0.997 0.9896 0.976 0.95 0.936 0.908 0.877 0.841 3978 158 7267 8851 1556 8516 1925 4709
数值分析(18)复化求积法
1 2
h2
b
4
a
,
直到 T2n Tn 为止,将T2n作为积分的近似值。
数值分析
数值分析
下面推导由n到2n的复化梯形公式
给出误差限，将[a,b]n等分，步长hn
b
a n
,
用复化梯形公式：
在[xk , xk1 ]上，T1k
hn 2
(
f
( xk )
f ( xk1 ))
在[a, b]上，
T (hn ) Tn
理查逊外推算法流程 1,0
1,1 2,0
1,2 2,1 3,0
M
M
MO
1,n 2,n1 3,n2 L n1,0
数值分析
数值分析
二、龙贝格(Romberg)方法
龙贝格(Romberg)算法是将理查逊(Richardson)外推法应 用于数值积分，由低精度求积公式推出高精度求积公式的算法。
h
ba 2k
数值分析
数值分析
变步长复化梯形公式的递推公式： （由n到2n）
T2n
1 2 Tn
Hn 2
其中Tn
hn 2
(
f (a)
n1
f (b)) hn
k 1
f ( xk )
n1
H n
hn
k0
f
(
x
k
1
)
2
实际计算中的递推公式为
ba
T1
[ f (a) f (b)] 2
1
b a n1
ba
T2n 2 Tn
复 化 梯 形 公 式 的 截 断 误差 有 展 开 式
b a
f ( x)dx Tn
C2h2
chap4第2节 复化求积公式
Rn [ f ]
h (b a )
2
f ( ), (a , b)
12
如果记 M 2 max f ( x )
a xb
则有 Rn [ f ]
b
a
f ( x )dx Tn
( b a )h 12
2
M2
(b a ) 12n
2
3
M2
上式说明复化梯形公式是收敛的。
这时由
xk x k 1
得到
h h f f ( x )dx f ( xk 1 ) 4 f ( x 1 ) f ( xk ) k 2880 6 2 n
5
(4)
( k )
b
a
f ( x )dx
i 1
xk
f ( x )dx
x k 1
5 n h h (4) f ( k ) f ( x k 1 ) 4 f ( x 1 ) f ( x k ) 2880 k 1 k k 1 6 2
1
1 4 4 4 2 2 2 1 4 6 1 1 9 9
3.1230
4 )3
而梯形公式的结果为
1 x
0
1
4
2
dx
1 0 2
(
4
1 0 11
例 4.4 用复化梯形公式计算积分 I 0 e dx ，应将区间 [0,1]多少等分，才可以使其截断误差不超过 1 10 4
x
1
2
解：复化梯形公式的误差为
Rn [ f ] f ( x )dx Tn
a b
(b a ) 12n
数值分析63 复化求积公式龙贝格求积公式讲解
只增加了一个分点
1 xk?1/ 2 ? 2 ( xk ? xk?1)
设hn=(b? a)/n, xk=a+kh n (k=0,1,? ,n),在[xk, xk+1] 上用梯形公式得
T1 ?
hn 2
?f
(
xk
)
?
f ? ( xk ? 1 )
复化求积的基本想法 :
将积分区间 [a, b]n等分, 步长
h?
b
? n
a
,
分点为
xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )d x
a
k ? 0 xk
每个子区间 上的积分
?xk?1 f ( x )dx xk
用低阶求积公式 , 然后把所有区间的 计算结果求和 ,
注2: 同样也可用 | S4m-S2m |<ε 来控制计算的精度 . 这就是下面要介绍的 龙贝格求 积公式 .
6.4 龙贝格求积公式
6.4.1 梯形公式的递推化
复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若
精度不够可将步长逐次分半 . 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有 n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则 分点增至 2n+1个，我们将二分 前后两个积分值 联系
果T8=0.9456909 只有2位有效数字，而应用复化辛普 森公式计算的结果 S4= 0.9460832 却有6位有效数字 .
