两角和与差公式的应用经典练习题

合集下载

(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。

如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。

1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练题型1给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

其中假命题是（）A。

①②B。

②③C。

③④D。

②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。

1+2B。

2-1C。

2D。

2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。

最大值为1，最小值为-1B。

最大值为1，最小值为-1/2C。

最大值为2，最小值为-2D。

最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。

1/2B。

2/2C。

-2D。

±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。

56/65B。

-56/65C。

6565/56D。

-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。

3/4B。

3/8C。

1/8D。

1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。

其中为相同函数的是（）A。

f(x)与g(x)B。

g(x)与h(x)C。

h(x)与f(x)D。

f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。

π/3B。

π/4C。

π/5D。

完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题

完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。

6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。

7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。

8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。

9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。

两角和与差练习题学习资料

两角和与差练习题两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若 sin-( 5 2),tan-,则 tan( 2)的值是A . 2B . —2C.—11D .2 112、如果sinx 3cosx,那么sinx ・ cosx 的值是A .锐角三角形 D .等腰三角形、填空题:6、角终边过点(4,3)，角终边过点(7, 1)，则sin( ) _________________A .-B.1C.-659 3、如果 tan()2 ,tan(5 7) 1-,那么tan( 4 )的值是4 A 13c 3A.—B .182213 D .1813 223 10B .C .D ..3 25、在 ABC 中，sinA ・ sinB cosA • cosB,则这个三角形的形状是B .钝角三角形C .直角三角形 C.4、若 f (sin x)cos2x,则 f2&已知cot —4 3,则2sincoscos2si n两角和与差练习题、选择题：解析：令 t = sin x + cos2,— 1] U (— 1, 2).t 2-1 __则 f(x)=吾=于€ [十，—1] U (— 1,号).B— 4m — 610.等式sin a+. 3cos a 三有意义，则 4——m7A. (-1,3)7B. [ - 1,3]7C . [-1,3]11、已知，，均为锐角，且tan111，tan ，tan，贝U +2582. 已知(0,_),si n(2)=?,贝U cos的值为（）A —4屈 3B3 4；3C4j 3 3 D433 101010107.已知 cos( a- n + sin a =5 . 3,贝U sin( a+'的值是（)A .-迈B .^ 5' 5C . - 4D .48.f(x)= 的值域为（）9 .sin( 75 ) cos( 45 ) 、3cos( 15 ）的值等于（）A. 1B.1C. 1D. 012、已知3 4，求(1 tan )(1 tan )的值。

(完整版)两角和与差及二倍角的基础练习

两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）cos （α＋β)＝____________________________________________,cos （α－β)＝_______________________________________________；（2）sin(α＋β）＝_____________________________________________，sin(α－β)＝_______________________________________________；(3）tan(α＋β)＝______________________________________________，tan(α－β）＝_________________________________________________。

(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k ∈Z)其变形为:tan α＋tan β＝______________________________________，tan α－tan β＝_________________________________________________.2．二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）sin2α＝____________________________________________________；（2）cos2α＝________________________＝________－1＝1－_________；(3)tan2α＝_______________________ （α≠错误!＋错误!且α≠kπ＋错误!，k ∈Z ）．3。

公式的逆向变换及有关变形(1) sin αcos α＝___________________（2)降幂公式:sin 2α＝________________,cos 2α＝______________________；升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________________；变形：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝_____________________________例题讲解1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.2、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值。

两角和与差的三角函数练习(含答案)

A
B．
C．
D
．
．
考点：三角函数中的恒等变换应用． 4639753
分析：题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．
解答：
解：∵
，
∴
，
故选 C
点评：本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某
∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜
A
B．
．
12．（4 分）（2008•山东）已知
），则 sin（α+β）的值为（） C．﹣
，则
D﹣ ．的值是（）
可编辑版
A
B．
C．
D
．
．
ห้องสมุดไป่ตู้
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）
4．（5 分）（2008•宁波模拟）已知 cos（α+ ）=sin（α﹣ ），则 tanα= _________ ．
分析：根据公式化简 sin（α+β）和 cos（α+β），因为 α 和 β 为锐角，得到正弦、余弦函数的函数值为正值，判断出谁大谁小即可．
解答：解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ， sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，又∵α、β 都是锐角，∴cosαsinβ＞0，故 sin（α+β）＞sin（α﹣β）．故选 C
点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用和两角和与差的余弦函数．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
13．（5 分）
•

