复化求积公式

12
12 a
R[ f ] 1
h2
12
b a
f ''(x)dx 1 [ f '(b) 12
f '(a)]
2阶收敛
4阶收敛
6阶收敛
例1：计算
1
0
4 1 x2
dx 用8等分的梯形公式和4等分的Simpson公式计算
解：
1
7
T8
16
f
(0) 2
k 1
f
(xk ) f
(1)
其中
xk
k 8
运算量基本 相同，都用
了9个点
= 3.138988494
S4
1 24
f
(0)
4
odd
f
( xk ) 2
even
f
( xk )
f
(1)
其中
xk
k 8
= 3.141592502
Q: 给定精度 ，如何取 n ? 例如：要求 | I Tn | ，如何判断 n = ？
例：分别用复化梯形和复化Simpson求积公式计算积分I
Sn
h [ 3
f
(a) 4
odd
k
f
(xk ) 2 f
even k
(xk )
f
(b)]
➢ 收敛速度与误差估计：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
定义
若一个复化积分公式的误差满足
lim
h0
R[ f hp
]
C
且C
0，
则称该公式是 p 阶收敛的。
复化梯形公式：
R[ f ] h2 (b a) f '' ( ) h2 b f '' (x)dx /*中值定理*/
h2 (b a) 12
k 1
f (k )
n
/*中值定理*/
h2 (b a) f ( ), (a, b)
12
➢ 复化 Simpson 公式：
h
b
n
a
,
xk a k h
(k 0, ..., n)
xk1 xk
f ( x)dx
h
6
[
f
(
xk
)
4
f
(
xk
1 2
)
f ( xk1 )]
复化梯形公式算法简单，但精度较差，收敛速度（2阶收敛） 较慢，如何提高收敛速度？
4m
1
注：按上面规律，可以构造线性组合系数为
4m
, 1
4m
1
的新的积分公式，但当m>4时，前一个系数接近于1，后一个
系数接近于0，这样构造出的新公式与前一个公式结果差别不
大，反而增加计算量，因此实际上常做到Romberg公式为止。
1 sin x dx,
0x
要求误差不超过＝1 106
2 解：利用max | f (k) (x) |
1
0 x 1
k 1
1.复化梯形公式
I C4 0.946083004
事后误差估 计式，可用 来判断迭代 是否停止。
§4 龙贝格积分 /* Romberg Integration */
xk
xk
1 2
x k1
4
4
4
4
4
b
h
n1
n1
a
f
(x)dx
[ 6
f
(a) 4
k 0
f
(
xk
1 2
)
2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
= Sn
R[
f
]
b
a
h 4
f
(4) ( )
180 2
注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数，
这时
h b a h , n 2
xk
a k，h 有
f ( x)dx
xk
xk 2
1
[
f
(
xk
1
)
f (xk )],
k 1, ..., n
b f ( x)dx
a
nh k1 2 [ f ( xk1 )
f ( xk )]
h 2
f
(a)
2
n1 k 1
f (xk )
f (b)
= Tn
n
R[ f ]
n [ h3 k1 12
f (k )]
§3 复合求积 /* Composite Quadrature */
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。
➢ 复合梯形公式： h b a ,
n
xk
akh
(k 0, ..., n)
在每个 [ xk1, xk ]上用梯形公式：
xk xk1