注：为了利用余项公式估计误差，要求 f(x)=sin x/x 的高阶导数，由于
4-3复化求积公式
1 n1 min f ( x ) f ( k ) max f ( x ) a xb a xb n k 0
故存在 [a , b] 使
1 n1 f ( ) f ( k ) n k 0
所以复化梯形公式的积分余项为
h3 RTn I Tn nf ( ) 12 ba 2 h f ( ) 12 3 b a [a , b] f ( ) 2 12n
由此解得
n 6616.67
2
所以
n 79
即至少要把区间[1，2]分为79等份。
对本例题的进一步思考：h是否越小越好？
前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之 有效的，但使用前必须给出合适的步长h。
h太小则计算量增加
误差有积累，更需计算稳定
h太大则精度不满足
（收敛性）
计算方案：事先估计法 变步长（事后估计） 自适应步长法
2.系数Ak >0,满足 Ak b a ,故方法是稳定的.
k 0
n
三、例题
x
0
f(x)
1 0.9973978
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin x 举例 对于函数 f ( x ) x ， 1/8
试利用下表计算积分
I
1 sin
1/4
3/8 1/2 5/8 3/4 7/8
0.9896158
0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925
3*. 复化柯特斯公式 如果将每个小区间[xk，xk+1]四等分，内分点 依次记为 xk 1 , xk 1 , xk 3 ,
4 2 4
则相应地可得复化柯特斯公式。
数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式
nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim
第二节复化求积公式和龙贝格求积公式
Tn )
对于复化辛蒲生公式、柯特斯公式可以类似得到
I
S2n
1 42 1(S2n
Sn )
1 I C2n 43 1 (C2n Cn )
不足
收敛速度慢
应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化 辛蒲生值、复化柯特斯值与精确值的比较
I
T2n
1 4 1(T2n
Tn )
n1
Sn (
f
)
6
f
(a)
4
k0
f
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f
( xk )
f
(b)
复化梯形公式(n
=
8)，h
1 8
0.946083070367
T8 (
f
)
1
2
8
f
(0)
2
f
1 (
)
8
f
(
1 )
4
3 f( )
8
f
(1) 2
f (5) 8
f
(3) 4
f
(
7 8
)
f
(1)
0.945692
复化辛蒲生公式(n
=
4)，h
1 4
S4 (
f
)
1 64
f
(0)
4
f (1) 8
f
(3) 8
f
(5) 8
数值分析6.3 复化求积公式、龙贝格求积公式讲解
精度不够可将步长逐次分半. 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则
分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系
起来加以考虑. 注意到每个子区间[xk, xk+1]经过二分
只增加了一个分点
x k 1/ 2
1 ( x k xk 1 ) 2
设hn=(ba)/n, xk=a+khn (k=0,1,,n),在[xk, xk+1]
I f ( x )dx
b a k 0 n 1 xk 1 xk
f ( x )dx
每个子区间[xk, xk+1]上的积分用梯形公式, 得
xk 1 xk
h f ( x )dx [ f ( xk ) f ( xk 1 )] 2
xk 1 xk
I
k 0
6.3 复化求积公式
从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数
所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也
越高.另一方面，插值节点的增多(n的增大)，在使用
牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8
时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿-柯特
斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高 求积精度.
b n 1 xk 1 xk a
I f ( x )dx
k 0
f ( x )dx
h n 1 I [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/2 ) f ( xk 1 )] 6 k 0
n 1 n 1 h [ f (a ) 4 f ( xk 1/2 ) 2 f ( xk ) f ( b)] 6 k 0 k 1
复化求积公式
补例：用复化梯形法的递推公式计算求积分值 I 到T8
1
0
sin x dx. ，计算 x
解 我们先对整个区间[0,1]使用梯形公式。对于函数
sin x f x x
它在 x 0的值定义为 f 0 1 , 而 f 1 =0.8414709，据梯形公式计
算得
T1
1 [ f ( 0) f (1)] 0.9207355 2
5/8 0.9361556
0.9088516
0.9460832
7/8 0.8771925 1 0.8414709
比较上面例题分别用复化梯形公式和复化 Simpson公式得到的两个结果T8和S4,它们都在只提供 相同的9个点上的函数值上进行的，工作量基本相同, 然而精度却差别很大. 同积分的准确值I(f)=0.9460831比较,复化梯形法 的结果T8=0.9456909只有两位有效数字, 而复化 Simpson法的结果S4=0.9460832却有六位有效数字.