两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

，：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例2，22 2 2知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α － β )： cos(α － β )＝； C(α ＋ β )： cos(α ＋ β )＝； S(α ＋ β)： sin(α ＋β )＝； S(α － β )： sin(α － β )＝；T( α＋ β )： tan( α ＋ β )＝； T( α－ β )： tan( α － β )＝；例 2 设 cos α－ β＝－ 1 2 9 α 2－ β＝ 2 ，其中 α∈ 3 π 2，π， β∈ 0 π，求 cos(α＋β)． 2 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式变式 2：已知 0π 3 ππ,cos( )3,sin( 3 π5), 求 sin( α+β ) 的值. S 2 ：sin2α ＝； T 2 ：tan2α ＝； 4 4 45 413C 2 ：cos2α＝＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上 ,要灵活运用公式解决问题 :如公式的正用、逆用和变形用等。

如 T( α± β)可变形为 : tan α± tan β= ； tan αtan β==.考点自测：题型 3 给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1) 确定角所在的范围； (2) 求角的某一个三角函数值( 要求该三角函数应在角的范围内严格单调 ) ；（ 3）求出角。

1、已知 tan α ＝ 4，tan β＝ 3，则 tan( α ＋ β) ＝ ()例 3 已知 α， β∈(0， π)，且 tan(α－ β)＝ 1 ， tan β＝－ 1，求 2α－β的值． 7 7C 7 72 7A 、B 、-1111、 D 、-13132、已知 cos α－π＋ sin α＝ 43，则 sin α＋7π的值是 ( ) 6 A ．－ 2 3 5 B.2 3 6 C ．－ 4D.4变式 3：已知 tan α = 1， tan β = 1，并且 α , β 均为锐角 , 求 α +2β 的值 .5 5 55 733、在△ ABC 中，若 cosA ＝ 4， cosB ＝ 5，则 cosC 的值是 ( ) 5 16 56 A. B. 13 C.16或5616D ．－65 65 65 65 65 题型 4 辅助角公式的应用4、若 cos2θ＋ cos θ＝ 0，则 sin2θ＋ sin θ的值等于 ( )A ． 0B ． ± 3C ． 0 或 3D ． 0 或± 3asin x bcosxa2b 2sin x(其中角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由2cos55 －° 3sin5 °b 5、三角式 3 cos5 °值为 ( )tan确定 ) 在求最值、化简时起着重要作用。

两角和与差练习题(供参考)

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则；12、的值。

，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 两角和与差练习题一、选择题：2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=53,则cos α的值为( )A ．－10334+ B ．10343- C ．10334- D ．10334+7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.458.f(x)＝sinx cosx1＋sinx ＋cosx 的值域为( )A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－12)C ．(－3－12,3－12)D ．[－2－12,2－12]解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[―2,―1]∪(―1, 2)．则f(x)＝t 2－121＋t ＝t －12∈[－2－12,―1]∪(―1, 2－12)．B9 .sin()cos()cos()θθθ+︒++︒-+︒7545315的值等于（） A. ±1B. 1C. -1D. 010．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的取值范围是( ) A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（）Ａ．π6Ｂ．π4Ｃ．π3Ｄ．5π412．已知α,β是锐角，sin α=x,cos β=y,cos(α+β)=－53，则y 与x 的函数关系式为（） A ．y=－5321x -+54x (53<x<1) B ．y=－5321x -+54x (0<x<1)C ．y=－5321x -－54x (0<x<53)D ．y=－5321x -－54x (0<x<1)13、若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（）A ．1B ．2 C1 D2 15. 设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=016.若()1cos 3A B -=, 则()()22cos cos sin sin B A B A +++的值是（）A. 83-B . 83 C. 73D. 5317. 若()()17tan 411tan 4=-+βα,则()βα-tan 的值为（） A. 14 B. 12C . 4 D. 1218. 已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a19．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（）A ．21B ．22C ．22-D ．22±21．已知tan α,tan β是方程x 2+4=0的两根,且2π-<α<2π,2π-<β<2π,则α+β等于（）A ．23π- B ．3π C ．3π或23π- D ．－3π或23π22．如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（）Ａ．m n m n -+ Ｂ．m nm n+- Ｃ．n mn m-+ Ｄ．n mn m+-23．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形24．在ABC ∆中,若3tan =C , 且()B B B A sin 120cos cos sin 0-=,则ABC ∆的形状是（）A. 等腰三角形B.等腰但非直角三角形C. 等腰直角三角形 D . 等边三角形25．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（）Ａ．不大于1 Ｂ．小于1 Ｃ．等于1 Ｄ．大于126．在ABC △中，90C >，sin E C =，sin sin F A B =+，cos cos G A B =+，则E F G ，，之间的大小关系为（）Ａ．G F E >> Ｂ．E F G >>Ｃ．F E G >> Ｄ．F G E >>27.ABC ∆中，若135cos ,53in ==B A s ，则C cos 的值是（）Ａ。

