复合函数的导数练习题
复合函数求导例题
复合函数求导例题复合函数求导例题是初学微积分的学生要掌握的重要内容，在计算机科学，物理学，工程学和数学科学等科学研究领域里，复合函数的求导知识在各个方面都被广泛应用。
本文将讨论如何求导复合函数，然后介绍一个实际的例子，在例子中演示怎样解决复合函数的求导问题。
首先要了解什么是复合函数，复合函数又称为嵌套函数，它指的是一个函数的定义域内有另一个函数，而这个函数又是另一个函数的定义域内的一个函数而已，复合函数组成形式一般是f（x）=g（h（x））。
复合函数求导的步骤可以使用链式法则来总结，即把复合函数拆分成多个函数，分别求导，最后将结果相乘。
推导公式：f（x）=g （h（x）），那么f（x）的导数就是f（x）=g（h（x））*h（x）。
其中g（h（x））是求g关于h的导数，而h（x）是h关于x的导数。
下面我们来看一个求导复合函数的实例：求y=3*[2*ln(x)+3*cos(x)]的导数。
首先分析一下，y关于x的导数，即y=dy/dx。
显然，y=3*[2*ln(x)+3*cos(x)]即为复合函数，拆分成y=3*f(x)，其中f(x)=2*ln(x)+3*cos(x)。
根据链式法则，y=3*[f(x)]，其中f(x)=2*[1/x] +[-3*sin(x)]，根据上面推导公式，y=3*[2*[1/x] +[-3*sin(x)]]，最终得出y=6/x-9*sin(x)。
综上所述，求导复合函数的步骤是：首先把复合函数拆分成多个函数，再分别求导，最后把求得的导数按照链式法则结合起来得出最终结果。
复合函数求导是微积分学中一个重要的概念，虽然复合函数看上去复杂，但只要按照正确的步骤和流程，慢慢练习，就能够把复杂的复合函数求导问题变得简单易懂。
三角函数的复合与反函数求导练习题
三角函数的复合与反函数求导练习题在微积分中，求导是一个非常基础且重要的概念，它在解决各种数学问题中起着关键作用。
本文将介绍三角函数的复合与反函数求导，以及一些练习题来帮助读者更好地理解这一概念。
一、复合函数的求导法则复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。
在求解复合函数的导数时，我们需要运用链式法则。
链式法则：设y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，那么y=f(g(x))是复合函数，其导数可以通过链式法则计算得到。
链式法则的表达式如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示外函数对内函数的导数，du/dx表示内函数对自变量的导数。
例如，我们有函数y=sin(2x)，我们可以将其看作两个函数的复合，即y=sin(u)和u=2x。
根据链式法则，我们可以计算出dy/dx的导数如下：dy/dx = dy/du * du/dx = cos(u) * 2 = 2cos(2x)二、反函数的求导法则反函数是指函数f(x)的反函数g(x)，即g(f(x))=x。
对于反函数的求导，我们可以通过导数的定义来推导。
设函数y=f(x)存在反函数y=g(x)，那么反函数的求导法则如下：dy/dx = 1 / (dx/dy)即，反函数的导数等于原函数导数的倒数。
例如，我们有函数y=sin(x)，其反函数为y=arcsin(x)，那么反函数的导数可以通过导数的定义来推导：dy/dx = 1 / (dx/dy) = 1 / (cos(y)) = 1 / (cos(arcsin(x))) = 1 / (√(1 - x^2))三、练习题解析下面我们来做两道练习题，以巩固三角函数的复合与反函数求导的知识。
练习题1：求函数y = cos(3x)的导数dy/dx。
解析：将函数y = cos(3x)看作两个函数的复合，即y = cos(u)和u = 3x。
根据链式法则，我们可以计算dy/dx的导数如下：dy/dx = dy/du * du/dx = -sin(u) * 3 = -3sin(3x)练习题2：求函数y = arctan(2x)的导数dy/dx。
求导数的链式法则练习
求导数的链式法则练习在微积分中，求导数是非常重要的一个概念。
对于复杂的函数，我们可以利用链式法则来求取其导数。
本文将通过一些练习题来展示链式法则的运用。
1. 练习题1设函数y = f(u)和u = g(x)都是可导函数，求复合函数y = f(g(x))的导数。
解答：根据链式法则，复合函数y = f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx根据已知条件，y = f(u)的导数为dy/du，u = g(x)的导数为du/dx。
因此，要求y = f(g(x))的导数，只需要将这两部分连乘即可。
2. 练习题2设函数y = f(u)和u = g(x)都是可导函数，求复合函数y = f(g(x))的二阶导数。
解答：复合函数y = f(g(x))的二阶导数可以表示为：d²y/dx² = d(dy/dx)/dx利用链式法则，我们可以将dy/dx展开成dy/du * du/dx。
然后对这个表达式再次求导即可得到二阶导数。
d(dy/dx)/dx = d(dy/du * du/dx)/dx= d(dy/du)/dx * du/dx + dy/du * d(du/dx)/dx在这个式子中，我们需要使用到一阶导数的信息。
因此，要求复合函数y = f(g(x))的二阶导数，需要先求取一阶导数，然后再通过链式法则求导。
3. 练习题3设函数y = f(u)和u = g(v)和v = h(x)都是可导函数，求复合函数y = f(g(h(x)))的导数。
解答：根据链式法则，复合函数y = f(g(h(x)))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx根据已知条件，y = f(u)的导数为dy/du，u = g(v)的导数为du/dv，v = h(x)的导数为dv/dx。
因此，要求y = f(g(h(x)))的导数，只需要将这三部分连乘即可。
通过以上的练习题，我们可以看到链式法则在求导数中的重要性。
专升本导数练习题及答案
专升本导数练习题及答案### 专升本导数练习题及答案#### 练习题一：基础导数计算题目：计算以下函数的导数：1. \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)2. \( g(x) = \sin(x) + e^x \)3. \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)解答：1. 对于 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，我们使用幂函数的导数规则： \[ f'(x) = 6x + 2 \]2. 对于 \( g(x) = \sin(x) + e^x \)，我们分别求导：\[ g'(x) = \cos(x) + e^x \]3. 