ba h n
1 h n 1 Tn f ( x 1 ) k 2 2 k 0 2
(4.3.3)
由递推复化梯形公式 (也称为变步长梯形公式）可见，在 已计算出 Tn 基础上再计算 T2 n 时，只要计算n个新分点上的函 数值就行了，这与直接利用复化梯形公式相比，计算工作量 几乎节省一半。
然后用梯形公式的递推化公式
T2
1 1 1 T1 f ( ) 0.9397933 2 2 2
1 1 1 3 T4 T2 f f 0.9445135 2 4 4 4
1 1 T8 T4 f 2 8
1 8
4
j 1
6.3 复化求积公式
§3 复化求积公式● 复化求积法的基本思想：将积分区间],[b a n 等分，可得到1+n 个求积节点：kh a x k +=，),,1,0(n k Λ=，其中nab h -=，对积分111()()k kn n bx k axk k I f x dx f x dx I +--=====∑∑⎰⎰在每一个小区间1[,]k k x x +上利用n 阶牛顿-柯特斯公式计算，然后对每个区间的近似积分值求和，用所得的值近似代替原积分值。
如此得到的求积公式称为复化求积公式。
● 复化梯形公式：（每个小区间上利用梯形公式求积）111110()()(()())2k kn bx ax k n k kk k k I f x dx f x dxx x f x f x +-=-++===-≈+∑⎰⎰∑求和展开得：0112111(()())(()())2(()())(()2()())2n n n n k k hT f x f x f x f x f x f x hf a f x f b --==++++++=++∑L其中，na b h -=复化辛甫生公式: （每个小区间上用辛甫生公式求积） 1、公式：112101110()()(()4()())6k kn bxax k n k kk k k k I f x dx f x dxx x f x f x f x +-=-+++===-≈++∑⎰⎰∑ 12k x +表示为区间1[,]k k x x +的中点。
求和展开得：13221201121((()4()())(()4()6())(()4()())n n n n hS f x f x f x f x f x f x f x f x f x --=+++++++++L121101(()4()2()())6n n k k k k hf a f x f x f b --+===+++∑∑ 其中：na b h -=。
复化柯特斯公式：（每个小区间上用柯特斯公式求积）1141324101101()()(7()32()9012()32()7())k kn bxax k n k kk k k k k k I f x dx f x dxx x f x f x f x f x f x +-=-++=+++==-≈++++∑⎰⎰∑ 12k x +为1[,]k k x x +的中点，14k x +，34k x +为1[,]k k x x +的四分之一分点。
4.3复化求积公式
当积分区间 [ a , b ]的长度较大 , 而节点个数 n 1固定时
直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大
而如果增加节点个数 , 即 n 1 增加时
公式的舍入误差又很难得到控制
为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法
即将积分区间 [ a , b ]分成若干个子区间
h ba n , xk a k h ( k 0 , ... , n )
x k 1 xk
f ( x ) dx
Haven’t forget Why can’t Oh come on, you simply Don’t youwe had enough 上用梯形公式： formulae? What’s up youoscillatory nature of you don’t seriously consider the refine the partition ifhigh-have to Uh-oh benow? so picky? h=(ba)/2polynomials! degree acceptable, x k 1 x k do fyou? f ( x k 1 )] , k 0 , ... , n 1 [ ( xk )
k 1
0 . 94608331
C2
1 180 [7 f (0 )
[ 32
k 0
1
f (x
k
1 4
) 12 f ( x
k
2 4
) 32 f ( x
k
3 4
)] 14 f ( x k ) 7 f ( 1 )]
k 1
1
0 . 94608307
复化求积公式
复化求积公式复化求积复化求积是数值计算中一种常用的数值积分方法，用于近似计算函数的定积分。