两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝； C(α＋β)：cos(α＋β)＝； S(α＋β)：sin(α＋β)＝； S(α－β)：sin(α－β)＝； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝； 2T α：tan2α＝；2C α：cos2α＝＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。

如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。

两角和与差公式的应用经典练习题

两角和与差公式的应用【导航练习】1．已知A 、B 均锐角，且满足tan A ·tan B=tan A ＋tan B ＋1 ，则cos （A ＋B ）= .2. sin x =22是tan x =1成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．在（0，2π）内，使0＜sin x ＋cos x ＜1成立的x 的取值范围是（）A ．（0，π2）B ．（π4,3π4）C ．（π2,3π4）∪（7π4,2π）D ．（3π4,π）∪（3π2,7π4）4．已知α＋β=π4＋2k π（k ∈Z ），求证：（1＋tan α）（1＋tan β）= 25．已知cos x ＋cos y = 12,sin x －sin y = 14,求cos （x ＋y ）的值.【巩固练习】1．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取到的值是（）A ．43B ．34C ．53D ．122．已知tan x = － 2 ,π<x <2π,求cos （π3－x ）＋sin （π6＋x ）的值。

3．在△ABC中，sin A = 35,cos B =513,求sin C的值。

4．求cos55°cos65°＋sin25°的值。

5．求42sin18 cos318sin的值。

6. 化简：sin（x＋17°）cos（x－28°）＋cos（x＋17°）sin（28°－x）7．求证：在△ABC中，sin A cos B cos C＋sin B cos C cos A＋sin C cos B cos A = sin A sin B sin C8. 在△ABC中，tan B＋tan C＋ 3 tan B tan C = 3 ,又 3 tan A＋ 3 tan B＋1 = tan A tan B,试判断△ABC的形状。

(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题

两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1、求值：（1） 15cos （2） 20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8） 29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （2π－α）＝sin α．（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值．（3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。

6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。

7.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 22x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -二、证明： )4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。

两角和与差的三角函数练习题及答案

两角和与差的三角函数练习题及答案一、选择题1． sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为( C ) A ．－32B ．－12C.12D.322．已知sin(45°＋α)＝55，则sin 2α等于( B ) A ．－45B ．－35C.35D.453．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6－cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值是 ( A ) A.2＋33B ．－2＋33 C.2－33D.－2＋334．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3等于 ( B ) A ．－34B ．－14C.34D.145．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是( A )A ．－79B ．－13C.13D.796．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( B )A.14B.13C.12D.53二、填空题7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.438． 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 29．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. －5665 三、解答题 10．化简：(1)2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ； (2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.解 (1)原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin π6sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋cos π6cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π6－π4＋x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫x －π12.(2)原式＝cos 2α1－tan α1＋tan α⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2αcos 2α1＋sin 2α(1＋sin 2α)＝1.11．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值．解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0. 而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解之，得tan α＝－43，或tan α＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0，故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3 ＝－255×12－55×32＝－25＋1510.。

三角函数的两角和差及倍角公式练习题

三角函数的两角和差及倍角公式练习题一、选择题：1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ；7、若αα23tan ，则=所在象限是；8、已知=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则；9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。

三、解答题：11、求的值。

·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。

，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。

cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。

答案：一、1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。

3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入 5、B 提示: ∵cos(A + B ) > 0 ∴角C 为钝角。