对于 \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)，我们使用链式法则和幂函数的导数规则：\[ h'(x) = 4(x^3 - 1)^3 \cdot (3x^2) = 12x^2(x^3 - 1)^3 \]#### 练习题二：复合函数的导数题目：计算以下复合函数的导数：1. \( F(x) = (\ln(x))^2 \)2. \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)解答：1. 对于 \( F(x) = (\ln(x))^2 \)，我们使用链式法则和对数函数的导数：\[ F'(x) = 2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} \]2. 对于 \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)，我们使用乘积法则： \[ G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + \sqrt{x}\cdot \cos(x) \]\[ G'(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos(x) \]#### 练习题三：隐函数的导数题目：计算以下隐函数的导数：1. \( x^2 + y^2 = 9 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)2. \( y^3 + xy = 2 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)解答：1. 对于 \( x^2 + y^2 = 9 \)，我们对等式两边求导：\[ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]2. 对于 \( y^3 + xy = 2 \)，我们对等式两边求导：\[ 3y^2\frac{dy}{dx} + (x + y)\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx}(3y^2 + x + y) = -x \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y^2 + x + y} \]#### 练习题四：高阶导数题目：计算以下函数的二阶导数：1. \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)2. \( g(x) = \ln(x) - e^x \)解答：1. 对于 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，我们首先求一阶导数： \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]然后求二阶导数：\[ f''(x) = 6x - 12 \]2. 对于 \( g(x) = \ln(x) - e^x \)，我们首先求一阶导数：\[ g'(x) = \frac{1}{x} - e^x \]然后求二阶导数：\[ g''(x) = -\frac{1}{x^2} - e^x \]这些练习题涵盖了基础导数计算、复合函数导数、隐函数导数以及高阶导数，是专升本数学考试中常见的题型。
复合函数的导数练习题
复合函数的导数练习题-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1技能演练 基 础 强 化1．函数y ＝cos n x 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝cos x n B ．y ＝t ，t ＝cos n x C ．y ＝t n ，t ＝cos x D ．y ＝cos t ，t ＝x n 答案 C2．y ＝e x 2－1的导数是( ) A ．y ′＝(x 2－1)e x2－1B ．y ′＝2x e x 2－1C ．y ′＝(x 2－1)e xD ．y ′＝e x2－1解析y ′＝e x 2－1 (x 2－1)′＝e x2－1·2x .答案 B3．下列函数在x ＝0处没有切线的是( ) A ．y ＝3x 2＋cos x B ．y ＝x sin x C ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x解析 因为y ＝1x ＋2x 在x ＝0处没定义，所以y ＝1x ＋2x 在x ＝0处没有切线． 答案 C4．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析 设切点为(x 0，x 20)，则斜率k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，∴切点为(1,1)．故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 答案 D5．y ＝log a (2x 2－1)的导数是( )解析 y ′＝12x 2－1?ln a (2x 2－1)′＝4x 2x 2－1?ln a .答案 A6．已知函数f (x )＝ax 2－1，且f ′(1)＝2，则a 的值为( )A ．a ＝1B ．a ＝2C ．a ＝ 2D ．a >0解析 f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′ ＝12ax 2－1·2ax＝axax 2－1. 由f ′(1)＝2， 得aa －1＝2，∴a ＝2. 答案 B7．曲线y ＝sin2x 在点M (π，0)处的切线方程是________． 解析 y ′＝(sin2x )′＝cos2x ·(2x )′＝2cos2x ， ∴k ＝y ′|x ＝π＝2.又过点(π，0)，所以切线方程为y ＝2(x －π)． 答案 y ＝2(x －π)8．f (x )＝e 2x －2x ，则f ′xe x －1＝________.解析 f ′(x )＝(e 2x )′－(2x )′＝2e 2x －2＝2(e 2x －1)． ∴f ′xe x －1＝2?e 2x －1?e x －1＝2(e x ＋1)． 答案 2(e x ＋1)能 力 提 升9．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有相同的切线．求实数a ，b ，c 的值．解 ∵函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×23＋2a ＝0，b ×22＋c ＝0，得a ＝－8,4b ＋c ＝0， ∴f (x )＝2x 3－8x ，f ′(x )＝6x 2－8. 又当x ＝2时，f ′(2)＝16，g ′(2)＝4b ， ∴4b ＝16，∴b ＝4，c ＝－16. ∴a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.10．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋a (a 为常数)，直线l 与函数f (x )、g (x )的图像都相切，且l 与函数f (x )图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a 的值．