1. 方法介绍复化求积的基本思想是将要求解的定积分区间划分为若干个小区间，并对每个小区间采用数值积分方法进行近似计算，最后将各小区间的积分结果相加得到整个定积分的近似值。
2. 公式列表以下是复化求积的常用公式：矩形公式矩形公式是最简单的复化求积公式，将每个小区间近似为一个矩形，并取矩形的高度为该小区间上函数值的平均值。
矩形公式的表达式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2其中，a和b为积分区间的上下限。
梯形公式梯形公式是复化求积中常用的公式，将每个小区间近似为一个梯形，并取梯形的高度为该小区间上函数值的平均值。
梯形公式的表达式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2其中，a和b为积分区间的上下限。
辛普森公式辛普森公式是复化求积中精度更高的公式，将每个小区间近似为一个二次曲线，并取二次曲线的高度为该小区间上函数值的平均值。
辛普森公式的表达式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b)) / 6其中，a和b为积分区间的上下限。
3. 示例说明以求解函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分为例，通过复化求积方法进行近似计算。
矩形公式计算将区间[0, 1]划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h = (1 - 0) / n。
利用矩形公式计算每个小区间的积分值，然后将所得结果相加。
∫[0, 1] x^2 dx ≈ (1 - 0) * (f(0) + f(1)) / 2= (1 - 0) * (0^2 + 1^2) / 2= 1/2梯形公式计算同样将区间[0, 1]划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h = (1 - 0) / n。
计算方法 3335 复化求积公式
第4节 变步长复化求积法 复化求积公式存在的问题 .
变步长积分法
复化求积法是提高精度的有效方法，但是由于f ( x )表达式往往 未知或高阶导难于计算，在给定精度条件下，步长h难以确定！
. h太大，会导致较大的截断误差，精度达不到； . h太小，必增加计算次数，造成舍入误差的积累.计算量大！
. 变步长复化求积法的基本思想
逐次分半算法
先选择一个较大的步长，对结果进行精度估计，若不满足精度 则步长减半，直到满足精度要求。方法称为变步长积分法。
. 需要考虑的问题
. 如何判断结果的精度？
. 在h减半的情况下，如何节省计算量？
.计算结果精度的如何判定？
2 h ETn ( f ) I Tn (b a ) f ( ) 12 ba 其中，h= . n
2( b a ) b a 6 (6) EC ( f ) ( ) f ( ) 945 4
[ xk 1 , xk ]上的求积余项
h E Tk ( f ) h2 f (k ) 12
4
复化公式的余项
h2 E ( f ) ( b a) f ( ) 12
C2
0.94569086 精度最低
x0 x0 x01/2 x01/4 x1 x2 x01/2 x1 x11/2 x0 3/4 x21/2 x11/4 x3 x11/2 x31/2 x1 3/4 x4 x2
x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
复化Simpson公式：n 4, h
e | E ( f ) | . 2 12 n 1 若使求积误差不超过 10 -4 ，只需取 n使满足 2 e 1 4 2 4 10 6 n 10 e, 2 2 12 n ln n 1.8266 n 68
3.1复化数值求积法
2
f (b)
记
Tn
下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，
因为每个小区间上是N－C公式中当n=1时的梯形公式。
定理7 若f ( x) C 2[a, b] , 则复化梯形公式的余项为
b
a f ( x)dx Tn
(b a)h2 12
f ( ),
a b，
b
及渐近估计式 a f ( x)dx Tn 1 ( f (a) f (b)), h 0。
(1)
f ( xi ) f (i ) f ( i )( xi i ) O(( xi i )2 )
(2)
(2) (1)，得 f ( xi ) f ( xi1) hf (i ) O(h2 )，i 1，2，，n
即
hf (i ) [ f ( xi ) f ( xi1)] O(h2 )，i 1，2，，n
b
对[a,b] 上的任何连续函数 f (x),都有
lim