高三数学两角和与差的三角函数试题

高三数学两角和与差的三角函数试题1.已知0<α<π，sin 2α＝sin α，则tan＝________.【答案】－2－【解析】由sin 2α＝sinα，可得2sin αcos α＝sin α，又0<α<π，所以cos α＝.故sin α＝，tan α＝.所以tan＝＝＝－2－.2. sin2012°=（）A．sin32°B．﹣sin32°C．sin58°D．﹣sin58°【答案】B【解析】sin2012°=sin（5×360°+212°）=sin212°=sin（180°+32°）=﹣sin32°．故选B3.设函数满足.（1）求的单调递减区间；（2）设锐角的内角所对的边分别为，且，求的取值范围.【答案】(1) ;(2)【解析】(1)由函数，运用二倍角公式的逆运算，即可将化成一个角的和差的正余弦形式.再结合基本函数的单调性，通过解不等式即可得到的单调递减区间.(2)因为，结合余弦定理化简后再根据正弦定理，即可得到角B的值，又由（1）所得的函数关系，即可求出角A的范围.试题解析：（1）由得：，∴∴由得：，∴的单调递减区间为：（2）∵，由余弦定理得：，即，由正弦定理得：，，，∴∵△锐角三角形，∴，∴的取值范围为．【考点】1.三角函数的二倍角公式.2.三角函数的化一公式.3.运用正弦定理、余弦定理解三角形.4.三角不等式的解法.4.求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．【答案】【解析】(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋＋sin10°·(cos10°－sin10°)＝(sin210°＋cos210°)＝.(解法2)设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x－y＝cos80°－cos20°－＝－sin50°－＝－cos40°－.因此2x＝，故x＝5.设α、β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝，tan＝，则cosβ＝________．【答案】【解析】∵tan＝，∴tanα＝＝，而α∈(0，π)，∴α∈.由tanα＝＝及sin2α＋cos2α＝1得sinα＝，cosα＝；又sin(α＋β)＝<，∴α＋β∈(，π)，cos(α＋β)＝－.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－6.已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________．【答案】1【解析】∵tanβ＝，∴tanβ＝＝tan .又∵α、β均为锐角，∴β＝－α，即α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.7.已知向量，， .（1）求的最小正周期；（2）若A为等腰三角形ABC的一个底角，求的取值范围.【答案】(1) ；（2）.【解析】(1)求出=利用两角和与差的正余弦函数公式化简得==∴最小正周期T=；（2）利用A为等腰三角形ABC的一个底角，求出A的范围为，所以，进而，再求出，即可得.试题解析：(1)= 2分===== 5分∴最小正周期T= 6分（2）∵A为等腰三角形ABC的一个底角，∴∴，∴， 8分∴，即. 12分【考点】1.两角和与差的正余弦函数；2.平面向量数量积的运算；3.解三角形．.8.已知向量，向量，函数.（1）求的最小正周期；（2）已知分别为内角的对边，为锐角，，且恰是在上的最大值，求和的值.【答案】（1）；（2），.【解析】本题是对平面向量和三角函数的综合考查，考查向量的数量积、三角函数中的倍角公式、两角和与差的正弦公式、余弦定理、周期、最值等基础知识，考查运算能力、分析问题解决问题的能力.第一问，先利用向量的数量积的运算公式，将向量的坐标代入，得到的解析式，再利用倍角公式、两角差的正弦公式化简表达式，最后利用周期公式计算即可；第二问，先数形结合求函数的最大值，得到角，再利用余弦定理得到边.试题解析：（1），，……6分（2）由（1）知：，时,当时取得最大值，此时.由得由余弦定理，得∴，即则 12分【考点】1.向量的数量积；2.倍角公式；3.两角差的正弦公式；4.三角函数的周期、最值；5.余弦定理.9.已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，(1)求A的大小；(2)当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，以及利用两角和与差的正弦公式、倍角公式等公式进行三角变换，考查基本运算能力，考查分析问题解决问题的能力.第一问，先利用正弦定理将边换成角，去分母，再利用两角和的正弦公式化简，得到，再在中，考虑角的范围求角；第二问，利用正弦定理将边用角来表示，利用降幂公式化简，再将用角表示，用两角差的正弦公式化简，最后化简成，利用角的取值范围求函数的值域.试题解析：（I）△ABC中，∵，由正弦定理，得：，即，故，…（4分）∴（2）由正弦定理得∴，∴∵∴∴∴.【考点】1.正弦定理；2.两角和与差的正弦公式；3.倍角公式；4.三角函数的值域.10.若且则的可能取值是（）A. B C. D.【答案】A【解析】由得，由得：，故，故，故选A.【考点】1.两角和的正切公式；2.基本不等式；3.正切函数的单调性11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）中有正切和正弦、余弦，这样的问题一般是“切化弦”，统一为同名三角函数后再利用三角函数的相关公式进行变形解答；（2）利用正弦定理，可化为角的三角函数，再利用，可消去一元，问题于是就转化为三角函数的值域问题.试题解析：(1)因为，即，所以，即，得． 4分所以，或(不成立)．即, 得． 7分(2)由，设，．因， 8分故=． 12分，故． 15分【考点】两角和与差的三角函数、正弦定理.12.若是锐角，且，则的值是．【答案】【解析】根据题意，由于是锐角，且，故可知，那么利用=，故答案为【考点】两角和差的公式点评：主要是考查了差角的三角函数公式的运用，属于基础题。