解 ∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1， 即直线l 的斜率为1，切点为(1,0)． ∴直线l 的方程为y ＝x －1.又l 与g (x )的图像也相切，等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2＋a 只有一解，即方程12x 2－x ＋1＋a＝0有两个相等的实根，∴Δ＝1－4×12(1＋a )＝0，∴a ＝－12.品 味 高 考11．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )B ．－12 D ．1解析 ∵y ′＝(－2x )′e－2x＝－2e－2x，∴k ＝y ′|x ＝0＝－2e 0＝－2， ∴切线方程为y －2＝－2(x －0)， 即y ＝－2x ＋2.如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，得交点坐标为(23，23)，y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标为(1,0)， ∴所求面积为S ＝12×1×23＝13. 答案 A12．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a.∵在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，∴f′(0)＝a＝1.又0－b＋1＝0，∴b＝1.答案A。
复合函数练习题链式法则
复合函数练习题链式法则复合函数练习题——链式法则复合函数是数学中的一个重要概念，在实际问题中经常用到。
复合函数的求导是微积分中的重要内容之一，链式法则是求导过程中常用的方法。
本文将通过一些复合函数的练习题介绍链式法则的应用。
1. 题目一设函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，函数 g(x) 的导函数为 g'(x)，求复合函数 F(x) = f(g(x)) 的导函数 F'(x)。
解析：根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数求导乘以内函数的导数，即 F'(x) = f'(g(x)) * g'(x)。
2. 题目二设函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，函数 g(x) 的导函数为 g'(x)，求复合函数 G(x) = g(f(x)) 的导函数 G'(x)。
解析：根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数求导乘以内函数的导数，即 G'(x) = g'(f(x)) * f'(x)。
3. 题目三设函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，函数 g(x) 的导函数为 g'(x)，求复合函数 H(x) = g(f(g(x))) 的导函数 H'(x)。
解析：根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数求导乘以内函数的导数，即 H'(x) = g'(f(g(x))) * f'(g(x)) * g'(x)。
经过上述练习题的解析，我们可以总结出链式法则的一般表达形式：若有复合函数 y = f(g(x))，其中 f(u) 和 g(x) 均可导，则复合函数 y 对 x 的导数可以表示为：dy/dx = df/du * du/dx，其中 df/du 表示函数 f(u) 对 u 的导数，du/dx 表示函数 g(x) 对 x 的导数。
链式法则在求导过程中起到了重要的作用，通过对复合函数的求导，我们可以解决各种实际问题，如物理、经济等领域中的速度、加速度等相关问题。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题一．选择题（共26小题）1．设，那么f′（2）=（）A．B．C．D．2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，那么曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．3．以下式子不正确的选项是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=4．设f（x）=sin2x，那么=（）A．B．C．1 D．﹣15．函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）6．以下导数运算正确的选项是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1 C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+17．以下式子不正确的选项是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，那么f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣39．函数的导数是（）A． B．C．D．10．已知函数f（x）=sin2x，那么f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x11．y=e sinx cosx（sinx），那么y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．212．以下求导运算正确的选项是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x13．假设，那么函数f（x）能够是（）A．B．C．D．lnx14．设，那么f2021（x）=（）A．22021（cos2x﹣sin2x）B．22021（sin2x+cos2x）C．22021（cos2x+sin2x）D．22021（sin2x+cos2x）15．设f（x）=cos22x，那么=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣216．函数的导数为（）A．B．C．D．17．函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）18．函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；假设a为任意的正实数，以下式子必然正确的选项是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x22．函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．23．函数的导数为（）A．B．C．D．24．y=sin（3﹣4x），那么y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）25．以下结论正确的选项是（）A．假设，B．假设y=cos5x，那么y′=﹣sin5xC．