n
Tn
a
f ( x)dx
但对代数多项式
f (x)
x2， b a
f ( x)dx Tn
0, n 1,2,
定义4将区间 [a, b]n等分，h b ，a 用某一基本求积公式
n
In
生成的复化求积公式，若对充分光滑的被积函数 f (，x)有
)]
b f (x)dx h[ f (a)
a
6
n1
n
f (b) 2 f (xi ) 4
i 1
i 1
f
(
x
i
1
)]
S
n
2
12 Sn 3 Tn 3 Hn
由
2T2n
Tn
H
，得
复化中矩形求积公式余项
复化中矩形求积公式余项复化中矩形求积公式余项，这可真是个有点复杂但又超级有趣的数学概念啊！咱们先来说说啥是复化中矩形求积公式。
想象一下，你有一条弯弯曲曲的曲线，就像你在公园里走的那种没有规律的小道。
现在你想知道这条小道下面的面积大概是多少。
那咱们就把这条小道切成好多好多的小段，每一小段都近似看成一个矩形。
比如说，把区间 [a, b] 分成 n 等分，每个小区间的长度就是 h = (b - a) / n 。
然后在每个小区间的中点找一个点，以这个点的函数值乘以小区间的长度，把所有这些乘积加起来，这就是复化中矩形求积公式啦。
但是，这里面就有个小问题，咱们这样算出来的面积并不是完全准确的，总会有那么一点点误差，这就是余项啦。
我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个小家伙特别较真儿。
他瞪着大眼睛问我：“老师，为啥就不能完全算准呢？”我笑着跟他说：“这就好比你用尺子量一个弯弯曲曲的线，尺子是直的，线是弯的，怎么可能量得一点不差呀！”这小家伙似懂非懂地点点头。
那这个余项到底咋算呢？其实它跟函数的高阶导数有关系。
简单来说，函数越弯曲，余项就可能越大。
咱们来举个例子，假如有个函数 f(x) = x²，要在区间 [0, 1] 上用复化中矩形求积公式来算面积。
分成 10 等分，算出来的结果和准确值一比较，就能看到那个小小的误差。
在实际应用中，了解这个余项很重要哦。
比如说在工程计算里，如果对精度要求很高，就得搞清楚这个余项有多大，看看咱们用的方法合不合适。
再比如说，在做科学研究的时候，一点点误差可能就会导致完全不同的结论。
所以得把这个余项控制在一个能接受的范围内。
总之，复化中矩形求积公式余项虽然有点复杂，但只要咱们认真琢磨，就能搞清楚它的门道，让数学为咱们的学习和生活服务！怎么样，这下对复化中矩形求积公式余项是不是有点感觉啦？。
数值分析实验 复化求积公式(改进版)
3
2
1 1 1 d x (2) 4 dx 2 2 0 x 1 1 x
(4) e xe x dx
2 1
2
实验要求 : (1) 若用复化梯形公式、 复化 Simpson 公式和复化 Gauss-Legendre 型 公式做计算，要求绝对误差限为 107 ，分别利用它们的余项 对每种算法做出步长的事前估计。 (2) 分别用复化梯形公式、 复化 Simpson 公式和复化 Gauss-Legendre 型公式作计算。 (3) 将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量。
Rn ( f ) b a h 4 (4) (1 0)h 4 1 ( ) f ( ) 3(ln 3)4 = 10-7 4 180 2 180 2 2
ba 1 n 2457
所以
h ba 1 7.58 10-2 n n n 13.19
因此 取节点数 n=14 步长 h
xk 1
xk
f ( x) dx
b
a
f ( x) dx
h n 1 h h [ f (x 1 )+f ( x 1 )] k k 2 k 0 2 3 2 3 2 2
上式称为复化Gauss-Legendre I 型求积公式。 ba 于是当f ( x) C 4 [a, b]，h 时，复化Gauss-Legendre I 型求积公式的余项表达式为 n (b a )h 4 (4) Rn ( f )= f ( ), [a, b] 4320
Rn ( f ) (b a) 2 '' (1 0)h2 2 1 h f ( ) 4e = 10-7 12 12 2
数值计算方法第五章第二节 复化求积公式
h Tk ( f ( xk ) f ( xk 1 )) 2
复化梯形公式为
n 1
k 0,1,
,n 1
n 1 h Tn Tk ( f (a ) f (b)) h f ( xk ) 2 k 0 k 1
数值分析
数值分析
截断误差分析：
h3 '' 在区间 xk , xk 1 上，Rk f (k ), k xk , xk 1 12 n1 n1 h3 '' 整体误差为 Rn Rk ( ) f (k ) 12 k 0 k 0
b a 1 n1 '' 利用 h 和 f (k ) f '' ( ) a, b n n k 0