两角和与差的三角公式复习模拟练习题

两角和与差的三角公式复习模拟练习题.1 两角和与差的余弦1、cos75°－cos15°等于2、cos48°cos12°－sin48°sin12°的值是3、设cos(α－)＝，α，则cos α的值是4、(α－β)β－sin(α－β)sin β＝。

5、如果＝—,∈(π,)，那么的值等于_________。

6、已知为锐角，且＝，＝－，则β＝____。

7、已知α、β均为锐角，sin α＝, sin(α＋β) ＝,则cos β等于8、在△ABC 中，若cosA ＝，cosB ＝,则cosC 等于9、在△ABC 中，如果cosAcosB ＞sinAsinB ，则△ABC 为10、已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝。

6π1715⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,6ππcos cos cos θ1312θ23π⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos πθβα,αcos 71)cos(βα+1411552535313511、已知。

12、cos10°cos55°+cos80°cos35°的值为__________________．13 14、已知，, , 求cos2α的值。

15、求函数的最大值与最小值。

.2 两角和与差的正弦1、=2.化简的结果是3.=4. ==-=+βαβαβαtan tan ,51)cos(,31)cos(则)280cos(200cos )160sin(100sin ︒-︒+︒-︒432παβπ<<<1312)cos(=-βα53)sin(-=+βαx x x f cos 3sin )(+=sin51cos 21cos51sin 21-ααsin 3cos +sin 435sin(cos(44ππαα-+-化简））=5． 6、 7．的值等于 8.9．10.3 两角和与差的正切3sin ,,,sin()524ππααπα⎛⎫=∈+= ⎪⎝⎭已知则34sin ,cos ,,0,,552παβαβαβ⎛⎫==∈+= ⎪⎝⎭已知则 54cos 66cos 36cos 24cos -()()11tan sin ,sin ,35tan ααβαββ+=-==已知则2)2sin()33x x πππ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭化简：sin(x+3()34350,cos(),sin ,sin 4445413ππππβααβαβ⎛⎫<<<<-=+=- ⎪⎝⎭已知且求()()sin 2,cos 2,1,3,().a x x b f x a b m ===⋅+、已知函数（）（）值范围；②公式的变形：．1、已知A、B为ABC的内角，并且=2，则A+B=2、如图由三个正方形拼接而成的长方形，则=3、设=,,则4、若，则5、在ABC中，若，则ABC必是三角形6、已知求7、求tan()αβ+tan tan1tan tanαβαβ+=-()Tαβ+tan()αβ-tan tan1tan tanαβαβ-=+()Tαβ-()Tαβ±()Tαβ±tan tan tan()(1tan tan)αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan)αβαβαβ-=-+∆(1tan)(1tan)A B++αβγ++αtan13tan()2βα-=-tanβ=1tan51tanAA-=-tan()4Aπ+=∆tan tan1A B⋅>∆tan2,tan5,αβ=-=tan()αβ+=0000cos15sin15cos15sin15+=-8、求 9、已知，求证：0000tan18tan12tan18tan12+=tan 3,tan 2,,(0,)2παβαβ==∈34παβ+=。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式训练题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式训练题一、题点全面练11．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝()38A.97C ．－97B.98D ．－91⎛1⎫272解析：选B ∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin α＝1－2× ⎪＝.故选B.3⎝3⎭911⎛tan α⎫2＝()2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log ⎪5⎝tan β⎭23A ．5C ．3B ．4D ．211解析：选B ∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，2311∴sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，2351tan α∴sin αcos β＝，cos αsin β＝，∴＝5，1212tan β∴log⎛tan α⎫2＝log 52＝4. ⎪5⎝tan β⎭53．下列式子的运算结果为3的是()①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③1＋tan 15°；1－tan 15°πtan6π1－tan 62④.A ．