假设y=sinx2，那么y′=2xcosx2D．假设y=xsin2x，那么y′=﹣2xsin2x26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）27．设y=f（x）是可导函数，那么y=f（）的导数为．28．函数y=cos（2x2+x）的导数是．29．函数y=ln的导数为．30．假设函数，那么的值为．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．（2021春•拉萨校级期中）设，那么f′（2）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=ln，令u（x）=，那么f（u）=lnu，∵f′（u）=，u′（x）=•=，由复合函数的导数公式得：f′（x）=•=，∴f′（2）=．应选B．2．（2021•怀远县校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，那么曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．【解答】解：由已知g′（1）=2，而，因此f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，应选A．3．（2021春•永寿县校级期中）以下式子不正确的选项是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=【解答】解：由复合函数的求导法那么关于选项A，（3x2+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确关于选项B，成立，故B正确关于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确关于选项D，成立，故D正确应选C4．（2021春•晋江市校级期中）设f（x）=sin2x，那么=（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：因为f（x）=sin2x，因此f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．则=2cos（2×）=﹣1．应选D．5．（2021秋•阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），应选：C6．（2021春•福建月考）以下导数运算正确的选项是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1 C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 【解答】解：依照导数的运算公式可得：A，（x+）′=1﹣，故A错误．B，（2x）′=lnx2x，故B错误．C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．D．（xlnx）′=lnx+1，正确．应选：D7．（2021春•海曙区校级期末）以下式子不正确的选项是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．【解答】解：因为（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx，因此选项A正确；（sin2x）′=2cos2x，因此选项B正确；，因此C正确；，因此D不正确．应选D．8．（2021春•江西期中）已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，那么f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3【解答】解：∵f′（x）=2e2x+1﹣3，∴f′（0）=2e﹣3．应选C．9．（2021春•黔西南州校级月考）函数的导数是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数，∴y′=3cos（3x+）×3=，应选B．10．（2021春•东莞市校级月考）已知函数f（x）=sin2x，那么f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x【解答】解：由f（x）=sin2x，那么f′（x）=（sin2x）′=（cos2x）•（2x）′=2cos2x．因此f′（x）=2cos2x．应选D．11．（2021秋•惠农区校级月考）y=e sinx cosx（sinx），那么y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：∵y=e sinx cosx（sinx），∴y′=（e sinx）′cosx（sinx）+e sinx（cosx）′（sinx）+e sinx（cosx）（sinx）′=e sinx cos2x（sinx）+e sinx（﹣sin2x）+e sinx（cos2x）∴y′（0）=0+0+1=1应选B12．（2021秋•珠海期末）以下求导运算正确的选项是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x【解答】解：因为，因此选项A不正确；，因此选项B正确；（（2x+3）2）′=2（2x+3）•（2x+3）′=4（2x+3），因此选项C不正确；（e2x）′=e2x•（2x）′=2e2x，因此选项D不正确．应选B．13．（2021秋•朝阳区期末）假设，那么函数f（x）能够是（）A．B．C．D．lnx【解答】解：；；；．因此知足的f（x）为．应选A．14．（2021秋•庐阳区校级月考）设，那么f2021（x）=（）A．22021（cos2x﹣sin2x）B．22021（sin2x+cos2x）C．22021（cos2x+sin2x）D．22021（sin2x+cos2x）【解答】解：∵f0（x）=sin2x+cos2x，∴f1（x）==2（cos2x﹣sin2x），f2（x）==22（﹣sin2x ﹣cos2x），f3（x）==23（﹣cos2x+sin2x），f4（x）==24（sin2x+cos2x），…通过以上能够看出：f n（x）知足以下规律，对任意n∈N，．∴f2021（x）=f503×4+1（x）=22021f1（x）=22021（cos2x﹣sin2x）．应选：B．15．（2020•潜江校级模拟）设f（x）=cos22x，那么=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=cos22x=∴=﹣2sin4x∴应选D．16．（2020秋•平遥县校级期末）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴∴=应选D17．（2020春•南湖区校级月考）函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）【解答】解：y′=﹣sin（1+x2）•（1+x2）′=﹣2xsin（1+x2）应选C18．