得到复化梯形公式的截断误差是： b a 2 '' R(Tn ) h f ( ) O( h2 ) 12
数值分析
数值分析
2、复化Simpson公式
在每个小区间 xk , xk 1 上用Simpson公式 h Sk ( f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 )) k 6 2
n 1
复化Simpson公式为
h 2 n1 1 n1 Sn Sk ( f (a ) f (b)) h f ( x 1 ) h f ( xk ) k 6 3 k 0 3 k 1 k 0 2 n 1 1 2 Tn H n , 其中H n h f ( x 1 ) k 3 3 k 0 2
用复化梯形公式n至少取68，节点至少取n 1 69个。
数值分析
数值分析
例：当用复化梯形公式与复化辛卜生公式计算积分 1 1 x -4 0 e dx的近似值时，若要求误差不超过 2 10 ， 问至少各取多少个节点？
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运算量基本 相同，都用
了9个点
= 3.138988494
S4
1 24
f
(0)
4
odd
f
( xk ) 2
even
f
( xk )
f
(1)
其中
xk
k 8
= 3.141592502
Q: 给定精度 ，如何取 n ? 例如：要求 | I Tn | ，如何判断 n = ？
例：分别用复化梯形和复化Simpson求积公式计算积分I
Sn
h [ 3
f
(a) 4
odd
k
f
(xk ) 2 f
even k
(xk )
f
(b)]
➢ 收敛速度与误差估计：
定义
若一个复化积分公式的误差满足
lim
h0
R[ f hp
]
C
且C
0，
则称该公式是 p 阶收敛的。
复化梯形公式：
R[ f ] h2 (b a) f '' ( ) h2 b f '' (x)dx /*中值定理*/
h2 (b a) 12
k 1
f (k )
n
/*中值定理*/
h2 (b a) f ( ), (a, b)
12
➢ 复化 Simpson 公式：
h
b
n
a
,
xk a k h
(k 0, ..., n)
xk1 xk
f ( x)dx
h
6
[f(xk来自)4f
(
xk
1 2
)
f ( xk1 )]
12
12 a
R[ f ] 1
h2
12
b a
f ''(x)dx 1 [ f '(b) 12
f '(a)]
2阶收敛
4阶收敛
6阶收敛
例1：计算
1
0
4 1 x2
dx 用8等分的梯形公式和4等分的Simpson公式计算
解：
1
7
T8
16
f
(0) 2
k 1
f
(xk ) f
(1)
其中
xk
k 8
§3 复合求积 /* Composite Quadrature */
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。
➢ 复合梯形公式： h b a ,
n
xk
akh
(k 0, ..., n)
在每个 [ xk1, xk ]上用梯形公式：
xk xk1
xk
xk
1 2
x k1
4
4
4
4
4
b
h
n1
n1
a
f
(x)dx
[ 6
f
(a) 4
k 0
f
(
xk
1 2
)
2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
= Sn
R[
f
]
b
a
h 4
f
(4) ( )
180 2
注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数，
这时
h b a h , n 2
xk
a k，h 有
1 sin x dx,
0x
要求误差不超过＝1 106
2 解：利用max | f (k) (x) |
1
0 x 1
k 1
1.复化梯形公式
I C4 0.946083004
事后误差估 计式，可用 来判断迭代 是否停止。
§4 龙贝格积分 /* Romberg Integration */
f ( x)dx
xk
xk 2
1
[
f
(
xk
1
)
f (xk )],
k 1, ..., n
b f ( x)dx
a
nh k1 2 [ f ( xk1 )
f ( xk )]
h 2
f
(a)
2
n1 k 1
f (xk )
f (b)
= Tn
n
R[ f ]
n [ h3 k1 12
f (k )]
复化梯形公式算法简单，但精度较差，收敛速度（2阶收敛） 较慢，如何提高收敛速度？
4m
1
注：按上面规律，可以构造线性组合系数为
4m
, 1
4m
1
的新的积分公式，但当m>4时，前一个系数接近于1，后一个
系数接近于0，这样构造出的新公式与前一个公式结果差别不
大，反而增加计算量，因此实际上常做到Romberg公式为止。