①②④C ．①②③B ．③④D ．②③④解析：选C 对于①，tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3－3tan 25°tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝3；对于②，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝3；1＋tan 15°tan 45°＋tan 15°对于③，＝＝tan 60°＝3；1－tan 15°1－tan 45°tan 15°π2tan611π3对于④，＝×＝×tan ＝.22322π2π1－tan 1－tan 66综上，式子的运算结果为3的是①②③.故选C.π⎫2⎛π⎫⎛4．(2018·福州模拟)已知α∈ 0，⎪，cos α＋⎪＝－，则cos α＝()2⎭3⎭3⎝⎝A.C.5＋235－23B.D.15－2615＋26πtan6π⎛π5π⎫⎛π⎫解析：选B 因为α∈ 0，⎪，所以α＋∈ ，⎪，2⎭6⎭3⎝3⎝π⎫⎛所以sin α＋⎪＝3⎭⎝π⎫2⎛1－cos α＋⎪＝3⎭⎝451－＝，93π⎫π⎤π⎫π⎫ππ21⎡⎛⎛⎛α＋－⎥＝cos α＋⎪cos ＋sin α＋⎪sin ＝－×＋所以cos α＝cos ⎢ ⎪3⎭3⎦3⎭3⎭3332⎝⎝⎣⎝5315－2×＝.326π⎫22⎛5．已知sin 2θ＝，则tan θ－⎪＝()4⎭3⎝1A.5C ．55B.6D ．6π⎫π⎫⎤2π⎫2⎛⎡⎛2⎛解析：选A ∵sin 2θ＝cos 2θ－⎪＝cos ⎢2 θ－⎪⎥＝，∴2cos θ－⎪－1＝，2⎭4⎭⎦34⎭3⎝⎣⎝⎝π⎫52⎛即cos θ－⎪＝，4⎭6⎝π⎫12⎛sin θ－⎪＝，4⎭6⎝π⎫2⎛sin θ－⎪4⎭1π⎫⎝2⎛∴tan θ－⎪＝＝.4⎭π⎫5⎝2⎛cos θ－⎪4⎭⎝6.3cos 15°－4sin 15°cos 15°＝________.2解析：3cos 15°－4sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°·cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2.答案：27．sin 10°sin 50°sin 70°＝________.解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°1sin 80°sin 10°cos 10°cos 20°cos 40°81＝＝＝.cos 10°cos 10°81答案：83⎛π⎫8．已知sin β＝，β∈ ，π⎪，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝5⎝2⎭__________.34⎛π⎫解析：因为sin β＝，β∈ ，π⎪，所以cos β＝－.55⎝2⎭由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin 43β＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，5524得sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.55答案：－29．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它4⎫⎛3的终边过点P －，－⎪.5⎭⎝5(1)求sin(α＋π)的值；5(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．134⎫⎛3解：(1)由角α的终边过点P －，－⎪，5⎭⎝54得sin α＝－.54所以sin(α＋π)＝－sin α＝.54⎫3⎛3(2)由角α的终边过点P －，－⎪，得cos α＝－.5⎭5⎝5512由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.13132由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，5616所以cos β＝－或cos β＝.65654510．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.35(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．4sin α解：(1)因为tan α＝，tan α＝，3cos α4所以sin α＝cos α .3因为sin α＋cos α＝1，9722所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos α－1＝－.2525(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β )＝－5，5222所以sin(α＋β )＝1－cos 所以tan(α＋β )＝－2.4因为tan α＝，3α＋β＝25，52tan α24所以 tan 2α＝＝－.21－tan α7所以tan(α－β )＝tan[2α－(α＋β) ]＝tan 2α－1＋tan 2αα＋β2＝－.α＋β11二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分cos θπ1．