（2020春•瑞安市校级月考）函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）【解答】解：∵函数y=sin（﹣x）可看成y=sinu，u=﹣x复合而成且y u′=（sinu）′=cosu，∴函数y=sin（﹣x）的导数为y′=y u′u x′=﹣cos（﹣x）=﹣sin[﹣（﹣x）]=﹣sin（+x）故答案选D19．（2020春•龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；假设a为任意的正实数，以下式子必然正确的选项是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=﹣1，那么f′（x）=0，知足题意显然选项A成立应选A．20．（2020•永州校级模拟）函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，那么y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），应选C．21．（2020•祁阳县校级模拟）函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【解答】解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=cosx，故能够取得y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x应选D22．（2020春•朝阳区期末）函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．【解答】解：关于函数，对其求导可得：f′（x）===；应选C．23．（2020春•房山区期中）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：令y=3sint，t=2x﹣，那么y′=（3sint）′•（2x﹣）′=3cos（2x﹣）•2=，应选A．24．（2020春•瑞安市校级期中）y=sin（3﹣4x），那么y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）【解答】解：由于y=sin（3﹣4x），那么y′=cos（3﹣4x）×（3﹣4x）′=﹣4cos（3﹣4x）应选D25．（2006春•珠海期末）以下结论正确的选项是（）A．假设，B．假设y=cos5x，那么y′=﹣sin5xC．假设y=sinx2，那么y′=2xcosx2D．假设y=xsin2x，那么y′=﹣2xsin2x【解答】解：函数的导数为，，∴A错误函数y=cos5x的导数为：y′=﹣5sin5x，∴B错误函数y=sinx2的导数为：y′=2xcosx，，∴C正确函数y=xsin2x的导数为：y′=sin2x+2xcos2x，∴D错误应选C26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．【解答】解：由复合函数的求导法那么可得，•[ln（x2+1）]′ln2=（1+x2）′ln2=•ln2应选A二．填空题（共4小题）27．（2021春•巨野县校级期中）设y=f（x）是可导函数，那么y=f（）的导数为y′=f′（）．【解答】解：设y=f（u），u=，那么y′=f'（u），u′=，∴y′=f′（）故答案为：y′=f′（）．28．（2021春•吴兴区校级月考）函数y=cos（2x2+x）的导数是﹣（4x+1）sin（2x2+x）．【解答】解：y′=﹣（4x+1）sin（2x2+x），故答案为﹣（4x+1）sin（2x2+x）．29．（2021•洞口县校级模拟）函数y=ln的导数为．【解答】解：y′=（）′=•（）′=•.=•=故答案为：30．（2020春•雁塔区校级期中）假设函数，那么的值为．【解答】解：由故=故答案为：．。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题精品资料欢迎下载复合函数求导练题一、选择题（共26小题）1.设$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$，则$f'(2)=\frac{1}{9}$。
2.设函数$f(x)=g(x)+x+\ln x$，曲线$y=g(x)$在点$(1,g(1))$处的切线方程为$y=2x+1$，则曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x+2$。
3.下列式子不正确的是$(2sin2x)'=2cos2x$。
4.设$f(x)=sin2x$，则$f''(\frac{\pi}{4})=-1$。
5.函数$y=cos(2x+1)$的导数是$y'=-2sin(2x+1)$。
6.下列导数运算正确的是$(x^2)'=2x$。
7.下列式子不正确的是$(3x^2+xcosx)'=6x+cosx-xsinx$。
8.已知函数$f(x)=e^{2x}-3x$，则$f'(0)=2$。
9.函数$f(x)=\frac{1}{1+e^x}$的导数是$f'(x)=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$。
10.已知函数$f(x)=sin2x$，则$f'(x)=2cos2x$。
11.$y=e^{sinx\ cosx\ sinx}$，则$y'=\frac{d}{dx}(e^{sinx\ cosx\ sinx})=cosx\ cos^2x\ e^{sinx\ cosx\ sinx}$，所以$y'(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
12.下列求导运算正确的是$(e^{2x})'=2e^{2x}$。
13.若$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1-x}}$，则函数$f(x)$可以是$ln\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。
高一数学简单复合函数的求导法则试题
高一数学简单复合函数的求导法则试题1.（2014•榆林模拟）要得到函数的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）C．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【答案】D【解析】由题意可得f'（x）=2cos（2x+）==2sin[2（x+）+]，而由y=sin（2x+）y=2sin[2（x+）+]=f′（x），分析选项可判断解：∵的导函数f'（x）=2cos（2x+）==2sin[2（x+）+]而由y=sin（2x+）y=2sin[2（x+）+]=f′（x）故选D点评：本题主要考查三角函数的平移．复合函数的求导的应用，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．2.（2012•桂林模拟）设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2B．﹣ln2C．D．【答案】A【解析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程．解：对f（x）=e x+a•e﹣x求导得f′（x）=e x﹣ae﹣x又f′（x）是奇函数，故f′（0）=1﹣a=0解得a=1，故有f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点为（x0，y），则，得或（舍去），得x=ln2．点评：熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含x=0，则一定过原点．3.（2012•德阳三模）已知，将函数的图象按向量平移后，所得图象恰好为函数y=﹣f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数）的图象，则c的值可以为（）A．B．πC．D．【答案】D【解析】先根据辅助角公式进行化简，f（x）=cos（x+），按向量平移后得到y=cos（x﹣c+）的图象．由题意可得cos（x﹣c+）=sin（x+），从而得到c的值．解：∵f（x）==cosx﹣sinx=cos（x+），把函数的图象按向量平移后，所得图象对应的函数为y=cos（x﹣c+）．而﹣f′（x）=sin（x+），平移后，所得图象恰好为函数y=﹣f′（x），故cos（x﹣c+）=sin（x+），故可让c=，故选 D．点评：本题主要考查三角函数按照向量进行平移．其关键是要把向量的平移转化为一般的平移，然后根据三角函数的平移原则为左加右减上加下进行平移．4.设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8C．y=2x+2D．【答案】A【解析】据曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率，求g′（1）进一步求出f′（1），由点斜式求出切线方程．解：由已知g′（1）=2，而，所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．点评：本题考查曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率．5.已知y=f（x）=ln|x|，则下列各命题中，正确的命题是（）A．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）=﹣B．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）无意义C．x≠0时，都有f′（x）=D．∵x=0时f（x）无意义，∴对y=ln|x|不能求导【答案】C【解析】利用绝对值的意义将函数中的绝对值去掉转换为分段函数；利用基本的初等函数的导数公式及复合函数的求导法则：外函数的导数与内函数的导数的乘积，分别对两段求导数，两段的导数合起来是f（x）的导数．解：根据题意，f（x）=，分两种情况讨论：（1）x＞0时，f（x）=lnx⇒f'（x）=（lnx）'=．（2）x＜0时f（x）=ln（﹣x）⇒f'（x）=[ln（﹣x）]'=（这里应用定义求导．）故选C点评：本题考查绝对值的意义、考查分段函数的导数的求法、考查基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的求导法则．6.为得到函数y=sin（2x+）的导函数图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有点的（）A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移【答案】C【解析】求出函数的导数，利用诱导公式化为正弦函数的形式，然后利用函数的平移原则，判断正确选项即可．解：函数y=sin（2x+）的导函数为y=2cos（2x+）=2sin（2x+），所以只需把函数y=sin2x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y=2sin2x的图象，横坐标向左平移，得到y=2sin2（x+）的图象，即y=2sin（2x+）=2cos（2x+）．故选C．点评：本题主要考查复合函数的导数，诱导公式以及三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．7.函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）【答案】C【解析】设H（x）=f（u），u=g（x），则H′（x）=f′（u）g′（x）．解：设y=sinu，u=2x2+x，则y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C．点评：牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用．8.函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【答案】D【解析】将f（x）=sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=cosx，故可以得到y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故选D点评：考查学生对复合函数的认识，要求学生会对简单复合函数求导．9.已知函数f（x﹣1）=2x2﹣x，则f′（x）=（）A．4x+3B．4x﹣1C．4x﹣5D．4x﹣3【答案】A【解析】令x﹣1=t求出f（x）的解析式；利用导函数的运算法则求出f′（x）．解：令x﹣1=t，则x=t+1所以f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1所以f（x）=2x2+3x+1∴f′（x）=4x+3故选A点评：本题考查通过换元法求出函数的解析式、考查导数的四则运算法则．10.若函数f（x）=，则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数D．非奇非偶函数【答案】C【解析】先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可．解：∵函数f（x）=，∴f′（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=，当cosx=时，f′（x）取得最小值；当cosx=1时，f′（x）取得最大值2．且f′（﹣x）=f′（x）．即f′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．故选C．点评：熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．。
高中学必修2-2《简单复合函数的求导法则》
【解析】y′=(e2x)′·cos3x+e2x·(cos3x)′
=2·e2x·cos3x-3e2x·sin3x
∴y′|x=0=2 ∴过点（0，1）的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.
6
6
=3
3.
∴适合题意的曲线的切线方程为y-1= 3 3 (x- )， 6
即6 3 x-2y- 3π+2=0.