已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|＜，则sin 2θ＝()sin θ2A.C.829429B.D.223229cos θcos θ解析：选C 因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.sin θsin θπ122又|θ|＜，故sin θ＝，cos θ＝，23312242所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，故选C.339πtan αcos β2．设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x ＝()2x ＋sin βA ．1C.3B ．2D.2ππ解析：选A ∵2α－β＝，∴β＝2α－，22π⎫⎛tan αcos 2α－⎪2⎭tan αsin 2α⎝∴＝1，即＝1，π⎫x －cos 2α⎛x ＋sin 2α－⎪2⎭⎝∴x ＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin α＝1，故选A.π⎫π⎫⎛⎛3．若α为第一象限角，且sin 2α＝sin α－⎪cos(π＋α)，则2cos 2α－⎪的2⎭4⎭⎝⎝值为()7A ．－51C.37B.57D ．－32π⎫⎛解析：选B 由sin 2α＝sin α－⎪cos(π＋α)，2⎭⎝得2sin αcos α＝cos α.1∵α为第一象限角，∴cos α≠0，∴tan α＝，2π⎫ππ⎫⎛⎛∴2cos 2α－⎪＝2 cos 2αcos ＋sin 2αsin ⎪4⎭44⎭⎝⎝＝cos 2α＋sin 2α＝cos α－sin α＋2sin αcos α1－tan α＋2tan α＝21＋tan α111－＋2×427＝＝.故选B.151＋44．已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝__________.解析：由sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°可得，2222m ＝＝2cos 140°－sin 10°－2cos 40°－sin 10°＝cos 10°cos 10°－2cos 30°＋10°－sin 10°－3cos 10°＝＝－ 3.cos 10°cos 10°答案：－3(二)素养专练——学会更学通5．[逻辑推理]设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，π又α，β∈[0，π]，∴－π＜α－β＜π，∴α－β＝，20≤α≤π，⎧⎪∴⎨π0≤β＝α－≤π，⎪2⎩π即≤α≤π，2∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)π⎫⎛＝sin 2α－α＋⎪＋sin(α－2α＋π)2⎭⎝π⎫⎛＝cos α＋sin α＝2sin α＋⎪.4⎭⎝π3ππ5π∵≤α≤π，∴≤α＋≤，2444π⎫⎛∴－1≤2sin α＋⎪≤1，4⎭⎝即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]1⎛π⎫⎛π⎫⎛ππ⎫6．[数学运算]已知cos ＋α⎪cos －α⎪＝－，α∈ ，⎪.4⎝6⎭⎝3⎭⎝32⎭(1)求sin 2α的值；(2)求tan α－解：(1)cos 1的值．tan α⎛π＋α⎫cos ⎛π－α⎫＝cos ⎛π＋α⎫sin ⎛π＋α⎫＝1sin ⎛2α＋π⎫＝－1，⎪ 3⎪ 6⎪ 6⎪2 3⎪4⎝6⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π⎫1⎛即sin 2α＋⎪＝－.3⎭2⎝∵α∈ ⎛π，π⎫，∴2α＋π∈⎛π，4π⎫，⎪ 3⎪3⎝⎝32⎭⎭π⎫3⎛∴cos 2α＋⎪＝－，3⎭2⎝π⎫π⎤⎡⎛∴ sin 2α＝sin ⎢ 2α＋⎪－⎥3⎭3⎦⎣⎝π⎫ππ⎫π⎛⎛＝sin 2α＋⎪cos －cos 2α＋⎪sin3⎭3⎭33⎝⎝11⎛313⎫＝－×－－⎪×＝.22⎝2⎭22⎛ππ⎫⎛2π⎫(2)∵α∈ ，⎪，∴2α∈ ，π⎪，⎝32⎭⎝3⎭1又由(1)知sin 2α＝，2∴cos 2α＝－∴tan α－23.21sin αcos α＝－tan αcos αsin α2sin α－cos α－2cos 2α＝＝sin αcos αsin 2α3－2＝－2×＝2 3.127．[数学建模、数学运算]如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，已知S △OAM ＝(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解：(1)由题意，OA ＝OM ＝1，因为S △OAM ＝52，点B 的纵坐标是.5105255和α为锐角，所以sin α＝，cos α＝.5552272，所以sin β＝，cos β＝－，1010105⎛72⎫25210× －＋×＝－.⎪5⎝10⎭51010又点B 的纵坐标是所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(2)因为cos 2α＝2cos α－1＝2× 23⎛5⎫2⎪－1＝－5，⎝5⎭2554⎛π⎫sin 2α＝2sinαcosα＝2××＝，所以2α∈ ，π⎪.555⎝2⎭⎛π⎫⎛ππ⎫因为β∈ ，π⎪，所以2α－β∈ －，⎪.⎝2⎭⎝22⎭因为sin(2α－β)＝sin 2αcosβ－cos 2αsinβ＝－π所以2α－β＝－.42，2。