1.(5分）函数y= 1 (ex+e-x)的导数是（ ）
2 (A) 1（ex-e-x)
(B) 1 (ex+e-x)
2
2
(C)ex-e-x
(D)ex+e-x
【解析】选A.对于y=e-x来说，令y=eu，u=-x，
则y′x=y′u·u′x
∴（e-x)′=(eu)′·(-x)′=e-x(-1)=-e-x,
∴y= 1 (ex+e-x)的导数是 1 (ex-e-x)
2
2
2.（5分）（2010·益阳高二检测）已知曲线方程 f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都 不是曲线y=f(x)的切线，则a的取值范围是______. 【解析】由题知曲线在x=x0时的导数f′(x0)≠-1恒成立， 又由复合函数求导法则及导数的加法与减法法则得 f′(x)=(sin2x)′+(2ax)′ =2sinxcosx+2a =sin2x+2a
5.函数y=log2(x+1)在点（0，0）处的切线方程为________. 【解析】
复合函数求导公式
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y )] 0
f (x) 1
[ f 1( y)]
或 dy 1
d x dx
dy
例4、 求反三角函数的导数
解: 1) 设
则
cos y 0 , 则
(sin
y)
1 cos
y
y ( , ) ,
22
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x
arcsin
x
2
五、三个求导方法
1、 隐函数求导法则 显函数：： 因变量y可由含有自变量x的数学式子直接表示
出来的函数，形如：y f( x )
隐函数： 由方程所确定的函数y y( x )称为隐函数.
对于隐函数我们可以显化，如由方程x y3 1 0 解出y 3 1 x化成显函数的性质
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或d
2 f (x) dx 2 .
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3y .
方法二: y sin 2x 2 sin x cos x
y ( 2 sin x cos x ) 2[(sin x )cos x sin x(cos x )]
2(cos2 x sin2 x ) 2 cos 2x
定理 如果函数u (x)在点x可导,而y f(u) 在点u (x)可导,则复合函数y f[(x)]在点 x可 导, 且 其 导 数 为
导数微分练习题专升本
导数微分练习题专升本### 导数微分练习题#### 一、基础导数题1. 求导函数：设 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( f'(x) \)。
2. 复合函数求导：若 \( g(x) = (2x^3 - x)^4 \)，求 \( g'(x) \)。
3. 隐函数求导：给定 \( xy^2 - x^3 + y = 6 \)，求 \( y' \)。
4. 参数方程求导：设 \( x = t^2 \)，\( y = t^3 \)，求\( \frac{dy}{dx} \)。
5. 高阶导数：若 \( f(x) = x^3 \)，求 \( f'''(x) \)。
#### 二、导数的应用6. 切线问题：已知 \( f(x) = x^2 \)，求在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
7. 单调性：判断函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的单调性。
8. 极值问题：求函数 \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 的极值点。
9. 凹凸性：判断函数 \( k(x) = -x^4 + 4x^3 - 3x^2 \) 的凹凸性。
10. 函数的增长速度：比较 \( f(x) = e^x \) 和 \( g(x) = x^2 \) 在 \( x \) 趋于无穷大时的增长速度。
#### 三、微分练习题11. 一阶微分：设 \( z = x^2y + xy^2 \)，求 \( dz \)。
12. 隐函数微分：若 \( x^2 + y^2 = 4 \)，求 \( dy \)。
13. 参数方程微分：给定 \( x = e^{\theta} \)，\( y =e^{2\theta} \)，求 \( dy \)。
14. 函数的线性近似：使用 \( f(x) = \sin(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的线性近似来估计 \( \sin(0.1) \)。
复合函数求导公式
复合函数求导公式一、复合函数的导数定义假设y=f(u)，u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数。
复合函数的导数定义如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中dy/du表示y关于u的导数，du/dx表示u关于x的导数。
二、链式法则链式法则是复合函数求导的重要工具，它表明复合函数的导数等于内外导数的积。
链式法则的数学表示如下：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中f'(g(x))是f对于g(x)的导数，g'(x)是g对于x的导数。
三、基本公式1.复合函数的求导公式【公式1】(f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)【例题1】计算函数y=sin(x^2)的导数。
解：我们将y=sin(u)和u=x^2，那么y=sin(g(x))。
根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx= cos(u) * 2x所以，函数y=sin(x^2)的导数为2x * cos(x^2)。
【例题2】计算函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数。
解：我们将y=u^3和u=3x^2+2x+1，那么y=(g(x))^3、根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx=3u^2*(6x+2)=3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)所以，函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数为3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)。
2.反函数的导数公式如果y=f(g(x))，且g(x)与f(x)互为反函数，则有：dy/dx = 1 / (dx/dy)其中dx/dy表示g(x)对于x的导数。
【例题3】计算函数y=ln(sin(x))的导数。
解：将y=ln(u)和u=sin(x)，那么y=ln(g(x))。
根据反函数的导数公式：dy/dx = 1 / (dx/dy)= 1 / (d(sin(x))/dx)所以，函数y=ln(sin(x))的导数为1 / (cos(x))。
复合导数求导练习题
复合导数求导练习题在微积分中，复合函数是一种由多个简单函数通过组合而成的函数。
求解复合函数的导数是微积分中的重要内容之一。
本文将给出一些复合导数求导的练习题，帮助读者巩固这一概念。
练习题一：设函数y = y^3−2y+1，函数y = y^2+2y−1，求解y对y的复合函数y = y∘y的导数。
解答：首先，我们需要计算出y = y∘y = y(y)，对应的y的表达式。
将函数y代入y的表达式中，我们有：y = y(y) = (y)^2+2(y)−1 = (y^3−2y+1)^2+2(y^3−2y+1)−1接下来，我们将求解导数y′= yy/yy对于复合函数的求导，我们需要使用链式法则。
根据链式法则，我们有：y′= yy/yy=yy/y(y^3−2y+1) ×y(y^3−2y+1)/yy首先，我们计算导数yy/y(y^3−2y+1)：yy/y(y^3−2y+1) = 2(y^3−2y+1) × (3y^2−2)然后，我们计算导数y(y^3−2y+1)/yy：y(y^3−2y+1)/yy = 3y^2−2将两个导数相乘，得到：y′= 2(y^3−2y+1) × (3y^2−2)至此，我们求解出了复合函数y = y∘y的导数。
练习题二：设函数y = sin(y^2)，函数y = yyy(y^3−2y)，求解y对y的复合函数y = y∘y的导数。
解答：首先，我们需要计算出y = y∘y = y(y)，对应的y的表达式。
将函数y代入y的表达式中，我们有：y = y(y) = yyy((sin(y^2))^3−2(sin(y^2)))接下来，我们将求解导数y′= yy/yy同样使用链式法则，我们有：y′= yy/yy=yy/y(y^3−2y) ×y(y^3−2y)/yy ×yy/yy首先，我们计算导数yy/y(y^3−2y)：yy/y(y^3−2y) = cos((sin(y^2))^3−2(sin(y^2)))然后，我们计算导数y(y^3−2y)/yy：y(y^3−2y)/yy = 3(y^2−2)最后，我们计算导数yy/yy：yy/yy = cos(y^2) × 2y将三个导数相乘，得到：y′= cos((sin(y^2))^3−2(sin(y^2))) × 3(y^2−2) × cos(y^2) × 2y至此，我们求解出了复合函数y = y∘y的导数。
高等数学导数求导练习题
高等数学导数求导练习题一、基本初等函数求导1. 求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 5 的导数。
2. 求函数 f(x) = (3x + 1)^4 的导数。
3. 求函数 f(x) = 1/(x^2 1) 的导数。
4. 求函数f(x) = √(x^2 + 3) 的导数。
5. 求函数 f(x) = 2^x 3^x 的导数。
二、复合函数求导6. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^3 的导数。
7. 求函数 f(x) = sin(2x + 1) 的导数。
8. 求函数 f(x) = ln(e^x + 1) 的导数。
9. 求函数 f(x) = cos^2(x) 的导数。
10. 求函数 f(x) = (1 + x^2)^5 的导数。
三、隐函数求导11. 已知 y = x^3 + y^3，求 dy/dx。
12. 已知 x^2 + y^2 = 25，求 dy/dx。
13. 已知 e^y = x^2 + y^2，求 dy/dx。
14. 已知 sin(x + y) = y^2，求 dy/dx。
15. 已知 ln(x^2 + y^2) = 2x，求 dy/dx。
四、参数方程求导16. 已知参数方程 x = t^2，y = t^3，求 dy/dx。
17. 已知参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，求 dy/dx。
18. 已知参数方程 x = 2t + 1，y = 3t^2 2，求 dy/dx。
19. 已知参数方程 x = e^t，y = e^(2t)，求 dy/dx。
20. 已知参数方程 x = asin(t)，y = acos(t)，求 dy/dx。
五、高阶导数21. 求函数 f(x) = x^4 2x^3 + 3x^2 的二阶导数。
22. 求函数 f(x) = e^x sin(x) 的一阶和二阶导数。
23. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的一阶和二阶导数。
24. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^(3) 的一阶和二阶导数。